期末重点专题专训05 勾股定理应用（诊讲评提闭环专训） 2025-2026学年华东师大版八年级数学上册

期末重点专题专训05 勾股定理应用（诊讲评提闭环专训）数学华师大版八年级上册 一、诊断卷 1、我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2、如图，小正方形的边长均为1，、、是小正方形的顶点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若( 大正方形的面积为17，则小正方形的面积为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 4、如图，已知消防云梯最长只能伸长到），消防车高3m，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的处救援后，还要完成比处高的点处的救援，则消防车需要从点处向点处移动的距离为（   ） A． B． C． D． 5、如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是，和，、是这个台阶上两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想去点吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是（   ） A． B． C． D． 6、对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示的“垂美”四边形的对角线，交于点，若，，则＝　 　． 7、某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高1.2米的患者CD走到离门1.6米的感应器地方时（即BC＝1.6米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD的长为 　 　米． 【参考答案】2.0 8、如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB＝CD＝4m，BC＝9m，AD＝7m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理． （1）求需要绿化的空地ABCD的面积； （2）为方便师生出入，设计了过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长． 9、如图，一架25米长的云梯斜靠一面竖直的墙上，这时梯子底端C离墙7米． (1)这个梯子的顶端A距离地面多远？ (2)如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？ 二、例题示范 例题示范1：如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（　　） A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【参考答案】D 例题示范2：如图，长方体中，点是棱的中点，且，，一只蚂蚁从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点处，它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 解：如图所示， 将长方体展开，使面和面在同一个平面内，连接， 在中，，， 由勾股定理，得， ∴，即蚂蚁需要爬行的最短路程是， 故选：。 例题示范3：如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，；连接、．已知，，，设． (1)①用含x的代数式表示的长； ②求出的最小值。 (2)根据（1）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值． (3)若正实数a，b，c满足，请构图求出代数式的最小值． 解：（1）解：①∵， ∴ 在中， 在中， ∴ ②过点作，过点作，连接，如图， ∴当三点共线时，的值最小， ∴， ∴的最小值为． （2）解：，，，，，如图： 过点作，过点作，连接，交于点， ∴代数式的最小值为的长 ∵，， ∴ ∴代数式的最小值为 （3）解：∵ ∴， 将、、看作直角三角形的斜边，如图所示： 通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移总长为， ∴的最小值为． 例题示范4：“雄奇山水，新韵重庆！”为了加强市容市貌建设，环卫部门组织了多台环卫车清理街道，有一台环卫车沿公路由点向点行驶清理道路．已知点为一所学校，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，环卫车工作时周围以内为受噪声影响区域。 (1)求的度数； (2)学校会受环卫车产生的噪声影响吗？请画图并计算说明； (3)若环卫车的行驶速度为每分钟40米，则该环卫车产生的噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 解：（1）解：∵ ∴ ∴ （2）解：学校C会受噪声影响．理由如下： 如图，过点C作于D ∵ ∴是直角三角形 ∴ ∴ 解得：米 ∵环卫车周围以内为受噪声影响区域 ∴学校C会受噪声影响 （3）解：如图：当时，在上行驶时，正好影响学校C， ∵ 同理 ∴ ∵环卫车的行驶速度为每分钟40米 ∴（分钟） ∴环卫车噪声影响该学校持续的时间有分钟 三、评估卷 1、如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长米，高米的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为米，则共需购买（    ）的红地毯。 A． B． C． D． 2、如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，都在格点上，与相交于点P，则（    ） A． B． C． D． 3、如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也下滑，则梯子的长度为（    ） A． B． C． D． 4、如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（   ）． A． B． C．3 D．9 5、如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（   ） A． B． C． D． 6、一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，则A，C两港之间的距离为（　　） A． B． C． D． 7、如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（地面），其树顶端恰好落在树乙（乙⊥地面）的根部C处．若米，米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 米。 8、如图，一长方体盒子长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒子表面爬到盒顶的点，蚂蚁要爬的最短路程是　 　。 9、有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度。 10、如图所示，一艘轮船由A港口沿着北偏东的方向航行到达B港口，然后再沿北偏西方向航行到达C港口。 （1）求A，C两港口之间的距离；（结果保留根号） （2）C港口在A港口的什么方向。 11、我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值； 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则，则线段 +线段 ； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值． 四、提升卷 1、如图，将长为m的梯子斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上移动2m，则梯子底端B向左移动（   ） A． m B．6m C．4m D．2m 2、《九章算术》中“折竹”问题（如图）：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：“一根竹子，原高一丈，竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．（1丈尺）问：竹子折断处离地面有几尺？”答：竹子折断处离地面有　　尺． 3、如图，甲轮船以16海里/时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船在同时同地向西南方向航行，已知它们离开港口1.5小时后分别到达B、A，已知AB＝30海里，则乙轮船每小时航行（　　） A．12海里 B．16海里 C．18海里 D．24海里 4、如图，∠AOB＝90°，OA＝25m，OB＝5m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是（　　） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 5、如图1为圆柱形笔筒，图2为其模型，已知模型底面半径为，高为（壁厚不计），在笔不漏出笔筒的前提下，能放入的铅笔最长为（    ） A． B． C． D． 6、如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． △ABC的面积为10 D．点A到直线的距离是2 7、如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计）. 8、 《九章算术》中“折竹”问题（如图）：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：“一根竹子，原高一丈，竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．（1丈尺）问：竹子折断处离地面有几尺？”答：竹子折断处离地面有　　尺. 9、 “今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？ ”这是我国数学史上的“葭 生池中 ”问题．即， ，，则 10、如图1，中，，直角边在射线上，直角顶点与射线端点重合，，，且满足． (1)_____，______． (2)如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的直角边在射线上匀速向右移动，移动的速度为个单位/秒，移动的时间为秒，连接． ①在移动的过程中，能否使为直角三角形？若能，求出的值；若不能，说明理由． ②若为等腰三角形，直接写出的值_______． 11、（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图1，现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点处，求它爬行的最短路程．小明沿长方体的棱剪开（如图2），求得最短距离为，请你判断是否正确，并说明理由； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），容器的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点处．此时蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是___________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末重点专题专训05 勾股定理应用（诊讲评提闭环专训）数学华师大版八年级上册 （解析篇） 一、诊断卷 1、我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 2、如图，小正方形的边长均为1，、、是小正方形的顶点，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【参考答案】B 3、“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若( 大正方形的面积为17，则小正方形的面积为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 【参考答案】C 4、如图，已知消防云梯最长只能伸长到），消防车高3m，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的处救援后，还要完成比处高的点处的救援，则消防车需要从点处向点处移动的距离为（   ） A． B． C． D． 【参考答案】 C 解：由题意，得，，， ∴， 在中，由勾股定理，得 在中，由勾股定理，得 ∴ 即消防车需要从点处向点处移动的距离为 5、如图，是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是，和，、是这个台阶上两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想去点吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是（   ） A． B． C． D． 【参考答案】B 解：展开图为： 则，， 在中， ， ∴蚂蚁沿台阶爬行到点的最短距离是. 6、对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示的“垂美”四边形的对角线，交于点，若，，则＝　 　． 【参考答案】41 7、某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高1.2米的患者CD走到离门1.6米的感应器地方时（即BC＝1.6米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD的长为 　 　米． 【参考答案】2.0 8、如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB＝CD＝4m，BC＝9m，AD＝7m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理． （1）求需要绿化的空地ABCD的面积； （2）为方便师生出入，设计了过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长． 8、（1）解：如图， ∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90° ∵BC＝9，AB＝4 ∴AC＝ ∵AD＝7，CD＝4 ∴AD2+CD2＝72+42＝65 ∴AD2+CD2＝AC2 ∴为直角三角形 ∴这块空地ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD＝ 答：这块空地ABCD的面积是（2+14）m2 （2）解：∵S△ABC＝ ∴4×＝9×AE ∴AE＝m． ∴ 小路AE的长 为m 9、如图，一架25米长的云梯斜靠一面竖直的墙上，这时梯子底端C离墙7米． (1)这个梯子的顶端A距离地面多远？ (2)如果梯子的顶端A下滑了4米，那么梯子底端C在水平方向滑动了多少米？ 9、（1）解：在中，由勾股定理得， 即 ∴ 答：这个梯子的顶端A距地面有远 （2）解：∵梯子的顶端A下滑了至点D ∴ 在中，由勾股定理得 即 ∴ ∴ 答：梯子的底端在水平方向滑动了． 二、例题示范 例题示范1：如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？（　　） A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.8 【参考答案】D 例题示范2：如图，长方体中，点是棱的中点，且，，一只蚂蚁从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点处，它爬行的最短路程是（    ） A． B． C． D． 解：如图所示， 将长方体展开，使面和面在同一个平面内，连接， 在中，，， 由勾股定理，得， ∴，即蚂蚁需要爬行的最短路程是， 故选：。 例题示范3：如图，C为线段上一动点，分别过点B、D作，；连接、．已知，，，设． (1)①用含x的代数式表示的长； ②求出的最小值。 (2)根据（1）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值． (3)若正实数a，b，c满足，请构图求出代数式的最小值． 解：（1）解：①∵， ∴ 在中， 在中， ∴ ②过点作，过点作，连接，如图， ∴当三点共线时，的值最小， ∴， ∴的最小值为． （2）解：，，，，，如图： 过点作，过点作，连接，交于点， ∴代数式的最小值为的长 ∵，， ∴ ∴代数式的最小值为 （3）解：∵ ∴， 将、、看作直角三角形的斜边，如图所示： 通过平移可得水平位移的总长为，垂直位移总长为， ∴的最小值为． 例题示范4：“雄奇山水，新韵重庆！”为了加强市容市貌建设，环卫部门组织了多台环卫车清理街道，有一台环卫车沿公路由点向点行驶清理道路．已知点为一所学校，且点与直线上两点，的距离分别为和，又，环卫车工作时周围以内为受噪声影响区域。 (1)求的度数； (2)学校会受环卫车产生的噪声影响吗？请画图并计算说明； (3)若环卫车的行驶速度为每分钟40米，则该环卫车产生的噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？ 解：（1）解：∵ ∴ ∴ （2）解：学校C会受噪声影响．理由如下： 如图，过点C作于D ∵ ∴是直角三角形 ∴ ∴ 解得：米 ∵环卫车周围以内为受噪声影响区域 ∴学校C会受噪声影响 （3）解：如图：当时，在上行驶时，正好影响学校C， ∵ 同理 ∴ ∵环卫车的行驶速度为每分钟40米 ∴（分钟） ∴环卫车噪声影响该学校持续的时间有分钟 三、评估卷 1、如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长米，高米的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为米，则共需购买（    ）的红地毯。 A． B． C． D． 【参考答案】C 解：依题意图中直角三角形一直角边为米，斜边为米， 另一直角边长：（米） 需购买红地毯的长为（米） 红地毯的宽则是台阶的宽米 红地毯面积是：（平方米） 2、如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，都在格点上，与相交于点P，则（    ） A． B． C． D． 【参考答案】C 3、如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也下滑，则梯子的长度为（    ） A． B． C． D． 【参考答案】C 解：由题意得：，，，， ∴ 设，则 ∴， 又∵ ∴，即， 解得 ∴ ∴ 4、如图，一圆柱体的底面圆周长为，高为，是上底的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程是（   ）． A． B． C．3 D．9 【参考答案】A 解：由题意可得，圆柱展开图如图所示，根据两点间线段最短，连接，即为最短距离， ∵圆柱体的底面圆周长为，高为 ∴ 在中，由勾股定理，得： 5、如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（   ） A． B． C． D． 解：如图，在和中 故选：C． ， 6、一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，则A，C两港之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【参考答案】C 解：如图，根据题意，得，，，， ∵ ∴ ∴ ∴在中， 即，两港之间的距离为． 7、如图，由于大风，山坡上的树甲从点A处被拦腰折断（地面），其树顶端恰好落在树乙（乙⊥地面）的根部C处．若米，米，两棵树的水平距离为12米，则树甲折断前的高度为 米。 【参考答案】19 解：如图所示：过点C作交延长线于点D， 由题意可得： 故 ∴ 则 故。 8、如图，一长方体盒子长、宽、高分别为，，，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒子表面爬到盒顶的点，蚂蚁要爬的最短路程是　 　。 【参考答案】 9、有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度。 【参考答案】 10、如图所示，一艘轮船由A港口沿着北偏东的方向航行到达B港口，然后再沿北偏西方向航行到达C港口。 （1）求A，C两港口之间的距离；（结果保留根号） （2）C港口在A港口的什么方向。 10、解：（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 根据勾股定理得 答：A、C两港之间的距离是； （2）解：由（1）知，是等腰直角三角形，且， ∴ ∴， ∴C港口在A港口的北偏东的方向上。 11、我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值； 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则，则线段 +线段 ； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值． 11、（1）由题意得，， 故答案为：、； （2）如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即和最小， 由题意得：，， 则， 即的最小值为． 四、提升卷 1、如图，将长为m的梯子斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上移动2m，则梯子底端B向左移动（   ） A． m B．6m C．4m D．2m 【参考答案】D 2、《九章算术》中“折竹”问题（如图）：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：“一根竹子，原高一丈，竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．（1丈尺）问：竹子折断处离地面有几尺？”答：竹子折断处离地面有　　尺． 【参考答案】4.55 3、如图，甲轮船以16海里/时的速度离开港口O向东南方向航行，乙轮船在同时同地向西南方向航行，已知它们离开港口1.5小时后分别到达B、A，已知AB＝30海里，则乙轮船每小时航行（　　） A．12海里 B．16海里 C．18海里 D．24海里 【参考答案】A 4、如图，∠AOB＝90°，OA＝25m，OB＝5m，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是（　　） A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【参考答案】B 5、如图1为圆柱形笔筒，图2为其模型，已知模型底面半径为，高为（壁厚不计），在笔不漏出笔筒的前提下，能放入的铅笔最长为（    ） A． B． C． D． 【参考答案】C 6、如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．△ABC的面积为10 D．点A到直线的距离是2 【参考答案】C 7、如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计）. 【参考答案】 20 8、 《九章算术》中“折竹”问题（如图）：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：“一根竹子，原高一丈，竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．（1丈尺）问：竹子折断处离地面有几尺？”答：竹子折断处离地面有　　尺. 【参考答案】4.55 9、 “今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？ ”这是我国数学史上的“葭 生池中 ”问题．即， ，，则 9、 10、如图1，中，，直角边在射线上，直角顶点与射线端点重合，，，且满足． (1)_____，______． (2)如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的直角边在射线上匀速向右移动，移动的速度为个单位/秒，移动的时间为秒，连接． ①在移动的过程中，能否使为直角三角形？若能，求出的值；若不能，说明理由． ②若为等腰三角形，直接写出的值_______． 10、（1）解： ， ，， 解得，， 故答案为：，； （2）①能， 由题意得，， ，， ，，， ，点在上，， 只能是， ，即， 解得， 在移动的过程中，能使为直角三角形，此时； ②当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，， 解得（不合题意，舍去）， 综上所述，当的值为或时，为等腰三角形， 故答案为：或． 11、（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图1，现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点处，求它爬行的最短路程．小明沿长方体的棱剪开（如图2），求得最短距离为，请你判断是否正确，并说明理由； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），容器的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点处．此时蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是___________． 11、（1）该长方体中能放入木棒的最大长度是（2）不正确，见解析（3）10 【详解】解：（1）由题意得：如图，该长方体中能放入木棒的最大长度是： ； （2）不正确，理由如下： ①如图，， ②如图，， ③如图，， ， ∴最短路程为； （3）∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， 将容器沿侧面展开，作点关于的对称点， ， 连接，则即为最短距离， ∴ 故答案为：10． 学科网（北京）股份有限公司 $