精品解析：内蒙古包头市第二中学2025-2026学年九年级上学期11月月考数学试题

包二中2025-2026年度第一学期第二次减压式配餐练 初三数学试题 一、选择题（每题3分，共24分） 1. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，拟用于未来建造月球基地．据介绍，“月壤砖”呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度却是普通红砖的三倍以上．如图所示的是一种“月壤砖”，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 2. 在下列条件中选取一个作为增加条件，能使平行四边形成为矩形的是（ ） A. B. C. D. 3. 对于抛物线的图象，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴是直线 D. 当时，随增大而减小 4. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，、交于点O，于点E，若，，则等于（ ） A. B. 5 C. 6 D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，轴，分别交的图像于两点，若的面积是5，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米；②沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），那么凉亭的高为（ ） A. 0.4米 B. 62.5米 C. 6.4米 D. 0.16米 二、填空题（每题3分，共12分） 9. 若关于的函数是二次函数，且其有最大值，则______． 10. 如图，的面积为，D，E分别是边的中点，则梯形的面积为______． 11. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 12. 在呼和浩特东郊开阔的平川上，一座灰白色的宝塔拔地凌空，直刺云天，大有“一柱擎天”之势，这便是驰名塞外的万部华严经塔，因其白色，所以俗称“白塔”．某数学小组测量白塔的高度，如图，他们选取的测量点A与塔的底部B在同一水平线上．已知塔顶为高14米的塔刹，在A处测得塔顶D的仰角为，塔刹底部C的仰角为，则塔的高约为______ ．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 三、解答题（共64分） 13. （1）解方程：； （2）计算：． 14. 2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝：B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． （1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． （2）为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 15. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，直线与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点P在轴上，连接，若，求点P的坐标； （3）根据图象，直接写出满足的的取值范围． 16. 全球七分之一的苹果来自陕西，主产区集中在渭北黄土高原，其果形高桩、色泽艳丽，酸甜适度，出口量常年稳居全国前列．佳乐水果超市以每箱65元的进价购进一批红富士苹果，当该水果售价为每箱85元时，八月销售300箱，九、十月该苹果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，十月的销量达到432箱． （1）求九、十月两月销量的月平均增长率； （2）十一月该水果超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该苹果每箱降价1元，月销量在十月销量的基础上增加6箱，当该苹果每箱降价多少元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6 930元？ 17. 已知，如图1，是边长为1的正方形的对角线，平分交于点，延长到点，使，连接，交的延长线于点． （1）求证：； （2）求的长； （3）如图2，在上取一点，且，若以为轴，为轴建立直角坐标系，问在直线上是否存在点P，使得以、、为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由． 18. 如图，已知菱形ABCD，点E是BC上的点，连接DE，点C关于DE的对称点F恰好落在AB边上，连接DF、EF，延长FE，交DC延长线于点G． （1）求证：△DFG∽△FAD； （2）连接BD，若BD＝6，菱形ABCD的边长为5． ①求菱形ABCD的面积； ②求CG的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包二中2025-2026年度第一学期第二次减压式配餐练 初三数学试题 一、选择题（每题3分，共24分） 1. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的一种建筑材料，拟用于未来建造月球基地．据介绍，“月壤砖”呈榫卯结构，密度与普通砖块相当，抗压强度却是普通红砖的三倍以上．如图所示的是一种“月壤砖”，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的识别，左视图就是从左边看到的视图，其中能看到的边用实线表示，不能看到的用虚线表示． 【详解】解：是完整的长方形，未体现中间凹陷，错误，故选项不符合题意； 是三个小长方形的组合，不符合左视图形状，错误，故选项不符合题意； 这是主视图，故选项不符合题意； 是长方形且中间有两条水平虚线，符合左视图的特征，正确，故选项符合题意． 故选：． 2. 在下列条件中选取一个作为增加条件，能使平行四边形成为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定方法．矩形是有一个角是直角的平行四边形或对角线相等的平行四边形，矩形是对角线相等的平行四边形，据此求解即可． 【详解】解：选项A：，对角线互相垂直，平行四边形成为菱形，不一定是矩形，不符合题意； 选项B：对角线相等的平行四边形是矩形，符合题意； 选项C：，是平行四边形对边相等的性质，不能判定矩形，不符合题意； 选项D：，是平行四边形对角相等的性质，不能判定矩形，不符合题意． 故选B． 3. 对于抛物线的图象，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴是直线 D. 当时，随增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 根据二次函数的图象性质逐一判断即可． 【详解】解：A：在中，，函数图象开口向下，故A错误； B：抛物线的顶点坐标是，故B错误； C：对称轴是直线，说法正确，故C正确； D：，函数图象开口向下，对称轴为直线，当时，随增大即有增大部分也有减小部分，故D错误； 故选：C． 4. 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 求出，，根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【详解】解：由题意可知：，， 在中，，是的中线， ， 故选：B． 5. 如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出比例式是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求解即可． 【详解】解：， ， 又，，， ， ， 故选：A． 6. 如图，在菱形中，、交于点O，于点E，若，，则等于（ ） A. B. 5 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理，能求出菱形的边长是解此题的关键． 根据菱形的性质得出、、、，求出和，求出AD，根据菱形的面积公式求出即可． 【详解】解：四边形是菱形， 、、、 、 、 由勾股定理得： 解得． 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，轴，分别交的图像于两点，若的面积是5，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键．连接、，因为轴，可以得出，结合反比例函数的几何意义即，可求出的值． 【详解】解：如图所示：连接、， 轴， ， ， 又的面积是5， ， ， 又图像在第二象限， ． 故选：A． 8. 如图，某数学兴趣小组为了测量一凉亭的高度，他们采取了如下办法：①在凉亭的右边点处放置了一平面镜，并测得米；②沿着直线后退到点处，眼睛恰好看到镜子里凉亭的顶端，并测得米，眼睛到地面的距离米（此时），那么凉亭的高为（ ） A. 0.4米 B. 62.5米 C. 6.4米 D. 0.16米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用相似测高，涉及相似三角形的判定与性质，熟练掌握平面镜测高的方法步骤是解决问题的关键．先由题意可得，从而得到相似比，再将题中已知线段长度代入求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 则， ， 由题意可知，米，米，米， ， 解得米， 故选：C． 二、填空题（每题3分，共12分） 9. 若关于的函数是二次函数，且其有最大值，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键； 根据二次函数的定义，指数必须为2，且由于函数有最大值，二次项系数需小于0，求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是二次函数，且其有最大值， ∴， 解得：或 ∵函数有最大值， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 10. 如图，的面积为，D，E分别是边的中点，则梯形的面积为______． 【答案】9 【解析】 【分析】先证明，利用三角形相似的性质解答即可. 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键. 【详解】解：∵D，E分别是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， 梯形的面积为． 故答案为：9． 11. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意可得，，，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 在呼和浩特东郊开阔的平川上，一座灰白色的宝塔拔地凌空，直刺云天，大有“一柱擎天”之势，这便是驰名塞外的万部华严经塔，因其白色，所以俗称“白塔”．某数学小组测量白塔的高度，如图，他们选取的测量点A与塔的底部B在同一水平线上．已知塔顶为高14米的塔刹，在A处测得塔顶D的仰角为，塔刹底部C的仰角为，则塔的高约为______ ．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】54.3 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角、俯角问题，熟练掌握知识点，准确理解题意是解题的关键． 先根据正切的定义表示出，，再根据求出，进而求解即可． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴米， 故答案为：54.3． 三、解答题（共64分） 13. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，含特殊角的三角函数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法解方程，即可作答； （2）先化简特殊角的三角函数值，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解：（1）； ， 或， ∴，； （2） ． 14. 2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片：A．潍坊风筝：B．东明粮画；C．青神竹编；D．延安剪纸． （1）小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． （2）为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率，用树状图（列表）求概率， 对于（1），用概率公式计算即可； 对于（2），列表得出所有结果，再根据概率公式得出答案． 【小问1详解】 解：一共有4种手工艺品的图片，青神竹编有1种， 所以恰好选中青神竹编的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解： 第一次 第二次 A B C D A B C D 一共有12种可能出现的结果，每种结果出现的可能性相同，符合题意的有2种，所以两人恰好选中A和D的概率是． 15. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，直线与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点P在轴上，连接，若，求点P的坐标； （3）根据图象，直接写出满足的的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，掌握待定系数法，能用图象解不等式是解题的关键． （1）将代入反比例函数求出，再求出的坐标，将将、代入即可求解； （2）由得，即可求解； （3）由在上方的图象对应的函数值较大进行判断，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 解得：， 反比例函数的表达式为， ， 解得：， ， 将、代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图， ， ， ， 解得：， 对于一次函数中，当时， ， 解得：， ， ， ， 解得：或， 的坐标为或； 【小问3详解】 解：由图象得 或． 16. 全球七分之一的苹果来自陕西，主产区集中在渭北黄土高原，其果形高桩、色泽艳丽，酸甜适度，出口量常年稳居全国前列．佳乐水果超市以每箱65元的进价购进一批红富士苹果，当该水果售价为每箱85元时，八月销售300箱，九、十月该苹果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，十月的销量达到432箱． （1）求九、十月两月销量的月平均增长率； （2）十一月该水果超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该苹果每箱降价1元，月销量在十月销量的基础上增加6箱，当该苹果每箱降价多少元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6 930元？ 【答案】（1）九、十月两月销量的月平均增长率是 （2）当该苹果每箱降价5元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6930元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的增长率问题，掌握知识点是解题的关键． （1）设九、十月两月的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，求出x的值即可； （2）设该苹果每箱降价y元，根据题意 列出一元二次方程，求出y的值即可． 【小问1详解】 解：设九、十月两月的月平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得 （舍去）， 答：九、十月两月销量的月平均增长率是； 【小问2详解】 解：设该苹果每箱降价y元，根据题意，得 ， 整理，得 ， 解得 （舍去）． 故当该苹果每箱降价5元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6930元． 17. 已知，如图1，是边长为1的正方形的对角线，平分交于点，延长到点，使，连接，交的延长线于点． （1）求证：； （2）求的长； （3）如图2，在上取一点，且，若以为轴，为轴建立直角坐标系，问在直线上是否存在点P，使得以、、为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 证明：如图1， 在和中， ， ； （2）； （3）存在，或或或． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理即可证得； （2）通过的对应边相等知；然后由即可求得； （3）分三种情况分别讨论即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：如图1， 平分，是正方形的对角线， ， 由（1）知， （全等三角形的对应角相等）； （三角形内角和定理）， ； 在和中， ， ， ，（全等三角形的对应边相等）， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图2，， ， ①当时，则， ， 设， ， 解得或， ∴P的坐标为或； ②当时，则， ， 是等腰直角三角形， ∴； ③当时，， 是等腰直角三角形， ∴； 综上，在直线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的点坐标为或或或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键． 18. 如图，已知菱形ABCD，点E是BC上的点，连接DE，点C关于DE的对称点F恰好落在AB边上，连接DF、EF，延长FE，交DC延长线于点G． （1）求证：△DFG∽△FAD； （2）连接BD，若BD＝6，菱形ABCD的边长为5． ①求菱形ABCD的面积； ②求CG的长． 【答案】（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴∠A＝∠BCD， 由对称知，∠DFG＝∠BCD， ∴∠A＝∠DFG， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD， ∴∠AFD＝∠FDG， ∴△DFG∽△FAD； （2）①24；② 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质判断出CD∥AB，∠A＝∠BCD，再由对称得出∠BCD＝∠DFG，得出∠A＝∠DFG，即可得出结论； （2）先利用勾股定理求出OA，进而得出AC，即可得出结论； ②先利用菱形的面积求出DF，再用勾股定理求出AH，进而得出AF，最后借助（1）的结论得出，即可求出DG，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）①如图，连接AC，BD相交于O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠AOB＝90°，OB＝BD＝3，AC＝2OA， 在Rt△AOB中，根据勾股定理得，OA＝＝4， ∴AC＝2OA＝8， ∴S菱形ABCD＝AC•BD＝×8×6＝24； ②过点D作DH⊥AB于H， ∴S菱形ABCD＝AB•DH＝5DH， 由①知，S菱形ABCD＝24， ∴5DH＝24， ∴DH＝， 在Rt△DAH中，AH＝＝＝， 由对称知，DF＝CD＝5， ∵DH⊥AF， ∴AF＝2AH＝， 由（1）知，△DFG∽△FAD， ∴， ∴， ∴DG＝， ∴CG＝DG﹣CD＝． 【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了菱形的性质，菱形的面积公式，对称的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，判断出△DFG∽△FAD是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $