2025-2026学年山东省青岛市西海岸新区自主招生考试数学-专题十六、菱形（适中版）

2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题十六、菱形（适中版） 一、单选题 1．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．则线段BE的长是（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由在菱形ABCD中，∠A=60°，可证得△ABD是等边三角形，又由O为对角线BD的中点，OE⊥AB，可求得OB的长，∠OBE的度数，继而根据30°角直角三角形的性质求得答案． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB， ∵∠A＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝4，∠OBE＝60°， ∵OE⊥AB， ∴∠BOE＝30°， ∵O为对角线BD的中点， ∴OB＝BD＝2， ∴BE＝OB＝1． 故选A． 【点睛】此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．证得△ABD是等边三角形是解决此题的关键． 2．如图，在菱形中，已知，，，，，求的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先作FH⊥AB，垂足为H，由四边形ABCD是菱形，可得AD＝AB＝3，即可求得AF的长，又由∠DAB＝60°，即可求得AH与FH的长，然后由∠EFG＝15°，证得△FHE是等腰直角三角形，继而求得答案． 【详解】解：如图，作FH⊥AB，垂足为H． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝3， ∵DF＝1， ∴AF＝AD−FD＝2， ∵∠DAB＝60°， ∴∠AFH＝30°， ∴AH＝1，FH＝， ∵， ∴， 又∵∠EFG＝15°， ∴∠EFH＝∠AFG−∠AFH−∠EFG＝90°−30°−15°＝45°， ∴△FHE是等腰直角三角形， ∴HE＝FH＝， ∴AE＝AH＋HE＝1＋， 故选：D． 【点睛】此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．难度适中，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用． 3．如图，菱形ABCD边长为2，∠C=60°．当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】Rt△AOD的外接圆圆心是AD中点，设AD中点为E，根据三角形三边关系有OB≤OE+BE ，即O、E、B三点共线时OB取得最大值． 【详解】解：取AD的中点E，连接OE、BE，OB，BD， ∵OB≤OE+BE， ∴当O、E、B三点共线时OB取得最大值， 菱形ABCD边长为2，∠C=60° 为等边三角形，   ∴点B到原点O的最大距离为1+． 故选：D． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，直角三角形斜边上的中线，三角形三边关系，等边三角形的判定与性质，掌握能够理解在什么情况下，点B到原点O的距离最大是解题的关键． 4．如图，菱形中，，点E、F分别在边、上，，则的度数为（      ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】菱形的四边相等，对角线平分每一组对角，因为，连接，和菱形的边长相等，可证明，根据全等三角形的性质可得，求出． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明． 5．如图，直线，菱形和等边在，之间，点A，F分别在，上，点B，D，E，G在同一直线上：若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，由平角的定义求得，由外角定理求得，，根据平行性质，得，进而求得． 【详解】如图，∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴     故选：C．    【点睛】本题考查平行线的性质，平角的定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，根据相关定理确定角之间的数量关系是解题的关键． 6．在正五边形中，连接对角线，其中相交于点，连接，交于点，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正五边形的性质，菱形的判定与性质，首先由正五边形的性质可得，，，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证得四边形为菱形，得，即，由菱形的性质和勾股定理得出，即可得到，可证明，即可得出，由正五边形内角和得到，结合菱形的性质得到，． 【详解】解：是正五边形， ，，， 四边形为菱形， ， ，故A选项正确； ， ，故B选项正确； ， ， ，故C选项正确； ， ，， ，故D选项不正确， 故选：D． 7．如图，在中，，，按以下步骤作图：（1）分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点（点M在的上方）；（2）作直线交于点O，交于点D；（3）用圆规在射线上截取．连接，过点O作，垂足为F，交于点G．下列结论： ①；②；③；④若，则四边形的周长为25．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】证明四边形ADBE是菱形，推出FG是△ACD的中位线，即可得到，由此判断①；根据菱形的性质得到AD=BD，再利用Rt△ACD得到，即可判断②；根据FG是△ACD的中位线，证得，即可判断③；设OA=x，则OF=9-x，根据，求出OA=5得到AB=10，BC=8，再根据，求出BD=，即可判断④. 