学易金卷：高二数学上学期期末模拟卷01（全国通用，测试范围：空间向量与立体几何、直线和圆的方程、圆锥曲线的方程、数列）

■■■ ■■■■ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C]D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) D B E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01（全国通用） 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B C A D A C A C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ABD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13．72 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 所以 ， ………………………………………3分 解得： ， ………………………………………5分 所以圆的标准方程为. ………………………………………6分 （2）当直线的斜率不存在时，， 此时圆心到直线的距离为5，等于半径，故满足题意； ………………………………8分 当直线的斜率存在时，设，即， 则点到直线的距离为圆的半径， 即， ……………………………………10分 解得，此时. ……………………………………12分 综上，直线l的方程为或. ………………………………………13分 16．（本小题满分15分） 【解】（1）因为是双曲线上一点， 可得，即为. ……………………………………2分 由题意可得，，， ………………………4分 可得，即有. ……………………………………6分 （2）由题意可得，，则双曲线的方程为， …………………………7分 易知直线斜率存在，设直线的方程为，， 联立直线与双曲线的方程，可得， 设，，则，①， ……………………………9分 又，可得②， ………………………………………11分 由①②可得，， ………………………………………13分 代入①可得，解得， ………………………………………14分 则直线的方程为. ………………………………………15分 17．（本小题满分15分） 【解】（1）∵ 当时， ……………………………………1分 当时，     ……………………………………3分 当时，符合上式， ∴ …………………………………5分 ∴； ……………………………………7分 （2）设 由（1）知     …………………………………8分 ∴ ………………………………10分 …………………………………12分 ∴ ……………………………………14分 ∴. ………………………………………15分 18．（本小题满分17分） 【解】（1）存在，点为中点， ……………………………………1分 理由如下：取线段AB的中点H，连接EH、HG、EG． ………………………………………2分 ∵，， ∴四边形AHEF是平行四边形，∴． 又∵平面AFC，平面AFC，∴平面AFC． …………………………………3分 ∵H、G分别为AB、BC的中点， ∴HG是的中位线，∴． ∵平面AFC，平面AFC，∴平面AFC． ……………………………………5分 ∵，HG、平面EHG， ∴平面平面AFC． ∵平面EHG，∴平面AFC． ………………………………………7分 （2）设， 由， 可得． ………………………………………8分 以E为坐标原点，EC、EB、EF所在直线分别为x、y、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 由题可知，，，， ，，． ……………………………………10分 设平面AFC的法向量为， 则， 令，得，， 所以平面AFC的一个法向量为． ……………………………………12分 设平面AFD的法向量为， 则， 令，得， 所以平面AFD的一个法向量为． ………………………………………14分 ， ………………………………………16分 由图可知二面角为锐角， 故二面角的余弦值为． ………………………………………17分 19．（本小题满分17分） 【解】（1）由， ………………………………………1分 所以，即， ………………………………………3分 故点P的轨迹为椭圆，且其方程为． ………………………………………4分 （2）设，， 联立， 故． ………………………………………7分 （ⅰ）当时，，， 故，故直线OD的方程为：，即． ……………………………9分 （ⅱ）又因为，， …………………………………10分 故 ． ……………………………………13分 联立，故， ………………………………………16分 故，故，，成等差数列． ………………………………………17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ……… ………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○ ……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01（全国通用） 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何、直线和圆的方程、圆锥曲线的方程、数列 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知是直线上一点，是直线的一个法向量，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知数列与均为等差数列，且，，则（    ） A．9 B．18 C．16 D．27 4．如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且满足，N为BC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 5．已知双曲线（，）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 6．在三棱锥中，，，，则点P到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 7．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号卫星运行的轨迹方程可为（  ） A． B． C． D． 8．已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等比数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 10．已知直线，下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．点到直线的最大距离为 C．直线一定经过第四象限 D．当时，直线关于直线的对称直线为 11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则（    ）    A．曲线有两条对称轴 B．曲线上的点到原点的最大距离为 C．曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为 D．四叶草面积小于 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 ． 13．若数列满足（其中，，为常数，），则称是以为周期，以为周期公差的“类周期性等差数列”.若“类周期性等差数列”的前4项为1，1，2，2，周期为4，周期公差为2，则的前16项和为 . 14．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知圆经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点作圆的切线，求该切线方程. 16．（本小题满分15分）双曲线：，已知是双曲线上一点，，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为1. (1)求双曲线的离心率； (2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程. 17．（本小题满分15分）已知数列的前项和，设． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 18．（本小题满分17分）在如图所示的多面体AFDCBE中，平面BCE，，，，，． (1)在线段BC上是否存在一点G，使得平面AFC？如果存在，请指出G点位置并证明；如果不存在，请说明理由； (2)当三棱锥的体积为8时，求二面角的余弦值． 19．（本小题满分17分）设，两个点的坐标分别为，．动点P满足，其中O为坐标原点．记动点P的轨迹为曲线C． (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)设点，过点的直线与曲线C交于A，B两点． （ⅰ）若直线m的斜率为，设线段AB的中点为D，求直线OD的方程； （ⅱ）设直线l的方程为，且直线m与直线l相交于点N，记MA，MN，MB的斜率分别为，，，证明：，，成等差数列． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01（全国通用） 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何、直线和圆的方程、圆锥曲线的方程、数列 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由抛物线，可得抛物线的标准方程为，所以抛物线的焦点坐标为. 故选B. 2．已知是直线上一点，是直线的一个法向量，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由是直线的一个法向量，可知直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即.故选：C 3．已知数列与均为等差数列，且，，则（    ） A．9 B．18 C．16 D．27 【答案】A 【解析】因为数列与均为等差数列，且，， 所以所以，则.故选：. 4．如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且满足，N为BC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，连接，  是的中点，， ，，．故选：． 5．已知双曲线（，）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由双曲线的离心率为，得，解得， 而曲线的渐近线方程为，即， 所以该双曲线的渐近线方程为.故选：A. 6．在三棱锥中，，，，则点P到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因，，， 设平面的法向量为，则，故可取， 所以点P到平面的距离为；故选C 7．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号卫星运行的轨迹方程可为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据椭圆的定义，设长轴长为2a，焦距为2c， 由题可知，，即万千米， 因为天平三号卫星，运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径为0.65万千米， 则，可得万千米，因此， 所以椭圆的方程为.故选：A. 8．已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的方程为，即，圆心为，半径， 则表示圆上的点与点的连线的斜率，过点作圆的切线方程， 显然，切线斜率存在，设切线方程为，即． 则，解得，所以的取值范围为．故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等比数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 【答案】ACD 【解析】设等比数列的公比为，则，所以，故A正确； 所以，则，， 显然，所以数列不是等比数列，故B错误； ，，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD. 10．已知直线，下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．点到直线的最大距离为 C．直线一定经过第四象限 D．当时，直线关于直线的对称直线为 【答案】ABD 【解析】对于A，，令，可得：， 所以直线过定点，故A正确； 对于B，直线过定点，当时，点到直线的距离最大， 且最大距离为，故B正确； 对于C，直线过定点，不一定经过第四象限，故C错误； 对于D，当时，直线， 设直线关于直线的对称直线为， 一定经过直线和直线的交点，设为， 由可得：，所以， 在直线上任取一点关于直线的对称点一定在上， 所以，解得：， 所以，在直线上， 所以，化简可得：，故D正确. 故选：ACD. 11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则（    ）    A．曲线有两条对称轴 B．曲线上的点到原点的最大距离为 C．曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为 D．四叶草面积小于 【答案】BCD 【解析】对于A：当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 综上可知：有四条对称轴，错误； 对于B：因为，所以，所以，所以， 取等号时，所以最大距离为，正确； 对于C：设任意一点，所以围成的矩形面积为， 因为，所以，所以， 取等号时，所以围成矩形面积的最大值为，正确； 对于D：由B可知，所以四叶草包含在圆的内部， 因为圆的面积为：，所以四叶草的面积小于，正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 ． 【答案】 【解析】因为直线过点，， 所以直线的方程为：，即， 因为与直线平行， 所以，所以两平行线间的距离， 13．若数列满足（其中，，为常数，），则称是以为周期，以为周期公差的“类周期性等差数列”.若“类周期性等差数列”的前4项为1，1，2，2，周期为4，周期公差为2，则的前16项和为 . 【答案】72 【解析】依题意，， ， ， ， 所以的前16项和为. 14．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是 ． 【答案】 【解析】过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得：，所以，故的周长的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知圆经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点作圆的切线，求该切线方程. 【解】（1）设圆的标准方程为， 因为圆经过和点，且圆心在直线上， 所以 ， ………………………………………3分 解得： ， ………………………………………5分 所以圆的标准方程为. ………………………………………6分 （2）当直线的斜率不存在时，， 此时圆心到直线的距离为5，等于半径，故满足题意； ………………………………8分 当直线的斜率存在时，设，即， 则点到直线的距离为圆的半径， 即， ……………………………………10分 解得，此时. ……………………………………12分 综上，直线l的方程为或. ………………………………………13分 16．（本小题满分15分）双曲线：，已知是双曲线上一点，，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为1. (1)求双曲线的离心率； (2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程. 【解】（1）因为是双曲线上一点， 可得，即为. ……………………………………2分 由题意可得，，， ………………………4分 可得，即有. ……………………………………6分 （2）由题意可得，，则双曲线的方程为， …………………………7分 易知直线斜率存在，设直线的方程为，， 联立直线与双曲线的方程，可得， 设，，则，①， ……………………………9分 又，可得②， ………………………………………11分 由①②可得，， ………………………………………13分 代入①可得，解得， ………………………………………14分 则直线的方程为. ………………………………………15分 17．（本小题满分15分）已知数列的前项和，设． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解】（1）∵ 当时， ……………………………………1分 当时，     ……………………………………3分 当时，符合上式， ∴ …………………………………5分 ∴； ……………………………………7分 （2）设 由（1）知     …………………………………8分 ∴ ………………………………10分 …………………………………12分 ∴ ……………………………………14分 ∴. ………………………………………15分 18．（本小题满分17分）在如图所示的多面体AFDCBE中，平面BCE，，，，，． (1)在线段BC上是否存在一点G，使得平面AFC？如果存在，请指出G点位置并证明；如果不存在，请说明理由； (2)当三棱锥的体积为8时，求二面角的余弦值． 【解】（1）存在，点为中点， ……………………………………1分 理由如下：取线段AB的中点H，连接EH、HG、EG． ………………………………………2分 ∵，， ∴四边形AHEF是平行四边形，∴． 又∵平面AFC，平面AFC，∴平面AFC． …………………………………3分 ∵H、G分别为AB、BC的中点， ∴HG是的中位线，∴． ∵平面AFC，平面AFC，∴平面AFC． ……………………………………5分 ∵，HG、平面EHG， ∴平面平面AFC． ∵平面EHG，∴平面AFC． ………………………………………7分 （2）设， 由， 可得． ………………………………………8分 以E为坐标原点，EC、EB、EF所在直线分别为x、y、z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系． 由题可知，，，， ，，． ……………………………………10分 设平面AFC的法向量为， 则， 令，得，， 所以平面AFC的一个法向量为． ……………………………………12分 设平面AFD的法向量为， 则， 令，得， 所以平面AFD的一个法向量为． ………………………………………14分 ， ………………………………………16分 由图可知二面角为锐角， 故二面角的余弦值为． ………………………………………17分 19．（本小题满分17分）设，两个点的坐标分别为，．动点P满足，其中O为坐标原点．记动点P的轨迹为曲线C． (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)设点，过点的直线与曲线C交于A，B两点． （ⅰ）若直线m的斜率为，设线段AB的中点为D，求直线OD的方程； （ⅱ）设直线l的方程为，且直线m与直线l相交于点N，记MA，MN，MB的斜率分别为，，，证明：，，成等差数列． 【解】（1）由， ………………………………………1分 所以，即， ………………………………………3分 故点P的轨迹为椭圆，且其方程为． ………………………………………4分 （2）设，， 联立， 故． ………………………………………7分 （ⅰ）当时，，， 故，故直线OD的方程为：，即． ……………………………9分 （ⅱ）又因为，， …………………………………10分 故 ． ……………………………………13分 联立，故， ………………………………………16分 故，故，，成等差数列． ………………………………………17分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01（全国通用） 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何、直线和圆的方程、圆锥曲线的方程、数列 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 2．已知是直线上一点，是直线的一个法向量，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．已知数列与均为等差数列，且，，则（    ） A．9 B．18 C．16 D．27 4．如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且满足，N为BC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 5．已知双曲线（，）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 6．在三棱锥中，，，，则点P到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 7．2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号卫星运行的轨迹方程可为（  ） A． B． C． D． 8．已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知等比数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 10．已知直线，下列说法正确的是（   ） A．直线过定点 B．点到直线的最大距离为 C．直线一定经过第四象限 D．当时，直线关于直线的对称直线为 11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则（    ）    A．曲线有两条对称轴 B．曲线上的点到原点的最大距离为 C．曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为 D．四叶草面积小于 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 ． 13．若数列满足（其中，，为常数，），则称是以为周期，以为周期公差的“类周期性等差数列”.若“类周期性等差数列”的前4项为1，1，2，2，周期为4，周期公差为2，则的前16项和为 . 14．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分）已知圆经过点和，且圆心在直线：上. (1)求圆的标准方程； (2)若过点作圆的切线，求该切线方程. 16．（本小题满分15分）双曲线：，已知是双曲线上一点，，分别是双曲线的左右顶点，直线，的斜率之积为1. (1)求双曲线的离心率； (2)若双曲线的焦距为，直线过点且与双曲线交于、两点，若，求直线的方程. 17．（本小题满分15分）已知数列的前项和，设． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 18．（本小题满分17分）在如图所示的多面体AFDCBE中，平面BCE，，，，，． (1)在线段BC上是否存在一点G，使得平面AFC？如果存在，请指出G点位置并证明；如果不存在，请说明理由； (2)当三棱锥的体积为8时，求二面角的余弦值． 19．（本小题满分17分）设，两个点的坐标分别为，．动点P满足，其中O为坐标原点．记动点P的轨迹为曲线C． (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)设点，过点的直线与曲线C交于A，B两点． （ⅰ）若直线m的斜率为，设线段AB的中点为D，求直线OD的方程； （ⅱ）设直线l的方程为，且直线m与直线l相交于点N，记MA，MN，MB的斜率分别为，，，证明：，，成等差数列． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $