寒假作业(九) 双曲线-【步步维赢·优练必刷】2025-2026学年高二数学寒假作业

高二数学寒假作 温故知新 1.双曲线的定义 (1)定义：平面内与两个定点F1,F2的距 离的 等于非零常数（小于 )的点的轨迹叫做双曲线 (2)焦点：两个定点 (3)焦距： 的距离，表示 为FF2. (4)双曲线就是下列点的集合：P={M MF|-MF2=2a,0<2a<F F2). 2.双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 方程 吾-芳-1 名1 (a>0,b>0) (a>0,b>0) M 图形 F O F F 焦点 F F, 焦距 |F1F2|=2c a,b,c c2= 的关系 3.双曲线的几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准 y r2 方程 (a>0,b>0) (a>0,b>0) 2 业（九） 双曲线 B 图形 或 或 范围 y∈ x∈ 对称 对称轴： 性 对称中心： 顶点 实轴：线段 ,长： 性 轴 虚轴：线段 ,长： 质 半实轴长：，半虚轴长： 离 心 e 率 渐 近 线 一精典题一练 1.已知平面内两定点A(一5,0)，B(5,0), 动点M满足|MA|一|MB=6,则点M 的轨迹方程是 A荒-苦- B洁 y =1(x≥4) 9 C =1 916 D.9-16 1(x≥3) 6 2.若ax2+by2=b(ab<0),则这个曲线是 A.双曲线，焦点在x轴上 B.双曲线，焦点在y轴上 C.椭圆，焦点在x轴上 D.椭圆，焦点在y轴上 3.若>1，则双曲线-y=1的离心率 的取值范围是 A.(√2，+∞) B.(√2,2) C.(1,√2) D.(1,2) 4,已知双曲线C: -义=1(a>0,b>0)的 b2 焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上， 则双曲线C的方程为 () A.-=1 205 520 _y C.8020) D00=1 风的线写 y 9 =1上的点P到一个焦点 的距离为12，则到另一个焦点的距离为 ) A.22或2 B.7 C.22 D.2 6过双消线号芳=1的有张点上作重在 ,2 于实轴的弦PQ,F,是左焦点，若∠PF,Q =90°，则双曲线的离心率是 () A.√2 B.1+√2 C.2+√2 D.3-√2 7.(多选)设0是三角形的一个内角，对于方 +y2 程n9cos2 =1的说法正确的是 A.当0<<牙时，方程表示椭圆 B.当=时，方程不表示任何图形 2 C.当登<0<下时，方程表示焦点在x轴 上的双曲线 D.当红<<π时，方程表示焦点在y轴 上的双曲线 8.(多选)关于双曲线C1:4x2-9y2=-36 与双曲线C2:4.x2-9y2=36的说法正确 的是 ) A.有相同的焦点 B.有相同的焦距 C.有相同的离心率 D.有相同的渐近线 9.已知双曲线过点(4，√3)，且渐近线方程 为y=士2x,则该双曲线的标准方程为 10.若方程2乙十m31表示双曲线： 、y9 则实数m的取值范围为 11.设圆C与两圆(x+√5)2+y2=4,(x一 √5)2十y2=4中的一个内切，另一个 外切. (1)求C的圆心轨迹L的方程； (2)已知点M 3545 5,5 F(5,0),且 13.已知双曲线C:无-=1(a>0,6>0 P为L上动点.求||MP|-FPI的最 的一个焦点是F(2,0),离心率e=2. 大值. (1)求双曲线C的方程； 12.求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1①一个焦点为(0,13).且离心率为号， (2)若斜率为1的直线1与双曲线C交 于两个不同的点M,N,线段MN的垂 直平分线与两坐标轴围成的三角形的 面积为4，求直线1的方程. (2)渐近线方程为y=士，且经过点 A(2,-3) ·28·13.解：(1)由AF1=3F1B,AB=4, 得AF1=3,FB=1. 因为△ABF2的周长为16， 所以由椭圆定义可得4a=16, |AF1+|AF2|=2a=8. 故AF2|=8-3=5. (2)设|F1B引=k,则k>0且|AF1|=3k, AB=4k. 由椭圆定义可得，AF2|=2a-3k,BF2|= 2a-k. 在△ABF2中，由余弦定理可得， 1AB|2=|AF2|2+|BF212-2|AF2|· BF2|·cos∠AF2B, 即4k2=(2a3k2+(2u-2-号(2a 3k)·(2a-k). 化简可得(a十k)(a一3k)=0,而a十k>0, 故a=3k. 于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k. 因此BF22=|F2A2+|AB2, 可得F1A⊥F2A, 故△AF1F2为等腰直角三角形. 从而c三2、 所以椭圆E的离心率e=S=② a 2 高二数学寒假作业（九）双曲线 温故知新 1.(1)差的绝对值F1F2|(2)F1,F2 (3)两焦点间 2.(-c,0)(c,0)(0,-c)(0,c) a2+2 3.x≤-ax≥aRy≤-ay≥aR 坐标轴原点A1(一a,0),A2(a,0)A1(0, -a),A2(0,a)A1A22aB1B22b a6名4，十∞）=士会=士8. 精典题练 1.D[由题意知，轨迹应为以A(一5,0)，B(5, 0)为焦点的双曲线的右支.由c=5,a=3,知 b2=16, 加点的锐花方红为号治-6≥.门 2.B[因为ab<0,方程可化为+y2=1, 5 :b<0,方程表示的曲线为焦点在y轴上的 a 双曲线，故选B.] 3.C[由题意得双曲线的离心率e=a+亘 a >1.01.11+3<2. .l<e<√2.故选C.] 4.A[双曲线C的渐近线方程为岩=0，又点 P2,D在C的近线上，所以号是=0，即 a2=4b2①. 又a2+b2=c2=25②. 由①②，得b2=5,a=20,所以双曲线C的方 程为号苦-1，故选A门 5.A[根据双曲线的方程得2a=2×5=10,由 定义知|PF1-12|=10,可解得|PF|=22 或2，故选A.] 6.B[由题意得：|PF2|=|F2F1I,P点满足 茶-1ay-0 c2_y2 ∴2c=2-a,由于C=√a2+6,即2ac= 6=2-,2=e-义e>0,te=1 +√2.] 7.BC[当0<0K受时，sin9>0,cos0>0,但当 0=平时，sin0=cos日>0表示圆，故A错误： 当日=受时，c0s=0,方程无意义，所以不表 示任何图形，故B正确：当受<Kx时，si血日 >0.0s00,所以不论受<0<经还是经<0 4 <π时，方程表示焦点在x轴上的双曲线，所 以C正确，D错误，故选BC.] 8,BD两方程均化为标准方程为￥-{一】 2=1 和二-兰-1，这里均有2-4+9=13，所以有 9 4 相同的焦距，而焦点一个在x轴上，另一个在 y轴上，所以A错误，B正确；又两方程的渐 近线均为=士号x,故D正确，G的离心率 ，C的离心率。=故C错民.] e=3 9.一y=1[法一：双曲线的渐近线方程 为y-士号， ∴.可设双曲线的方程为x2一4y2=入（入≠0）. .双曲线过点（4√3)， .λ=16-4×(wW5)2=4, “双南线的标准方程为置一=1。 法二：”渐近线y=方x过 42 43) 点(4,2)，而√3<2， ∴.点(4，√3)在渐近线y= 号的下方， 在y=方x的上方（如图. .双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方 =1(a>0,b>0). 由已知条件可得 (b=1 a 2, a2=4, 解得 163 (a2=1, 162=1, 双面线的标准方程为号=1] 10.(-3,2)U(3,+∞) [由题意有 n 12-m<0, 解得一3<m<2或m>3.所以实数m的取 值范围是(-3,2)U(3,十∞).] 11.解：(1)两圆的圆心分别为A(一√5,0)， B(5,0),半径为2，设圆C的半径为r.由题 意得|CA|=r-2,|CB|=r+2或|CA|=r 十2，CB=r一2，两式相减得CA一CB =-4或|CA-|CB=4,即|ICA|-CBI =4. 则圆C的圆心轨迹为双曲线，其中2a=4, c=5,b2=1, .圆C的圆心轨迹L的方程为 42-1. ·53 (2)由(1)知F为双曲线L的 一个焦点，如图，连接MF并 延长交双曲线于一点P,此时 IPM|-IPF|=IMFI为 I|PM-IFP||的最大值. 又M=同+( =2, .I|MP一|FP的最大值为2. 12.解：(1)由题意知双曲线的焦，点在y轴上，且 c=13, 因为￡=13 a-5 所以a=5,b=√c2-a2=12. 故所求双曲线的标准方程为茶一1 (2)法一：因为双曲线的渐近线方程 为y=士号 若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程 =1(a>0,b>0), ①. 因为点A(2,-3)在双曲线上，所以京一 49 =1 ② 联立①②，无解 若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程 为 b2 =1(a>0,b>0), ③ ,A(2,一3)在双曲线上， 号1 ④ 由③④联立，解得a2=8,b2=32. ·所求双曲线的标准方程为。一1 法二：由双曲线的渐近线方程为y=士2x, 可设双曲线方程为 22y2=(a≠0)， .A(2,一3)在双曲线上， “毫-（-32=即X=8 所求双曲线的标准方程为 y2 x2 832=1. 13.解：(1)由已知得c=2,e=2, 所以a=1,b=√3. 所以所求双曲线方程为2-兰=1 3 (2)设直线l的方程为y=x十m,点M(x1, y1),N(x2,y2). y=x十m, 联立 2=1整理得2c一2w0一 3=0.(￥) 设MN的中点为(0b),则0=1十2= 2 0=十m=,所以线段MN垂直平 m 分线的方程为 y--(-罗）即x+y2m-0. 与坐标轴的交点分别为(0,2m),(2m,0), 可得22m·12m=4,得m2=2 m=士√2，此时（￥）的判别式△>0，故直线1 的方程为y=x士√2. 高二数学寒假作业（十）抛物线 温故知新 1.(1)距离相等2.(2)焦点到准线 3.x≥0，y∈Rx∈R,y≥0xy O(0,0)e=1 精典题练 1.D[2=2x的焦点为（号0）小，而精周的右焦 点为(2,0)，由=2得p=4.故选D.] 2 2.C[抛物线的准线方程为x=一2，则焦点为 3-0=-3.] F(2,0).从而kAF=-2-24 3.B[设A(x1y1),B(x2y2). 由题意知：直线AB的方程为y=一2(x一1)， 即y=-2x+2. y=-2+2.得2-4x+1=0. 1y2=8x, 由 .x1十x2=4,x1·x2=1. .|AB1=√/1+k2)[(x1十x2)2-4x1x2] =√/(1+4)(16-4)=/5×12=2/15.] 4.C[设A（x1,y1),B（x2,y2).由 y=kx-2」 y2=8x “消去y, ·5 得k2x2-4(k十2)x十4=0， 故△=16(k+2)2-16k2=64(1+k)>0, 4(k十2) 解得k>一1，且x1十x2= 由AF到=+号=+2.BF到=x2+号 x2十2，且|AF,4,|BF成等差数列， 得x1十2十x2十2=8，得x1十x2=4, 所以4(k十2》=4，解得k=一1或k=2, k2 又k>-1,故k=2.] 5.D[如图，.△FPM是等边三角形， .由抛物线的定义知PM⊥U. 在Rt△MQF中，|QF|=2, ∠QMF=30°，∴.|MF|=4, ∴S△wr-X4=4V,故 4 选D.] 6.A[将y=1代入y2=4x,得x= 即A(,1小，由抛物线的光学性质可知，直线 AB经过焦点F(1,0),所以直线AB的斜率为 1-0=- 1一1 故选A门 4 7.ACD[抛物线y2=10x的焦，点在x轴上，A 满足；设M(1,yo)是抛物线y2=10x上一点， 则MF=1+号=1+号-名≠6，所以B不 满足；因为y2=10x中，p=5,所以焦点到准 线距离为5，所以C满足；由于抛物线y2= 10x的焦点为（侵0），设过该焦点的直线方 51 程为y=x一2)，若由原点向该直线作垂 线，垂足为(2,1)，则k=一2，此时直线存在， 所以D满足.所以满足抛物线y2=10x的 有ACD.] 8.ABD[过抛物线焦点的直线与抛物线相交， 其主要结论有：当AB与x轴垂直时，AB最 小A正痛：的十丽一名B正魔 1 y1y2=一p2,.D正确；以AB为直径的圆与 准线x=一号相切C错误，故选ABD.] 9.4[抛物线标准方程为x2=一4y,其焦点坐 标为(0，一1)，准线方程为y=1,则|MF的长