【详解】由题意知：MN垂直平分AB， ∴OA=OB，ED⊥AB， ∵OD=OE， ∴四边形ADBE是菱形， ∵，， ∴OF∥BC，AF=CF， ∴FG是△ACD的中位线， ∴，故①正确； ∵四边形ADBE是菱形， ∴AD=BD， 在Rt△ACD中，, ∴ ，故②正确； ∵FG是△ACD的中位线， ∴点G是AD的中点， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵AC=6， ∴AF=3， 设OA=x，则OF=9-x， ∵， ∴， 解得x=5， ∴AB=10， ∴BC=8， ∵， ∴， 解得BD=， ∴四边形的周长为. 故选：D. 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的作图方法，菱形的判定及性质定理，勾股定理，三角形的中位线的判定及性质，三角形中线的性质，这是一道四边形的综合题. 8．如图，矩形纸片，点M、N分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点P与点A重合时，；③的面积S的取值范围是．其中所有正确结论的序号是（ ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】C 【分析】根据矩形的性质与折叠的性质，证明出，，通过等量代换，得到PM=CN，则由一组邻边相等的平行四边形是菱形得到结论正确；用勾股定理，，由菱形的性质对角线互相垂直，再用勾股定理求出；当过点D时，最小面积，当P点与A点重合时，S最大为，得出答案． 【详解】解：①如图1， ∵， ∴， ∵折叠，∴，NC=NP ∴， ∴， ∴PM=CN， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形， 故①正确，符合题意； ②当点P与A重合时，如图2所示 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴，， ∴， 又∵四边形为菱形， ∴，且， ∴ ∴， 故②错误，不符合题意． ③当过点D时，如图3所示： 此时，最短，四边形的面积最小，则S最小为， 当P点与A点重合时，最长，四边形的面积最大，则S最大为， ∴，故③正确，符合题意． 故答案为：①③． 故选：C 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、折叠问题、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理与性质定理、勾股定理是解决本题的关键． 9．如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（　　） A．2 B． C．1.5 D． 【答案】A 【分析】取AB中点G点，根据菱形的性质可知E点、G点关于对角线AC对称，即有PE=PG，则当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，再证明四边形AGFD是平行四边形，即可求得FG=AD． 【详解】解：取AB中点G点，连接PG，如图， ∵四边形ABCD是菱形，且边长为2， ∴AD=DC=AB=BC=2， ∵E点、G点分别为AD、AB的中点， ∴根据菱形的性质可知点E、点G关于对角线AC轴对称， ∴PE=PG， ∴PE+PF=PG+PF， 即可知当G、P、F三点共线时，PE+PF=PG+PF最小，且为线段FG， 如下图，G、P、F三点共线，连接FG， ∵F点是DC中点，G点为AB中点， ∴， ∵在菱形ABCD中，， ∴， ∴四边形AGFD是平行四边形， ∴FG=AD=2， 故PE+PF的最小值为2， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质等知识，找到E点关于AC的对称点是解答本题的关键． 10．如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（    ）    A． B．若，则 C． D． 【答案】B 【分析】利用菱形的性质、解直角三角形等知识逐项判断即可． 【详解】解：由作法得MN垂直平分CD， ∴AD=AC，CM=DM，∠AED=90°， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=BC=AD， ∴AB=BC=AC， ∴ΔABC为等边三角形， ∴∠ABC=60° ∴∠BCD=120°，即A选项的结论正确，不符合题意； 当AB=3，则CE=DE=， ∵∠D=60°， ∴AE=，∠DAE=30°，∠BAD=120° ∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=120°-30°=90° 在Rt△ABE中，BE= ，所以B选项的结论错误，符合题意； ∵菱形ABCD ∴.BC=CD=2CE，即，所以C选项的结论正确，不符合题意； ∵ABCD，AB=2DE， ∴，所以D选项的结论正确，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考作已知线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质、菱形的性质等知识点，灵活运用菱形的性质和垂直平分线的性质是解答本题的关键． 二、填空题 11．在菱形中，，边长为，现将菱形绕其外一点按顺时针方向分别旋转后，得到如图的图形，每相邻两个菱形有一个顶点重合，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，交点为点，则为的中垂线，，计算即可． 【详解】如图，连接，交点为点，则为的中垂线， 点在上，由已知条件易得， ， ， 所求面积为． 故答案为：． 12．如图，四边形是边长为4的菱形，分别以A、B两点为圆心，大于2的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，直线交边于点E，且，连接，则 ． 【答案】 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，连接，．根据四边形的面积=四边形的面积的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接． 由作图可知垂直平分线段， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴的面积， ∴的面积， ∴的面积， ∴四边形的面积的面积， ∵， ∴的面积的面积， ∴四边形的面积=四边形的面积的面积． 故答案为：． 13．如图，四边形是菱形，，且，M为对角线上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质（对角线平分内角、各边相等）、直角三角形的性质（角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理），解题的关键是通过构造将待求式转化为，再利用点M位于边上时取等号确定的最小值，进而求出的最小值． 由菱形性质得；过M作，在中，由角性质得，故；过A作，在中，由得，故，再用勾股定理算得；又（点M位于边上时取等号），因此，即的最小值为． 【详解】解：如图，过点A作于T，过点M作于H． ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，又由知， ∴， ∴， （点M位于边上时取等号） ， ， ∴的最小值为， 故答案为． 14．如图，在菱形中，，为中点，点在延长线上，、分别为、中点，，，则 ． 【答案】4 【分析】连接CG，过点C作CM AD，交AD的延长线于M，利用平行线的性质和三角形中位线定理可得CG= 2HF= ，由ABCD，得CDM= A= 60°，设DM= x，则CD= 2x，CM=x，在Rt△CMG中，借助勾股定理得，即可求出x的值，从而解决问题． 【详解】如图，连接CG，过点C作CM AD，交AD的延长线于M， F、H分别为CE、GE中点， FH是△CEG的中位线， HF=CG， 四边形ABCD是菱形， ADBC，ABCD， DGE =E， EHF= DGE， E=EHF， HF = EF = CF， CG= 2HF =， ABCD， CDM= A = 60°， 设DM= x，则CD= 2x，CM=x， 点G为AD的中点， DG= x，GM=2x， 在Rt△CMG中，由勾股定理得： ， x=2， AB = CD= 2x= 4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，有一定综合性，作辅助线，构造直角三角形，利用方程思想是解题的关键． 15．如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转-最短路线问题，三角形全等的判定，菱形的性质以及等边三角形的性质．通过将绕点A顺时针方向旋转的点，此时证明和全等后找到对应的线段，的最小值即为点B，，P，D四点共线时，线段的长度即为所求． 【详解】如图，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段，连接，，， 由题意知，在菱形中，，， ∴和为等边三角形， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点B，，P，D四点共线时，的最小， 此时最小值的长度为． 故答案为：． 三、解答题 16．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转一定的角度后得到，且点正好落在线段上． (1)求旋转角的度数； (2)若点为的中点，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)菱形，见解析． 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定，掌握相关性质是解题的关键． （1）由旋转可知，，判定为等边三角形，即可求解； （2）由（1）知为等边三角形，得，点为直角斜边的中点，得出即可判断． 【详解】（1）解：由旋转可知，， 又， 为等边三角形， ，即旋转角的度数为． （2）解：由（1）知，为等边三角形， ， ∵点为直角斜边的中点， ， 又， ， ， ， 四边形为菱形． 17．如图1是彭罗斯镶嵌，中间区域的部分是由若干个基本形“风筝”（图2）与“飞镖”（图3）组成的十边形，一个“风筝”与“飞镖”恰好能拼成一个菱形，且． (1)______，______； (2)若设凸四边形的面积为，凹四边形的面积为，则______． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了正多边形的性质，菱形的性质，勾股定理等； （1）由正十边形的性质得，由菱形的性质得，即可求解； （2）连接、，交于，由菱形的性质得，，，设，，，由勾股定理得，求出，由三角形面积得，，即可求解； 掌握正多边形的性质，菱形的性质，勾股定理，熟练利用菱形的性质用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】（1）解：中间区域的部分是由若干个基本形“风筝”与“飞镖”组成的十边形， ， 一个“风筝”与“飞镖”恰好能拼成一个菱形， ， 故答案为：，； （2）解：如图，连接、，交于， 构成的是正十边形， ， 一个“风筝”与“飞镖”恰好能拼成一个菱形， ， ， ， ， 设，，， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ； 故答案为：． 18．在菱形中，，点M、N分别是、边上的动点，连结、相交于E点． (1)若点M是的中点，求证：； (2)若，试求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，判定是等边三角形，由等边三角形的性质得，由勾股定理即可得证； （2）过点D作的延长线于F，过点D作于G，连接，再根据判定，再根据判定，得出，结合角平分线的判定定理，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，， 点M是的中点， ，， ， ； （2）解：过点D作的延长线于F，过点D作于G，连接， 由（1）知，和都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 又，， ， ， ，， 平分， ， ， ． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的特征，勾股定理，角平分线的判定定理等；掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，能添加恰当的辅助线构建全等三角形是解题关键． 19．如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N． （1）①∠MPN= ； ②求证：PM+PN=3a； （2）如图2，点O是AD的中点，连接OM、ON，求证：OM=ON； （3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊四边形？并说明理由． 【答案】（1）①60°，②证明见解析； （2）证明见解析； （3）四边形MONG是菱形，理由见解析． 【分析】（1）①运用∠MPN=180°-∠BPM-∠NPC求解，②作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，利用MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解， （2）连接OE，由△OMA≌△ONE证明， （3）连接OE，由△OMA≌△ONE，再证出△GOE≌△NOD，由△ONG是等边三角形和△MOG是等边三角形，求出四边形MONG是菱形． 【详解】解：（1）①∵四边形ABCDEF是正六边形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°， 又∴PM∥AB，PN∥CD， ∴∠BPM=60°，∠NPC=60°， ∴∠MPN=180°-∠BPM-∠NPC=180°-60°-60°=60°， 故答案为；60°； ②如图1，作AG⊥MP交MP于点G，BH⊥MP于点H，CL⊥PN于点L，DK⊥PN于点K，则MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN， ∵正六边形ABCDEF中，PM∥AB， PN∥CD， ∵∠AMG=∠BPH=∠CPL=∠DNK=60°，∠BAG=∠AGH=∠BHG=90°， ∴四边形ABHG为矩形， ∴AG=BH，GH=AB， 同理CD=KL，DK=CL， ∴∠MAG=∠PBL=∠PCL=∠KDN=30°， ∴， ∵∠MAG=∠PBL=30°，AG=BH，∠AMG=∠BPH=60°， ∴△AMG≌△BPL， ∴AM=BP， 同理PC=DN， ∴FM=PC=DN， ∴AM=EN， ∴MG+HP+PL+KN==a，GH=LK=a， ∴MP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN=3a； （2）如图2，连接OE， 由②得：AM=BP=EN， 根据题意得：∠MAO=∠NEO=60°，OA=OE， 在△ONE和△OMA中， ， ∴△OMA≌△ONE（SAS）， ∴OM=ON； （3）四边形OMGN是菱形，理由如下： 如图3，连接OE， 由（2）得，△OMA≌△ONE， ∴∠MOA=∠EON， ∴∠MON=∠AOE， 根据题意得：EF∥AO，AF∥OE， ∴四边形AOEF是平行四边形， ∴∠AFE=∠AOE=120°， ∴∠MON=120°， ∵OG平分∠MON， ∴∠GON=∠MOG=60°， ∵∠GOE=60°-∠EON，∠DON=60°-∠EON， ∴∠GOE=∠DON， ∵OD=OE，∠ODN=∠OEG=60°， 在△GOE和△DON中， ， ∴△GOE≌△NOD（ASA）， ∴ON=OG， 又∵∠GON=60°， ∴△ONG是等边三角形， ∴ON=NG， 又∵OM=ON， ∴OM=OG， ∵∠MOG=60°， ∴△MOG是等边三角形， ∴MG=GO=MO， ∴MO=ON=NG=MG， ∴四边形MONG是菱形． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握多边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 20．【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 【答案】[探究发现]：四边形是菱形，理由见解析；[探究证明]：四边形是平行四边形；[探究提升]：四边形为轴对称图形时，的值为或，理由见解析 【分析】本题考查四边形综合应用，涉及到平行四边形，矩形，菱形、等边三角形等知识，解题的关键是掌握菱形的判定定理，平行四边形的判定定理； [探究发现]由将△沿翻折得到△，即知，，而，故； [探究证明]同探究发现可知四边形是菱形，有，而为边的中点，为边的中点，四边形是平行四边形，即可得，，又，，故，，从而四边形是平行四边形； [探究提升]若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形，分两种情况进行讨论：当四边形是矩形时，过作于，过作于，设，则，可得，，求出，即可得；当四边形是菱形时，延长交于，设，求出，即可得． 【详解】[探究发现]：解：四边形是菱形，理由如下： 将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形； [探究证明]：证明：如图： 将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形， ， 为边的中点，为边的中点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是菱形， ，， ，， 四边形是平行四边形； [探究提升]：解：四边形能成为轴对称图形，理由如下： 由[探究证明]知，四边形是平行四边形，若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形， 当四边形是矩形时，过作于，过作于，如图： ， ， ， 设，则， ， 为中点， ，， 四边形是菱形， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ； 当四边形是菱形时，延长交于，如图： 设，则， 四边形是菱形， ， ，， 四边形是平行四边形，， ，， ， △是等边三角形， ， ， ； 综上所述，四边形为轴对称图形时，的值为或． 试卷第2页，共32页 试卷第1页，共32页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题十六、菱形（适中版） 一、单选题 1．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．则线段BE的长是（　　） A．1 B． C．2 D． 2．如图，在菱形中，已知，，，，，求的长是（    ） A． B． C． D． 3．如图，菱形ABCD边长为2，∠C=60°．当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为（    ） A． B． C．2 D． 4．如图，菱形中，，点E、F分别在边、上，，则的度数为（      ）    A． B． C． D． 5．如图，直线，菱形和等边在，之间，点A，F分别在，上，点B，D，E，G在同一直线上：若，，则（    ）    A． B． C． D． 6．在正五边形中，连接对角线，其中相交于点，连接，交于点，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，按以下步骤作图：（1）分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点（点M在的上方）；（2）作直线交于点O，交于点D；（3）用圆规在射线上截取．连接，过点O作，垂足为F，交于点G．下列结论： ①；②；③；④若，则四边形的周长为25．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，矩形纸片，点M、N分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点P与点A重合时，；③的面积S的取值范围是．其中所有正确结论的序号是（ ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 9．如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（　　） A．2 B． C．1.5 D． 10．如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（    ）    A． B．若，则 C． D． 二、填空题 11．在菱形中，，边长为，现将菱形绕其外一点按顺时针方向分别旋转后，得到如图的图形，每相邻两个菱形有一个顶点重合，则图中阴影部分的面积为 ． 12．如图，四边形是边长为4的菱形，分别以A、B两点为圆心，大于2的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，直线交边于点E，且，连接，则 ． 13．如图，四边形是菱形，，且，M为对角线上任意一点，则的最小值为 ． 14．如图，在菱形中，，为中点，点在延长线上，、分别为、中点，，，则 ． 15．如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． 三、解答题 16．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转一定的角度后得到，且点正好落在线段上． (1)求旋转角的度数； (2)若点为的中点，判断四边形的形状，并说明理由． 17．如图1是彭罗斯镶嵌，中间区域的部分是由若干个基本形“风筝”（图2）与“飞镖”（图3）组成的十边形，一个“风筝”与“飞镖”恰好能拼成一个菱形，且． (1)______，______； (2)若设凸四边形的面积为，凹四边形的面积为，则______． 18．在菱形中，，点M、N分别是、边上的动点，连结、相交于E点． (1)若点M是的中点，求证：； (2)若，试求的度数． 19．如图1，正六边形ABCDEF的边长为a，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N． （1）①∠MPN= ； ②求证：PM+PN=3a； （2）如图2，点O是AD的中点，连接OM、ON，求证：OM=ON； （3）如图3，点O是AD的中点，OG平分∠MON，判断四边形OMGN是否为特殊四边形？并说明理由． 20．【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 试卷第6页，共7页 试卷第5页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $