广东省深圳市福田区红岭中学（红岭教育集团）2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

红岭园岭八下数学形成性训练（二） 一．选择题（共8小题） 1．在实数，0，，503，π，0.101中，无理数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A．，2， B．1，，2 C．3，6，7 D．6，8，12 3．根据下列表述，能确定位置的是（　　） A．兴庆路 B．负二层停车场 C．太平洋影城3号厅2排 D．东经106°，北纬32° 4．下列各式中，运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．体育课上的侧压腿动作可以抽象为几何图形，如果∠1＝120°，则∠2的度数是（　　） A．30° B．40° C．60° D．120° 6．校学生会为招募新会员组织了一次测试，小华的心理测试、笔试、面试得分分别为80分、90分、70分．若依次按照3：2：5的比例确定最终成绩，则小华的最终成绩为（　　）分 A．75 B．80 C．77 D．79 7．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，，则QM+QN的长是（　　） A．4 B．3 C．4 D．2 8．材料：甲开汽车，乙骑自行车从A地沿一条笔直的公路匀速前往B地，乙比甲先出发．设乙行驶的时间为t（h），甲、乙两人之间的距离y（km）关于时间t（h）的函数图象如图所示．根据材料，获得正确的信息是（　　） A．甲行驶的速度是20km/h B．在甲出发后追上乙 C．A，B两地之间的距离为90km D．甲比乙少行驶2小时 二．填空题（共5小题） 9．若一个数的立方根是3，则这个数是 　 　 ． 10．“一次函数y＝kx﹣2，当k＞0时，y随x的增大而增大”是一个　 　 命题．（填“真”或“假”） 11．甲、乙、丙三名学生参加掷实心球体育项目测试，他们一周测试成绩的平均数相同，方差如下：s甲2＝1.5，s乙2＝0.8，s丙2＝3.2，则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是　 　 ． 12．已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则一次函数y＝ax+b和y＝﹣x﹣2的图象的交点坐标为 　 　 ． 13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B（﹣1，4），点A（﹣7，0），点P是直线y＝x﹣2上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为 　 　 ． 三．解答题（共7小题） 14．计算： （1）； （2）． 15．用合适的方法解二元一次方程组 （1）； （2）． 16．某团队研发了三款机器人，分别命名为A、B、C．为测试三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，A、B、C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． 【数据收集与整理】 A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 1.85 B 8.5 8 87 s2 C 8 n 83 2.01 任务1：m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ； 【数据分析与运用】 任务2：按图象识别能力测试成绩占40%，运动能力测试成绩占60%计算综合成绩，请你判断A、B、C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 任务3：如果要选择A、B、C三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由． 17．请解答下列各题： （1）阅读并回答：平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射．此时∠1＝∠2，∠3＝∠4． ①由条件可知：∠1＝∠3，依据是 　 　 ，∠2＝∠4，依据是 　 　 ． ②反射光线BC与EF平行，依据是 　 　 ． （2）解决问题：如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b射出的光线n平行于m，且∠1＝42°，则∠2＝　 　 ；∠3＝　 　 ． 18．为响应积极锻炼的同学们，西川中学计划同时购进一批篮球和排球，若购进2个篮球和1个排球，共需要资金280元；若购进3个篮球和2个排球，共需要资金460元． （1）求篮球和排球的价格分别为多少元？ （2）学校计划购进两种球类共20个，商场售出一个篮球，利润率为25%，一个排球的进价为50元，为了促销，商场决定每售出一个排球，返还现金m元，而篮球售价不变，要使商场所有购买方案获利相同，求m的值． 19．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 几何模型在最短路径问题中的应用 素材一 提出问题：求的最小值． 素材二 建立模型：可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2．原问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB的值最小？” 素材三 解答过程：如图2连接AD，交CF于点B，此时AB+DB值最小，延长AC至AH使CH＝DF＝2，连接HD，则 ∵AH＝AC+CH＝3+2＝5，HD＝CF＝12， ∴在Rt△ADH中，， ∴|AB+DB|min＝AD＝13， ∴的最小值是13． 问题解决 任务一 根据以上学习：代数式的最小值为　 　 ． 任务二 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A、B到河岸的垂足之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥PQ，使得从A到P，过桥PQ，再从Q到B的路程最短，则最短路程为　 　 km． 任务三 思维拓展：已知正数x满足，求x的值． （要求根据问题自己建模绘图，并解决问题） 20．如图1，直线yx+6与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于D，C两点，并与直线yx+6相交于点E（﹣2，n）． （1）求直线CD的解析式； （2）如图2，若P为直线AB上一动点，△PDE的面积S△PDE，求点P的坐标； （3）如图3，直线AB上一点Q位于第三象限，以BQ为斜边向右侧作等腰直角△BHQ，直角顶点H恰好落在x轴上，请直接写出Q点的坐标． 红岭园岭八下数学形成性训练（二） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D B A C C C 一．选择题（共8小题） 1．在实数，0，，503，π，0.101中，无理数的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：是分数，属于有理数； 0，503是整数，属于有理数； 0.101是有限小数，属于有理数； 无理数有：，π，共2个． 故选：A． 2．以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（　　） A．，2， B．1，，2 C．3，6，7 D．6，8，12 【解答】解：A、22，不能构成直角三角形，故A不符合题意； B、1222，能构成直角三角形，故B符合题意； C、32+62≠72，不能构成直角三角形，故C不符合题意； D、62+82≠122，不能构成直角三角形，故D不符合题意． 故选：B． 3．根据下列表述，能确定位置的是（　　） A．兴庆路 B．负二层停车场 C．太平洋影城3号厅2排 D．东经106°，北纬32° 【解答】解：A、兴庆路，不能确定具体位置，故A选项不符合题意； B、负二层停车场，不能确定具体位置，故B选项不符合题意； C、太平洋影城3号厅2排，不能确定具体位置，故C选项不符合题意； D、东经116°，北纬42°，能确定具体位置，故D选项符合题意． 故选：D． 4．下列各式中，运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、原式＝2，故A不符合题意． B、原式3，故B符合题意． C、3与不是同类二次根式，故不能合并，故C不符合题意． D、原式＝2，故D不符合题意． 故选：B． 5．体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果∠1＝120°，则∠2的度数是（　　） A．30° B．40° C．60° D．120° 【解答】解：根据三角形外角性质得，∠1＝∠2+90°， ∵∠1＝120°， ∴∠2＝30°， 故选：A． 6．校学生会为招募新会员组织了一次测试，小华的心理测试、笔试、面试得分分别为80分、90分、70分．若依次按照3：2：5的比例确定最终成绩，则小华的最终成绩为（　　）分 A．75 B．80 C．77 D．79 【解答】解：小华的最终成绩为77（分）． 故选：C． 7．如图，在△DEF中，∠D＝90°，DG：GE＝1：3，GE＝GF，Q是EF上一动点，过点Q作QM⊥DE于M，QN⊥GF于N，，则QM+QN的长是（　　） A．4 B．3 C．4 D．2 【解答】解：连接QG． ∵DG：GE＝1：3， ∴可以假设DG＝k，EG＝3k， ∵GF＝EG，∠D＝90°， ∴FG＝3k，DF2k， ∵EF＝4，EF2＝DE2+DF2， ∴48＝16k2+8k2， ∴k或（舍弃）， ∴DF＝4， ∵S△EFG•EG•DF•EG•QM•GF•QN， ∴QM+QN＝DF＝4， 故选：C． 8．材料：甲开汽车，乙骑自行车从A地沿一条笔直的公路匀速前往B地，乙比甲先出发．设乙行驶的时间为t（h），甲、乙两人之间的距离y（km）关于时间t（h）的函数图象如图所示．根据材料，获得正确的信息是（　　） A．甲行驶的速度是20km/h B．在甲出发后追上乙 C．A，B两地之间的距离为90km D．甲比乙少行驶2小时 【解答】解：由图象可知，乙行驶的速度为20÷1＝20（km/h）， ∴甲行驶的速度为60（km/h）， 故A错误； 由图象可知，当甲出发（1）h后追上乙， 故B错误； A，B两地之间的距离为2090（km）， 故C正确； 甲行驶的时间为1（h），乙行驶的时间为小时， ∴甲比乙少行驶3（h）， 故D错误； 故选：C． 二．填空题（共5小题） 9．若一个数的立方根是3，则这个数是 　27　 ． 【解答】解：∵33＝27， ∴27的立方根是3， 故答案为：27． 10．“一次函数y＝kx﹣2，当k＞0时，y随x的增大而增大”是一个　真　 命题．