2025-2026学年山东省青岛市西海岸新区自主招生考试数-专题十、三角函数（适中版）

2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题十、三角函数（适中版） 一、单选题 1．如图，已知等腰梯形，腰，对角线，且梯形的面积为，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过A作 ，交延长线于M， 作于N，根据等腰梯形的性质可得，可证四边形是平行四边形，进而可证是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，则，根据三角形的面积可得，根据正弦的定义即可得解． 【详解】解：过A作 ，交延长线于M，作于N， 四边形是等腰梯形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角函数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 2．如图，在反比例函数图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第一象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】作轴于点，作轴于点，连接，则有，根据反比例函数的对称性可得，结合得到，进而推出，利用相似三角形的性质以及正切的定义可得，再利用反比例函数系数的几何意义即可求解． 【详解】解：如图，作轴于点，作轴于点，连接， 则有， ∴， 由题意得，点关于原点对称， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，， ∵点在反比例函数图象上，点始终在函数的图象上运动， ∴，， ∴， ∴， ∵点在第一象限， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合、相似三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、锐角三角函数的定义，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 3．如图，中，D为上一点，，， ，则的长是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题由已知的值，可以想到构造直角三角形；由是等腰三角形，可以尝试构造三线合一，所以作两条辅助线：过点D作于点E，过点B作于点F． 根据利用相似三角形及比例线段等建立方程组求解． 【详解】解：如图，过点D作于点E，过点B作于点F，    ∵中，， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴． 设，，则， 由作图可知，， ∴ ， 即： ①， 在中 ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 即： ， ∴ ， 在中，根据勾股定理得， ， 即：， ①②两式联立： ， 解得： （负值舍去），     ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 4．如图，在四边形中，，如果，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，得到四边形为矩形，由可得，解直角三角形可得，进而可求出，求出的正切值，即可求解，掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 则， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ， ，， ， ， 故选：． 5．在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，作的中垂线交于点，则，由，建立方程求解即可． 【详解】解：如图，作的中垂线交于点，连接，则， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 故选：C． 6．在中，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个角的余弦值，正确作出辅助线是解题的关键，过点C作于点D，根据勾股定理列式计算，得，解得再根据代入数值计算化简，即可作答． 【详解】解：过点C作于点D， 设 则， 由， 得， 解得 舍去， 所以． 故选：D 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，且在第一象限，点D为对角线的交点，曲线与的延长线相交于点E，若点，则以下结论不正确的是（    ） A．曲线的解析式为 B．点E的坐标是 C． D． 【答案】A 【分析】本题是反比例函数的综合题，涉及到菱形的性质及反比例函数的性质，锐角三角形的定义，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 过点C作轴于点F，根据菱形面积得出A点坐标，即可求出的长度，再由勾股定理求出长度，即可得出点C的坐标，进而得出点D的坐标，即可判断选项A；将点E的纵坐标代入反比例函数解析式即可判断B选项；根据正弦的定义求出，即可判断C选项；由勾股定理求出，进而计算，即可判断D选项． 【详解】如图，过点C作轴于点F，    ∵， ∴，菱形边长为10， ， ， ∴点， ∴点D的坐标为，即， 将其代入，得，即，故A错误； 由题意得，点E的纵坐标为8， 当时，， ∴，故B选项正确； ∵， ∴，故C选项正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 故选：A． 8．如图，正方形的边长为，把分别绕点按顺时针方向旋转得到，的延长线交于点，现有下列结论：①四边形为菱形；②四边形的面积为正方形面积的一半；③．其中正确的结论有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的性质．①根据旋转角是以及正方形的四个角都是直角可得，然后证明，据此即可证明四边形是菱形；②先求得点到的距离，然后根据正方形的面积公式以及菱形的面积即可证明；③先求出的长度，再根据菱形的对边相等，减去正方形的边长即可． 【详解】解：①根据题意，， 四边形是正方形， ， ， ， ∴， 又， 四边形是平行四边形， （正方形的边长相等）， 四边形是菱形，故①正确； ②，， 点到的距离是：， ， ， ，故②正确； ③点是的中点， ， ，故③正确． 故选：A． 二、填空题 9．如图，取一张长方形纸片，长，宽，沿着对折，使点落在上，则 ， 度． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，解直角三角形等知识，先根据翻折变换的性质及矩形的性质得到，由勾股定理即可求出的长，进而可求出的长，再设，在中，利用勾股定理即可求出的长，再利用锐角三角函数的定义求出的正切值即可求出的度数，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：是沿直线翻折而成， ，， 在中，， ， 设，则，在中，， 即， 解得：， ， ， 是直角三角形， ， 故答案为：． 10．为锐角，当无意义时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式无意义的条件，特殊角三角函数值的应用，根据分式无意义可得，继而求得的值，再代入，最后根据二次根式的加法可得答案．掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵无意义， ∴，即， ∵为锐角， ∴， ∴ ． 故答案为：． 11．在中，，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求角的余弦值、勾股定理、等角对等边，过作交于，设，则，由勾股定理求出，再由余弦的定义求解即可． 【详解】解：如图：过作交于， 设， ∵，， ∴， ∴由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．如图，在中，，，，将绕着点A旋转得到，点B的对应点D落在边上，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形．解直角三角形求得，，由旋转的性质求得，过点A作于点H，在中，解直角三角形即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵绕着点A旋转得到，点B的对应点D落在边上， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， 如图，过点A作于点H， 则，在中， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，设为正三角形，边长为，，，分别在，，边上，且．连，，两两相交得到，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是面积及等积变换，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，能根据题意得出，再由相似三角形的性质得出答案是解答此题的关键．先根据为正三角形，边长为，且得出，，再求出及的面积，由相似三角形的性质可求出的面积，进而可得出答案． 【详解】解：如图， 过点作于点， ∴，， ∴ 在中， 为正三角形，边长为， ，，， ， ，， ，其相似比为， ， ， ∴， 故答案为：． 14．如图，在正方形中，，与交于点，是的中点，点在边上，且，为对角线上一点，当对角线平分时，的值为 .    【答案】 【分析】本题主要考查正方形的性质和三角函数的定义；过点作于点，设，易得，，，，由，得，分两类情况：①当点在线段上时，②当点在线段上时，分别列出方程，求出的值，进而求出答案 【详解】解：过点作于点，设， 四边形是正方形， ， ∴和是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ∵四边形是正方形， ∴， 是的中点， ， 对角线平分， ， ， ①当点在线段上时，如图，，解得：（舍去），    ②当点在线段上时，如图，，解得：，   ，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 15．如图，在矩形中，，过上的动点（点与端点不重合）作，交于点，再把沿翻折，点的对应点为点，设，与矩形重叠部分的面积为． (1)求当为何值时，点落在边上？ (2)求出与之间的函数关系式，并求出当为何值时，？ 【答案】(1) (2)，当时， 【分析】（1）设，先算出，则，解得，即可作答． （2）当点落在矩形内部或边上时，与矩形重叠部分的面积即为的面积，整理得，当点落在矩形外部时， 设分别交于点，此时，并结合图形以及线段的和差运算，得，代入数值进行计算，分析，解得或，结合取值范围进一步分析，即可作答． 【详解】（1）解：当点落在边上时，把沿翻折，点的对应点为点，再把沿翻折，点的对应点为点， ， ∵四边形是矩形 ∴ ， ， 即， 解得． （2）解：当点落在矩形内部或边上时，与矩形重叠部分的面积即为的面积， 则 ． 当点落在矩形外部时， 设分别交于点，此时，如下图： ， ， ， ， 即当时，． 综上，与之间的函数关系式为 ， 而当时，随的增大而增大，，即此时不可能得到； 当时，由得， 解得或， 而不满足 ∴舍去， ． 综上，当时， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折性质、锐角三角函数、公式法解一元二次方程，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容以及熟练运用数形结合思想是解题的关键． 16．在中，，边上有两点,使得． (1)若,求证：； (2)在（1）的条件下，若，求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查旋转的性质，勾股定理，直角三角形的判定以及解直角三角形： （1）将绕点A按顺时针方向旋转得到，连接，得出，证明，得出，得出，得出，过点F作交于点G，则，，从而得出结论； （2）求出，求得，通过解直角三角形求出． 【详解】（1）解：如图，将绕点A按顺时针方向旋转得到，连接， 则，， ， 即， 而为公共边， ， ， ， ， ， ， 过点F作交于点G，则， ∴， ． （2）解：在中， ， ， ， 在中，， ． 17． 解答下列各题∶ (1)化简求值∶ (2)在中，，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，二次根式化简，熟练掌握三角函数定义，是解题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值，进行求解即可； （2）根据，再根据二次根式性质进行化简即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵中，， ∴，， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， ∴ ， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 综上分析可知：． 18．在中，分别是的对边，且，若关于的方程有两个相等的实根，又方程的两实数根的平方和为6，求的面积． 【答案】的面积为． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键．根据根与系数的关系求出的正弦，运用三角函数及勾股定理求出的长度，从而求出的面积； 【详解】解：方程有两个相等实数根， ， ∴， ∵， ， ． ∴是直角三角形，且， 设是的两实数根， 则，． ，而 ， 解得：或（舍去）， 在中， ，，， ∴． 19．如图，D是上一点，且于C，， ，，求的值和的长． 【答案】， 【分析】作交于点E，得到，利用余弦值设，则，，根据三角形面积同高不同底得到，证明，得到，即可求出的值，再利用，求出，得到，，利用勾股定理得到，进而得到即可求出的长． 【详解】解：作交于点E， ， ， ， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ，， 在中，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题关键． 20．阅读以下资料： 在中，若记内角所对的三条边分别为，则，或写成．这称为余弦定理，余弦定理可以在已知三角形三条边的情况下，求出任意一个角的余弦值；也可以在已知两条边和任意一个角的情况下，求出第三条边． 请尝试解决以下问题： (1)若，求角的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解三角形，余弦定理的定义，解一元二次方程，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）将化为，求出，即可求出角的值； （2）根据得到，两边同时除以得，设，解方程即可． 【详解】（1） 即 ∵ ∴； （2）∵，， ∴ 即 两边同时除以得， 设， 则 即 解得：，（舍去） ∴ 试卷第18页，共26页 试卷第17页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题十、三角函数（适中版） 一、单选题 1.如图，己知等腰梯形ABCD,腰AB=CD=m,对角线AC⊥BD,且梯形的面积为二m2,则si∠ABC的值 A 等于() B A. B.3 c. 2 D.3 2 2.如图，在反比例函数y=-2图象上有一动点A,连接40并延长交图象的另一支于点B,在第一象限内有一 点C,满足4C=BC,当A点运动时，点C始终在函数y=的图象上运动，若an∠CAB=2,则k的值为() A.25 B.4 C.45 D.8 3.如图，ABC中，D为AB上一点，BD=3,AD=DC=8,sin∠BCA= 5,则4C的长是(） B D 32 A. B.8V3 c55 D. 88 3 试卷第5页，共6页 4.如图，在四边形ABCD中，AB=2V6cm,AD=6N3cm,CD=(8+2V3)cm,如果∠A=135°，∠D=90°，那么 LC=() D A.67.5° B.60° C.45° D.30° 5.在ABC中，∠A=75°，∠B=90°，若BC=1,则AB=() A.√2-1 B.√2+1 C.2-5 D.2+N3 6.在ABC中，3AB=2BC,∠A=60°，则c0sB=(). A.3±6 B.3-v6 C.3±6 D.3-v6 2 2 6 6 7.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，且在第一象限，点D为对角线AC、OB的交点，曲线 y=与BC的延长线相交于点E,若点4A10,0),OB4C=160,则以下结论不正确的是() x y B E D A A.曲线的解析式为y=20(x>0) B.点E的坐标是E(4,8) C.sin∠C0A=5 4 D.AC+0B=12/5 试卷第6页，共6页 8.如图，正方形ABCD的边长为8cm,把AB、CD分别绕点B、C按顺时针方向旋转6O°得到A'B、CD',D'A的 延长线交AC于点O,现有下列结论：①四边形A'BCD'为菱形；②四边形A'BCD'的面积为正方形ABCD面积的 一半；③OA'=4√3-1cm.其中正确的结论有() D y D' B A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 二、填空题 9.如图，取一张长方形纸片，长AB=10cm,宽BC=5√5cm,沿着CE对折，使点D落在AB上，则 AE= ZDCE=_ 度 D B 10.a为锐角，当，1一无意义时，则sina+15)+cosa-15)= 1-tan a 11.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1,BC=2,则cos∠A-∠B)= 中，LBAC=90°，B=3,c0sB=,将ABC绕着点A旋我 点D落在边BC上，连接CE,则CE的长为一· 试卷第5页，共6页 13.如图，设4BC为正三角形，边长为1，P,Q,R分别在B,BC,AC边上，且R=BP=CQ}连 AQ,BR,CP两两相交得到△MNS,则△MNS的面积是， 14.如图，在正方形ABCD中，AB=4,AC与BD交于点O,N是AO的中点，点M在边BC上，且BM=3, P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，PM+PN的值为一 A W B 三、解答题 15.如图，在矩形ABCD中，AD=3AB=9,，过AB上的动点E(点E与端点A、B不重合)作EF∥AC,交 AD于点F,再把△AEF沿EF翻折，点A的对应点为点G,设AE=x,△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为 y. B G B D (1)求当x为何值时，点G落在边BC上？ (2)求出y与x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y:S矩形BD=7:27？ 试卷第6页，共6页 16.在ABC中，∠ABC=∠ACB=30°，边BC上有两点D、E,使得∠DAE=60°. A D E (1)若BD2+DE2=CE2,求证：CE=V2AE; (2)在(1)的条件下，若AB=3+√3，求出DE的长度. 17.解答下列各题： 0化简求值需然器器器+sin30° (2)在ABC中，∠C=90°，化简V1-2 cos Asin A. 18.在ABC中，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，且c=53,若关于x的方程5V5+b)x2+2ax+(53-b=0 有两个相等的实根，又方程2x2-(10sinA)x+5sinA=0的两实数根的平方和为6，求ABC的面积. 试卷第5页，共6页 19.如图，D是AB上一a,且cD14C于C,SoS.ea=-2:3,cos∠DCB-号4C+CD=18,求an4的 值和AB的长. C B D 20.阅读以下资料： 在64BC中，若记内角，B,C所对的三条边分别为a,b,c,则0A=+c-口，或写成 2bc a2=b2+c2-2 becos/4.这称为余弦定理，余弦定理可以在已知三角形三条边的情况下，求出任意一个角的余弦 值；也可以在已知两条边和任意一个角的情况下，求出第三条边. 请尝试解决以下问题： (1)若(a+b+c(a-b+c=3ac,求角B的值； (2若LA=60°，且a=5c,求2的值. 试卷第6页，共6页