精品解析：黑龙江省绥化市绥棱县克音河乡学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

初四学年数学试题 2025—2026学年度第一学期第三次测试 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分， 一、单项选择题（每小题3分，共36分，答案写在答题卡里） 1. 的相反数是（ ） A. B. 2025 C. D. 2. 下列天气预报图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，AD是角平分线，且，，点E为中点，则的值为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 5. 已知，则的平方根为（ ） A. B. 8 C. D. 6. 如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次．以下是部分菲尔兹奖得主的年龄（单位：岁）：31，29，31，29，31，32，则对这组数据下列说法正确的是（ ） A. 平均数是30岁 B. 众数是29岁 C. 中位数是31岁 D. 方差是4 8. 某城市轨道交通线网规划2020年由4条线路组成，其中1号线一期工程全长30千米，预计运行后的平均速度是原来乘公交车的1.5倍，行驶时间则缩短半小时．设原来公交车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的外心到三角形三边的距离相等 B. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 C. 若一个正多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是正五边形 D. 甲、乙两人8次射击成绩方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定 10. 对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，，分别以为边作正方形，交于点O．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，刘强同学得出了下面五条结论：①；②；③方程的两根分别为和；④；⑤若点，都在该抛物线上，则．其中结论正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（每题3分，共30分，答案写在答题卡里） 13. 截至2025年5月21日，电影《哪吒之魔童闹海》票房一突破158.59亿元，将158.59亿用科学记数法表示为__________． 14. 分解因式：______． 15. 如图，为等边三角形，点D，E分别在边上，．若，则的长为___________________________________． 16. 小明想利用小区附近的楼房来测同一水平线上一棵树的高度．如图，他在同一水平线上选择了一点A，使A与树顶E、楼房顶点D也恰好在一条直线上．小明测得A处的仰角为∠A = 30°．已知楼房CD高21米，且与树BE之间的距离BC = 30米，则此树的高度约为________米．（结果保留两个有效数字，≈1.732） 17. 化简：__________． 18. 一个扇形的半径长为，面积为，用这个扇形做成一个圆锥的侧面，则做成的圆锥的底面圆半径______． 19. 如图，在Rt△ABO中，∠ABO=90°，反比例函数y=的图象与斜边OA相交于点C，且与边AB相交于点D．已知OC=2AC，则△AOD的面积为_____． 20. 如图，正方形的边长为，以边为底向外作等腰，点是对角线上的一个动点，连接，，则的最小值是______． 21. 如下图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…………按这样的规律下去，第6幅图中有_______个正方形． 22. 如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F是对角线上一动点，作点C关于直线的对称点P，若，则的长为_______． 三、解答题 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； （2）以原点为位似中心，位似比为1∶2，在轴的左侧，画出将放大后的； （3）求的面积． 24. 某学校为了解七年级学生体育课的实效性，开学初对七年级学生进行了跳绳测试，测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组，（满分10分），并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列向题： （1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中 ，所抽取学生成绩的中位数落在 组，补全学生成绩频数分布直方图； （2）若成绩在8分及以上为优秀，学校共有2000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？ （3）学校将从获得满分的4名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 25. 2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． （1）购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ （2）若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ （3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 26. 如图，已知是直径，且．C、D是上的点，，交于点E，连接， ，过点D作射线交延长线于点F． （1）求的度数； （2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）； （3）若，试证明是的切线． 27. 在矩形中，，． （1）【问题发现】 如图，为边上的一个点，连接，过点作的垂线交于点，试猜想与的数量关系并说明理由． （2）【类比探究】 如图，为边上的一个点，为边延长线上的一个点，连接交于点，过点作的垂线交于点，试猜想与的数量关系并说明理由． （3）【拓展延伸】 如图，点从点出发沿射线运动，连接，过点作的垂线交射线于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，连接，在点的运动的路程中，线段的最小值为__________； 28. 已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求的值； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标； （3）在第2问的条件下，为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标． 29. 为响应学校的号召，甲、乙两名同学相约周末从山脚下开始登山，甲先出发，甲乙两人距山脚的高度y（米）与乙登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲登山上升的速度是每分钟                 米． （2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请直接写出在两人登山过程中，乙登山多长时间时，甲乙两人距山脚的高度差为70米？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四学年数学试题 2025—2026学年度第一学期第三次测试 考生注意： 1．考试时间120分钟． 2．全卷共三道大题，总分120分， 一、单项选择题（每小题3分，共36分，答案写在答题卡里） 1. 的相反数是（ ） A. B. 2025 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的概念，根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解： 的相反数是2025． 故选：B． 2. 下列天气预报图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，包括幂的乘方、合并同类项、积的乘方和平方差公式．根据同底数幂乘法、合并同类项，单项式的乘法运算，积的乘方，平方差公式逐一计算各选项的正确性即可． 【详解】A．，故选项A计算错误，不合题意； B．与是不同类项，无法合并为，故选项B计算错误，不合题意； C．，选项运算正确，符合题意； D．，故选项D计算错误，不合题意； 故选C． 4. 如图，在中，，AD是角平分线，且，，点E为中点，则的值为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，根据勾股定理求出的长度，最后根据直角三角形斜边上是中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵，AD是角平分线， ∴，， 根据勾股定理可得：， ∵点E为中点， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质． 5. 已知，则的平方根为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的被开方数要大于等于0，代数式求值，正确求出x、y的值是解题的关键． 根据二次根式的被开方数非负，求出 x 的值，进而得到 y 的值，然后计算 并求其平方根． 【详解】∵ 使 和 有意义，需 且 ， ∴ 且 ， ∴ ． 当 时，． ∴ ． ∴ 的平方根为 ． 故选D． 6. 如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据互相垂直可得所对的圆心角为，根据圆周角定理可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图， 半径互相垂直， ， 所对的圆心角为， 所对的圆周角， 又， ， 故选D． 【点睛】本题考查圆周角定理、三角形内角和定理，解题的关键是掌握：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． 7. 菲尔兹奖是数学领域的国际最高奖项之一，每四年颁发一次．以下是部分菲尔兹奖得主的年龄（单位：岁）：31，29，31，29，31，32，则对这组数据下列说法正确的是（ ） A. 平均数是30岁 B. 众数是29岁 C. 中位数是31岁 D. 方差是4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、方差和平均数，根据众数、中位数、方差和平均数定义即可求解，掌握众数、中位数、方差和平均数的定义是解题的关键． 【详解】解：在数据31，29，31，29，31，32中， 首先将数据从小到大排列：29，29，31，31，31，32． 中位数计算：由于有6个数据，中位数是第3和第4个数的平均值，即．选项C说法正确，符合题意； 众数计算：出现次数最多的数是31，出现了3次．选项B说法错误，不合题意； 平均数计算：平均数为，选项A说法错误，不符合题意； 方差计算：．选项D说法错误，不合题意． 故选：C． 8. 某城市轨道交通线网规划2020年由4条线路组成，其中1号线一期工程全长30千米，预计运行后的平均速度是原来乘公交车的1.5倍，行驶时间则缩短半小时．设原来公交车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题中等量关系“一期工程全长30千米，预计运行后的平均速度是原来乘公交车的1.5倍”用x表示出运行后公交车的速度、时间，原来公交车的行驶时间，由“行驶时间则缩短半小时”即可列出方程. 【详解】解：设原来公交车的平均速度为x千米/时，可得： 故选D． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找出题中的等量关系是解题的关键. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的外心到三角形三边的距离相等 B. 在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 C. 若一个正多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是正五边形 D. 甲、乙两人8次射击成绩方差分别是，，则乙的射击成绩较稳定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的外心、圆周角性质、正多边形内角公式和方差的意义．逐项判断：A项外心到三顶点距离相等，但到三边距离不一定；B项等弦所对圆周角可能相等或互补，不一定总是相等；C项通过内角公式计算得边数为5；D项方差小者稳定，故甲更稳定． 【详解】A．三角形的外心是外接圆圆心，到三顶点距离相等，但到三边距离不一定相等（内心到三边距离相等），故A错误； B．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，但圆周角可能相等或互补（取决于优弧或劣弧），故B错误； C．∵一个正多边形的每一个内角都是，∴每一个外角都是， ∵多边形的外角和为，∴这个正多边形的边数为， 即这个多边形是正五边形，故原说法正确，该选项符合题意； ∵D．方差越小表示成绩越稳定，，故甲更稳定，D错误． ∴ 正确答案为C． 10. 对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义下的实数运算；由得：，由根与系数的关系得；再把所求代数式通分，整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∵m，n是方程的两个实数根， 即m，n是方程的两个实数根， ∴； ∴； 故选：A． 11. 如图，中，，分别以为边作正方形，交于点O．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质求得，根据即可求得的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， 在中，； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了正方形的性质及相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确证得是解决问题的关键． 12. 如图，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，刘强同学得出了下面五条结论：①；②；③方程的两根分别为和；④；⑤若点，都在该抛物线上，则．其中结论正确的个数有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据开口方向得出，根据对称轴，得出，再根据抛物线与轴的交点在负半轴，得出，从而得出结论；②根据对称轴，得出，从而得出结论；③根据抛物线关于对称轴对称，从而的抛物线与轴的另一个交点，从而得出结论；④根据根与系数的关系，，从而得出结论；⑤根据两点的横坐标，得出点，关于对称轴对称，从而得出结论． 【详解】①抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴的交点在负半轴， ， ， 故①错误． ②抛物线的对称轴为直线， ， ， 故②错误． ③当时，， 抛物线关于直线对称， ， ， ， 方程的两根分别为和， 故③正确． ④当时，， 抛物线关于直线对称， ， ， ， ， ， 故④错误． ⑤点，都在该抛物线上， ， 点，关于对称轴对称， ， 故⑤正确． 故正确的有③⑤，共2个， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与性质、二次函数与一元二次方程之间的联系、一元二次方程根与系数之间的关系等知识点，本题能够利用二次函数的图象与性质，数形结合是解决本题的关键． 二、填空题（每题3分，共30分，答案写在答题卡里） 13. 截至2025年5月21日，电影《哪吒之魔童闹海》票房一突破158.59亿元，将158.59亿用科学记数法表示为__________． 【答案】1.5859× 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 将 158.59 亿转换为科学记数法，需先将“亿”转换为 ，然后调整小数点的位置使 满足条件． 【详解】158.59 亿 = 158.59 × = 1.5859 × ． 故答案为 ． 14. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】按照提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 15. 如图，为等边三角形，点D，E分别在边上，．若，则的长为___________________________________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质．先根据“两角对应相等，两三角形相似”证明，则可得，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 16. 小明想利用小区附近的楼房来测同一水平线上一棵树的高度．如图，他在同一水平线上选择了一点A，使A与树顶E、楼房顶点D也恰好在一条直线上．小明测得A处的仰角为∠A = 30°．已知楼房CD高21米，且与树BE之间的距离BC = 30米，则此树的高度约为________米．（结果保留两个有效数字，≈1.732） 【答案】3.7 【解析】 【详解】根据题意可得：AC==21，∴AB=AC-BC=21-30． ∴树高BE=AB×tan30°=（21-30）×tan30°≈3.7（米） 17. 化简：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的运算，首先将分母因式分解，然后约去公因式，再通分计算． 【详解】原式 = = = = = = ． 故答案为： ． 18. 一个扇形的半径长为，面积为，用这个扇形做成一个圆锥的侧面，则做成的圆锥的底面圆半径______． 【答案】 【解析】 【分析】由于圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则利用扇形的面积公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：根据题意得， 即得， 所以圆锥的底面圆半径为． 故答案为． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 19. 如图，在Rt△ABO中，∠ABO=90°，反比例函数y=的图象与斜边OA相交于点C，且与边AB相交于点D．已知OC=2AC，则△AOD的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作CE⊥OB于点E，设出C，D的坐标，求出△OBD和△OCE的面积，利用平行线的性质得出△OEC∽△OAB，利用相似三角形的性质求出△OAB的面积，用△OAB的面积减去△OBD的面积，结论可得． 【详解】解：过点作于点，如图： 设，， ，在第二象限， ，，，． ，，，． ，在反比例函数的图象上， ． ，． ，， ． ． ． ， ． ． ． ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，反比例函数图象上的坐标的特征，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键． 20. 如图，正方形的边长为，以边为底向外作等腰，点是对角线上的一个动点，连接，，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点，连接，由轴对称的性质得，判断出当P与重合时，的值最小，最小值为的长．然后求出，，，，得到，然后利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：连接交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴点B与点D关于直线对称， ∴， ∴， ∴当P与重合时，的值最小，最小值为的长． ∵正方形的边长为4， ∴，． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形，正方形，解题的关键是掌握轴对称-最短路线问题，利用轴对称-最短路线问题． 21. 如下图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…………按这样的规律下去，第6幅图中有_______个正方形． 【答案】91． 【解析】 【详解】寻找规律：观察图形发现 第1幅图有1个正方形， 第2幅图有1+4=5个正方形， 第3幅图有1+4+9=14个正方形， …… 则第6幅图有1+4+9+16+25+36=91个正方形． 22. 如图，在矩形中，，，点E是边的中点，点F是对角线上一动点，作点C关于直线的对称点P，若，则的长为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了对称的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，根据题意画出示意图，连接，交直线于点G，延长交于点H，当点P在上方时，由勾股定理求出，进而得到，由点C关于直线的对称点P，得到，，求出，进而得到，再求出，证明是等腰三角形，在中，解直角三角形求出，进而求解；当点P在下方时，先求出，，结合对称的性质易证是等边三角形，易求，解直角三角形求出，由即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交直线于点G，延长交于点H， 当点P在上方时， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∵点C关于直线的对称点P， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴； 如图，当点P在下方时， ∵， ∴， ∵， ∴，， 由对称的性质得， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 综上，的长为或． 故答案为：或． 三、解答题 23. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； （2）以原点为位似中心，位似比为1∶2，在轴的左侧，画出将放大后的； （3）求的面积． 【答案】（1） 画图如下：     则即为所求． （2） 画图如下：     则即为所求． （3）10 【解析】 【分析】（1）根据平移规律，画图即可． （2）根据位似的性质，确定坐标，后画图即可． （3）利用割补法求三角形面积即可． 本题考查了平移作图，位似作图，坐标与图形，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意，的顶点坐标分别为、、． 将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的坐标分别为、、． 【小问2详解】 解：由、、．以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，将放大后的坐标分别为、、． 【小问3详解】 解：∵、、． ． 24. 某学校为了解七年级学生体育课的实效性，开学初对七年级学生进行了跳绳测试，测试结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组，（满分10分），并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列向题： （1）本次调查一共随机抽取了 名学生的成绩，频数分布直方图中 ，所抽取学生成绩的中位数落在 组，补全学生成绩频数分布直方图； （2）若成绩在8分及以上为优秀，学校共有2000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？ （3）学校将从获得满分的4名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名，参加周一国旗下的演讲，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）400，60，D， 补全学生成绩频数分布直方图如下： （2）估计该校成绩优秀的学生有人 （3） 【解析】 【分析】本题考查概率与统计综合，涉及扇形统计图与条形统计图数据关联、补全条形统计图、用样本估计总体及列举法求概率等知识，熟记相关统计量及求法，熟练掌握列举法求概率是解决问题的关键。 （1）用C组的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数，由此即可求出m的值，进而根据中位数的定义判断其范围范围，再根据总人数及已知各组人数，计算出E组的人数，从而补全直方图； （2）根据样本中优秀人数占比即可估计2000人中成绩优秀的数量； （3）由画树状图的方法得到全部结果及满足题意的结果数，利用概率公式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：本次调查一共随机抽取的学生总人数为（名）； ∴B组的人数为（名），即； ∵所抽取学生成绩的中位数是第200和第201个成绩的平均数，且， ∴所抽取学生成绩的中位数落在D组， E组的人数为：（人） 故答案为：400，60，D； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校成绩优秀的学生有人； 【小问3详解】 解：两名男生表示为男1，男2，两名女生表示为女1，女2，抽取过程如图所示， 共有12种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有8种， ∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是． 25. 2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． （1）购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ （2）若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ （3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 【答案】（1）购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元 （2）方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； （3）方案一需要的资金最少，最少资金是2160元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式组和一次函数的解析式，是解题的关键： （1）设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，根据购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买“蜀宝”个，根据投入资金不少于2160元又不多于2200元，列出不等式组，进行求解即可； （3）根据投入资金等于两种吉祥物的费用之和，列出函数关系式，利用一次函数的性质，进行求解即可． 【小问1详解】 解：设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，由题意，得： ，解得：； 答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元； 【小问2详解】 解：设购买“蜀宝”个，则：购买“锦仔”个； ∴， 解得：， ∴， ； ∴共有3种方案： 方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 【小问3详解】 解：由题意，得：， ∴随着的增大而增大， ∴当时，即方案一需要的资金最少，最少资金是（元）； 答：方案一需要的资金最少，最少资金是2160元． 26. 如图，已知是直径，且．C、D是上的点，，交于点E，连接， ，过点D作射线交延长线于点F． （1）求的度数； （2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）； （3）若，试证明是的切线． 【答案】（1） （2） （3） 由得 又 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵为直径 ∴ ∴ ∴是的切线． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，即可求出的度数； （2）根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论； （3）通过证明，可得，即可求证． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 作， ∵， ∴半径为4， 则,, ∴, ∴； 【小问3详解】 略 【点睛】本题是圆的综合题，考查了扇形的面积的计算，圆周角定理，解直角三角形，切线的判定，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 27. 在矩形中，，． （1）【问题发现】 如图，为边上的一个点，连接，过点作的垂线交于点，试猜想与的数量关系并说明理由． （2）【类比探究】 如图，为边上的一个点，为边延长线上的一个点，连接交于点，过点作的垂线交于点，试猜想与的数量关系并说明理由． （3）【拓展延伸】 如图，点从点出发沿射线运动，连接，过点作的垂线交射线于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，连接，在点的运动的路程中，线段的最小值为__________； 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得解； （2）过点作的垂线交于点，证明，即可得解； （3）过点作于点，连接，则四边形是矩形，证明，得出，根据，可得，得出在上运动，当时，最小，进而求得，根据，即可求解． 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 过点作的垂线交于点，如图所示： 则四边形为矩形， ∴， ∵， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图，过点作于点，连接，则四边形是矩形， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴在上运动， ∴当时，最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，， 即长度的最小值为． 【点睛】本题考查了，相似三角形的性质和判定，平行四边形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 28. 已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求的值； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标； （3）在第2问的条件下，为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）面积的最大值为，此时点P坐标为 （3）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、勾股定理、图形的面积计算等，其中（3），要用分类求解，避免遗漏． （1）用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的表达式为：，过点作轴交于点，设点，则，由面积，即可求解； （3）由为直角三角形，分三种情况讨论，利用勾股定理列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：将、入得： 解得：， ∴抛物线解析式为 【小问2详解】 解：将代入得：， ， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得： ， 解得： 即直线的表达式为：， 过点作轴交于点， 设点，则， 则面积， ， 故面积有最大值， 当时，面积的最大值为，此时点P坐标为； 【小问3详解】 解：存在， 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 设点， 由勾股定理得：， 同理可得：，， 由为直角三角形，分三种情况讨论： 当时， 则， 解得：， 即点或； 当时， 则， 解得：， 即点； 当时， 则， 解得：， 即点， 综上，点的坐标为：或或或． 29. 为响应学校的号召，甲、乙两名同学相约周末从山脚下开始登山，甲先出发，甲乙两人距山脚的高度y（米）与乙登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲登山上升的速度是每分钟                 米． （2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请直接写出在两人登山过程中，乙登山多长时间时，甲乙两人距山脚的高度差为70米？ 【答案】（1） （2）分钟、分钟或分钟 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象，一元一次方程的应用， （1）结合函数图象可知甲从100米处到300处，用了20分钟，根据路程除以速度即可求解； （2）先求出乙登山的函数解析式，再根据甲乙两人距山脚的高度差为70米列方程，分三种情况，甲在乙前，没有到达目的地时，乙在甲前，乙在300米，停止登山，解方程即可． 【小问1详解】 解：甲登山的速度是米分 故答案为： 【小问2详解】 解：由图象可得前2分钟，乙的速度为：米/分， 当时，； 当时，． 当时，． 甲登山的速度是米分，登山全程中，距地面的高度米与登山时间分之间的函数关系式为， 当时，解得：； 当时，解得：； 当时，解得： 登山分钟、分钟或分钟时，甲乙两人距离地面的高度差为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $