精品解析：江苏省常州外国语学校2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷

常州外国语学校2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，的值可以是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算结果正确的是（　　　） A. B. C. D. 4. 如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（ ） A. ∠B＝∠C B. AD＝AE C. DC＝BE D. ∠ADC＝∠AEB 5. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若等腰三角形的一个角为，则该等腰三角形的顶角为（ ） A. B. 或 C. D. 7. 如图，是的角平分线，过点E作，分别交及的外角的平分线于点M，F．若，则的值为（ ） A. 36 B. 9 C. 6 D. 18 8. 已知，，是的三条边长，记，其中为正整数．下列结论正确的有（ ） ①若为等边三角形，则； ②若，，则为直角三角形； ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（每空2分，共20分） 9. 81的算术平方根是_______． 10. 在实数，，，，中，无理数有__ 个． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 月球沿着一定的轨道围绕地球运动，它的半长轴约为385000千米，这个数据用科学记数法精确到万位表示，应记为________千米． 13. 如图，，若，，则长为__ ． 14. 等腰三角形的周长为16，其一边长为4，那么它的腰为_____． 15. 如图，在中，，分别垂直平分边，，交于点，，如果，那么的周长为___________． 16. 如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是______． 17. 学习了勾股定理后，小明绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的图①的大正方形的面积是20，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的矩形，则的长为____________． 18. 如图，在中，，是边的中点，点在的延长线上，连接，，当，时，则的长为__ ． 三、解答题（19题20题各8分，21题6分，22题7分，23题8分，24题8分，25题11分） 19. 求下列各式中的值： （1）； （2）． 20. 计算： （1）； （2）． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，且． （1）点的坐标为 ，点的坐标为 ； （2）的面积为 ； （3）已知点为轴上一点，若使得的周长最小，点坐标为 ． 22. 如图，点，，，在一条直线上，与相交于点，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 23. （项目式学习测量旗杆的高度）某实践探究小组组员们想探究学校旗杆的高度，通过测量，得到如下数据： 项目课题 测量旗杆的高度 项目方案 （1）同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为9米． （2）小雨在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处 测量示意图 问题产生 （1）根据测量所得数据，计算出旗杆高度； （2）小丽需要后退几米（即的长）？（结果保留根号） 问题解决 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 24. 阅读下列材料，解决问题： 材料一：若无理数的被开方数为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“最近整数区”为；同理规定无理数的“最近整数区”为．例如：因为，所以，所以的“最近整数区”为，的“最近整数区”为． 材料二：有趣的；，年是本世纪仅有的平方年和立方年，不能不珍惜这神奇的一年． （1）的“最近整数区”是 ；的“最近整数区”是 ； （2）若无理数为正整数）的“最近整数区”为，的“最近整数区”为，求的值； （3）实数，，满足关系式；，求的算术平方根的“最近整数区”． 25. 【问题背景】 在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长，宽的长方形纸片进行折纸探究活动．如图，点是边上一动点，连接，把△沿着翻折得到△．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步尝试】 （1）如图，射线交于，判断△形状并说明理由； （2）如图，若射线恰好经过点，求的值； 【操作感悟】 （3）对折长方形纸片，如图，是折痕．若点落在上，请你用无刻度的直尺和圆规，在图中作出边上的点，并写出线段与的数量关系__________；（保留作图痕迹，不写作法） 【思维拓展】 （4）若点是射线上一动点，是中点，当△是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州外国语学校2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，根据一个点的横坐标为负数，纵坐标为正数，进行判断该点位于第二象限，即可作答． 【详解】解：依题意，点的， ∴点所在的象限是第二象限， 故选：B． 2. 长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系可判断x的取值范围，进而可得答案. 【详解】解：由三角形三边关系定理得7－2＜x＜7+2，即5＜x＜9． 因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案． 4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式， 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，属于基础题型，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 3. 下列计算结果正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照平方根和二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：A、，故A项正确； B、，故B项错误； C、，故C项错误； D、，故D项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了平方根和二次根式的计算，掌握运算法则是解题关键． 4. 如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（ ） A. ∠B＝∠C B. AD＝AE C. DC＝BE D. ∠ADC＝∠AEB 【答案】C 【解析】 【分析】△ADC和△AEB中，已知的条件有AB=AC，∠A=∠A；要判定两三角形全等只需条件一组对应角相等，或AD=AE即可．可据此进行判断，两边及一边的对角相等是不能判定两个三角形全等的． 【详解】A、当∠B=∠C时，符合ASA的判定条件，故A正确； B、当AD=AE时，符合SAS的判定条件，故B正确； C、当DC=BE时，给出的条件是SSA，不能判定两个三角形全等，故C错误； D、当∠ADC=∠AEB时，符合AAS的判定条件，故D正确； 故选C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的证明，掌握三角形全等证明相关定理是解题的关键． 5. 如图，数轴上点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数轴，实数的估值，对各选项的无理数进行估值，即可解答． 【详解】解：∵，，，， ∴点P表示的数可能是． 故选：B 6. 若等腰三角形的一个角为，则该等腰三角形的顶角为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论，①当该角为顶角时；②当该角为底角时；分别求解即可． 【详解】解：等腰三角形的一个角为，则该角可能为顶角或底角， 分两种情况讨论： ①当该角为顶角时， 则该等腰三角形的顶角为； ②当该角为底角时， 则该等腰三角形的顶角为：； 综上，该等腰三角形的顶角为或， 故选：． 7. 如图，是的角平分线，过点E作，分别交及的外角的平分线于点M，F．若，则的值为（ ） A. 36 B. 9 C. 6 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，先证，再由勾股定理得，然后证，，则，即可得出结论． 【详解】解：∵是的角平分线，是的外角的平分线， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 已知，，是的三条边长，记，其中为正整数．下列结论正确的有（ ） ①若为等边三角形，则； ②若，，则为直角三角形； ③若，，，，为三个连续整数，且，则满足条件的的个数为7． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，勾股定理逆定理，三角形的三边关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键： 结论①根据等边三角形性质直接计算；结论②利用勾股定理逆定理判断；结论③通过设参数n并解不等式，结合三角形三边关系确定n的取值范围，验证个数是否为7即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵为正整数； ∴；故①正确； 当，时，则：， ∴， ∴， ∴为直角三角形；故②正确； 当时，则， ∵， ∴， ∴； ∵a、b、c是三个相邻的正整数，， ∴不妨设，则剩下两个数分别为（n为正整数）， ∵， ∴， 解得， ∴符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7，共6个， ∴符合题意的a、b、c的取值一共有6组， ∴满足条件的的个数为6，故③错误； 故正确的只有①②； 故选A． 二、填空题（每空2分，共20分） 9. 81的算术平方根是_______． 【答案】9 【解析】 【详解】解：81的算术平方根是9． 10. 在实数，，，，中，无理数有__ 个． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查无理数定义和实数分类，熟记实数分类及无理数定义是解决问题的关键． 根据无理数的定义，无限不循环小数称为无理数，对每个实数进行判断． 【详解】解：在实数，，，，中，无理数有，，共2个， 故答案为：2． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 月球沿着一定的轨道围绕地球运动，它的半长轴约为385000千米，这个数据用科学记数法精确到万位表示，应记为________千米． 【答案】 【解析】 【分析】先将385000精确到万位：390000，再表示成科学记数法的形式． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题考查了求近似数，科学记数法，依题意先将已知数精确到万位是解题的关键． 13. 如图，，若，，则长为__ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 由可得，推出，结合，，代入计算即可得到答案． 【详解】解：， （全等三角形对应边相等）， ，即， ，， ， 则的长为， 故答案为：． 14. 等腰三角形的周长为16，其一边长为4，那么它的腰为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】此题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，当等腰三角形给定的一边长没有明确是腰长或是底边长时，应分情况讨论，此题分两种情况讨论求出腰长即可． 【详解】当腰长为4时，则底边长为，因为，不能构成三角形，故舍去； 当底边长为4时，腰长为，此时可以构成三角形， 故答案为：6． 15. 如图，在中，，分别垂直平分边，，交于点，，如果，那么的周长为___________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解决本题的关键． 利用线段垂直平分线的性质来求解的周长即可． 【详解】解：和分别为、的垂直平分线， ，， 的周长， 故答案为：． 16. 如图，是的角平分线，于点，，，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于F，则，根据得到，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于F， ∵是的角平分线，，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 学习了勾股定理后，小明绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的图①的大正方形的面积是20，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的矩形，则的长为____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，设直角三角形的较长直角边长度为，较短直角边长度为，则中间的小正方形长度为，根据图形得，再根据两图形的面积相等即可求出的值，根据即可求解，注意利用图形之间的关系进行求解是解题的关键． 【详解】解：如图，设直角三角形的较长直角边长度为，较短直角边长度为，则中间的小正方形长度为， 由图2可得，小正方形的边长为， ，即， 围成的矩形长为：， 围成的矩形面积为：， 矩形的面积与大正方形的面积相等， ， 解得 或（舍去）， ， 故答案为：10． 18. 如图，在中，，是边的中点，点在的延长线上，连接，，当，时，则的长为__ ． 【答案】 【解析】 【分析】作交的延长线于点，由，，推导出，由，是边的中点，，得，，则，所以，，可证明，得，，求得，由勾股定理得，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点，如图所示： 则， ， ， ， ，即， ，是边的中点，，， ，， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ，且， ， 解得， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查直角三角形两锐角互余、等腰三角形的“三线合一”、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 三、解答题（19题20题各8分，21题6分，22题7分，23题8分，24题8分，25题11分） 19. 求下列各式中的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根、立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 则， 解得； 【小问2详解】 解：， ， 则， 解得． 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）先计算乘法公式，再计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在格点上，且． （1）点的坐标为 ，点的坐标为 ； （2）的面积为 ； （3）已知点为轴上一点，若使得的周长最小，点坐标为 ． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据点，在平面直角坐标系中的位置即可得到结论； （2）根据割补法即可得到结论； （3）取点关于轴的对称点，连接交轴于，则此时的周长最小，设直线的解析式为，得到直线的解析式为，解方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图所示，点的坐标为，点的坐标为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图所示： 的面积， 故答案为：； 【小问3详解】 解：取点关于轴的对称点，连接交轴于，如图所示： 则此时的周长最小， 设直线的解析式为，将、代入解析式得 ， ， 直线的解析式为， 当时，， 点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形与坐标、网格中求三角形面积、轴对称-最短路径问题、待定系数法求一次函数解析式、求直线与轴交点坐标等知识，数形结合，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 22. 如图，点，，，在一条直线上，与相交于点，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，根据判定三角形全等的方法证得是解决问题的关键． （1）由得，根据得，最后由两个三角形全等的判定定理可证明； （2）由全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ，， ，， 在中，由三角形内角和定理可得， ． 23. （项目式学习测量旗杆的高度）某实践探究小组组员们想探究学校旗杆的高度，通过测量，得到如下数据： 项目课题 测量旗杆的高度 项目方案 （1）同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为9米． （2）小雨在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处 测量示意图 问题产生 （1）根据测量所得数据，计算出旗杆高度； （2）小丽需要后退几米（即的长）？（结果保留根号） 问题解决 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）旗杆的高度为米；（2）小丽需要后退米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为，则米，再由勾股定理计算即可得解； （2）过作于，证明四边形为矩形，得出，，由勾股定理得米，即可得解． 【详解】解：（1）旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，处到旗杆底部的距离为9米， 设旗杆的高度为米，则米， 在中，，由勾股定理得， ， 解得， 答：旗杆的高度为米； （2）过作垂足为点，如图所示： 则， 四边形为矩形， 米，， ， （米，（米， 在中，，由勾股定理得（米， 米， 答：小丽需要后退米． 24. 阅读下列材料，解决问题： 材料一：若无理数的被开方数为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“最近整数区”为；同理规定无理数的“最近整数区”为．例如：因为，所以，所以的“最近整数区”为，的“最近整数区”为． 材料二：有趣的；，年是本世纪仅有的平方年和立方年，不能不珍惜这神奇的一年． （1）的“最近整数区”是 ；的“最近整数区”是 ； （2）若无理数为正整数）的“最近整数区”为，的“最近整数区”为，求的值； （3）实数，，满足关系式；，求的算术平方根的“最近整数区”． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据材料一的定义求出最近整数区； （2）利用最近整数区求出，的取值范围，得出的具体值，求出结论； （3）先根据，得出，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“最近整数区”的定义即可求解． 【小问1详解】 解：， 的“最近整数区”是， ， 的“最近整数区”是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：最近整数区为 ， 最近整数区”为， ， ， ， 为正整数， ， ； 【小问3详解】 解：，，得出， ， ① ② ②①，得， ， ， 的算术平方根是， ， 的算术平方根的“最近整数区”是． 【点睛】本题考查算术平方根、立方根、不等式、无理数估值、解方程等知识点，题目较为新颖，解题的关键是理解题目中“最近整数区”的定义． 25. 【问题背景】 在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长，宽的长方形纸片进行折纸探究活动．如图，点是边上一动点，连接，把△沿着翻折得到△．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步尝试】 （1）如图，射线交于，判断△形状并说明理由； （2）如图，若射线恰好经过点，求的值； 【操作感悟】 （3）对折长方形纸片，如图，是折痕．若点落在上，请你用无刻度的直尺和圆规，在图中作出边上的点，并写出线段与的数量关系__________；（保留作图痕迹，不写作法） 【思维拓展】 （4）若点是射线上一动点，是中点，当△是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长． 【答案】（1） △是等腰三角形； 理由：由折叠可知， 四边形是长方形， ， ， ， ， △是等腰三角形； （2）； （3）； （4）的长为或或 【解析】 【分析】（1）由题易证； （2）易知，再求出，即可得解； （3）先作，再作垂直平分线即可；延长交于点，先得点为中点，易证△△，即可得解； （4）分三种情况讨论，依次画出图形求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知， 由折叠可知，，， ， 在△中，， ； 【小问3详解】 解：如图，点即为所求： ； 延长交于点，则， 为长方形对折折痕， 点为中点，即， 在△和△中， ， △△， ， ， 故答案为：； 【小问4详解】 解：为中点， ， 设，则， ①当点在线段上，且时， 此时， 在△中，， 即， 解得， 即； ②当点在线段上，且时， 此时点在垂直平分线上， 点此时落在边上， 则； ③当点在线段延长线上时，此时只能满足， 过作于点，则， ， ， ， △△， ， ， ； 综上，的长为或或． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $