寒假作业(二) 空间向量的应用-【步步维赢·优练必刷】2025-2026学年高二数学寒假作业

高二数学寒假作业( 一温一故=知=新= 1.空间直角坐标系中的坐标 (1)空间直角坐标系中点的坐标：在单位 正交基底{i,j,k}下与向量OA对应的 ,叫做点 A在空间直角坐标系中的坐标，记作 A(x,y,z),其中x叫做点A的 y叫做点A的 ,之叫做点A 的 (2)空间直角坐标系中向量的坐标 在空间直角坐标系Oxy之中，给定向量 a,作OA=a.由空间向量基本定理，存在 唯一的有序实数组(x,y,x),使 .有序实数组(x,y,x) 叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐 标，上式可简记作a= 2.空间距离的向量求法 分类 图示 向量求法 为直线l的单位方向向 量，PE1,A∈l,Q∈1，A市 点 a,A泸在直线1上的投影 线 向量为A衣=(a·u)u,则 距 PQ=√/1A2|-Ad12 =√/a2-(a·u)2 空间向量的应用 设平面a的法向量为n, P年a,A∈a,PQ⊥a,Ad 点 在直线（上的投影向量 面 为AQ,则P点到平面a 距 的距离PQ= Ad·n AP n n n 3.异面直线所成的角 若异面直线11,12所成的角为0，其方向 向量分别是u,v,则cos0=cos(u,v>= u·v u y' 4.直线与平面所成的角 图示 sin0=|cos〈u,n〉= 公式 u·n un 5.平面与平面所成的角 平面与平面相交，形成四个二面 角，把这四个二面角中不大于90 定义 的二面角称为平面α与平面B的 夹角 图 示 cos0=cos(n1·n2〉= 公式 n1·n2 n1·n2 n nn nz 精=典题-练 1.在空间直角坐标系中，点A(一3,4,0)与 点B(2,-1,6)的距离是 ( A.2/43 B.2√/21 C.9 D.86 2.在空间四边形ABCD中，若向量AB= (-3,5,2),CD=(-7,-1,-4),点E, F分别为线段BC,AD的中点，则EF的 坐标为 A.（2,3,3) B.(-2,-3,-3) C.(5,-2,1) D.(-5,2,-1) 3.u=(2,一2,2)是平面α的一个法向 量，v=(1,2,1)是平面3的一个法向 量，则下列命题正确的是 A.a,B平行 B.a,B垂直 C.a,B重合 D.a,3不垂直 4.如图，在空间直角坐 2 标系中，正方体AB CDA,B,C,D的棱长 D 为1，BE=AB, 则BE等于 A.(0,}-1 B(-40,1 c(o,-子1 D.(0,-1) 5.已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3), B(2,-5,1),C(3,7,),若AB⊥AC,则入 等于 A.28 B.-28 C.14 D.-14 6.如图，在正方体 D ABCD-A B C D 中，以D为原点建 立空间直角坐标 系，E为BB,的中 点，F为AD1的中点，则下列向量中， 能作为平面AEF的法向量的是( A.(1,-2,4) B.(-4,1,-2) C.(2,-2,1) D.(1,2,-2) 7.(多选)下列各命题正确的是 A.点(1，一2,3)关于平面xOz的对称点 为(1,2,3) B.点(1，-3关于y轴的对称点 为(-21,3 C.点(2，一1,3)到平面yOz的距离为1 D.设{i,j,k}是空间向量的单位正交基底， 若m=3i-2j+4k,则m=(3,一2,4) 8.(多选)若向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1), 则下列结论正确的是 () A.cos(a,b)=- 5 B.a⊥b C.a∥b D.a=b 9.已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4), C(2,一2,3)，则AB与CA的夹角0的大小 是 10.已知A(1,2,0),B(0,1,-1),P是x轴上 的动点，当PA=PB时，点P的坐标 为 ;当AP·BP取最小值时，点 P的坐标为 11.棱长为1的正方体 0 ABCD-A1B,C1D1中，B E E,F,G分别为棱 DD1,DC1,BC的中 点，以{AB,AD,AA}为正交基底，求下 列向量的坐标： (1)A它，A市，AG: (2)EF,EG,DG. ·6 12.如图，在正四棱柱 D ABCD-A1B1C,D1中，A B 已知AB=2,AA1=5, E、F分别为D,D、B,B 上的点，且DE= B1F=1. (1)求证：BE⊥平面ACF; (2)求点E到平面ACF的距离. 13.如图，四棱锥 SABCD的底面 是正方形，每条侧 棱的长都是底面 边长的√2倍，P为 侧棱SD上的点. (1)求证：AC⊥SD. 。7 (2)若SDL平面PAC,求平面PAC 与平面ACD的夹角大小 (3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存 在一点E,使得BE∥平面PAC.若存 在，求SE：EC的值；若不存在，试说 明理由.9.2[由M、A、B、C四，点共面知：-2+1十λ=1， 即λ=2.] 10.2a-号b+c[Di=Dd +DM= AA+号(DA+DC)= +2(-AD+AB)= 11 2a-2b+c.] 11.解：(1)OB=OB+BB=OA+OC+Od=a +b+c. AC-AC+CC-AB+A0+AA-OC+ OO-OA=b+c-a. (2)法一：连接OG,OH(图略)， 则GH=G0+Oi=-OG+Oi= -2(08+0d+0B+00)= 2(a+b+c+b)+z(a+b+c+e) =c-b. 法二：连接0C(图略)，易得GHL2C0,则 ci=2cd-2od-00-2e-b). 12解，)因为a/b,将以2子 解得x=2,y=一4， 则a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).又b⊥c, 所以b·c=0,即一6十8-之=0， 解得x=2,于是c=(3,一2,2). (2)由(1)得a十c=(5,2,3), b+c=(1,-6,1), 设a十c与b十c夹角为0， 因此c0s0=5-12+3--2 √38·√38 19 13.(1)证明：设CA=a,CB=b,CC=c, 根据题意得|a=|b=|c,且a·b=b·c =c…a=0.C它=b+2c c花.Ai=(b+2c)·(-+260) =-c2+=0,G正1Ai. 即CE⊥A'D, (2)解：AC--a十c,.AC1=2a, ci-9a, AC.CE-(-a+e).(b+ze) -2c2-3a, ∴.cos(AC,CE)= -=V10 5×号a 101 .异面直线CE与AC所成角的余弦值 为细 高二数学寒假作业（二）空间向量的应用 温故知新 1.(1)有序实数组(x,y,)横坐标纵坐标 竖坐标(2)a=xi十yj十k(x,y,之) 精典题练 1.D[由条件知AB=(5,-5,6),.|AB1= √/25+25+36=√86.故选D.] 2.B[取AC中点M,连接ME,MF(图略)， 则证-专店-（多号1小，-号ò =(名2小 所以EF=MF-ME=(-2,-3,-3),故 选B.] 3.B[u·v=(2,-2,2)·(1,2,1)=2×1-2 ×2+2×1=0, u⊥，.平面a⊥平面.] 4.C[{DA,DC,DD1}为单位正交向量，BE= BB:+BE--DC+DD. “E-(o,-1门 5.D[AB=(-2,-6,-2), AC=(-1,6,λ-3)， AB⊥AC,.AB·AC=-2X(-1)-6×6 -2(入-3)=0，解得λ=-14.] 6.B[设正方体棱长为2，则A(2,0,0), E(2,2,1),F(1,0,2), ∴.AE=(0,2,1),AF=(-1,0,2), 设向量n=(x,y,之)是平面AEF的一个法 向量， n·AE=2y+x=0 则 ,取y=1, n·AF=-x+2之=0 得x=-4,之=-2，∴.n=（-4,1,-2)是平 面AEF的一个法向量. 因此只有B选项的向量是平面AEF的法向 量，故选B.] 7.ABD[“关于谁对称谁不变”，.A正确，B 正确，C中(2，一1,3)到面yOx的距离为2， .C错误.根据空间向量的坐标定义，D 正确.] 8.AD[.向量a=(1,2,0),b=(-2,0,1), ∴.a=5,1bl=√5， a·b=1×(-2)+2×0+0×1=-2, osab》=a1:76-号-号 由上知A正确，B不正确，D正确.C显然也 不正确.] 9.120°[AB=(-2,-1,3), CA=(-1,3,-2), cos(AB,CA)= (-2)×(-1)+(-1)×3+3×(-2)=-1 √14·√14 2 .0=(AB,CA)=120°.] 10.(号0,0）（分0,0） [因为点P在x轴 上，设P(x,0,0),由PA=PB, 则(x一1)2+4+0=2+1+1，解得x=号 点P的坐标为（侵0,0）： 又由于AP=(x-1,-2,0), BP=(x,-1,1). Ai.B前=x(x-1D+2=(x-）+子， ·当x=时，A户，B驴取最小值子，此时点 P的坐标为（分00] 11.解：在正交基底{AB,AD,AA1}下， 1)A护=号A店+Ai+AA,A店=Ai+ 号AA, ·43 AG-AB+2AD. ∴AE=-(01,)A=(分11 AG-(1,0 (2EF=AF-AE-A店+号AA, ∴E=(分0,2）： BG=AG-AE-AB-AD-号AA, G=(1,-分，)：DG-AG-AD A店-2Ai, “DG=(1,-0 12.(1)证明：以D为原点，DA、 DC、DD1的方向分别为x 轴、y轴、之轴的正半轴，建 立如图所示空间直角坐标 系，则D(0,0,0)、A(2,0, 0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、 D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4) ∴AC=(-2,2,0),AF=(0,2,4), BE=(-2,-2,1),AE=(-2,0,1). :BE·AC=0,BE.AF=0, .BE⊥AC,BE⊥AF, 且AC∩AF=A. ∴.BE⊥平面ACF. (2)解：由(1)知，BE为平面ACF的一个法向 量， 六点E到平面ACF的距高d=A店， BE 故点E到平面ACF的距离为哥 13.证明：(1)求证：连接BD、 交AC于O,连接OP、OS, 因为四边形ABCD是正方 形，所以AC⊥BD,AO= OC,又因为SA=SC,所以 AC⊥OS, 因为BD∩OS=0,所以AC⊥平面SBD, 因为SDC平面ABD所以AC⊥SD. (2)由(1)知AC⊥平面ABD, 所以AC⊥OP,AC⊥OD, 所以∠POD是平面PAC与平面ACD所成 二面角的平面角， 因数SD⊥平面PAC,OPC平面PAC, 所以SD⊥OP,设AB=a, √2 所以sin∠POD=sin∠OSD=-OD2 1 SD 2a 2' 因为∠POD为锐角，所以∠POD=30°，所以平 面PAC与平面ACD的夹角大小为30°. (3)存在，SE:EC=2:1,理由如下： 过B作BQ∥OP,交SD于M, 过M作EF∥AC,交SA于F,交SC于E, 连接BE, 所以平面AEF∥平面ACP,BEC平面 AEF,所以BE∥平面ACP, So -SC-OC=(2a)2-a 2 =6.a 2 M0=BO·∠MBO=BO.tan30°-VBa. 2 5_6·a 3 6 所以-050u00-2 高二数学寒假作业（三）直线的倾斜角与斜率 温故知新 1.相交x轴正向向上平行重合0° 0°<a<1809 2.2y x2一x1 精典题练 1.A[因为斜率=3-② =1,所以倾 -√2-(-√3) 斜角为45°.] 2.D[设1，l2的斜率分别为k1,k2,则有k1· k2=一1，从而直线1与2垂直.门 3.B[由方程y-2=-√3(x+1)得y= 一√3x十2一√3，.斜率k=一√3，在y轴上的 截距为2一√3，倾斜角为120°.] 4.C[AB的方向向量坐标为(4十1,8十2)，即 (5,10).又(1，k)也是AB的方向向量，.k= 0=2.] 5.D[由k1,k3是方程2x2-3x-2=0的两 1k1=2, 根，解方程得 k1=一2'或 k3=2 ,=- 又l1∥l2,所以k1=k2, 所以1十e十g=1或子] 6.C[设关于y轴对称的直线的倾斜角为α，则 有a十0=π，所以a=π一0.故选C.] 7.AD[根据两直线平行的判断，A正确，但B 不一定正确，因为有可能斜率均不存在；根据 垂直的判断，当一条直线斜率不存在，另一条 斜率为零时，两直线才垂直，故C不正确，D 正确.门 8.ABC[当1=30°，a2=120°，满足a1<a2,但是 两直线的斜率k1>k2,选项A说法错误；当 a1=a2=90°时，直线的斜率不存在，无法满足 k1=k2,选项B说法错误；若直线的斜率k1= -1,k2=1,满足k1<k2,但是a1=135°，2= 45°，不满足a1<a2,选项C说法错误；若k1= k2说明斜率一定存在，则必有a1=a2,选项D 正确.] 9.(-5,0)[设P(x,0),由条件kA=2kB,则 -3一x =2×4解得x=-5, 8 故P(-5,0).] 10.士2[由题意得m2十√5-4=tan60°=√5， 解得m=士2.] 11.证明：.A(1,-1),B(-2,-7),C(0,-3), k福=7二，1D=2,kc=二3（二) -2-1 0-1 =2...kAB=kAC. ,直线AB与直线AC的倾斜角相同且过同 一点A, .直线AB与直线AC为同一直线 故A,B,C三点共线. 12.解：(1)由针率公式得x=8=3 .OC所在直线的斜率为3. (2)因为OC∥AB,∴.kC=kAB. 又CD⊥AB,∴.kcD·kAB=3kcD=-1. “km=一子故直线CD的针率为一子 13.解：(1)设点D坐标为（a,b),因为四边形 ABCD为平行四边形，所以kAB=kCD,kAD =kBC