寒假作业(十) 抛物线-【步步维赢·优练必刷】2025-2026学年高二数学寒假作业

高二数学寒假作 温=故知一新 1.抛物线的定义 (1)定义：平面内与一个定点F和一条定 直线（不经过点F)的 的点的轨 迹叫做抛物线， (2)焦点：定点F. (3)准线：定直线1. 2.抛物线标准方程的特点 (1)是关于x,y的二元二次方程， (2)饣的几何意义是 的 距离 3.抛物线的简单几何性质 y'=2px =-2px x'=2py x2=-2py 标准 (p>0) (p>0) (p>0) (p>0) 方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离 4 图象 F x≤0， x∈R, 范围 y∈R y≤0 对称轴 轴 轴 顶点 离心率 一精典题练 1.若抛物线广=2x的焦点与椭圆后 2 =1的右焦点重合，则的值为( A.-2 B.2 C.-4 D.4 2 业（十）抛物线 2.已知点A(一2,3)在抛物线C:y=2px 的准线上，记C的焦点为F,则直线AF 的斜率为 A.-4 B.-1 c-i D-号 3.过点(1,0)作斜率为一2的直线，与抛物 线y=8x交于A,B两点，则弦AB的长 为 ( A.2/13 B.2√/15 C.217 D.2/19 4.若直线y=k.x一2与抛物线y2=8x交于 A,B两个不同的点，抛物线的焦点为F, 且|AF,4,BF成等差数列，则k等于 A.2或-1 B.-1 C.2 D.1±√5 5.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物 线上的动点，点M为其准线上的动点，当 △FPM为等边三角形时，其面积为 ( A.2√3 B.4 C.6 D.4√3 6.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线 经抛物线反射后平行于抛物线的对称 轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光 线经抛物线反射后必过抛物线的焦点. 已知抛物线y2=4x的焦点为F,一条平 行于x轴的光线从点M(3,1)射出，经过 9 抛物线上的点A反射后，再经抛物线上 的另一点B射出，则直线AB的斜率为 ( A.、4 3 R营 n号 7.（多选)对标准形式的抛物线，下列条件 满足抛物线方程为y2=10x的有() A.焦点在x轴上 B.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距 离等于6 C.焦点到准线的距离为5 D.由原点向过焦点的某直线作垂线，垂 足坐标为(2,1) 8.（多选)经过抛物线y2=2px(p>0)的焦 点F的直线交抛物线于A,B两点，设 A(x1,y1),B(x2,y2),则下列说法中正确 的是 ( A.当AB与x轴垂直时，|AB最小 B.AF+BF可p C以弦AB为直径的圆与直线x=一号 相离 D.yy2=-p2 .抛物线y=一}：上的动点M到两定点 F(0,一1)，E(1,一3)的距离之和的最小 值为 10.抛物线y=4x上的点到直线x一y+4 =0的最小距离为 30 11.已知抛物线C:y=2x(p>0)过 点A(2,一4). (1)求抛物线C的方程，并求其准线 方程； (2)若点B(0,2),求过点B且与抛物线 C有且仅有一个公共点的直线1的 方程。 12.已知抛物线C:y=4x,过点(-1,0)的 :13.如图，已知点F为抛物 直线与抛物线C相切，设第一象限的切 线E:y=2x(p>0) 点为P. 的焦点，点A(2,m)在 (1)求点P的坐标； 抛物线E上，且|AF =3. (1)求抛物线E的方程； (2)若过点(2,0)的直线1与抛物线C相 交于两点A,B,圆M是以线段AB为直 (2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物 径的圆过点P,求直线（的方程. 线E于点B,证明：以点F为圆心且与 直线GA相切的圆，必与直线GB相切. ·3113.解：(1)由已知得c=2,e=2, 所以a=1,b=√3. 所以所求双曲线方程为2-兰=1 3 (2)设直线l的方程为y=x十m,点M(x1, y1),N(x2,y2). y=x十m, 联立 2=1整理得2c一2w0一 3=0.(￥) 设MN的中点为(0b),则0=1十2= 2 0=十m=,所以线段MN垂直平 m 分线的方程为 y--(-罗）即x+y2m-0. 与坐标轴的交点分别为(0,2m),(2m,0), 可得22m·12m=4,得m2=2 m=士√2，此时（￥）的判别式△>0，故直线1 的方程为y=x士√2. 高二数学寒假作业（十）抛物线 温故知新 1.(1)距离相等2.(2)焦点到准线 3.x≥0，y∈Rx∈R,y≥0xy O(0,0)e=1 精典题练 1.D[2=2x的焦点为（号0）小，而精周的右焦 点为(2,0)，由=2得p=4.故选D.] 2 2.C[抛物线的准线方程为x=一2，则焦点为 3-0=-3.] F(2,0).从而kAF=-2-24 3.B[设A(x1y1),B(x2y2). 由题意知：直线AB的方程为y=一2(x一1)， 即y=-2x+2. y=-2+2.得2-4x+1=0. 1y2=8x, 由 .x1十x2=4,x1·x2=1. .|AB1=√/1+k2)[(x1十x2)2-4x1x2] =√/(1+4)(16-4)=/5×12=2/15.] 4.C[设A（x1,y1),B（x2,y2).由 y=kx-2」 y2=8x “消去y, ·5 得k2x2-4(k十2)x十4=0， 故△=16(k+2)2-16k2=64(1+k)>0, 4(k十2) 解得k>一1，且x1十x2= 由AF到=+号=+2.BF到=x2+号 x2十2，且|AF,4,|BF成等差数列， 得x1十2十x2十2=8，得x1十x2=4, 所以4(k十2》=4，解得k=一1或k=2, k2 又k>-1,故k=2.] 5.D[如图，.△FPM是等边三角形， .由抛物线的定义知PM⊥U. 在Rt△MQF中，|QF|=2, ∠QMF=30°，∴.|MF|=4, ∴S△wr-X4=4V,故 4 选D.] 6.A[将y=1代入y2=4x,得x= 即A(,1小，由抛物线的光学性质可知，直线 AB经过焦点F(1,0),所以直线AB的斜率为 1-0=- 1一1 故选A门 4 7.ACD[抛物线y2=10x的焦，点在x轴上，A 满足；设M(1,yo)是抛物线y2=10x上一点， 则MF=1+号=1+号-名≠6，所以B不 满足；因为y2=10x中，p=5,所以焦点到准 线距离为5，所以C满足；由于抛物线y2= 10x的焦点为（侵0），设过该焦点的直线方 51 程为y=x一2)，若由原点向该直线作垂 线，垂足为(2,1)，则k=一2，此时直线存在， 所以D满足.所以满足抛物线y2=10x的 有ACD.] 8.ABD[过抛物线焦点的直线与抛物线相交， 其主要结论有：当AB与x轴垂直时，AB最 小A正痛：的十丽一名B正魔 1 y1y2=一p2,.D正确；以AB为直径的圆与 准线x=一号相切C错误，故选ABD.] 9.4[抛物线标准方程为x2=一4y,其焦点坐 标为(0，一1)，准线方程为y=1,则|MF的长 度等于点M到准线y=1的距离，从而点M 到两定点F,E的距离之和的最小值为点 E(1,一3)到直线y=1的距离.即最小值 为4.] 10.3② 2 [设与直线x一y十4=0平行且与抛 物线y2=4x相切的直线方程为x一y十m =0. xy+m=0,得x2+(2m-4)x十m 由2=4虹 =0, 则△=(2m-4)2-4m2=0,解得m=1, 即直线方程为x一y十1=0， 直线x一y十4=0与直线x一y十1=0的距 离为d= 4-1 =32 W12+(-1)2 2 即抛物线y2=4x上的，点到直线x-y十4=0 3√2 的最小距离为3号2] 11.解：(1)由抛物线C:y2=2px(p>0)过 点A(2,-4), 可得16=4p,解得p=4. 所以抛物线C的方程为y2=8x, 其准线方程为x=一2. (2)①当直线的斜率不存在时，x=0符合 题意 ②当直线l的斜率为0时，y=2符合题意. ③当直线l的斜率存在且不为0时， 设直线l的方程为y=kx十2. y=kx+2得ky2-8y十16=0. 由 y2=8.x 由△=64-64k=0,得k=1, 故直线l的方程为y=x十2，即x一y十2 =0. 综上，直线l的方程为x=0或y=2或x一y +2=0. 12.解：(1)由题意知可设过点(-1,0)的直线方 程为x=ty-1. x=ty-1 联立 1y2=4x 得：y2-4ty+4=0, 又因为直线与抛物线相切，则△=0， 即t=士1. .P为第一象限的切点，∴.t=1,故直线方程 为y=x十1，则联立得点P坐标为(1,2). (2)设直线l的方程为x=my十2， A(x1,y),B(x2y2), ·55 x=my+2 联立 1y2=4x 得：y2-4my-8=0, 则△>0恒成立， y1y2=-8,y1+y2=4m, 则x1x2= （y1y2)2 16 =4,x1十x2=m(y1+y2) +4=4m2+4. 由于圆M是以线段AB为直径的圆过点P, 则PA·PB=0, x1x2-(x1+x2)+1+y1y2-2(y1+y2)+4 =0, 4m2+8m十3=0，则m=一 3 2 则直线l的方程为y=一2x十4或y= 13.(1)解：由兆物线的定义得AF=2+. 由巴知AF=3,得2+号-3，解得=2. 所以抛物线E的方程为y2=4x. (2)证明：法一：如题图，因为点A(2,m)在抛 物线E:y2=4x上，所以m=士2√2，由抛物线 的对称性，不妨设A(2,2√2)， 由A(2,2√2)，F(1,0)可得直线AF的方程为 y=2√2(x-1). y=2√2(x-1), 由 y=4x, 得2x2-5x十2=0， 解得x=2或x-号从而B(分)， 又G(-1,0), 2√2-0_2√2 -√2-0 所以kc=2（-)=3,bcB= -1D 22 3 所以kGA十kGB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表 明，点F到直线GA,GB的距离相等， 故以F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直 线GB相切. 法二：如题图，设以，点F为圆心且与直线GA相 切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E: y2=4x上，所以m=士2√2，由抛物线的对称 性，不妨设A(2,2√2). 由A(2,2√2)，F(1,0)可得直线AF的方程为 y=2V2(x-1). 由/y=2v2(x-1D, y=4x, 得2x2-5x十2=0， 解得=2或一号 从而（分）： 又G(一1,0)，故直线GA的方程为2√2x-3y +2√2=0， 从而r=2E+2②_42 w/8+9 √17 又直线GB的方程为2√2x十3y十2√2=0， 所以点F到直线GB的距离d=2VE+2② √8+9 -42 r 17 这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆， 必与直线GB相切. 高二数学寒假作业（十一）数列的概念 温故知新 1.(1)顺序(2)每一个数aa2a,首项 2.序号n一个式子式子 3.(1)一个式子4.(1)一个式子这个式子 (2)a1+a2+…+am-1Sm-Sm-1 精典题练 1.C[经过验证知A、B、D均可以作为数列的 通项公式，只有C不符合.] 2.B[由a+1=2+1,a=1得，2=2+1=3， an a =名+1=号4，-忌+1=号做选这] a2 3.B[观察可知该数列的通项公式为am= √21（事实上，根号内的数成等差数列，首 项为1，公差为2)，令21=2n-1,解得n=11. 故选B.] 4.A[a10=S10-S9g.由条件知S1十S9=S10, ∴.a10=(S1+Sg)-Sg=S1=a1=1.故 选A.] 5.B[偶数项分别为2,8,18,32,50， 即2×1,2×4,2×9,2×16,2×25， 即偶数项对应的通项公式为a2m=22,则数 列的第18项为第9个偶数，即a18=a2×9=2 ×92=2×81=162.故选B.] ·5 6.C[.am+1+am=2n+1,∴.am+1-(n+1)= -(an-n), 即数列{am一n}是以1为首项，一1为公比的 等比数列， .an-n=（-1)n-1,∴.an=n十(-1)”-1， ∴.a2020=2020-1=2019.] 7.BCD[结合数列的定义与函数的概念可知， A正确；有穷数列的项数就是有限的，B错 误；数列的通项公式的形式不一定唯一，C错 误；数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…存在通 项公式，D错误.故选BCD.] 8.BC[a=f(3)=-1=含 =∫（告）=专-1=3： @=()=2×-1- 3: 6=f()=2×号-1= 1 ∴.从a3开始数列{am}是以3为周期的周期数 列，但数列{an}并不是周期数列，A错误，B正 确.a2020十a2021=a4十a5= 子，C正确，D蜡 误.故选BC.] 9.33 41 [因为an+1=am十2n, 所以am+1一am=21, 从而am一am-1=2(n-1)(n≥2). 所以a4-ag=2X3=6,a3一a2=2×2=4, a2-a1=2X1=2,a1=21, ∴.a4=6+4+2+21=33. an-a1=(am-an-1）+(an-1-an-2)十…十 (a3-a2)+(a2-a1)=2(n-1)+2(n-2)+ …+2×2+2×1=2×[1+2+…+(n-1)] =2×0n)10m=n2-n 2 而a1=21,所以am=n2-n十21， 则8=2-n+21=n+21-1. 17 n 因为f(n)=n+21-1在(0,4]递减， 在[5，十∞)递增， 当1=4时，0=33=8.25， 'n 4 6