寒假作业(十三) 等比数列与数学归纳法-【步步维赢·优练必刷】2025-2026学年高二数学寒假作业

2由8=a+2》4以及1=1Bd=2. Sn=242,得方程242=12m+nn21D×2. 2 即n2+11n-242=0,解得n=11 或n=-22(舍去)，故n=11. 高二数学寒假作业（十三）等比数列与数学 归纳法 温故知新 1.同一个常数公比q2.等比数列ab 3. a11一4）(g≠1) 1-g a1一am9(g≠1) 1-g 精典题练 1.A[,a2十a6=34,a2·a6=64, ∴.a=64,且a2>0, a6>0,∴.a4=a2q>0(q为公比)， .a4=8.] 2.C[由题意，知S3,Sg,S27成等比数列， 所以S号=S3XS27, 「9(a十ag27_3a1+a32×27(a1十a2z） 即2 2 整理得81a5=3a2X27a14,所以(a1+4d)2= (a1+d)(a1+13d),解得d=2a1, -9(a1+ag）÷3(a1+a3）_9a5 所以 2 3a2 3(a1十4d_27a1=9.故选C.] a+d 3a 3.A[设公差为d,则a1(a1十5d)=(a1十 2d2,把a=2代入可解得d=2 a,=2+(a-10x-7+ .S= 2计叶2-+故连4 2 4 4C[国为当=时，左瑞=1一司十片一司 1 十…十2-2元：当n=6+1时，左瑞=1 11 1 2k十2所以，左端应在n=k的基础上加上 1 1 2k+12k+2J ·5 5.C[.a3=1,a6 =gg-a=4 ∴.a1a2=8, an-1an 数列(aa+1}是以8为首项，寻为公比的 等比数列 a1十aea3十…十a,an+1=32(1-44.] 3 6.B[由S2=3a2+2,S4=3a4十2得a3十a4= 3a4一3a2,即q十q2=3q2-3,解得q=-1 (含)成9=是将g=是代入5=3a,+2中得 a+号4=3X号a+2,解得a=-1故选A] 3 7.ABC[因为数列{am}为等比数列，又a1·a4 =32,所以a2·a3=32,又a2十a3=12, a2=8, a2=4, 所以a=8,或a3=4,又公比g为整数， 1 q=2, 9=2' a2=4, 则a3=8, q=2, 即4，=2"，Sm=2X020）=2m+1-2, 1-2 对于选项A,由上可得q=2,即选项A正确； 对于选项B,S,十2=2m+1, m+1+22n+2 Sn+2=2m+=2, 则数列{Sm十2}是等比数列，即选项B正确： 对于选项C,S8=29一2=510，即选项C 正确； 对于选项D,lgam+1一lgam=(n十1)lg2-nlg2 =lg2,即数列{lgam}是公差为lg2的等差数 列，即选项D错误.故选ABC.] 8.AB[由数列{an}为等比数列可知， an =q,9≠0)， an-1 ,a近=q,故A正确：对于B, 对于A,， an-1 aant1=+1=g2≠0，故B正确：对于C, an-1an an-1 lga,一lga,-1=lg,a,=lg,为等差数列， an-1 1ga”不一定为常数，即{lgan}不一定 但是1gam 为等比数列，故C错误；对于D,若am=（一 1)”为等比数列，公比为一1，则Sm有可能为 0,不一定成等比数列，故D错误.故选AB.] 9.16[各项均不为0的等差数列{am},2a3一a +2a11=0,.4a7-a号=0，∴.a7=4,b1·b13= b=a=16.] 10.768[由am+1=3Sm,得Sm+1-Sn=3Sm, 即Sm+1=4S,所以数列{Sm}是首项为1，公 比为4的等比数列，所以Sm=4”-1,所以a6 =S6-S5=45-44=3×44=768.] 11.解：(1)因为2am=3an+1, 所以=号数列口是公比为号的等比 an 数列， 又a2·a5=27' 所以（号）=（号）°，由于各项均为负， 故a1=一 2,am=- （2)设am= 则-9=-（） 16 (号)=（号），m=6,所以9是该数列 的项，为第6项. 12.证明：(1)①当n=1时，左边=1+2十3+4 =10,右边=1+3)X(1+4)=10,左边= 2 右边。 ②假设n=k(k∈N)时等式成立，即1十2+十 3+十(k+3)=k+3)(k+4) 2 那么当n=k十1时，1十2十3十…+(k十3) +(6十4)=+3)k+)十(k十4)= 2 (k十4)(k+5),即当n=k十1时，等式成立. 2 综上，1十2+3十…十(n+3)= (n十3)(n+42(m∈N*). 2 (2)①当n=1时，左边=1，右边=2，左边< 右边，故当n=1时不等式成立. ·60 ②假设当n=k(k∈N*)时不等式成立， 即1+++…+1<2， √2√5 那么当n=k+1时，左边=1十二十 十… √2√3 +1 1 √R√R+I <2√k+ √R+I 因为4k2+4k<4k2+4k+1,所以2/R2+k <2k+1, 所以2√E十 1=2+1E+1 √R+1 √k+1 22+k+1<2k+2=2√k+1. √k+1√R+I 故当n=k十1时，不等式也成立. 综上，由①②可知1十马十马十…十1< 2√n(n∈N米). 13.解：(1)设数列{xn}的公比为q, 由已知可得q>0. x1十x1q=3, 由题意得{ x1q2-x1q=2, 消去x1得3g2-5q-2=0. 因为q>0,所以q=2,x1=1, 因此数列{xn}的通项公式为xn=2”-1 (2)过P1,P2,…,Pm+1向x轴作垂线，垂足 分别为Q1,Q2,…,Qm+1(图略). 由(1)得xn+1一xn=2n-2”-1=2m-1, 记梯形PmPm+1Q+1Q,的面积为bn, 由题意得，=0++1D×21=(2m十1) 2 X2n-2, 所以Tn=b1十b2十…十bm =3×2-1+5×20+7×21+.+(2m-1)× 2n-3+(2n+1)×2n-2.① 又2Tm=3×20+5×21+7×22+…+(2n 1)×2n-2+(2n+1)×2m-1.② ①-②得，-Tm=3×21+(2+22+…+ 2”1)-(2n+1)×2m-1=多+21-201 2 1-2 -(2n+1)×2n-1. 所以Tn=(2n-1)X2n+1 2高二数学寒假作业（十三） 温一故知=新 1.等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它 的前一项的比都等于 ,那么这 个数列叫做等比数列，这个常数叫做等 比数列的 ,通常用字母 表示(q≠0). 2.等比中项 如果在a与b中间插入一个数G,使a, G,b成 ,那么G叫做a与b的等 比中项，此时，G= 3.等比数列的前n项和公式 首项a1,末项 已知量 首项a1与公比q an与公比q na1(q=1), na1(q=1) 公式 S,= S,= 一精典题练 1.等比数列{an}中，a2,a是方程x2-34x 十64=0的两根，则a4等于 A.8 B.-8 C.±8 D.以上选项都不对 2.已知等差数列{a,}的公差不为零，其前n 项和为Sn,若S3,S。,S2,成等比数列，则 A.3 B.6 C.9 D.12 ·38 等比数列与数学归纳法 3.设{an}是公差不为0的等差数列，a1=2, 且a1,a3,a6成等比数列，则{an}的前n 项和Sn= ( A+四 C. D.n2十n 4用数学归纳法证明1一十写一十…十 2n白品十十2+…+a则当 111 n=k十1时，左端应在n=k的基础上加上 ( B.一 1 A.2k+2 2k+2 1 1 1 C.2k+12k+2 D.2k+1十2k+2 5.已知{(a,}是等比数列，a,=1,a。=8,则 a1a2十a2a3十…十anan+1等于 ( ) A.16(1-4") B.16(1-2-m) c1-4y D.婴1-2 6.设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前 n项和为Sn.若S2=3a2十2，S4=3a4十 2,则a1= ) A.-2 B.-1 c日 n 7.(多选)在公比q为整数的等比数列 (an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若 a1·a4=32,a2十a3=12,则下列说法正 确的是 A.q=2 B.数列{Sn十2}是等比数列 C.S8=510 (2)一是香为该数列的项？若是，为 D.数列{lgam}是公差为2的等差数列 8.（多选)已知等比数列{an}的前n项和为 第几项？ S,,下列数列中一定是等比数列的有 A.{a) B.anan+ C.(g a D.S,S2-S,San-S2 9.已知各项均不为0的等差数列{an},满足 12.(1)用数学归纳法证明：1十2十3十…+ 2a3一a号十2a11=0,数列{bn}为等比数列， 且b=a,则b1·b3= (n+3)=n+3)n+4)(n∈N): 10.数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1, am+1=3Sn（n≥1)，则a6= 11.在各项均为负的等比数列{an}中，2an= 3a+1,且a·a,=27 (1)求数列{an}的通项公式. (2)用数学归纳法证明：1十1十1十 2√3 2m(n∈N) ·39· 13.已知{x,}是各项 yt P. 均为正数的等比 数列，且x1十2 =3,x3-x2=2. (1)求数列{xn}的通项公式； ·40 (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依 次连接点P1(x1,1),P2（x2,2),…, Pn+1(xn+1n十1)得到折线PP2… Pm+1,求由该折线与直线y=0,x=x1, x=xn+1所围成的区域的面积Tm.