2.3 确定二次函数的表达式 第1课时（教学设计）数学北师大版九年级下册

2.3 确定二次函数的表达式 （第1课时） 教学设计 1.教学内容 本课选自北师大版九年级下册《第二章 二次函数》2.3“确定二次函数的表达式”（第1课时）。主要围绕待定系数法在二次函数 中的应用展开，探讨不同形式（一般式、顶点式等）的二次函数关系式如何依据已知条件灵活确定，夯实二次函数建模基础。 2.内容解析 本节首先复习二次函数图象与性质，强调开口方向、对称轴、顶点及增减性。情境引入面对实际抛物线问题，提出如何依据顶点及另一点坐标来求表达式。接着通过若干例题，说明不同形式的未知系数数量不同，需相应确定足够多的条件。最终总结用待定系数法的步骤：设、列、解、答，突出方程组求解在函数建模中的重要性。 1.教学目标 •通过对用待定系数法求二次函数表达式的探究，掌握求表达式的方法。 •能灵活根据条件恰当地选择表达式，体会二次函数表达式之间的转化。 2.目标解析 • “掌握求表达式的方法”要求学生能够从已知条件中建立相应方程组，熟练运用待定系数法解出； • “体会表达式之间的转化”旨在培养学生抽象概括能力，理解一般式与顶点式及其相互转换的联系。 3.重点难点 • 教学重点：能用待定系数法正确构建和求解方程组，写出二次函数解析式。 • 教学难点：在解题过程中，灵活选用不同形式的解析式，尤其是运用顶点坐标求函数表达式并深刻理解转化意义。 学生已具备一次函数、反比例函数的待定系数求法基础，并对多项式、方程组有一定掌握。对二次函数性质虽已有初步认识，但在运用顶点式或其他“减系数”形式时可能出现代入不熟练、漏解等问题；对概念归纳较易，但在灵活建立方程组和活用几何关系方面尚需加强。教师需在例题与练习中引导学生反复操作和思考，从而突破本节难点。 创设情景，引入新课 问题情境： 1.知识回顾 二次函数y=+bx+c的图象和性质 函数 y=ax²+bx+c（a＞0） y=ax²+bx+c（a＜0） 开口方向 开口向上，|a|越大开口越小 开口向下，|a|越大开口越小 对称轴 关于直线x=−对称 顶点坐标 坐标（−,） 最值 当x=−时，= 当x=−时，= 增减性 当x＜−时，y随x的增大而减小；当x＞−时，y随x的增大而增大. 当x＜−时，y随x的增大而增大.当x＞−时，y随x的增大而减小； 2.情景引入 ①二次函数表达式的一般形式是什么? 解：y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,a ≠0) ②二次函数表达式的顶点式是什么? 解：y=+k (a ≠0) ③我们在用待定系数法确定一次函数y=kx+b(k,b为常数，k≠0)的关系式时，通常需要（ ）个独立的条件.确定反比例函数y=（k≠0)关系式时，通常需要（ ）个条件. 解：2，1. 思考: 如果确定二次函数y=+bx+c(a,b,c为常数，a≠0）的关系式时，通常又需要几个条件？ 【设计意图】本环节通过与一次函数和反比例函数的对比，引导学生回忆用待定系数法求表达式所需的条件数，激发学生的思考与求知欲，为新课“确定二次函数的表达式”做好铺垫。 探究点1：确定二次函数表达式 1.议一议 一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示，其中（4，3）为图象的顶点，你能求出y与x之间的关系式吗？ 分析：图象为一条抛物线，因此y是x的二次函数，且已知顶点坐标，因此可以设顶点式y=+k (a ≠0)，图象过点（10，0），将其代入表达式即可求出待定系数a. 解：∵(4，3)是抛物线的顶点坐标， ∴设二次函数表达式为y＝+3. 把点(10，0)的坐标代入y＝+3，解得a＝－， ∴铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数表达式为y＝－+3. 思考：确定二次函数的表达式需要几个条件？与同伴进行交流。 2.知识归纳 确定二次函数表达式的条件： 确定二次函数的表达式y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)，通常需要3个条件; 当知道顶点坐标（h,k）和图象上的另一点坐标两个条件时，用顶点式y=+k可以确定二次函数的关系式. 3.典例分析 例：已知二次函数y=+c的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求这个二次函数的表达式. 分析：确定二次函数y＝+c的表达式，只需确定a,c两个系数的值，需要知道两个点坐标，因此此题只要把已知两点坐标代入即可. 解：将点（2，3）和（－1，－3）分别代入表达式y=+c中，得 3=4a+c,－3=a+c, 解这个方程组，得a=2,c=－5. ∴所求二次函数表达式为：y=2－5. 4.知识归纳 不同形式的二次函数表达式的确定条件： (1)形如y＝的二次函数，因为只有一个未知系数a，所以只需要知道图象上一个点的坐标. (2)形如y＝，y＝+c和y＝+bx的二次函数，有两个未知系数，所以需要知道图象上两个点的坐标. (3)形如y＝+k的二次函数，如果已知二次函数的顶点坐标，那么再知道图象上的一个点的坐标就可以确定二次函数的表达式. 5.做一做 已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式. 分析：此题顶点坐标未知，因此可以设一般式y＝a+bx+c，因为二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，即c＝1，因此只有两个未知系数a和b，又已知两点的坐标，代入即可求出表达式. 解：∵二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，所以设二次函数表达式为y＝a+bx+1， ∵经过点（2，5）和（-2，13）， ∴4a+2b+1=5,4a−2b+1=13, 解得：a=2, b=−2 ∴这个二次函数的表达式为y＝2-2x+1. 【设计意图】通过问题引入，让学生明确二次函数多种形式的优劣势，并理解为什么需要 3 个独立条件来确定二次函数表达式，进一步体会不同形式在求解中的便利性。 探究点2：求二次函数表达式的方法 1.想一想 教师提问：在什么情况下，已知二次函数图象上两点就可以确定它的表达式？ 学生思考并讨论： ①二次函数可化成y=+k时，顶点是（h，k），如果已知顶点坐标，那么再知道图象上另一点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式. ②已知二次函数y=ax²+bx+c中一项系数，再知道图象上两个点的坐标，也可以确定这个二次函数的关系式. 2.知识归纳 求二次函数表达式的方法： 1.求二次函数表达式采用的一般方法是待定系数法. 2.求二次函数表达式的步骤和方法: (1)设二次函数的表达式； (2)根据图象或已知条件列方程(或方程组)； (3)解方程（或方程组）,求出待定系数； (4)答：写出二次函数的表达式. 3.典例分析 例1 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式. 解：∵这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)， ∴可以设函数表达式为 y=+9. 又∵它的图象经过点(0 ,1)，可得 1=+9. 解得a=−. ∴所求的二次函数的表达式是y=+9. 例2 已知二次函数y＝a＋bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)，求这个二次函数的表达式． 解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5）， ∴8=4a-2b，5=a-b， 解得 a=-1,b=-6. ∴ 这个二次函数的表达式为：y=--6x. 【设计意图】通过在两个核心例题，对待定系数法确定二次函数表达式的思路和方法进行阶段性总结，帮助学生梳理知识结构，并做好下一步内容衔接。 1．二次函数的图象如图所示,则它的表达式是(　 　) A.y＝2-4x B.y＝-x(x-2) C.y＝-+2 D.y＝-2+4x 解：D． 2.已知二次函数y＝＋bx－2的图象与x轴的一个交点坐标为(1，0)，则该二次函数的表达式为( ) A．y＝－2x B．y＝＋x－1 C．y＝＋x－2 D．y＝－x－2 解：C． 3.已知二次函数y=a+bx，当x=1时，y=2;当x=-1时，y=4，则a，b的值分别是( ) A.3,-1 B.3，1 C.-3,1 D.-3，-1 解：A. 4.一个二次函数图象的顶点坐标是(2，4)，且过另一点（0，-4），则这个二次函数的解析式为（ ） A.y=-2+4 B.y=2-4 C.y=-2+4 D.y=2-4 解：C． 5. 已知二次函数图象的顶点是（-1，1），且经过点（1，-3），则这个二次函数的表达式为( ). 解：y=--2x 6.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是( ). 解： 7.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是( ). 解:y=-+6 8.已知一个二次函数，当x=-3时，函数的最大值为2，且它的图象经过点(1，-14)，则这个二次函数的表达式为( )(化为一般形式). 解：y=--6x-7 9.已知抛物线y=+bx+c经过点A(-1，0)，B(2，-3)，求该抛物线的解析式. 解: 10.如图，已知二次函数y=+bx+c的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的积． 解:(1)∵该图象经过点（2,0）和(0,－6), -2+2b+c=0,c=-6 解得 b=4,c=-6 ∴二次函数的表达式为：y=+4x−6. (2)∵由(1)得 a=−，b=4, ∴二次函数对称轴为直线x=−=−×(−)=4, ∴c点坐标为（4,0）, ∴=×2×6=6. 【设计意图】所给的基础巩固题覆盖面广，从简单到稍复杂，由此巩固用待定系数法求二次函数解析式的常规思路。题目设计紧扣“已知三点确定三个参数”以及“已知顶点形式减少未知量”、 “已知对称轴”或“特殊方程结构”等关键思路。 主板书 2.3 确定二次函数的表达式 （第1课时） 探究点1 确定二次函数表达式 探究点 2 求二次函数表达式的方法 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 1. 必做题：习题2.3第1-2题。 2. 探究性作业：习题2.3第3题。 学科网（北京）股份有限公司 $