寒假作业(三) 直线的倾斜角与斜率-【步步维赢·优练必刷】2025-2026学年高二数学寒假作业

高二数学寒假作业（三） 温一故一知一新 1.直线的倾斜角 前提条件 直线l与x轴 以 作为基准，x轴 与直线1 定义 的方向之间所成的角 α叫做直线l的倾斜角 当直线l与x轴 特殊 或 时，规定它的倾 情况 斜角为 取值范围 2.斜率公式 过两点P（x1,y),P2(x2,y2)(x1≠x2) 的直线的斜率公式为k= 一精一典题练 1.过点A(-√5，√2)与点B(一√2，√3)的直 线的倾斜角为 A.45 B.135 C.45°或135 D.60° 2.直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0 的两根，则11与2的位置关系是() A.平行 B.重合 C.相交但不垂直 D.垂直 3.直线y-2=-√3(x+1)的倾斜角及在y 轴上的截距分别为 ( A.60°，2 B.120°，2-√3 C.60°，2-√3 D.120°，2 ·8 直线的倾斜角与斜率 4.若点A(一1，一2)，B(4,8),已知AB的 方向向量为(1，k),则实数k的值为 A. B- C.2 D.-2 5.已知直线11，l2,L3的斜率分别是k1,2, k3,其中11∥12，且1，k3是方程2x2-3x 一2=0的两根，则k,十k2十k3的值是 A.1 B号 c D.1或号 6.设直线x十my十n=0的倾斜角度为0， 则它关于y轴对称的直线的倾斜角是 () A.0 B.-0 C.π-0 D.+0 7.(多选)下列说法正确的有 ( A.若两条直线的斜率相等，则这两条直 线平行 B.若1∥12，则k=k2 C.若两条直线中有一条直线的斜率不存 在，另一条直线的斜率存在，则这两条 直线垂直 D.若两条直线的斜率都不存在且两直线 不重合，则这两条直线平行 8.(多选)若两直线U1,l2的倾斜角分别为 a1,a2,则下列四个命题中错误的是 ( ) A.若a1<a2,则两直线的斜率：k<k2 B.若a1=a2,则两直线的斜率：k1=k2 C.若两直线的斜率：k<k2,则1<2 D.若两直线的斜率：k1=k2,则a1=a2 9.设P为x轴上的一点，A(一3,8)， B(2,14),若直线PA的斜率kpA是直线 PB的斜率kB的2倍，则点P的坐标为 10.已知直线11的倾斜角为60°，直线l2的 斜率k2=m2+√3-4，若L1∥12，则m的 值为 11.求证：A(1,一1)，B(-2,一7)，C(0,-3)三 点共线. ·9 12.如图，在□OABC中， O为坐标原点， 点C(1,3). (1)求OC所在直线的0 斜率； (2)过点C作CD⊥AB于点D,求直线 CD的斜率. 13.已知在□ABCD中，A(1,2),B(5,0), C(3,4) (1)求点D的坐标； ·10 (2)试判定□ABCD是否为菱形？因为SDC平面ABD所以AC⊥SD. (2)由(1)知AC⊥平面ABD, 所以AC⊥OP,AC⊥OD, 所以∠POD是平面PAC与平面ACD所成 二面角的平面角， 因数SD⊥平面PAC,OPC平面PAC, 所以SD⊥OP,设AB=a, √2 所以sin∠POD=sin∠OSD=-OD2 1 SD 2a 2' 因为∠POD为锐角，所以∠POD=30°，所以平 面PAC与平面ACD的夹角大小为30°. (3)存在，SE:EC=2:1,理由如下： 过B作BQ∥OP,交SD于M, 过M作EF∥AC,交SA于F,交SC于E, 连接BE, 所以平面AEF∥平面ACP,BEC平面 AEF,所以BE∥平面ACP, So -SC-OC=(2a)2-a 2 =6.a 2 M0=BO·∠MBO=BO.tan30°-VBa. 2 5_6·a 3 6 所以-050u00-2 高二数学寒假作业（三）直线的倾斜角与斜率 温故知新 1.相交x轴正向向上平行重合0° 0°<a<1809 2.2y x2一x1 精典题练 1.A[因为斜率=3-② =1,所以倾 -√2-(-√3) 斜角为45°.] 2.D[设1，l2的斜率分别为k1,k2,则有k1· k2=一1，从而直线1与2垂直.门 3.B[由方程y-2=-√3(x+1)得y= 一√3x十2一√3，.斜率k=一√3，在y轴上的 截距为2一√3，倾斜角为120°.] 4.C[AB的方向向量坐标为(4十1,8十2)，即 (5,10).又(1，k)也是AB的方向向量，.k= 0=2.] 5.D[由k1,k3是方程2x2-3x-2=0的两 1k1=2, 根，解方程得 k1=一2'或 k3=2 ,=- 又l1∥l2,所以k1=k2, 所以1十e十g=1或子] 6.C[设关于y轴对称的直线的倾斜角为α，则 有a十0=π，所以a=π一0.故选C.] 7.AD[根据两直线平行的判断，A正确，但B 不一定正确，因为有可能斜率均不存在；根据 垂直的判断，当一条直线斜率不存在，另一条 斜率为零时，两直线才垂直，故C不正确，D 正确.门 8.ABC[当1=30°，a2=120°，满足a1<a2,但是 两直线的斜率k1>k2,选项A说法错误；当 a1=a2=90°时，直线的斜率不存在，无法满足 k1=k2,选项B说法错误；若直线的斜率k1= -1,k2=1,满足k1<k2,但是a1=135°，2= 45°，不满足a1<a2,选项C说法错误；若k1= k2说明斜率一定存在，则必有a1=a2,选项D 正确.] 9.(-5,0)[设P(x,0),由条件kA=2kB,则 -3一x =2×4解得x=-5, 8 故P(-5,0).] 10.士2[由题意得m2十√5-4=tan60°=√5， 解得m=士2.] 11.证明：.A(1,-1),B(-2,-7),C(0,-3), k福=7二，1D=2,kc=二3（二) -2-1 0-1 =2...kAB=kAC. ,直线AB与直线AC的倾斜角相同且过同 一点A, .直线AB与直线AC为同一直线 故A,B,C三点共线. 12.解：(1)由针率公式得x=8=3 .OC所在直线的斜率为3. (2)因为OC∥AB,∴.kC=kAB. 又CD⊥AB,∴.kcD·kAB=3kcD=-1. “km=一子故直线CD的针率为一子 13.解：(1)设点D坐标为（a,b),因为四边形 ABCD为平行四边形，所以kAB=kCD,kAD =kBC (0-2=b-4」 5-1a-3 所以〈 b-24-0 解得/a=-1, 1b=6, a-13-51 所以D(-1,6). （2)因为x号16m-9与-1… 所以kAC·kBD=一1，所以AC⊥BD,所以 □ABCD为菱形. 高二数学寒假作业（四）直线的方程 温故知新 1.y-yo=k(x-xo)2.y=kx+b 3.Ax+By +C=0 精典题练 1.A[点M的坐标为(2,4)，点N的坐标为(3， 2,由两点式方强得》号-营号即2x十y 8=0.] 2.C[.两直线平行，.a(a-1)-2=0,解得a =一1或a=2,当a=2时，两直线重合，舍 去，当a=一1时两直线平行.故选C.] 3.D[由条件知，直线AO与AB的倾斜角互补，斜 率互为相反数，∴.k40=3,kAB=一3，由，点斜式 方程得y-3=-3(x一1).] 4.D[由ax十by十c=0,得斜率k=-分，直线 在xy轴上的栽距分别为一后，云由题 图，k<0,即-云<0，b>0.:-后>0， -云>0，ac<0,c<0.若<0，则a>0.b> 0:若c>0,则a<0,b0.] 5.B[.原点在直线l上的射影为点(2,1)， .直线L的斜率为k=一 二=二2.又点(2,1) 在直线l上， .所求的直线方程为y一1=一2(x一2)， 即2x+y-5=0.] 6.A[由已知可得2m-m2-1=0→m=1→k=1 →y一1=一1(x一2)→x十y-3=0,这就是所求 直线方程，故选A.] 7.BCD[A中，与坐标轴垂直的直线也不能用 截距式表示，故A错误；B中，AB的中点为 (4,1),那么A(8,0),B(0,2)的直线方程为 十岁=1，故B正确；C中，过原点时，直线为 ·4 y=x,不过原点时，直线为x十y=2,故C正 确D中，方程3x-2y=4可化为音+2=1 故D正确.] 8.ABC[A中，直线y=kx十b经过第一、二、 四象限，则k<0, b>0,∴.(k,b)在第二象限，正确.B中，直线可 写为y一2=a(x-3),所以直线过定点(3,2)， 正确.C中，根据点斜式方程知正确.D中，由斜 截式方程得y=一2x十3，错误.] 9.y=一3x十2[.直线y=一3x-4的斜率为 一3， 所求直线与此直线平行，∴.斜率为一3.又在y 轴上的截距为2，∴.由斜截式方程可得y= -3x+2.] 10.2x+y-9=0 [由两点式得号 名整理为2x十y9=0.又P》在 AB上， .x>0,y>0,.xy= (2)·y≤ (2)=×(号)-8当且仅当2x 9 y,即x= 9 4y=2时，等号成立. 所以罗的最大位为] 11.解：.直线y=-√3x十1的斜率k=一√5， ∴.其倾斜角a=120°， 由题意，得所求直线的倾斜角a1=4a=30°， 故所求直线的斜率1=an30°= 3 1)”所求直线经过点(W5,-1),斜率为 3, “所求直线方程是y+1=(x-. 3 2)~所求直线的斜率是3，在y轴上的截 距为-5， 3x5. 小所求直线的方程为y= 12.解：(1)设C(x,y),.A(-1,2),B(4,3) 三AC的中点坐标为M(,告)