寒假作业(十二) 等差数列-【步步维赢·优练必刷】2025-2026学年高二数学寒假作业

高二数学寒假作业 温=故知=新 1.等差数列的定义 如果一个数列第2项起，每一项与它的 前一项的差等于 常数，那么这 个数列就叫做等差数列，这个常数叫做 等差数列的 ,通常用字母 表示. 2.等差数列的通项公式 已知等差数列{an}的首项为a1,公差 为d. 递推公式 通项公式 a= =d(n≥2) (n∈N*) 3.等差数列的前n项和公式 首项，公差 已知量首项，末项与项数 与项数 选用 S,= S,= 公式 精典题一练 1.等差数列{an}的公差d<0,且a2·a4=12, a2十a=8,则数列{an}的通项公式是 A.am=2n-2(n∈N*) B.am=2n+4(n∈N*) C.am=-2n+12(n∈N*) D.am=-2n+10(n∈N*) 3 (十二)等差数列 2.已知等差数列{am}满足a2十a4=4,a3十 a=10,则它的前10项的和S1o=( A.138 B.135 C.95 D.23 3.《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善 织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织 九匹三丈.”其意思为：现有一善于织布 的女子，从第2天开始，每天比前一天多 织相同量的布，第1天织了5尺布.现在 一月（按30天计算）共织390尺布，记该 女子一月中的第n天所织布的尺数为 an,则a14十a15十a16十a1z的值为() A.55 B.52 C.39 D.26 4.数列{an}为等差数列，它的前n项和为 Sm,若Sm=(n十1)2十入，则入的值是 A.-2 B.-1 C.0 D.1 5.在等差数列{an}中，若a1=84,a2=80,则 使am≥0，且am+1<0的n为 A.21 B.22 C.23 D.24 6.已知等差数列{an}满足3a3=4a4,则该数 列中一定为零的项为 A.a6 B.ar C.as D.as 7.(多选)下面是关于公差d>0的等差数 列{am}的四个命题，正确的是 A.数列{an}是递增数列 B.数列{nan}是递增数列 5 C.数列 是递增数列 72 D.数列{an十3nd}是递增数列 8.(多选)已知数列{an}为等差数列，其前n 项和为Sn,若S,=S13-n(n∈N"且n< 13),有以下结论，则正确的结论为 ( A.S13=0 B.a1=0 C.{an}为递增数列 D.a13=0 9.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富 的数学名著，书中有如下问题：“今有女 不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织 一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中 “日减功迟”的具体含义是每天比前一天 少织同样多的布，则每天比前一天少织 布的尺数为 10.已知等差数列{am}满足a1=32,a2十a3 =40,则{|am}的前12项和为 1.已知函数fx)千g数列{x小的通 项由xm=f(xm-1)(n≥2且n∈N") 确定， (1)求证： 是等差数列； x ·36 1 (2)当x=2时，求x2015· 2.已知数列{an}为等差数列，且a3=5, a,=13. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足an=logb,求数列 {bn}的前n项和Tm 13.等差数列{am}中，a10=30,a20=50. (1)求数列的通项公式； (2)若Sn=242,求n. 37·当m=5时，4=1=8.2， ’n5 所以当=5时，取得最小值，最小值为] n 10.号[数列1a}中a=子 1 a,=1-1(m≥2). an-1 可得ag=-3,as=号a1=号所以教列的 周期为3age0=as3x3+1=a1=子】 11.解：设f(n)=9m2-9n十2 9n2-1 =(3n-1)(3n-2)_3m-2 (3m-1)(3n+1)3n+1 ①)令n=10,得第10项a10=f(10)-=8, 2)◆0号-9开9n-30n 此方程无正整教解，所以器不是该载列中 的项. 3n-2_3n+1-3 (3)证明：am=3n+13n十1 3 =1-3n十1' 又n∈N*, 07<1. .0<an<1. 即数列中的各项都在区间(0,1)内. 12.解：(1)由n2-5n十4<0，解得1<n<4. ,n∈N*, ∴.n=2,3. 数列中有两项是负数. (2)法-：.am=n2-5n+4 一(。一}了-子可多对称轴方程方x 5 =2.5. 又，n∈N*,故n=2或3时，am有最小值， 且a2=g,其最小值为22-5×2十4=-2. 法二：设第n项最小， 由an≤an+1, an≤an-1, (n2-5n+4≤(n+1)2-5(n+1)+4, 得2-5m+4长(m-1)2-5(n-1D+4. 解不等式组，得2≤n≤3， ·5 ∴.n=2或3时am有最小值且a2=a3, .最小值为22-5×2+4=-2. 13.解：(1).a=1+ Ta+2(n-1)n∈N*,a∈R,且 1 a≠0)， 1 又a=-7a,=1+2n-gn∈N*), 结合西数了)=1十2g的单调性，可知 1>a>a2>ag>a4,a5>a6>a7>…>am>1(n ∈N*). .数列{am}中的最大项为a5=2,最小项为 a4=0. 1 2 (2)am=1+ 1 a+2(n-1) =1+ n 2-a 2 已知对任意的n∈N,都有an≤a6成立，结 1 2 合函数f(x)=1十 2-a 的单调性， 2 可知5<222<6即-10<a<-8 即a的取值范围是（一10，一8）. 高二数学寒假作业（十二）等差数列 温故知新 1.同一个公差d 2.an-am-1a1+(n-1)d n(a1十an） 3. 2 na+un Dd 2 精典题练 1.D[由a2·a4=12,a2十a4=8,且d<0,解 得a2=6,a4=2,所以d=4,2-2,5=-2, 2 2 则an=2+(n-2)d=6-2(n-2)=-2n+ 10.故选D.] 2C[a+a=4. a3+a5=10, /a+2d=2,ja=-4, a1+3d=5,d=3, ∴S10=10a1+10,X9×d=-40+135=95.] 2 3.B[由题意可得{am}为等差数列，a1=5, S0=30×5+30X29d=390, 2 解得d=16 9 ∴.a14+a15+a16+a17=a1+13d+a1+14d+ a1+15d+a1+16d=4a1+58d=4×5+58× =52.] 29 4.B[等差数列前n项和Sm的形式为Sn=an +bm,.λ=-1.] 5.B[公差d=a2-a1=-4, ∴.an=a1+(n-1)d=84+(n-1)(-4) =88-4n, am≥0， 88-4n≥0， 令 即 →21< am+1<0, 88-4(n+1)<0 n≤22. 又.n∈N*,∴.=22.] 6.B[.3a3=4a4, .∴.3a3=4(a3+d)=4a3+4d, ∴.a3=-4d,∴.am=ag+(n-3)·d=-4d+ (n-3)d=(n-7)d.∴.a7=0.故选B.] 7.AD[在等差数列{an}中，：d>0,.数列 {an}为递增数列，A正确；令am=dn十b,则nam =dn2十b,当b0时，可能是先减后增，B错 买费--名十d,当6>0时，数列份}道 n n 减，C错误；am+3nd=4dn十b,.d>0,.是递 增数列，D正确.故选AD.] &AB[对AS-180-13;=0,故 2 A正确. 对B,由题意，Sm=S13-m,令n=7有S?=S6 →S?-S6=0→a7=0,故B正确. 对C,当am=0时满足Sm=S13-m=0,故{am} 为递增数列不一定正确，故C错误， 对D,由A,B项，可设当an=7-n时满足Sm =S13-m,但a13=一6，故D错误. 故选AB.] [设第n天织布的尺数为am,可知数列 {am}为等差数列，设等差数列{am}的公差为 d,前n项和为Sn,则a1=5,am=1,Sn=90, 则Sn=n(a1,十a,)=3m=90,解得m=30, 4 ∴.a3o=a1+29d=5+29d=1,解得d= 29 国北，每天比前一天少织布的尺鼓为是] ·5 10.304[因为a2十a3=2a1+3d=64+3d=40 →d=-8,所以an=40-8n, 40-8n,n≤5， 所以|am|=|40-8n= 8n-40,n>5, 所以前12项之和为 5×(32+0)+7×(8+56)_ 2 2 80+224=304.] 11.解：(1)证明：.xn=f（xn-1)= o+3m≥2且n∈N)y 1=g-1十3-1+1 n 3n-1 3 n-1' (2). 以是等长载列 (2)由1。+(-1x=2+”号 =n+5 3, ·1=2015+5=2020 x2015 3 3 3 .x2015-2020 12.解：(1)设am=a1+(n-1)d, a1+2d=5, 则 解得a1=1,d=2. a1+6d=13, 所以{am}的通项公式为an=1十(n一1)X2 =2n-1. (2)依题意得bn=4=42n-1, 因为”+1-42m+ 42m7=16, 所以{bn}是首项为b1=41=4,公比为16的 等比数列，所以{bn}的前n项和Tn= 4×(1-16)=4(16m-1). 1-16 15 13.解：(1)设数列{am}的首项为a1,公差为d. a10=a1+9d=30, 则{ a2o=a1+19d=50, a1=12, 解得 d=2, ∴.am=a1+(n-1)d=12+(n-1)×2=10 +2n. 2由8=a+2》4以及1=1Bd=2. Sn=242,得方程242=12m+nn21D×2. 2 即n2+11n-242=0,解得n=11 或n=-22(舍去)，故n=11. 高二数学寒假作业（十三）等比数列与数学 归纳法 温故知新 1.同一个常数公比q2.等比数列ab 3. a11一4）(g≠1) 1-g a1一am9(g≠1) 1-g 精典题练 1.A[,a2十a6=34,a2·a6=64, ∴.a=64,且a2>0, a6>0,∴.a4=a2q>0(q为公比)， .a4=8.] 2.C[由题意，知S3,Sg,S27成等比数列， 所以S号=S3XS27, 「9(a十ag27_3a1+a32×27(a1十a2z） 即2 2 整理得81a5=3a2X27a14,所以(a1+4d)2= (a1+d)(a1+13d),解得d=2a1, -9(a1+ag）÷3(a1+a3）_9a5 所以 2 3a2 3(a1十4d_27a1=9.故选C.] a+d 3a 3.A[设公差为d,则a1(a1十5d)=(a1十 2d2,把a=2代入可解得d=2 a,=2+(a-10x-7+ .S= 2计叶2-+故连4 2 4 4C[国为当=时，左瑞=1一司十片一司 1 十…十2-2元：当n=6+1时，左瑞=1 11 1 2k十2所以，左端应在n=k的基础上加上 1 1 2k+12k+2J ·5 5.C[.a3=1,a6 =gg-a=4 ∴.a1a2=8, an-1an 数列(aa+1}是以8为首项，寻为公比的 等比数列 a1十aea3十…十a,an+1=32(1-44.] 3 6.B[由S2=3a2+2,S4=3a4十2得a3十a4= 3a4一3a2,即q十q2=3q2-3,解得q=-1 (含)成9=是将g=是代入5=3a,+2中得 a+号4=3X号a+2,解得a=-1故选A] 3 7.ABC[因为数列{am}为等比数列，又a1·a4 =32,所以a2·a3=32,又a2十a3=12, a2=8, a2=4, 所以a=8,或a3=4,又公比g为整数， 1 q=2, 9=2' a2=4, 则a3=8, q=2, 即4，=2"，Sm=2X020）=2m+1-2, 1-2 对于选项A,由上可得q=2,即选项A正确； 对于选项B,S,十2=2m+1, m+1+22n+2 Sn+2=2m+=2, 则数列{Sm十2}是等比数列，即选项B正确： 对于选项C,S8=29一2=510，即选项C 正确； 对于选项D,lgam+1一lgam=(n十1)lg2-nlg2 =lg2,即数列{lgam}是公差为lg2的等差数 列，即选项D错误.故选ABC.] 8.AB[由数列{an}为等比数列可知， an =q,9≠0)， an-1 ,a近=q,故A正确：对于B, 对于A,， an-1 aant1=+1=g2≠0，故B正确：对于C, an-1an an-1 lga,一lga,-1=lg,a,=lg,为等差数列， an-1