寒假作业(七) 直线与圆、圆与圆的位置关系-【步步维赢·优练必刷】2025-2026学年高二数学寒假作业

高二数学寒假作业（七）直 一温故知-新 1.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y b)2=r2的位置关系及判断 位置关系 相交相切 相离 公共点个数 个 个 个 几何法：设圆心到直 线的距离 判 d=LAa+Bb+Cl d_rd_rd_r VA2+B2 定 代数法：由 方 (Axz+By+C=0, 法 (x-a)2+(y-b)2=r2,h_04_04_0 消元得到一元二次方程 的判别式△ 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法：若两圆的半径分别为1，r2, 两圆连心线的长为d,则两圆的位置关系 的判断方法如下： 位置 外离 外切 相交 内切 内含 关系 图示 d与 r1,r2 的关系 (2)代数法：通过两圆方程组成方程组的 公共解的个数进行判断. 圆C,方程 消元，一元二次方 圆C,方程 △>0→ 程△=0→ △<0→ ·20 线与圆、圆与圆的位置关系 一精=典题练 1.直线y=x十1与圆x2+y2=1的位置关 系是 () A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.相交且直线过圆心 D.相离 2.与3x十4y=0垂直，且与圆(x-1)2+y =4相切的一条直线是 () A.4x-3y=6 B.4x-3y=-6 C.4x+3y=6 D.4x+3y=-6 3.已知半径为1的动圆与定圆(x一5)2+ (y十7)2=16相切，则动圆圆心的轨迹方 程是 A.(x-5)2+(y+7)2=25 B.(x-5)2+(y+7)2=17或(x-5)2+ (y+7)2=15 C.(x-5)2+(y+7)2=9 D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+ (y+7)2=9 4.已知⊙O:x2+y2=5与⊙0：(x-a)2+y =r(a>0)相交于A,B两点，若两圆在 A点处的切线互相垂直，且|AB=4,则 ⊙O1的方程为 A.(x-4)2+y2=20 B.(x-4)2+y2=50 C.(x-5)2+y2=20 D.(x-5)2+y2=50 5.若直线x-my十m=0与圆(x-1)2+y =1相交，且两个交点位于坐标平面上不 同的象限，则的取值范围是( A.(0,1) B.(0,2) C.(-1,0) D.(-2,0) 6.若方程x2+y2+kx十2y十k=0所表示的 圆取得最大面积，则直线y=(k一1)x十2的 倾斜角α等于 A.45° B.135° C.60 D.120° 7.(多选)给出下列条件，能使直线ax十by 十c=0与圆x2+y2=4相交的条件是 A.2a2+2b2=c2 B.3a2+3b=c2 C.a2+b2=c9 D.4a2+4b=c2 8.(多选)已知直线y=x十b与曲线y=3一 √4x一x,下列说法正确的是 ( A.当b=1士2√2时，直线与曲线有且仅 有一个交点 B.当一1<b≤3时，直线与曲线有且仅有 一个交点 C.当1一2√2<b≤一1时，直线与曲线有 两个交点 D.当b>3或b<1一2√2时，直线与曲线 没有交点 9.设圆C:x2+y2-2x-2y-m=0与直线 y=x一4相切，则圆C的半径为 10.若⊙O:x2+y2=5与⊙0：(x-m)2+y2= 20(m∈R)相交于A,B两点，且两圆在点 A处的切线互相垂直，则实数m= ,线段AB的长度为 21 11.已知圆C的圆心与点P(一2,1)关于直 线y=x+1对称，直线3.x+4y-11=0 与圆C相交于A,B两点，且AB=6, 求圆C的方程. 12.求圆Cx2+y=1与圆C2:x2+y2-2x 2y十1=0的公共弦所在直线被圆C3: (x-1)2+(y一1)2=5所截得的弦长. 13.已知圆C:x2+y2-4x=0. (1)直线1的方程为x-√3y=0,直线l 交圆C于A,B两点，求弦长AB的值； ·22 (2)从圆C外一点P(4,4)引圆C的切 线，求此切线的方程.3.B[由圆的对称性知，圆心在直线y=x上， 故有一号-号即D-E] 4.D[将x2+y2-2x-8y+13=0整理得 (x-1)2+(y-4)2=4, 所以圆的圆心坐标为(1,4)， 所以圆心到直线ax十y一1=0的距离d= la+4-1山=√2， Wa2+1 整理得a2-6a-7=0,解得a=-1或a=7.] 5.B[圆的半径r=2.圆心(3，一1)到直线x= 一3的距离为6，∴.PQ的最小值为6一r=6 -2=4,故选B.] 6.D[由题意知k2十4-4(k2-15)>0,且点在 圆外，故12+22+k+2×2+k2一15>0，解得 3B<k×-8成2<k<5.] - 7.ACD[由(0-1)2+(2+2)2<25，知(0,2) 在圆内；由(3-1)2+(3+2)2>25知(3,3)在 圆外：由(-2-1)2+(2十2)2=25知(-2,2) 在圆上，由(4-1)2+(1+2)2<25知(4,1)在 圆内，故选ACD.] 8.ACD[圆x2+y2+2ax-2ay=0可化为(x 十a)2十(y-a)2=2a2.圆心坐标为(-a,a) 适合方程y=一x. ∴.A正确，不适合y=x,.B错误，把(0,0)代入 圆的方程适合，∴.C正确，又r2=2a2, ∴r=√2a,∴.D正确.故选ACD.] 9.(x-2)2+(y十3)2=34[设方程为(x-2)2 十(y+3)2=2,把点(-1,2)代入并解得 2=34,故方程为(x-2)2+(y十3)2=34.] 10.(2,-3)[由x2+y2-2x+2y-3=0,得(x 1)2+(y十1)2=5，所以圆心C(1,-1).设B (x0,yo),又A(0,1),由中点坐标公式 得0+0=2， yo+1=-2, 解得02. ”y0=-3, 所以点B的坐标为(2，一3).] 11.解：(1)r2=(2-4)2+(2-0)2=8, .圆的标准方程为(x-4)2十y2=8. (2)设圆心为C(0,b),则(3一0)2+（一4一 b)2=52,∴.b=0或b=-8, ∴.圆心为(0,0)或(0，一8)，又r=5, .圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y十 8)2=25. ·4 (3).圆心在y=一2x上， 设圆心为(a,-2a), 设圆心到直线x一y一1=0的距离为r 则r=a十2a-11 ① √2 又圆过点P(2,-1),∴.r2=(2-a)2+(-1 +2a)2, ② a=1, a=9, 由①②得 或 r=√2r=13√2， ∴.圆的标准方程为(x一1)2+(y十2)2=2或 (x-9)2+(y+18)2=338. 12.解：设圆心坐标为(a,一2a十3)，则圆的半径 r=√(a-0)2+(-2a+3-0)2 =/5a2-12a+9 6(a-+a-时 'min =35 5 故所求的方程为（一）十（一） 13.解：(1)圆的方程化为[x-(t+3)]2+[y+ (1-4t2)]2=1+6t-7t2. 由7-61-1<0得-7<<1. 故t的取值范国是(-7,1小 (2)由(1)知：圆的圆心坐标为(t+3,42一 1),半径为W1+6t-7t2 (3)r=√/-7t2+6t+1= √+ r的最大值为y,此时1=，圆的标准 方程为(x)°+(+》-9 高二数学寒假作业（七）直线与圆、 圆与圆的位置关系 温故知新 1.210<=>>= 2.d>r1+r2d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2|d<|r1-r2 相交内切或外切外离或内含 精典题练 ①B[:圆心到直线的距离==21) √1+12 且直线y=x十1不过圆心(0,0)，.直线与圆 相交但直线不过圆心.] 2.B[设与直线3x十4y=0垂直的直线方程为： 4x-3y+m=0,直线与圆(x一1)2十y2=4相 切，则圆心(1,0)到直线的距离为半径2，即 4+m=2m=6或m=一14，所以直线方 5 程为4x-3y十6=0，或4x-3y-14=0,由选 项可知B正确，故选B.门 3.D[动圆可能在定圆的外部，也可能在定圆 的内部，根据题意知，动圆圆心的轨迹应是(x 一5)2+(y+7)2=16的同心圆，半径分别为 3和5，故应选D.] 4.C[根据题意，⊙O的圆心O为(0,0)，半径 为5. ⊙O1的圆心O1(a,0),半径为r. ⊙O与⊙O1相交于A,B两点，且两圆在A 点处的切线互相垂直， ∴.(5)2+r2=a2. ① 又由AB1=4,则号×AB×001=方× 2 5Xr即1a=5 ② 由①@得5十2-5，解得产=20，a=5.故 ⊙O1的方程为(x-5)2+y2=20.] 5.D[圆与直线联立/x-1)2+y2=1, x-my+m=0, 整理得(1十)y-2m(m十1)y+2+2m=0, 图象有两个交点，方程有两个不同的实 数根，即△>0， △=4m2(m+1)2-4(m2+2m)(m2+1) =-8m>0,解得m<0. .圆(x一1)2十y2=1都在x轴的正半轴和原 点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符 号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在 第四象限. 12=72m<0· 解得一2<m<0,故选D.] 6.B[将圆x2+y2+kx+2y十k2=0化成标准 方程，得(x+会)+o+1)2=1-3张 4 2=1一3，当圆取得最大面积时，=0 半径r=1,因此直线y=(k一1)x十2，即y= 一x十2.得直线的倾斜角a满足tana=一1， .a=135°.] 7.ABC[由直线ax十by十c=0与圆x2+y=4 相交得<2，即c2<4(a2+62),选项 √a2+b2 A、B、C均满足c2<4(a2十b2),而D项是相切 的条件，故应选ABC.] 8.BCD[把y=3√4x-x2化成 为(x-2)2+(y-3)2=4,因为 0≤x≤4，y≤3，所以曲线表示 圆的下半部分，如图，C(2,3), A(0,3),B(4,3). 当y=x十b过A时，b=3,直线与曲线有且仅 有一个交点，当y=x十b过B时，b=一1，这 时直线与曲线有两个交点，当y=x十b与曲 线相切时，12-3+6=2，解得6=1一2V2(6 √2 =1十2√2舍去). .当b>3或b<12√2时，直线与曲线无交 点；当一1<b≤3或b=1-2√2时，直线与曲 线有且仅有一个交点；当1一2√2<b≤一1 时，直线与曲线有两个交点，故选BCD.] 9.2√2[：圆C:x2+y2-2.x-2y-m=0与直 线y=x一4相切，圆C的圆心C(1,1), 圆C的半径r= 1-1-4=22.] √1+1 10.士54[如图所示，在 Rt△OO1A中， 由已知条件知|OA|= W5,1O1A=2√5， .|OO1|=√/5+20=5，所以当圆O1在y轴 右侧时，m=5, 当圆O1在y轴左侧时，m=一5. ∴.m=士5.又AB⊥OO1, AC=5X25=2.故AB1=4.] 11.解：设点P关于直线y=x十1的对称点为 C(m,n), 1+n=一2十m+1, 2 2 则由 n-1 m+2 ·1=-1, 9 解得m=0, n=-1. 即C(0,-1) 故圆心C到直线3x十4y一11=0的距离 d=-4-1L=3, /9+16 所以圆C的半径的平方，2=2+AB 4 =18. 故圆C的方程为x2+(y+1)2=18. 12.解：设两圆的交点坐标分别为A(x1,y1), B(x2,y2), 则A,B的坐标是方程组 x2+y2=1, 的解， x2+y2-2x-2y+1=0 两式相减得x十y-1=0. 因为A,B两点的坐标满足x十y一1=0， 所以AB所在直线方程为x十y一1=0， 即C,C2的公共弦所在直线方程为x十y 1=0, 圆C3的圆心为(1,1)，其到直线AB的距离 d=,由条件知，2-=25-号-23 √2 4241 所以直线AB被圆C3藏得的弦长为2X√2图 2 =√23. 13.解：(1).圆C:x2+y2-4x=0, .圆心C(2,0),r=2, 2 圆心C到直线距离d1= =1, 12+(-5)2 .|AB=2√r2-d=25. (2)①当直线为x=4时，与圆相切，符合 题意. ②当斜率存在时，设斜率为k, .直线方程为y一4=k(x一4)， 即kx-y十4-4k=0, 圆心C到直线距离d2= 12k+4-4k √Wk2+1 =12k-41 √k2+1 ,直线与圆相切， d2=,即2k二4=2k=3 W2+1 ∴.直线方程为3x一4y十4=0， ∴.综上可知，切线方程为x=4或3x-4y十4 =0. ·5 高二数学寒假作业（八）椭圆 温故知新 1.两个定点两焦点间的距离半焦距 2.(-c,0)(c,0)(0,-c)(0,c)a2- 3.2b2aF1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c), F2(0,c)坐标轴原点A1(-a,0),A2(a,0) B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a) B1(-b,0),B2(b,0) 精典题练 1.C[若，点M到点F1,F2的距离之和恰好为 F1,F2两点之间的距离，则点M的轨迹不是 椭圆，所以前者不能推出后者.根据椭圆的定 义，椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数 2a,所以后者能推出前者，故前者是后者的必 要不充分条件，故选C.] 2.C[由标准方程知，椭圆的焦，点在y轴上，且 c2=169-25=144,∴.c=士12，故焦点为(0， 士12).] y=x+2, 8B法+号-1 消去y,整理得(3十m)x2十4mx十m=0. 若直线与椭圆有两个公共点， 3十m≠0， 则 △=(4m)2-4m(3+m)>0, 解得m≠-3， m<0或m>1. 由十1表示椭圆，知m>0且m≠3， 综上可知，m>1且m≠3，故选B.] 4.B[.2c=|F1F2|=23,∴.c=√3， .2a=|PF1|+|PF2|=2F1F2|=4√3， ∴.a=2√3. .b2=a2-c2=9. 故箱司C的标准方程是后+号=1成号+苦 =1.] 5.A[设椭圆右焦点为F(图略)，由椭圆的对 称性，知|P1F=P2F|,P2F|=P6F|, |P3F=|P5F|,所以原式=(|P?F|+ 1P?FI)+(IP6F|+IP6F1)+(|P5F|+ |P5F)+|P4F|=7a=35.] 6.C[当0<k<4时e=名- 写（合：