2.4.1二次函数应用--面积最值问题　教学设计　2024—2025学年北师大版数学九年级下册

课题 2.4.1最大面积问题（第一课时） 授课人 授课时间 教学目标 1. 经历求最大面积等问题的探索过程，体会二次函数是一类最优化的数学模型，感受数学的应用价值。 2．能分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数知识求出实际问题的最大（小）值。 教学重点 用二次函数的知识分析解决有关面积的实际问题. 教学难点 通过图形的面积关系列出函数表达式. 授课类型 新授课 课时 1课时 2.4.1 二次函数的应用--最大面积问题 教学设计 教学环节 师生活动 设计 意图 回顾 1.通过配方求下列二次函数的最大值或最小值. (1)y (2)y＝. 师生活动：学生自主进行解答，教师做好指导和点评. 提示：求解二次函数的最值一般有两种方法： 一是把一般式化为顶点式；二是利用顶点坐标公式求解. 通过回顾二次函数的最值问题，为讲解新课作铺垫，两种求解方法为学生深刻理解知识提供理论支持. 活动一：创设情境、导入新课 【课堂引入】 在一面靠墙(墙长10米)的空地上用长为24米的篱笆，围成一个长方形花圃，设花圃的宽为 米，面积为S平方米.当 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ 师生活动：学 生 根 据 题 目 要求，观察图形，积极思考问题，先把矩形篱笆的 面 积用 函 数 表达 式表示出来，然后再求其最大面积，从而使问题得以解决 1.教师引导学生分析与矩形面积相关的量. 2.教师设问，如何用含字母的代数式表示与其相邻的边的长度. 3.学生自主列函数关系式，并进行整理，讨论问题解答的正确性. 4.针对问题要求进行求解，并回答问题. 教师关注： 1.学生能否根据矩形的面积公式列函数关系式. 2.学生能否根据以前所学知识准确求出函数的最大值. 通过实际应用，激发学生解答的欲望，让学生在合作中学习，共同解答问题，培养学生的探究能力和合作意识. 活动二：实践探究、交流新知 【探究新知】 矩形面积何时最大 问题1：如图,在一个直角三角形AEF的内部作一个矩形 ABCD，其中 AB 和 AD 分别在两直角边上.已知， (1)如果设矩形的一边 AB=xm,那么AD 边的长度如何表示？ (2)设矩形的面积为 ym2,当 x 取何值时, y 的值最大？最大值是多少？ F E A C D B 在探究问题解决过程中，应该注意： （1）给学生留有充足的时间，让其通过交流讨论，得出解决问题 的方法。（2）鼓励学生积极地参与到数学活动中。（3）鼓励学生设不同的自变量 问题 2（变式训练）： 在上面问题中，如果把矩形改为下图的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样解决这个问题的？C E E B D O F A 在此问题的解决过程中，要给学生留有充分的时间进行探 究，如果学生探究问题的解决方法时有困难，那么就要引导学生进行 问题的思考与解决 学生通过交流讨论，探索解决问题的方法。然后选派学生代表进行发言。 1.教师总结解题过程. 2.师生总结 教师指导学生总结解答问题的方法和步骤，学生代表进行说明，全班互相交流，师生共同确定解题思路： （1）设自变量，表示与面积相关的量.（2）利用面积公式列函数表达式，并进行整理.（3）确定自变量的取值范围.（4）利用顶点坐标公式或配方法求出最值.（在自变量的取值范围内） 通过典型问题的设计和解答，让学生体会函数模型在解决实际问题中的作用. 活动三：开放训练、体现应用 【做一做】 例1　（教材第46页例1）某建筑的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长为15 m（图中所有黑线的长度和）.当x等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到0.01 m）此时，窗户的面积是多少？（结果精确到0.01 m2） 解：由题意可知4y＋×2πx＋7x＝15. 化简，得y＝. 设窗户的面积为S m2，则S＝πx2＋2x·＝－3.5x2＋7.5x. ∵a＝－3.5<0，∴S有最大值. ∴当x＝－＝≈1.07时， S最大＝＝≈4.02. 即当x≈1.07 m时，窗户通过的光线最多.此时，窗户的面积是4.02 m2. 典型例题的设置是让学生跟着解题思路去解题，从而提高学生对二次函数与图形面积的应用能力.变式训练是对题目类型的补充. 活动四： 课堂练习 【课堂练习】 1. 用长为8m的铝合金材料制成的形状为矩形的窗框，则窗框的透光面积最大为多少（ ） 2.如图，小亮父亲想用长为80m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边AB=xm，面积为Sm2. （1）写出S与x之间的关系式，并指出x的取值范围； （2）当AB，BC分别为多少时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？D A C B 3.一块三角形废料如图所示,∠C=90°,AC=8,BC=6.用这块废料剪出一个矩形CDEF,其中,点D,E,F分别在AC,AB,BC上.当AE为多长时所剪出的矩形CDEF面积最大?最大面积是多少? 4.如图，在一面靠墙(墙长10米)的空地上用长为24米的篱笆，围成一个长方形花圃，设花圃的宽AB为 米，面积为S平方米.当 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ 【拓展提升】 2.如图，在平面直角坐标系中，𝑶𝑨=𝟏𝟐 𝐜𝐦 , 𝑶𝑩=𝟔 𝐜𝐦，点𝑷从点𝑶开始沿边𝑶𝑨向点𝑨 以 𝟏 𝐜𝐦/𝐬的速度移动，同时点𝑸从点𝑩开始沿边𝑩𝑶 向点𝑶以𝟐 𝐜𝐦/𝐬 的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.设运动时间为𝒕 𝐬 ，当△𝑷𝑶𝑸的面积为，当△𝑷𝑶𝑸的面积最大时，此时𝒕 的值为____. 学生进行当堂练习，完成后，教师进行批阅、点评、讲解. 进一步巩固所学新知，同时检测学习效果. 课堂小结 1.你在本节课中有哪些收获？有哪些进步？还有哪些困惑？请谈一谈. 教师强调：（1）主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法. （2）利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式等关系写出二次函数关系式是解决问题的关键. 2.布置作业：习题2.8第1、2、3题 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学习能力. 学科网（北京）股份有限公司 $$