2026年山东省青岛市西海岸新区自主招生考试数学-专题七、不等式（2）（适中版）

2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题七、不等式（2）（适中版） 一、单选题 1．一个四位数为平方数，则的值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 2．某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋．已知该运动队有20名同学，统计表如下表，由于不小心弄脏了统计表，下表中阴影部分的两个数据看不到． 鞋码 38 39 40 41 42 人数 5 3 2 下列说法正确的是（    ）． A．这组鞋码数据中的中位数是40，众数是39 B．这组鞋码数据中的中位数与众数一定相等 C．这组鞋码数据中的平均数满足 D．以上说法都不对 3．要使分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 4．若正数a，b，c满足不等式则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 5．设，则下列各式一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 6．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分，拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，又从得到的3部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，……，如此下去，最后得到34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（    ）． A．2004 B．2005 C．2006 D．2007 7．已知点，在函数（，为常数）的图象上，则下列判断正确的是（     ） A．当时，若，则 B．当时，若，则 C．当时，若，则 D．当时，若，则 8．将抛物线向左平移2个单位长度，得到抛物线，若任意一条与轴垂直的直线与的交点中，至少有一个不在轴下方，则实数的最大值为（　　） A． B．1 C． D．2 二、填空题 9．已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式解集为 ． 10．不等式的解是 ． 11．表示不超过x的最大整数（例如）．已知正整数n小于2006，且，则这样的n有 个． 12．已知，且满足 （表示不超过x的最大整数），则的值等于 ． 13．不等边的周长为5，三边分别为，，，则的最小值为 ． 14．设，若为完全平方数，则整数的个数为 ． 三、解答题 15．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式 解： 可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ①，②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为 ； (2)分式不等式的解集为 ； (3)解一元二次不等式． 16．某公司推出一款电子产品，经市场调查发现，该产品的日销售量（个）与销售单价（元/个）之间满足一次函数关系．销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如表： 销售单价（元/个） 60 65 70 75 日销售量（个） 180 130 80 30 日销售利润（元） 1800 1950 1600 750 注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价） （1）求关于的函数表达式； （2）该产品的成本价是__________元/个，求日销售利润的最大值； （3）直接写出单价满足什么条件时，销售利润不低于1920元． 17．某校参加全国数，理，化，计算机比赛的人数分别是20，16，，20人．已知这组数据的中位数和平均数相等，求这组数据的中位数． 18．阅读材料：在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． (1)若为正数，则的最小值为 ，此时， ； (2)若为正数，求的最小值，并指出取得最小值时对应的的值 19．如果二次不等式：的解是，求a的值． 20．解不等式： 试卷第4页，共5页 试卷第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题七、不等式（2）（适中版） 一、单选题 1．一个四位数为平方数，则的值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】可将表示为11（100a+b），根据四位数为平方数，可设100a+b=11c2，由题意可得：101＜100a+b=11c2＜999，可将c的值求出，从而可求出a+b的值． 【详解】解：∵=1000a+100a+10b+b =11（100a+b） 由题意可设100a+b=11c2（c为正整数）， ∴101＜100a+b=11c2＜999， 即9＜c2＜90， 于是，4≤c≤9， 经检验，c=8时满足条件，此时a=7，b=4， 故a+b=11． 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式的应用，理解一个四位数为平方数，这句话中包含的不等关系是解决本题的关键． 2．某校初一运动队为了备战校运动会需要购置一批运动鞋．已知该运动队有20名同学，统计表如下表，由于不小心弄脏了统计表，下表中阴影部分的两个数据看不到． 鞋码 38 39 40 41 42 人数 5 3 2 下列说法正确的是（    ）． A．这组鞋码数据中的中位数是40，众数是39 B．这组鞋码数据中的中位数与众数一定相等 C．这组鞋码数据中的平均数满足 D．以上说法都不对 【答案】C 【详解】设穿39码和40码的学生分别有人和人，则．（1）若，即穿40码的人数最多时，中位数和众数都等于40，故选A错；（2）若，则中位数，众数为39和40，中位数不等于众数，故选B错；（3）平均数，且，于是，满足，故选C正确．所以应选C． 3．要使分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【详解】依题意得，且．故选C． 4．若正数a，b，c满足不等式则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【详解】解  由已知条件及加法的单调性得 ，即 由①，②得 （传递性），所以． 由①，③得 （传递性），所以． 可见，a，b，c的大小关系是，故选B． 5．设，则下列各式一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因，故 ， ． 所以． 故选：D． 6．一个正方形纸片，用剪刀沿一条不过顶点的直线将其剪成两部分，拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，又从得到的3部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分，……，如此下去，最后得到34个六十二边形和一些多边形纸片，则至少要剪的刀数是（    ）． A．2004 B．2005 C．2006 D．2007 【答案】B 【详解】解  （算两次方法）依题意，用剪刀沿不过顶点的直线剪成两部分时，所得各张多边形（包括三角形）的纸片的内角和增加了，剪过k刀后，可得个多边形，这些多边形的内角总和为． 另一方面，因为这个多边形中有34个为六十二边形，它们的内角总和为，余下的多边形（包括三角形）有个，其内角总和至少为，于是，解得． 其次，我们按如下方式剪2005刀时，可得到符合条件的结论．先从正方形剪下1个三角形和1个五边形，再将五边形剪成1个三角形和1个六边形，…，如此下去，剪了58刀后，得到1个六十二边形和58个三角形，取出其中33个三角形，每个各剪一刀，又可得到33个四边形和33个三角形，对这33个四边形，按上述方法各剪58刀，便得到33个六十二边形和个三角形，于是共剪了（刀），故选B． 7．已知点，在函数（，为常数）的图象上，则下列判断正确的是（     ） A．当时，若，则 B．当时，若，则 C．当时，若，则 D．当时，若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，由点，在函数，为常数）的图象上，从而，，进而根据和分别进行分析即可得解． 【详解】解：由题意，点，在函数，为常数）的图象上， ，． 当时， A、若， ． ． ． ． ，故A错误，故本选项不符合题意； B、若， ． ． 或． 的符号不确定． 故B错误，故本选项不符合题意； 当时， C、若， ． ． 或． 的符号不确定． 故C错误，故本选项不符合题意； D、若， ． ． ． ． ，故D正确，故本选项符合题意． 故选：D． 8．将抛物线向左平移2个单位长度，得到抛物线，若任意一条与轴垂直的直线与的交点中，至少有一个不在轴下方，则实数的最大值为（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的平移问题，解一元二次不等式等知识点，解题的关键是利用数形结合的思想找出临界位置． 先求出平移后的抛物线解析式，联立求出交点坐标，再根据交点的位置进行分析即可． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度， 则， 即， 联立， 解得：， ∴两个抛物线的交点记为， 如图，当点在轴下方时，不符合题意； 只有当交点在轴上或在轴上方时，符合题意，如图： ∴， 解得：， ∴实数的最大值为， 故选：C． 二、填空题 9．已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求不等式的解集，一元二次方程根与系数的关系，由题意得到是方程的两个实数根，解得，代入中得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， ∴是方程的两个实数根， ∴， 解得：， ∴可化为， ∴， 解得：或， ∴关于x的不等式解集为或， 故答案为：或． 10．不等式的解是 ． （当时）；（当时）；无解（当时）． 【详解】解  原不等式化为，方程的两根为和． 若，则不等式的解为； 若，则不等式的解为； 若，则，不等式无解． 故应填： （当时）; （当时）;无解（当时）． 11．表示不超过x的最大整数（例如）．已知正整数n小于2006，且，则这样的n有 个． 【答案】334 【详解】解  设则从而． 当时， ，故． 于是由得，从而．此时． 当，由得代入 得，得，与矛盾，舍去． 故所有的n共有334个． 12．已知，且满足 （表示不超过x的最大整数），则的值等于 ． 【答案】6 【详解】因，所以每一个等于0 或1．由题设知其中恰有18个等于1， 所以 于是，解得所以．故应填6． 13．不等边的周长为5，三边分别为，，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了基本不等式求最值，首先根据题意得到，变形为，然后代入，然后利用基本不等式求解即可． 【详解】∵不等边的周长为5，三边分别为，，， ∴ ∴ ∴ ∴ ． 当时， ∴整理得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当且仅当，时，等号成立，的最小值为． 故答案为：． 14．设，若为完全平方数，则整数的个数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方数的概念，掌握题目要求是解答本题的关键．设，通过找到的取值，根据题目要求即可求解． 【详解】解：设（其中为正整数）， 则． ， ， ， ， ． 即，此时共有26个值， 是奇数， 整数的个数为个． 故答案为：． 三、解答题 15．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式 解： 可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ①，②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或． (1)一元二次不等式的解集为 ； (2)分式不等式的解集为 ； (3)解一元二次不等式． 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】本题考查了有理数乘除法运算法则，解一元一次不等式组，熟练掌握相关法则和步骤是解题关键． （1）仿照例题，将化为，由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得到两个一元一次不等式组，分别求解即可得到答案； （2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，将分式方程化为两个一元一次不等式组，分别求解即可得到答案； （3）可化为，由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得到两个一元一次不等式组，分别求解即可得到答案． 【详解】（1）解： 可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ①，②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 的解集为或， 即一元二次不等式的解集为或， 故答案为：或； （2）解：分式不等式， 由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，得 ①，②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 分式不等式的解集为或， 故答案为：或 （3）解：， 可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，得 ①，②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，不等式无解， 的解集为， 即一元二次不等式的解集为． 16．某公司推出一款电子产品，经市场调查发现，该产品的日销售量（个）与销售单价（元/个）之间满足一次函数关系．销售单价、日销售量、日销售利润的几组对应值如表： 销售单价（元/个） 60 65 70 75 日销售量（个） 180 130 80 30 日销售利润（元） 1800 1950 1600 750 注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价） （1）求关于的函数表达式； （2）该产品的成本价是__________元/个，求日销售利润的最大值； （3）直接写出单价满足什么条件时，销售利润不低于1920元． 【答案】（1）；（2）50，最大为1960元；（3）当时，销售利润不低于1920元． 【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法可找出关于的函数表达式； （2）利用产品的成本单价＝销售单价﹣每个的利润可求出产品的成本单价，由日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）列出函数解析式，根据函数的性质求最值； （3）根据销售利润不低于1920元列出关于的一元二次不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）设关于的函数表达式为， 把，代入得： ， 解得：， ∴关于的函数表达式为； （2）由表中数据知，当时，，， ∴该产品的成本价为（元/个）， 故答案为：50； 根据题意得，， ∴， ∴当时，最大为1960元； （3）由题意得：， 即， 解得：， ∴当时，销售利润不低于1920元． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、二次函数的应用以及一元二次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出二次函数解析式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元二次不等式． 17．某校参加全国数，理，化，计算机比赛的人数分别是20，16，，20人．已知这组数据的中位数和平均数相等，求这组数据的中位数． 【答案】18或20． 【详解】（1）当时，平均数为，中位数为．由，解得，满足；（2）当时，平均数，中位数为．由，解得，不符合；当时，平均数为，中位数为．由，解得，符合．因此，所求中位数为18或20． 18．阅读材料：在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． (1)若为正数，则的最小值为 ，此时， ； (2)若为正数，求的最小值，并指出取得最小值时对应的的值 【答案】(1)6，3 (2)，最小值 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； 【详解】（1）解：∵， ∴， 当，即（不合题意，舍去）时，有最小值为6． 故答案为：6，3． （2）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； 即时，原式有最小值． 19．如果二次不等式：的解是，求a的值． 【答案】 【详解】解  依题意，是方程的两个根，且，由韦达定理得 ，所以． 20．解不等式： 【答案】或或 【详解】解  不等式两边乘以4，化简为 移项、整理得， 移项、通分得， 可化为，即． 如右图得或， 解得或或 试卷第6页，共14页 试卷第7页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $