2025-2026学年山东省青岛市西海岸新区自主招生考试数学-专题二十、圆（2）（适中版）

2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题二十、圆（2）（适中版） 一、单选题 1．如图，点为三边中垂线的交点，边上的中点分别为点，连接，如果边的长度分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定与性质、余弦的定义，由题意可得，点为该三角形的外接圆的圆心，连接、、，证明，同理可得：，，设圆的半径为，则，由余弦的定义得出，同理可得：，，即可得出答案． 【详解】解：如图，由题意可得，点为该三角形的外接圆的圆心，连接、、， ， 则由圆周角定理可得：， 垂直平分， ，， ， ， ， 同理可得：，， 设圆的半径为，则， ， 同理可得：，， ， 故选：D． 2．在中，半径为，弦上有一点，如果，那么的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理． 由可得，，过点作于点，连接，由垂径定理可得，从而根据勾股定理在中，，在中，． 【详解】∵， ∴， 过点作于点，连接， ∴， 在中，， ∵， ∴在中，． 故选：C 3．在中，半径为,弦，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，特殊角的三角函数值，过圆心点O作,垂足为点C，根据垂径定理，三角函数计算即可． 【详解】如图，过圆心点O作,垂足为点C， ∵, ∴,, ∵中，半径为, ∴, ∴, ∴, ， , 故选 C． 4．如图，两半圆的圆心点分别在直角的两直角边上，直径分别为，如果两半圆相外切，且，那么图中阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求图形面积，不规则图形的面积一般要转化为一些规则图形的面积的和差来求解．利用勾股定理求出的半径，证明弓形，弓形，利用割补法将阴影部分面积转化成，即可求解． 【详解】解： 如图，连接，，， 设半径为，则， 是等腰直角三角形， ，， 两半圆相外切， ， 在中，由勾股定理得， 解得：， ，、为两半圆直径， ， ，， 弓形，弓形， ． 故答案为：D． 5．如图，在中，，取的内心记为点O，分别作交于点M，交于点N，且．则下列说法：①；②四边形的面积为面积的2倍；③当时，的周长有最小值；④过点M、N，且以点O为圆心的圆是的外接圆．则下列说法不正确的是（   ） A．①②③ B．②④ C．③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，连接，过点O作于点D，E，根据点O为的内心，可判断④，证明，得到，求得，当作点N关于的对称点，连接，此时，但是，，可判断①，得到四边形的面积，则四边形的面积是定值，根据的形状不固定，则三角形的面积也不固定，可判断②，过点O作于点F，先求出的周长，则当最小时，即当时，的周长取得最小值，可判断③，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点O作于点D，E， 点O为的内心，即为三角形内切圆圆心，故④符合题意； ∴是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 当取点N关于的对称点，连接，此时，但是，，所以①的判断不一定正确，故①符合题意 ， ∴四边形的面积， 点D的位置固定， ∴四边形的面积是定值， ， 的形状不固定，三角形的面积也不固定，故②符合题意； 如图，过点O作于点F， ， ， ， 的周长， 当最小时，即当时，的周长取得最小值， 此时，， ， ， 是等边三角形， ， ∴当时，的周长有最小值，故③不符合题意， 故选：D． 6．为的外接圆，则必在上的是的（   ） A．外心关于的对称点 B．垂心关于的对称点 C．内心关于的对称点 D．重心关于的对称点 【答案】B 【分析】根据三角形垂心的反射性质，垂心关于某边的对称点必在外接圆上，即可解决． 【详解】A、外心O是外接圆的圆心，关于的对称点到的距离等于O到的距离，但到顶点的距离不一定等于半径，故不一定在上，故此选项不正确； B、根据几何定理，垂心关于某边的对称点必在外接圆上，故此选项正确； C、内心是角平分线交点，其位置由内角决定，对称点不一定满足外接圆上点到顶点的距离相等，故不在上，故此选项不正确； D、重心是中线的交点，与顶点的距离关系不满足外接圆半径，对称点也不在上，故此选项不正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查三角形的外心、垂心、内心、重心与其外接圆的关系，熟练掌握它们之间的区别和联系是解题的关键． 7．如图，是的垂心，、、分别交、、于、、，则是的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的垂心的概念及性质，三角形内心的定义，四点共圆的判定及圆的性质，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 利用三角形的垂心的性质推出，从而有C、D、H、E四点共圆，可得，同理可得，再利用直角三角形的性质和等量替换推出，可得平分，进一步可得点是三内角平分线的交点，所以点是的内心． 【详解】点是的垂心， ，，， 由，可得， ， C、D、H、E四点共圆， ， 同理可证B、D、H、F四点共圆， ， 又，， ， ， 平分， 同理可证平分，平分， 点是三内角平分线的交点，即点是的内心． 故选：A． 8．如图，在中,，以点A为圆心,长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接，则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质（等边对等角）及圆的半径相等的性质，解题的关键是利用圆的半径相等构造等腰三角形，结合直角三角形内角和逐步推导相关角度． 在中，根据两锐角互余求出的度数；由圆的半径相等得，利用等腰的性质求出的度数；进而求出的度数；再结合等腰的性质求出的度数． 【详解】解：连接， ∵在中， ∴ ∵以点A为圆心，长为半径作圆 ∴（圆的半径相等） 在中，∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 在中，∵ ∴ ∴ 故选：B． 9．如图，内接于，为直径，，，是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的推论以及相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键．利用垂径定理的推论得出，，根据勾股定理和线段间的数量关系进而得出的长，易证，从而得到，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：连接，交于点， 是的中点， ，， ， ， 是的中位线，， 为直径， ， 在中，，， ，， ， ， ， ， ． 故选：C． 10．如图，圆O为的外接圆，其中点D在弧上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理以及垂径定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 先根据圆周角定理求出和的度数，再由得出弧和弧相等，进而求出和的度数，最后通过角的和求出的度数． 【详解】解：连接、， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 11．如图，在中，直径，位于点两侧且垂直于直径的两条弦长分别为，，若点为直径上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据垂径定理可得，，根据两点之间线段最短，的长度即为所求，在中应用勾股定理，即可求解，本题考查了垂径定理，两点之间线段最短，已知弦长半径求弦心距，勾股定理，解题的关键是：找到的等长线段． 【详解】解：连接，交于点，过点作的垂线，垂足为点， ，是直径， 垂直平分弦， ， 的最小值， 弦心距， 弦心距， ，， ， 故答案为：． 12．如图，在中，是直径，是切线，点C、O的连线交于点的延长线交于点的延长线交于点F，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、圆的切线的性质、圆周角定理等知识，证明是解题的关键．连接，证明，则，证明，得到．由得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵是直径，是切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ． ， ， ， 解得（舍）或， ． 13．如图，为的外接圆，的延长线上有一点，使得，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数值、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质．连接，由于，那么可求，利用圆周角定理可求，而，那么是等边三角形，从而有，利用垂径定理可知是的垂直平分线，那么，而，则，于是有，，在中，利用三角函数值可求，在中利用的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可求． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ，是半径， ，，， 是的垂直平分线， ，， 在中，， 在中，． 故答案为： 14．如果一个三角形一边上的高与该边相等，我们称这个三角形为“等边高三角形”，这条边就叫做“高边”．若等边高（为锐角三角形）内接于是高边，交于点，交于点，，则的直径为 ． 【答案】 【分析】先根据题意画出图形，连接，利用相似三角形可得出的长，再连接并延长，交于点，利用即可解决问题． 【详解】解：如图所示，连接， ， ， 又， ， ， 又，，， ， 解得， ． 在中，． 在中，． 连接交于点，连接， 是的直径， ， ． 又， ， ， ，即， ， 即的直径为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质、圆周角定理、垂径定理及勾股定理，能由所给图形构造出相似三角形是解题的关键． 15．如下图，是圆的直径，为的中点，为上一点，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理及推论，勾股定理，等腰三角形的性质和判定， 先连接作，可得，进而得，然后根据勾股定理求出，可得，再根据勾股定理求出即可得，最后根据得出答案. 【详解】解：连接过点C作，交延长线于点D， ∵点C是的中点， ∴. ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴. 在中，， 即， 解得， 则. 在中，， 即， 解得， ∴. 根据勾股定理，得. 在中，， ， 解得. 故答案为：. 三、解答题 16．如图，在中，，连接． (1)求证：； (2)过点作交的延长线于点，若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)16 【分析】本题考查了垂径定理、中位线的判定与性质，勾股定理和垂直平分线的判定，熟练掌握垂径定理，勾股定理和垂直平分线的判定的应用是解题的关键． （）连接，，根据垂直平分线的判定即可求证； （）延长交于点，根据，，可得，从而得到，进而得到，可得到是的中位线，设，则，根据，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∵， ∴所在的直线是的垂直平分线， 延长交于点E， ∴ ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 17．如图，是的直径，C是上的一个动点，延长至P，使，垂直于弦，垂足为点B，点D在上． (1)当与相切时，求的度数； (2)当D在上运动时，的比值是否为定值？若为定值，请求出定值；若不为定值，请说明理由． (3)设，求与之间的函数关系式． 【答案】(1) (2)为定值，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了直角三角形的性质、圆周角定理的推论、相似三角形的性质、正切的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）当是的切线时，则，再利用直角三角形斜边 的中线等于斜边的一半，得出，即可由等腰三角形的判定定理得出结论； （2）连接，是的直径，，证明，∽，进而即可求解； （3）连接，根据题意得出，证明∽，因为，代入即可求解． 【详解】（1）解：当是的切线时，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：为定值，理由如下： 如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴∽， ∴， ∵， 则， 即， ∴； （3）解： ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴∽， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．如图所示，直线的解析式为，并且与轴、轴分别相交于点A、B． (1)求A、B两点的坐标． (2)一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位每秒的速度向轴正方向运动，问什么时刻该圆与直线相切． (3)在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿方向以0.5个单位／秒的速度运动，问在整个运动的过程中，点P在动圆的圆面（圆上和圆的内部）上一共运动了多少时间？ 【答案】(1) (2)时间为秒和秒 (3)秒 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，点到圆的距离，一次函数的性质，切线的性质，解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法． （1）分别令；，即可求出、的坐标； （2）可设动圆的圆心在处时与直线相切，设切点为，连接，则，，得到，利用相似三角形对应边的比等于相似比，可得，即，求出的值，即可得到此时的值，利用的长度结合速度即可求出时间；根据对称性，圆还可能在直线的右侧，与直线相切，此时，； （3）可设在秒时，动圆的圆心在点处，动点在处，此时，，点的坐标为，连接，当时，点在动圆上，当时，点在动圆内，而当时，由对称性可知，有两种情况：①当点在轴下方时，，解之可得的值，②当点在轴上方时，，解之得的另一个值，进而可得到当时，，并且此时点在动圆的圆面上，所经过的时间为． 【详解】（1）解：在中，令，得； 令，得， 故得、两的坐标为，； （2）解：若动圆的圆心在处时与直线相切，设切点为，如图所示，连接，则． ，， ， ，即， 则． 此时， （秒． 根据对称性，圆还可能在直线的右侧，与直线相切， 此时． （秒． 综上，秒时或秒时该圆与直线相切； （3）解：设在秒时，动圆的圆心在点处，动点在处，此时，，点的坐标为，连接， ，， ， ， ， 点的横坐标为， 点在直线上， 点的纵坐标为， 可见：当时，点在动圆上，当时，点在动圆内． 当时，由对称性可知，有两种情况： ①当点在轴下方时，，解之得：； ②当点在轴上方时，，解之得：． 当时时，，此时点在动圆的圆面上，所经过的时间为． 19．如图，设四边形内接于，为的直径，E为上一点，若， (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查圆综合．熟练掌握圆周角定理，等腰三角形性质，线段垂直平分线判定和性质，相似三角形判定和性质，勾股定理，是解题的关键． （1）根据平行线和等腰三角形性质得，得，即得； （2）连接，过A点作于F，证明，，可得，求出，即得． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （2）解：连接，过A点作于F，如图． 则． ∵， ∴垂直平分． ∵， ∴． ∵为直径， ∴． ∵， ∴． ∴． 即． ∴． 在中，， ∴． 20．如图，为的直径，四边形内接于，交于点，的切线交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等可得，由得，根据等角对等边可得结论； （2）先证明，，由证明，得，；再求，，再证明得，利用可得结论. 【详解】（1）解：在中，∵与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴． ∴． （2）解：∵是的切线，是的直径， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴． ∵ ∴， ∴，． 在中，∵，， ∴，即． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∵，且， ∴， ∴，即． ∵与都是所对的圆周角， ∴． 在中，， ∴，即． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确地识别图形是解题的关键． 试卷第26页，共27页 试卷第27页，共27页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题二十、圆（2）（适中版） 一、单选题 1．如图，点为三边中垂线的交点，边上的中点分别为点，连接，如果边的长度分别为，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，半径为，弦上有一点，如果，那么的长为（    ）． A． B． C． D． 3．在中，半径为,弦，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 4．如图，两半圆的圆心点分别在直角的两直角边上，直径分别为，如果两半圆相外切，且，那么图中阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 5．如图，在中，，取的内心记为点O，分别作交于点M，交于点N，且．则下列说法：①；②四边形的面积为面积的2倍；③当时，的周长有最小值；④过点M、N，且以点O为圆心的圆是的外接圆．则下列说法不正确的是（   ） A．①②③ B．②④ C．③④ D．①②④ 6．为的外接圆，则必在上的是的（   ） A．外心关于的对称点 B．垂心关于的对称点 C．内心关于的对称点 D．重心关于的对称点 7．如图，是的垂心，、、分别交、、于、、，则是的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 8．如图，在中,，以点A为圆心,长为半径作圆，交于点D，交于点E，连接，则的度数为(    ) A． B． C． D． 9．如图，内接于，为直径，，，是的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 10．如图，圆O为的外接圆，其中点D在弧上，且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在中，直径，位于点两侧且垂直于直径的两条弦长分别为，，若点为直径上任意一点，则的最小值为 ． 12．如图，在中，是直径，是切线，点C、O的连线交于点的延长线交于点的延长线交于点F，若，则的值为 ． 13．如图，为的外接圆，的延长线上有一点，使得，若，则 ． 14．如果一个三角形一边上的高与该边相等，我们称这个三角形为“等边高三角形”，这条边就叫做“高边”．若等边高（为锐角三角形）内接于是高边，交于点，交于点，，则的直径为 ． 15．如下图，是圆的直径，为的中点，为上一点，若，，则 ． 三、解答题 16．如图，在中，，连接． (1)求证：； (2)过点作交的延长线于点，若，求的长． 17．如图，是的直径，C是上的一个动点，延长至P，使，垂直于弦，垂足为点B，点D在上． (1)当与相切时，求的度数； (2)当D在上运动时，的比值是否为定值？若为定值，请求出定值；若不为定值，请说明理由． (3)设，求与之间的函数关系式． 18．如图所示，直线的解析式为，并且与轴、轴分别相交于点A、B． (1)求A、B两点的坐标． (2)一个圆心在坐标原点、半径为1的圆，以0.4个单位每秒的速度向轴正方向运动，问什么时刻该圆与直线相切． (3)在题（2）中，若在圆开始运动的同时，一动点P从B点出发，沿方向以0.5个单位／秒的速度运动，问在整个运动的过程中，点P在动圆的圆面（圆上和圆的内部）上一共运动了多少时间？ 19．如图，设四边形内接于，为的直径，E为上一点，若， (1)求的长； (2)求的面积． 20．如图，为的直径，四边形内接于，交于点，的切线交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的值． 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