13.2勾股定理的应用（课件）2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

华东师大版（新教材）数学八年级上册 第13章 勾股定理 13.2 勾股定理的应用 22100 步骤 内容 从命题的结论的反面出发，进行推理论证，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法. 1.先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面是正确的； 2.从这个假设出发，通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾； 3.由矛盾判定假设不正确，从而得到原结论正确. 反证法 复习导入 22100 典例分析 例1 .如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为16cm．在杯内离杯底2cm的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为多少 先分析清楚蚂蚁的路线，区别本题与探究中的试题的区别 22100 典例分析 解析：如图所示将圆柱的侧面展开 解：根据题意， ∴BC=BD-CD=5cm，作点A关于直线FB的对称点G，连接CG，则CG为所求最短距离，则FG=AF=1cm 过点G作GE⊥CB，交CB的延长线于点E，则四边形FBEG是矩形 故FB=EG=8cm，EB=FG=1cm，∠GEB=90° ，故CE=BC+BE=6cm 故 ∴蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为10cm 22100 如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面从点A到点B需要爬行的最短路程又是多少呢？(精确到0.01cm) A B 10 10 10 B C A 解：最短路程即为长方形的对角线AB, 答：爬行的最短路程约是22.36cm. 22100 1. 【思维生长】如图①，若圆柱的底面周长是5 cm，高是12 cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的长度最小是(　　) A．17 cm B．7 cm C．14.5 cm D．13 cm 1星题 夯实四基 D 22100 向“空间位置分析”生长：如图②，一只昆虫从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为16 cm，圆柱的底面半径为 cm，那么最短的路线长是________cm. 10 22100 1.小明和同学在放风筝时，风筝挂在了树上，如图，风筝线垂直落在地面，结果发现风筝线多出2米；接着小明又把风筝线向外拉了6米(BC＝6米)，这时风筝线紧绷且末端刚好接触地面，则风筝距离地面的高度AB为多少？ 解：设AB＝x米，则AC＝(x＋2)米，由图可得，∠ABC＝90°，BC＝6， ∴在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2，即x2＋62＝(x＋2)2，解得x＝8. 22100 2. 轮船A以16kn的速度离开港口O向东北方向航行，轮船B在同时同地以12kn的速度向西北方向航行.求A，B两船离开港口O 1.5 h后的距离. 北 东 22100 向“场景迁移”生长：如图③是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60 cm、30 cm、10 cm.A和B是台阶两个相对的端点，在B点有一只蚂蚁，想到A点去觅食，那么它爬行的最短路程是________cm. 100 22100 向“迁移能力”生长：某校“光学节”的纪念品是一个底面为等边三角形的三棱镜(如图④)．在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为9 cm，底面边长为4 cm，则这圈金属丝的长度至少为________cm. 知识点2 利用勾股定理解决实际问题 15 22100 1. 如图，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰，则这条丝线的最小长度是(　　) A．80 cm B．70 cm C．60 cm D．50 cm D 22100 2. 假设小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h，如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车在与车速检测仪距离为50m的B处，那么这辆小汽车超速了吗？ 解：根据题意，得AC＝30m，AB＝50m，∠C＝90°. 在Rt△ACB中，根据勾股定理，得BC= ＝40(m)， 小汽车2s行驶了40m，则1h行驶40÷2×60×60＝72000(m)， 即小汽车的行驶速度为72km/h． 因为72＞70，所以这辆小汽车超速了． 22100 2.小明到图书馆借书时，了解到图书馆要购买一批宽为2.4 m的书架，欲通过如图所示形状的门(下方为长方形，上方为半圆形)，则书架的外形不得高于(　　) A．4.1 m B．4.0 m C．3.9 m D．3.8 m A 【主题情境】在校园生活的各种场景中都隐藏着有趣的数学挑战，需要我们用所学知识去解决，请完成2～4题. 22100 变式训练 如图是一个底面周长为10cm，高AB为12cm的圆柱模型，BC是底面直径．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（ ） A. B. C . D. 26cm 提示：将圆柱的侧面展开，根据题意可知AB=12cm，BC=5cm，利用勾股定理解得AC的长度，然后计算装饰带长度的最短值即可 22100 分析：将圆柱体的侧面展开，圆柱体侧面上两点间的最短路线长就转化为平面上两点之间的距离．作出最短距离，从而结合“勾股定理”求得最短路程． 3.如图是一个没有盖的圆柱形罐头盒，盒高6 cm，盒底周长为18 cm，盒外一只蚂蚁在底部的A处，想吃到盒内对侧B处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 22100 解：如图，将圆柱体侧面展开为矩形，则蚂蚁的爬行路线为AP＋BP， 作点A关于DE的对称点M，连结BM交DE于点P，连结AP. ∴AP＋BP＝MP＋BP＝BM， 此时蚂蚁爬行的路程最短． 由对称性质可知ME＝AE＝6 cm，AB＝ AC＝9 cm， BM2 =AB2 + AM2 =92 +122=225， ∴BM=15cm. ∴蚂蚁爬行的最短路程为15cm． 3.如图是一个没有盖的圆柱形罐头盒，盒高6 cm，盒底周长为18 cm，盒外一只蚂蚁在底部的A处，想吃到盒内对侧B处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 22100 典例分析 例2 .消防员是城市的守护者．图1是消防员某次消防救援时的工作图，图2是其几何示意图，已知云梯长AB=CD=20m，云梯底部（点C、A）距离地面3m，消防车从距离地面15m高的点B处完成救援后，还要从距离地面19m高的点处进行救援，这时云梯底部需要向楼房靠近多少米？（点A、C、O在同一水平线上，所有点在同一竖直平面内） 22100 典例分析 解题思路 由题意可得OE=3，BE=15，DE=19，则OB=BE-OE=12 在Rt△OAB中，∠AOB=90°，AB=20，OB=12 由勾股定理可得 在Rt△OCD中，∠COD=90°，CD=20，OD=16 由勾股定理得 ∴AC=OA-OC=16-12=4(m) 答：云梯底部需要向楼房靠紧4m 22100 4.如图①，已知长方体的长、宽、高分别为30cm、20cm、10cm，一只蚂蚁从A处出发到B处觅食，求它爬行的最短路程.(结果保留根号) 解：长方体的展开图如图 如图②，展开前面、右面，由勾股定理得AB= = 如图③，展开前面、上面，由勾股定理得AB= = 如图④，展开左面、上面，由勾股定理得AB= = ∵ ，∴爬行最短路程为 cm. 22100 如图，以Rt △ABC的三边为边分别向外作正方形.在以BC为边所作的正方形中，点O是正方形对角线的交点，过点O作AB的平行线，交正方形于M、N两点，过点O作MN的垂线，交正方形于E、F两点，这样把正方形分成四个形状和大小都一样的四边形.试将图中5个着色的图形拼入到上方空白的大正方形中，填满整个大正方形. 思考：图中出现的三个正方形面积有什么关系？ 22100 典例分析 例3 .2025年第18号超强台风“桦加沙”登陆我国沿海地区．如图，台风“桦加沙”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且AC=300km，BC=400km，AB=500km．经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响，海港C会受到台风影响吗？为什么？ 提示：根据勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数，利用三角形面积得出CD的长，进而得出CD的长，再得出海港C是否受台风影响 22100 典例分析 解题思路 解：海港C受台风影响，理由如下： ∵AC2+BC2=3002+4002=5002=AB2 ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90° 过点C作CD⊥AB于D ∵△ABC是直角三角形 ∴ ∴CD=240km，∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响，∴海港C受台风影响 22100 1.本节课主要学习了哪些知识？ 2．本节课你还有哪些疑惑？说一说． 22100 一级标题：黑体， 24 实际问题 (1)展；(2)找；(3)连；(4)求；(5)答. 勾股定理的应用 立体图形中的最短距离问题 22100 谢谢大家聆听 22100 $