（填“真”或“假”） 【解答】解：“一次函数y＝kx﹣2，当k＞0时，y随x的增大而增大”是一个真命题， 故答案为：真． 11．甲、乙、丙三名学生参加掷实心球体育项目测试，他们一周测试成绩的平均数相同，方差如下：s甲2＝1.5，s乙2＝0.8，s丙2＝3.2，则甲、乙、丙中成绩最稳定的学生是　乙　 ． 【解答】解：∵甲、乙、丙三名学生的平均数相同，s甲2＝1.5，s乙2＝0.8，s丙2＝3.2， ∴s， ∴甲、乙、丙三位同学中成绩最稳定的是乙． 故答案为：乙． 12．已知关于x、y的二元一次方程组的解是，则一次函数y＝ax+b和y＝﹣x﹣2的图象的交点坐标为 　（4，﹣6）　 ． 【解答】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴m＝﹣4﹣2＝﹣6， ∴一次函数y＝ax+b和y＝﹣x﹣2的图象的交点坐标为（4，﹣6）， 故答案为：（4，﹣6）． 13．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B（﹣1，4），点A（﹣7，0），点P是直线y＝x﹣2上一点，且∠ABP＝45°，则点P的坐标为 　，）　 ． 【解答】解：将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BA′，则A′（3，﹣2）， 取AA′的中点K（﹣2，﹣1）， 直线BK与直线y＝x﹣2的交点即为点P． ∵直线BK的解析式为y＝5x+9， 由，解得， ∴点P坐标为（，）， 故答案为（，）． 三．解答题（共7小题） 14．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1） ＝0； （2） ． 15．用合适的方法解二元一次方程组 （1）； （2）． 【解答】解：（1）， 把②代入①，得2x+2+x＝17， 解得x＝5③， 把③代入②，得y＝2+5＝7， ∴原方程组的解是． （2）， ②×2﹣①×3，得y＝3③， 把③代入①，得2x﹣9＝1， 解得x＝5， ∴原方程组的解是． 16．我国机器人产业正处于高速发展的关键时期．2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到秧歌的独特韵味．某科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为A、B、C．为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，A、B、C三款机器人的得分（满分为100分）分别为87分、85分、90分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． 【数据收集与整理】 A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A m 9和10 85 1.85 B 8.5 8 87 s2 C 8 n 83 2.01 任务1：m＝ 　9　 ，n＝ 　8　 ； 【数据分析与运用】 任务2：按图象识别能力测试成绩占40%，运动能力测试成绩占60%计算综合成绩，请你判断A、B、C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？ 任务3：如果要选择A、B、C三款机器人中的一款上台表演，你会选择哪一款？请给出你的理由． 【解答】解：任务1：由折线统计图可知，A款机器人测试员打分从低到高排列为：6，7，7，8，9，9，9，10，10，10， ∴A款机器人测试员打分的中位数m9， 由扇形统计图可知，C款机器人运动能力得分出现次数最多的是（8分）， ∴n＝8， 故答案为：9；8； 任务2：∵A款机器人的综合成绩为87×40%+85×60%＝85.8（分）， B款机器人的综合成绩为85×40%+87×60%＝86.2（分）， C款机器人的综合成绩为90×40%+83×60%＝85.8（分）， ∵86.2＞85.8， ∴综合成绩最高的是B款机器人． 任务3：选择B款机器人，理由如下： 由折线统计图可判断B款机器人的得分波动比A款机器人的得分波动小， ∴1.85， 由表知， ∴， ∴测试员对B款机器人运动能力测试表现评价的一致性程度更高； ∴选择B款机器人． 17．请解答下列各题： （1）阅读并回答： 科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线AB与DE射向一个水平镜面后被反射．此时∠1＝∠2，∠3＝∠4． ①由条件可知：∠1＝∠3，依据是 　两直线平行，同位角相等　 ，∠2＝∠4，依据是 　等量代换　 ． ②反射光线BC与EF平行，依据是 　同位角相等，两直线平行　 ． （2）解决问题： 如图2，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若b射出的光线n平行于m，且∠1＝42°，则∠2＝　84°　 ；∠3＝　90°　 ． 【解答】解：（1）①由条件可知：∠1＝∠3，依据是：两直线平行，同位角相等；∠2＝∠4，依据是：等量代换； ②反射光线BC与EF平行，依据是：同位角相等，两直线平行； 故答案为：①两直线平行，同位角相等；等量代换．②同位角相等，两直线平行． （2）如图， ∵∠1＝42°， ∴∠4＝∠1＝42°， ∴∠6＝180°﹣42°﹣42°＝96°， ∵m∥n， ∴∠2+∠6＝180°， ∴∠2＝84°， ∴∠5＝∠7， ∴∠3＝180°﹣48°﹣42°＝90°． 故答案为：84°，90°． 18．2023年夏天，成都将举办第31届世界大学生夏季运动会，成都掀起了一股热爱体育的热潮，为响应积极锻炼的同学们，西川中学计划同时购进一批篮球和排球，若购进2个篮球和1个排球，共需要资金280元；若购进3个篮球和2个排球，共需要资金460元． （1）求篮球和排球的价格分别为多少元？ （2）学校计划购进两种球类共20个，商场售出一个篮球，利润率为25%，一个排球的进价为50元．为了促销，商场决定每售出一个排球，返还现金m元，而篮球售价不变，要使商场所有购买方案获利相同，求m的值． 【解答】解：（1）设篮球每个x元，排球每个y元， 根据题意得， 解得， 答：篮球每个100元，排球每个80元； （2）设学校购进篮球a个，则购进排球（20﹣a）个，商场获利为W元， 篮球的进价为100÷（1+25%）＝80（元）， 根据题意得，W＝80×25%a+（80﹣50﹣m）（20﹣a）＝（m﹣10）a+600﹣20m， ∵商场所有购买方案获利相同，即W与a无关， ∴m﹣10＝0， ∴m＝10． 19．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 几何模型在最短路径问题中的应用 素材一 提出问题：求代数式的最小值． 素材二 建立模型：可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2．原问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB的值最小？” 素材三 解答过程：如图2连接AD，交CF于点B，此时AB+DB的值最小，将AC延长至AH使得CH＝DF＝2，连接HD，则 ∵AH＝AC+CH＝3+2＝5， HD＝CF＝12， ∴在Rt△ADH中，， ∴|AB+DB|min＝AD＝13， ∴的最小值是13． 问题解决 任务一 根据以上学习：代数式的最小值为　　 ． 任务二 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A、B到河岸的垂足之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥PQ，使得从A到P，过桥PQ，再从Q到B的路程最短，则最短路程为　18　 km． 任务三 思维拓展：已知正数x满足，求x的值． 【解答】解：任务一．建立模型：如图，设CF＝5，AC＝2，CB＝x，DF＝1，AC⊥CF，DF⊥CF， 则AB，BD，的最小值即为AB+DB的值最小， 当A，B，D共线时AB+DB的值最小，最小值为AD， 过点D作DH⊥AC，交AC的延长线于H，则四边形CFDH是矩形， ∴DH＝CF＝5，CH＝DF＝1， ∴AH＝3， 在Rt△ADH中，AD， ∴的最小值为， 故答案为：； 任务二．过点B作BD⊥河岸于D，在射线BD上截取BB′＝PQ，则四边形B′DQP是平行四边形， ∴BB′＝PQ＝5km，B′P＝BQ， 当点A，P，B′共线时，AP+B′P＝AP+BQ最小，最小值为AB′， 过点A作AE⊥BB′交其延长线于点E． 则AC＝2km，BD＝3km，AE＝12km， ∴AB′13（km）， 则从A到B的最短路程是： AP+PQ+BN ＝AB′+PQ＝18（km）． 答：从Q到B的最短路程为18km， 故答案为：18； 任务三．如图： ∵AD⊥BC，AC＝6，AB＝8，AD＝x，BC＝10，则， 设CD＝y，则x2＝62﹣y2＝82﹣（10﹣y）2，解得y， ∴x（负值舍去）． 20．如图1，直线yx+6与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线y＝﹣x+m（m＞0）与x轴、y轴分别交于D，C两点，并与直线yx+6相交于点E（﹣2，n）． （1）求直线CD的解析式； （2）如图2，若P为直线AB上一动点，△PDE的面积S△PDE，求点P的坐标； （3）如图3，直线AB上一点Q位于第三象限，以BQ为斜边向右侧作等腰直角△BHQ，直角顶点H恰好落在x轴上，请直接写出Q点的坐标． 【解答】解：（1）把点E（﹣2，n）代入yx+6得n（﹣2）+6＝3， ∴E（﹣2，3）， 把E（﹣2，3）代入y＝﹣x+m得3＝2+m， ∴m＝1， ∴直线CD的解析式为y＝﹣x+1； （2）在y＝﹣x+1中，令y＝0，则x＝1， ∴D（1，0）， 在yx+6中，令y＝0，则x＝﹣4， ∴A（﹣4，0）， 设P（a，a+6）， ∵S△PDE， ∴S△PDE＝S△ADP﹣S△ADEAD•Pyy5×（a+6）5×3，或S△PDE＝S△ADE﹣S△ADPy﹣AD•Py5×35×（a+6）， 解得a或a， ∴P（，4）或（，2）； （3）在yx+6中，令x＝0，则y＝6， ∴B（0，6）， ∴OB＝6， 设Q（b，b+6）， 过Q作QE⊥x轴于E， ∵△BHQ是等腰直角三角形，∠BHQ＝90°， ∴HQ＝BH， ∵∠QEH＝∠BHQ＝∠BOH＝90°， ∴∠HBO+∠BHO＝∠BHO+∠QHE＝90°， ∴∠HBO＝∠QHE， ∴△BHO≌△HQE（AAS）， ∴EQ＝OHb﹣6，HE＝OB＝6， ∴﹣b+（b﹣6）＝6， 解得b， ∴Q点的坐标为（，）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/9 18:49:21；用户：王学萌；邮箱：wangxm_yl@xyh.com；学号：37863127 学科网（北京）股份有限公司 $