寒假作业(六) 圆的方程-【步步维赢·优练必刷】2025-2026学年高二数学寒假作业

高二数学寒假作业 一温故知-新 1.圆的标准方程 (1)圆的定义：平面上到 的距离等于 的点的集合叫 做圆，定点称为 ,定长称为圆的 (2)确定圆的要素是 和 如图所示： (3)圆的标准方程：圆心为A(a,b),半径 为r的圆的标准方程是 当a=b=0时，方程为x2十y2=r2,表示 以 为圆心、半径为r的圆. 2.点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x一a)2十(y一b)2=r2, 圆心A（a,b),半径为r.设所给点为 M(x,y),则 利用距 位置关系 利用方程判断 离判断 点M在圆上 AM=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点M在圆外 AM>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2 点M在圆内 AM< (x0-a)2+(y0-b)2<r2 3.圆的一般方程的概念 当 时，二元二次方程 x+y2+Dx十Ey十F=0叫做圆的一般 方程 4.圆的一般方程对应的圆心和半径 圆的一般方程x2十y2+Dx十Ey十F=0 (D十E一4F>0)表示的圆的圆心为 ,半径长为 17 (六) 圆的方程 一精典题练一 1.以两点A(一3，一1)和B(5,5)为直径端 点的圆的标准方程是 () A.(x-1)2+(y-2)2=10 B.(x-1)2+(y-2)2=100 C.(x-1)2+(y-2)2=5 D.(x-1)2+(y-2)2=25 2.已知三点A(1,0),B(0,√3)，C(2,√3)，则 △ABC外接圆的圆心到原点的距离为 号 B② 3 c.26 3 3.如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+ E2-4F>0)关于直线y=x对称，则有 () A.D十E=0 B.D-E C.D=F D.E-F 4.圆x2+y2-2x-8y十13=0的圆心到直 线a.x十y-1=0的距离为√2，则a= ( A.0或-1 B.0 C.7 D.-1或7 5.设P是圆(x-3)2+(y十1)2=4上的动 点，Q是直线x=一3上的动点，则PQ 的最小值为 A.6 B.4 C.3 D.2 6.若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x十y 十kx十2y十一15=0相切，则实数k的取 值范围是 ( A.k>2 B.-3<k<2 C.k<一3或k>2 D.以上都不对 7.(多选)下列各点中，不在圆(x一1)2十(y +2)2=25的外部的是 ( ) A.(0,2) B.(3,3) C.(-2,2) D.(4,1) 8.(多选)关于方程x2十y2+2ax-2ay=0 表示的圆，下列叙述正确的是 ( A.圆心在直线y=一x上 B.圆心在直线y=x上 C.圆过原点 D.圆的半径为√2a 9.与圆(x-2)2+(y+3)2=25同圆心，且 过点P(一1,2)的圆的标准方程为 10.已知圆C:x2+y2-2x+2y-3=0,AB 为圆C的一条直径，点A(0,1),则点B 的坐标为 11.求下列圆的标准方程： (1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)； ·18 (2)圆心在y轴上，半径为5，且过 点(3，-4)； (3)过点P(2,一1)和直线x一y=1相 切，并且圆心在直线y=一2x上. 12.若圆C经过坐标原点，且圆心在直线 y=一2x十3上运动，求当半径最小时圆 的方程. 13.已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1 4)y+16t+9=0表示一个圆. (1)求t的取值范围； ·19 (2)求这个圆的圆心坐标和半径； (3)求该圆半径r的最大值及此时圆的 标准方程，9.2√5[设A(x,0),B(0,y),因为AB的中点 为P(2,-1),所以受=2，受=-1， 所以x=4,y=-2,即A(4,0),B(0,-2), 所以|AB=√42+22=2√5.] 10.30°<a<90°[如图，直线1：2x十3y-6= 0过A(3,0),B(0,2) 3 而l过定点C(0,一√3)， (k>kAC 由图象可知 1k>0, 又kAC= 公 3 3 .l的倾斜角a的取值范围是30°<α<90°.] 11.解：法一：解方程组21y叶2=0 得1， x+y+1=0,y=0, 所以两条直线的交点坐标为（一1,0）. 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程 为y-0=3[x-(-1)],即3x-y+3=0. 法二：设所求直线为，因为过已知两条直 线的交点，所以直线l的方程可设为2x一y 十2十入(x十y十1)=0（其中入为常数），即（入 +2)x+(λ-1)y+λ+2=0①， 又直线1的斜率为3，所以一2-3，解得入 λ-1 =},将A=子代入①，整理得3x一y十3 =0. 12.解：解方程组 12x十y3=0,得交 x-y=0, 点P(1,1), (1)若直线与1平行， k1=2,.斜率k=2, .所求直线方程为y-1=2(x-1), 即2x-y-1=0. (2)若直线与l2垂直， 3 :k2=2 斜率k三一=一3， “所求直线的方程为y一1=号（红1》，即 2.x十3y-5=0. ·4 13.解：(1)由 3x-y+7=0, 2x+y+3=0, 降x2M2,1D y=1, .点M关于x轴的对称点P的坐标为 (-2,-1). (2)易知3经过点P与点N, 6的方程为。=2号 即x-3y-1=0. (3)设与4平行的直线为y=3x十b. 根据两平行线之间的距离公式， 1 6+ 3 得 =√10， 解得b=3或b=-1」 3 ∴.与直线3的距离为W√10的直线方程为y= 1x号或y=3x+3, 21 3x-3 即x-3y-11=0或x-3y十9=0. 高二数学寒假作业（六）圆的方程 温故知新 1.定点定长圆心半径(2)圆心 半径 (3)(x-a)2+(y-b)2=r2原点O 3.D2+E2-4F>0 4.(号，-) 名VD+E-4 精典题练 1.D[圆心坐标为(1,2)，半径r= √(5-1)2+(5-2)2=5，故所求圆的方程为 (x-1)2+(y-2)2=25.] 2.B[在直角坐标系中画出 c2.3) △ABC(如图)，利用两点间 的距离公式可得|AB= |AC=|BC引=2（也可以借 助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三 角形.设BC的中点为D,点E为外心，同时也 是重心，所以AE=号AD-2 3 从而OE=OA+1AE平=√1+专 I,故选B.] 3 3.B[由圆的对称性知，圆心在直线y=x上， 故有一号-号即D-E] 4.D[将x2+y2-2x-8y+13=0整理得 (x-1)2+(y-4)2=4, 所以圆的圆心坐标为(1,4)， 所以圆心到直线ax十y一1=0的距离d= la+4-1山=√2， Wa2+1 整理得a2-6a-7=0,解得a=-1或a=7.] 5.B[圆的半径r=2.圆心(3，一1)到直线x= 一3的距离为6，∴.PQ的最小值为6一r=6 -2=4,故选B.] 6.D[由题意知k2十4-4(k2-15)>0,且点在 圆外，故12+22+k+2×2+k2一15>0，解得 3B<k×-8成2<k<5.] - 7.ACD[由(0-1)2+(2+2)2<25，知(0,2) 在圆内；由(3-1)2+(3+2)2>25知(3,3)在 圆外：由(-2-1)2+(2十2)2=25知(-2,2) 在圆上，由(4-1)2+(1+2)2<25知(4,1)在 圆内，故选ACD.] 8.ACD[圆x2+y2+2ax-2ay=0可化为(x 十a)2十(y-a)2=2a2.圆心坐标为(-a,a) 适合方程y=一x. ∴.A正确，不适合y=x,.B错误，把(0,0)代入 圆的方程适合，∴.C正确，又r2=2a2, ∴r=√2a,∴.D正确.故选ACD.] 9.(x-2)2+(y十3)2=34[设方程为(x-2)2 十(y+3)2=2,把点(-1,2)代入并解得 2=34,故方程为(x-2)2+(y十3)2=34.] 10.(2,-3)[由x2+y2-2x+2y-3=0,得(x 1)2+(y十1)2=5，所以圆心C(1,-1).设B (x0,yo),又A(0,1),由中点坐标公式 得0+0=2， yo+1=-2, 解得02. ”y0=-3, 所以点B的坐标为(2，一3).] 11.解：(1)r2=(2-4)2+(2-0)2=8, .圆的标准方程为(x-4)2十y2=8. (2)设圆心为C(0,b),则(3一0)2+（一4一 b)2=52,∴.b=0或b=-8, ∴.圆心为(0,0)或(0，一8)，又r=5, .圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y十 8)2=25. ·4 (3).圆心在y=一2x上， 设圆心为(a,-2a), 设圆心到直线x一y一1=0的距离为r 则r=a十2a-11 ① √2 又圆过点P(2,-1),∴.r2=(2-a)2+(-1 +2a)2, ② a=1, a=9, 由①②得 或 r=√2r=13√2， ∴.圆的标准方程为(x一1)2+(y十2)2=2或 (x-9)2+(y+18)2=338. 12.解：设圆心坐标为(a,一2a十3)，则圆的半径 r=√(a-0)2+(-2a+3-0)2 =/5a2-12a+9 6(a-+a-时 'min =35 5 故所求的方程为（一）十（一） 13.解：(1)圆的方程化为[x-(t+3)]2+[y+ (1-4t2)]2=1+6t-7t2. 由7-61-1<0得-7<<1. 故t的取值范国是(-7,1小 (2)由(1)知：圆的圆心坐标为(t+3,42一 1),半径为W1+6t-7t2 (3)r=√/-7t2+6t+1= √+ r的最大值为y,此时1=，圆的标准 方程为(x)°+(+》-9 高二数学寒假作业（七）直线与圆、 圆与圆的位置关系 温故知新 1.210<=>>= 2.d>r1+r2d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2|d<|r1-r2 相交内切或外切外离或内含