专项突破01 勾股定理的探究（期末复习讲义-知识回顾+10个重难点培优题型+真题演练 共34题）-2025-2026学年北师大版数学八年级上册精讲练

专项突破01 勾股定理的探究 （知识回顾+10个重难点培优题型+真题演练 共34题） 【原卷版】 只是虎骨 技巧点拨 1 知识点梳理01：勾股定理 1 知识点梳理02：勾股定理的验证 2 知识点梳理03：勾股定理的逆定理 3 知识点梳理04：勾股数 3 重点难点 培优讲练 3 题型1 用勾股定理解三角形 3 题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积 4 题型3 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 5 题型4 利用勾股定理证明线段平方关系 7 题型5 勾股定理的证明方法 8 题型6 以弦图为背景的计算题 10 题型7 用勾股定理构造图形解决问题 11 题型8 求旗杆高度（勾股定理的应用） 12 题型9 求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 14 题型10 求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 15 期末真题 实战演练 16 知识点梳理01：勾股定理 文字语言 符号语言 变式 直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即 在Rt∆ABC中， 的对边分别为a、b、c，则有 特别注意： （1） 使用勾股定理时切记不能忽视前提条件是在直角三角形中； （2） 运用勾股定理时要注意：在∆ABC中，的对边分别为a，b，c，若，； 知识点梳理02：勾股定理的验证 【证法1】做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角 边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长 分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样 拼成两个正方形，如右图： 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即 ， 整理得 . 【证法2】以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD +∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB +∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于. ∵ EF = FG =GH =HE = b-a , ∠HEF = 90º. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于. ∴ . ∴ . 知识点梳理03：勾股定理的逆定理 1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且那么这个三角形是直角三角形. 2、利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤 （1）“找”：找出三角形三边中的最长边； （2）“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方； （3）“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形；否则，不是。 3、勾股定理的逆定理的延伸与拓展 设三角形的三边长分别为a、b、c（c为最长边的长） 知识点梳理04：勾股数 1、勾股数： 2、常见的勾股数：①3、4、5；②6、8、10；③8、15、17；④7、24、25；⑤5、12、13； ⑥9、12、15. 题型1 用勾股定理解三角形 【精讲】（25-26八年级上·浙江温州·期中）《几何原本》卷2中的几何代数法是将代数定理通过图形实现证明．如图是勾股定理的推广．已知在锐角中，以其三边向外作正方形，若正方形的面积为定值，H是边上靠近点A的三等分点，，记正方形的面积为x，正方形的面积为y，当的度数发生变化时，下列代数式不变的为（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，，于点，则的长为 ． 题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积 【精讲】（25-26八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则 ． 【变式】（25-26八年级上·河南郑州·期中）意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型3 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【精讲】（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【变式】数学兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：                       (1)如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接（或将绕点D逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则； (2)解决问题：受到（1）的启发，请你解决下面的问题：如图②，在中，D是边上的中点，，交于点，交于点F，连接． ①求证：； ②若，探索线段，，之间的等量关系，并加以证明． 题型4 利用勾股定理证明线段平方关系 【精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图1，在中，，于点D，若，，求的长度； 【问题探究】 （2）如图2，已知，，，，求的长度； 【问题解决】 （3）如图3，是某景区的局部示意图，，是两条观景小道，该景区的规划部门计划在的上方找一点F，使得，，并沿修一条骑行小道，经测量，，D为的中点，于点E，，求骑行小道的长度． 【变式】（25-26八年级上·福建福州·期中）借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：________； （2）图2是由两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为，，，，周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 题型5 勾股定理的证明方法 【精讲】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，请利用这个图形验证勾股定理； (2)图①赵爽弦图中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为： （直接写出结果） 【变式】（25-26八年级上·山东济南·期中）勾股定理在我国西汉典籍《周髀算经》中已有记载，数学家赵爽首次给出了该定理的证明．如图1所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形拼成，其证明思路的核心是“双求法”，即用两种不同的方式表示同一个量来建立等式．请你运用“双求法”解决下面的问题． (1)利用图1的赵爽弦图（其中），完成勾股定理的推导过程（用图1中的字母表示）； 证明：∵大正方的面积有两种求法：一种是大正方形面积为，另一种是4个直角三角形和中间小正方形的面积和为________， ∴根据面积相等得________，整理得：． (2)如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度； (3)如图3，在中，是边上的高，，，，求的长度． 题型6 以弦图为背景的计算题 26．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 【变式】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）青朱出入图（如图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为 ． 题型7 用勾股定理构造图形解决问题 【精讲】（25-26八年级上·山西运城·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为：在直立于地面的一根木杆的顶端处，系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺（如图1）．在距木杆底端处8尺的地面上点处拉绳索，整根绳索恰好被拉直（如图2）．问绳索有多长？ (1)请通过已学知识解决这个实际问题； (2)将这个问题一般化，即已知直角三角形的勾长（较短的直角边）为，弦长（斜边）与股长（较长的直角边）的差为，弦长为，请用，表示，其结果为 ． 【变式】25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 题型8 求旗杆高度（勾股定理的应用） 【精讲】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降5米，那么他应该往回收线多少米？ 【变式】（25-26八年级上·福建三明·期中）某校八年级数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，活动记录如下： 课题：测量旗杆的高度 工具：升旗的绳子（比旗杆的高度长）如图1、皮尺（皮尺的功能是直接测量任意可达到的两点间的距离）如图2． 测量及求解： 测量过程：测量出绳子垂直落地后还剩余米，把绳子拉直，绳子末端点与地面上旗杆底部点距离为米，即米，如图3． 求解过程：设旗杆的高度米，由测量得，，，， 在中，， ，即． ________米． 阅读数学兴趣小组活动记录，回答下面问题． (1)数学兴趣小组求得所用到的几何知识是______定理； (2)直接写出数学兴趣小组测量的旗杆高度米（用含，代数式表示）； (3)小侨同学利用皮尺设计另外一个测量方案，测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为12米（如图2）．根据以上信息，求旗杆的高度． 题型9 求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 【精讲】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【变式】（20-21八年级上·河南新乡·期末）如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩在离水面的的1.3米处，在距离鱼线1.2米处点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？ 题型10 求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 【精讲】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在一面竖直的水泥墙的B处有两名跑酷运动员（米），为争夺地面目标点A，一名运动员从B处沿墙面攀爬至地面，再奔跑至A处（米），另一名运动员从B处继续沿墙面攀爬至顶端D后，直接向A处跳跃（跳跃轨迹按直线计算）．若两名运动员所经过的路程长度相等，求水泥墙的高度． 【变式】（25-26八年级上·江苏淮安·期中）2025年第18号台风“桦加沙”登陆期间，部分地区受到影响．如图所示，一棵垂直于地面且高度为8米的树木被台风折断，折断后树顶B落在离树根底部C的4米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 1．（21-22八年级下·北京海淀·期中）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（    ） A． B． C． D． 3．如图，一个圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是（   ） A． B． C． D． 4．如图，中，的中垂线交于E，交于D，若，则的周长为（　　    ） A．14 B．16 C．20 D．18 5．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥ CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：① AP＝EF；② AP⊥ EF；③∠PFE＝∠BAP；④ PD＝EC；⑤ PB2+PD2＝2PA2，正确结论是（　　） A．① ③ B．① ② ③ C．① ③ ⑤ D．① ② ③ ⑤ 6．如图，已知半圆A的面积是3，半圆B的面积是4，则半圆C的面积是 . 7．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，枣庄公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架由水平、竖直方向的两段构成，若段长度为，点A，C之间的距离比段长，则段的长度为 ． 8．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ． 9．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中有一长方形，点B的坐标为为x轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在y轴上时，的长为 ． 10．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为 ． 11．（24-25七年级上·山东淄博·期中）小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图．小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 13．（24-25八年级上·全国·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 14．（23-24八年级上·四川内江·期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破01 勾股定理的探究 （知识回顾+10个重难点培优题型+真题演练 共34题） 【解析版】 只是虎骨 技巧点拨 1 知识点梳理01：勾股定理 1 知识点梳理02：勾股定理的验证 2 知识点梳理03：勾股定理的逆定理 3 知识点梳理04：勾股数 3 重点难点 培优讲练 3 题型1 用勾股定理解三角形 3 题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积 5 题型3 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 6 题型4 利用勾股定理证明线段平方关系 10 题型5 勾股定理的证明方法 13 题型6 以弦图为背景的计算题 16 题型7 用勾股定理构造图形解决问题 18 题型8 求旗杆高度（勾股定理的应用） 19 题型9 求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 23 题型10 求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 25 期末真题 实战演练 26 知识点梳理01：勾股定理 文字语言 符号语言 变式 直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即 在Rt∆ABC中， 的对边分别为a、b、c，则有 特别注意： （1） 使用勾股定理时切记不能忽视前提条件是在直角三角形中； （2） 运用勾股定理时要注意：在∆ABC中，的对边分别为a，b，c，若，； 知识点梳理02：勾股定理的验证 【证法1】做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角 边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长 分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样 拼成两个正方形，如右图： 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. 即 ， 整理得 . 【证法2】以a、b 为直角边（b>a）， 以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB. ∵ ∠HAD +∠HAD = 90º， ∴ ∠EAB +∠HAD = 90º， ∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于. ∵ EF = FG =GH =HE = b-a , ∠HEF = 90º. ∴ EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于. ∴ . ∴ . 知识点梳理03：勾股定理的逆定理 1、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且那么这个三角形是直角三角形. 2、利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤 （1）“找”：找出三角形三边中的最长边； （2）“算”：计算其他两边的平方和与最长边的平方； （3）“判”：若两者相等，则这个三角形是直角三角形；否则，不是。 3、勾股定理的逆定理的延伸与拓展 设三角形的三边长分别为a、b、c（c为最长边的长） 知识点梳理04：勾股数 1、勾股数： 2、常见的勾股数：①3、4、5；②6、8、10；③8、15、17；④7、24、25；⑤5、12、13； ⑥9、12、15. 题型1 用勾股定理解三角形 【精讲】（25-26八年级上·浙江温州·期中）《几何原本》卷2中的几何代数法是将代数定理通过图形实现证明．如图是勾股定理的推广．已知在锐角中，以其三边向外作正方形，若正方形的面积为定值，H是边上靠近点A的三等分点，，记正方形的面积为x，正方形的面积为y，当的度数发生变化时，下列代数式不变的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查勾股定理，关键是由勾股定理得到． 由正方形的面积公式得到，，由勾股定理得到，于是得到，因此，而，得到，即可得到是定值． 【规范解答】解：∵正方形的面积为x，正方形的面积为y， ∴，， ∵， ∴， ∵H是边上靠近点A的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的面积为定值， ∴是定值． 故选：B． 【变式】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，，于点，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出的长，再根据等面积法求解． 【规范解答】解：由勾股定理得，， ， ， 故答案为：． 题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积 【精讲】（25-26八年级上·江西吉安·期中）如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，由勾股定理得出,得出,得出，即可得出答案． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式】（25-26八年级上·河南郑州·期中）意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图像信息．根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【规范解答】解：由勾股定理可得， 由题意，可得， ， 所以 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 题型3 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【精讲】（25-26八年级上·广东深圳·开学考试）【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【答案】(1)13 (2) 【思路引导】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意运用数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点G，连接，则， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为13； 故答案为：13 （2）解：设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点H，连接，则，， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， ∴代数式的最小值为的长， ∵， 即代数式的最小值为． 【变式】数学兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：                       (1)如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围； 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使得，再连接（或将绕点D逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则； (2)解决问题：受到（1）的启发，请你解决下面的问题：如图②，在中，D是边上的中点，，交于点，交于点F，连接． ①求证：； ②若，探索线段，，之间的等量关系，并加以证明． 【答案】(1) (2)①见详解；②，证明见详解 【思路引导】（1）延长到E，使得，再连接（或将绕点D逆时针旋转得到），把，，集中在中，利用三角形的三边关系可得，则． （2）①延长到G，使得，再连接、，根据证明，则可得，根据线段垂直平分线的性质可得，将，，转换 到一个三角形中，利用三角形三边之间的关系即可得出结论． ②由全等易知，又因，可得，可得三边之间存在勾股定理关系，据此解答． 【规范解答】（1）解：延长到E，使得，再连接， ∵是边上的中线， ∴ 又∵， 则， ， 在中，， ∴， ∴， 则； （2）解：①延长到G，使得，连接、． ∵D是边上的中点， ∴， 又∵， 则， ， ， ． 在中，， ． ②若，.证明如下： 若，则， 由①知， ∴， ， 即， ∴在中，， 又∵， ． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的做出辅助线是解题的关键． 题型4 利用勾股定理证明线段平方关系 【精讲】（25-26八年级上·陕西西安·期中）【问题提出】 （1）如图1，在中，，于点D，若，，求的长度； 【问题探究】 （2）如图2，已知，，，，求的长度； 【问题解决】 （3）如图3，是某景区的局部示意图，，是两条观景小道，该景区的规划部门计划在的上方找一点F，使得，，并沿修一条骑行小道，经测量，，D为的中点，于点E，，求骑行小道的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）700米 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用． （1）利用勾股定理求得斜边的长，再利用三角形面积公式求解即可； （2）利用勾股定理求得，根据计算即可求解； （3）利用勾股定理求得，通过，点为的中点，进行等量代换计算求得，据此即可求解． 【规范解答】解：（1），，， ， ， ； （2），，， ， ， ； （3），，， ， ， ，， ， 点D为的中点， ， ， 米， 骑行小道的长度为700米． 【变式】（25-26八年级上·福建福州·期中）借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题： 【自主探究】 （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：________； （2）图2是由两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明理由； 【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题： （3）如图3，五边形中，，垂足为，，，，周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）2 【思路引导】本题考查的是因式分解的应用和完全平方公式的几何背景，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：； （2）图2中图形的面积 ，即可变形为； （3）根据，，周长为2，可得：，在中，由勾股定理得，整理得，根据，，可知长方形的面积为：，即可得解． 【规范解答】解：（1）图1中阴影部分的面积可以表示为两个阴影部分的正方形的面积相加，也可表示为大正方形的面积减去两个长方形的面积，即， 故答案为：； （2）发现：，理由如下： ∵图2中图形的面积：， ∴， ∴， ∴； （3）∵，，周长为2， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴长方形的面积为：． 题型5 勾股定理的证明方法 【精讲】（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图①所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形． (1)把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，可以得到如图②的图形，设直角三角形的直角边分别为、，斜边为，请利用这个图形验证勾股定理； (2)图①赵爽弦图中，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图③所示的“数学风车”，则这个风车的外围（实线）周长为： （直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)76 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的证明、完全平方公式与几何图形的面积等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据图形的总面积等于一个大正方形的面积加上两个直角三角形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，然后整理即可得证； （2）根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，再根据风车的外围周长，据此计算即可． 【规范解答】（1）解：图形的总面积可以表示为，， ∴， 即． （2）解：如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 故答案为：76 【变式】（25-26八年级上·山东济南·期中）勾股定理在我国西汉典籍《周髀算经》中已有记载，数学家赵爽首次给出了该定理的证明．如图1所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形拼成，其证明思路的核心是“双求法”，即用两种不同的方式表示同一个量来建立等式．请你运用“双求法”解决下面的问题． (1)利用图1的赵爽弦图（其中），完成勾股定理的推导过程（用图1中的字母表示）； 证明：∵大正方的面积有两种求法：一种是大正方形面积为，另一种是4个直角三角形和中间小正方形的面积和为________， ∴根据面积相等得________，整理得：． (2)如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度； (3)如图3，在中，是边上的高，，，，求的长度． 【答案】(1)， (2)的长为 (3)的长为 【思路引导】此题考查的知识点是勾股定理的证明与应用，关键是运用勾股定理求解． （1）利用“双求法”表示正方形的面积即可解题； （2）先根据勾股定理先求出，再根据“双求法”求出的长度； （3）运用两个直角三角形根据勾股定理表示出，得关于的方程求解即可． 【规范解答】（1）另一种是个直角三角形和中间小正方形的面积和为，根据面积相等得， 故答案为：，； （2）方法一： 在中，∵， ∴， 的面积有两种求法：一种是的面积为， 另一种是的面积为， 根据面积相等得：， 解得：， 方法二：在中， ， ， 设，则， 在中，根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得，， ， 解得，， 的长为． （3）设， 在中，根据勾股定理得，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 解得， 的长为． 题型6 以弦图为背景的计算题 26．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，正方形是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则的值为（   ） A．65 B．70 C．75 D．80 【答案】C 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用、全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键 找到图中的等量关系并熟练使用勾股定理解答． 【规范解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形，，是正方形， ∴，，， ∴ ， ∵， ， ， ∴ ． 故选：C ． 【变式】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）青朱出入图（如图）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图，若记朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为，已知，，则图中的阴影部分面积为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查勾股定理的证明，完全平方公式的应用，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．根据题意可得，可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用，表示后，结合完全平方公式计算即可． 【规范解答】解：如图， 朱方对应正方形的边长为，青方对应正方形的边长为， ，， 朱入与朱出的三角形全等， 即， ， 两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， 即，， ，， 阴影部分面积为 ， ，， ， 即阴影部分的面积为， 故答案为： 题型7 用勾股定理构造图形解决问题 【精讲】（25-26八年级上·山西运城·期中）《九章算术》卷九“勾股”中记载：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”译文为：在直立于地面的一根木杆的顶端处，系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺（如图1）．在距木杆底端处8尺的地面上点处拉绳索，整根绳索恰好被拉直（如图2）．问绳索有多长？ (1)请通过已学知识解决这个实际问题； (2)将这个问题一般化，即已知直角三角形的勾长（较短的直角边）为，弦长（斜边）与股长（较长的直角边）的差为，弦长为，请用，表示，其结果为 ． 【答案】(1)绳索长尺 (2) 【思路引导】本题考查了勾股定理，理解题意，正确运用勾股定理是解此题的关键． （1）设绳索长尺，则尺，利用勾股定理计算即可得解； （2）由勾股定理计算即可得解． 【规范解答】（1）解：设绳索长尺，则尺， 由勾股定理可得：， ∴， ∴， 故绳索长尺； （2）解：由题意并结合勾股定理可得， 整理可得：， ∴． 【变式】25-26八年级上·江苏无锡·期中）如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃，如图①所示，人只要移至该门铃m及m以内时，即m，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”如图②所示，一个身高m的学生走到处，即m，门铃恰好自动响起，则的长为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的应用，确定直角三角形进行求解是解题的关键． 根据已知条件得到，在中利用勾股定理计算即可； 【规范解答】解：由题意可知，，，，则， 在中，由勾股定理得：， ， 即门铃恰好自动响起，则的长为米； 故选：． 题型8 求旗杆高度（勾股定理的应用） 【精讲】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为8米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降5米，那么他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为米 (2)如果小明想让风筝沿方向下降5米，那么他应该往回收线米 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，米，，，米，米，则，再由勾股定理求出的长即可得解； （2）在上取点，使得米，连接，则米，在中，由勾股定理得出的长，即可得解． 【规范解答】（1）解：由题意可得：，米，，，米，米， ∴， ∴米， ∴米， 即风筝的垂直高度为米； （2）解：如图：在上取点，使得米，连接， ， 则米， 在中，由勾股定理可得米， ∴（米）， 故如果小明想让风筝沿方向下降5米，那么他应该往回收线米． 【变式】（25-26八年级上·福建三明·期中）某校八年级数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，活动记录如下： 课题：测量旗杆的高度 工具：升旗的绳子（比旗杆的高度长）如图1、皮尺（皮尺的功能是直接测量任意可达到的两点间的距离）如图2． 测量及求解： 测量过程：测量出绳子垂直落地后还剩余米，把绳子拉直，绳子末端点与地面上旗杆底部点距离为米，即米，如图3． 求解过程：设旗杆的高度米，由测量得，，，， 在中，， ，即． ________米． 阅读数学兴趣小组活动记录，回答下面问题． (1)数学兴趣小组求得所用到的几何知识是______定理； (2)直接写出数学兴趣小组测量的旗杆高度米（用含，代数式表示）； (3)小侨同学利用皮尺设计另外一个测量方案，测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为12米（如图2）．根据以上信息，求旗杆的高度． 【答案】(1)勾股； (2)数学兴趣小组测量的旗杆高度为米； (3)旗杆的值为17米． 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用、完全平方公式、矩形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）根据勾股定理即可得； （2）先利用完全平方公式可得，则，据此求解即可得； （3）在中，利用勾股定理求解即可得． 【规范解答】（1）解：因为利用到了在中，，，所以数学兴趣小组求得所用到的几何知识是勾股定理， 故答案为：勾股． （2）解：由题可知，， ， ， ， 答：数学兴趣小组测量的旗杆高度为米； （3）解：如图，作，垂足为， 设旗杆高度为， 在中， 即 解得： 答：旗杆的高度为17米． 题型9 求小鸟飞行距离（勾股定理的应用） 【精讲】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（　　） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【规范解答】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 由题意知：大树高为，小树高为， ∴，，， 在中， 答：小鸟至少飞行米， 故选：C． 【变式】（20-21八年级上·河南新乡·期末）如图，星期天小明去钓鱼，鱼钩在离水面的的1.3米处，在距离鱼线1.2米处点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2米/秒的速度向鱼饵游去，那么这条鱼至少几秒后才能到达鱼饵处？ 【答案】6.5 【思路引导】过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，根据题意直接得出AE，EC的长，再利用勾股定理得出AC的长，进而求出答案． 【规范解答】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接AC， 由题意可得：EC＝BD＝1.2m，AE＝AB−BE＝AB−DC＝1.3−0.8＝0.5m， ∴AC=m， ∴1.3÷0.2＝6.5s， 答：这条鱼至少6.5秒后才能到这鱼饵处． 【考点剖析】本题主要考查勾股定理，添加合适的辅助线，构造直角三角形，是解题的关键． 题型10 求大树折断前的高度（勾股定理的应用） 【精讲】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在一面竖直的水泥墙的B处有两名跑酷运动员（米），为争夺地面目标点A，一名运动员从B处沿墙面攀爬至地面，再奔跑至A处（米），另一名运动员从B处继续沿墙面攀爬至顶端D后，直接向A处跳跃（跳跃轨迹按直线计算）．若两名运动员所经过的路程长度相等，求水泥墙的高度． 【答案】米 【思路引导】本题主要考查了勾股定理，阅读题目信息可得两名跑酷运动员所经过的距离相等是指，设，根据勾股定理列方程求解． 【规范解答】解：设水泥墙的高度为x米，则米, 由题意，知， 所以, 因为两名运动员所经过的路程长度相等， 所以，即， 所以米, 在中，由勾股定理得，即， 解得，即米, 答：水泥墙的高度为米． 【变式】（25-26八年级上·江苏淮安·期中）2025年第18号台风“桦加沙”登陆期间，部分地区受到影响．如图所示，一棵垂直于地面且高度为8米的树木被台风折断，折断后树顶B落在离树根底部C的4米处，求这棵树在离地面多高处被折断． 【答案】这棵树在离地面3米处被折断 【思路引导】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．有时也可以利用勾股定理列方程求解．设米，则米，利用勾股定理列方程求解即可. 【规范解答】解：设米，则米， 由题意得4米， 在中，， ∴， ∴，即米． 答：这棵树在离地面3米处被折断． 1．（21-22八年级下·北京海淀·期中）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题．根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程． 【规范解答】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺， ∴图中直角三角形的斜边长尺， 根据勾股定理建立方程得：， 故选：C． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查“赵爽弦图”的图形特征，对选项中的图形进行判断．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形图案． 【规范解答】解：A、是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形，符合“赵爽弦图”的特征； B、是由四个直角三角形组成的大正方形，但直角三角形的排列方式与“赵爽弦图”不符； C、是由正方形和三角形组成的图形，不符合“赵爽弦图”的特征； D、是由三角形组成的大三角形，不符合“赵爽弦图”的特征； 故选：A． 3．如图，一个圆柱体的底面周长为，高为，是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查圆柱体的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理． 圆柱体的侧面展开图为长方形，长为底面周长的一半，由两点之间线段最短，可得最短路程为线段的长，根据勾股定理计算即可． 【规范解答】解：如图，长方形为圆柱体的侧面展开图， 由两点之间线段最短，可得最短路程为线段的长， ∵圆柱的底面周长为， ∴， ∵是圆柱体的底面直径， ∴点为的中点， ∴， 又∵圆柱体的高为， ∴， ∴蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是． 故选：C． 4．如图，中，的中垂线交于E，交于D，若，则的周长为（　　    ） A．14 B．16 C．20 D．18 【答案】A 【思路引导】本题主要考查勾股定理及线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理及线段垂直平分线的性质是解题的关键；先根据勾股定理求出的长，再由线段垂直平分线的性质得出，即，再由即可求出答案． 【规范解答】解：∵中，，， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴，即， ∴的周长． 故选：A． 5．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥ CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：① AP＝EF；② AP⊥ EF；③∠PFE＝∠BAP；④ PD＝EC；⑤ PB2+PD2＝2PA2，正确结论是（　　） A．① ③ B．① ② ③ C．① ③ ⑤ D．① ② ③ ⑤ 【答案】D 【思路引导】① 先证，由全等的性质可得；② 由全等及矩形的性质可得；③ 由全等及矩形的性质可得；④ 由PF=EC且可判断错误 ⑤ 由勾股定理得、、，再相加后等量代换可得 【规范解答】① 解：过点P作于G，连接PC    易证 又PE⊥BC，PF⊥ CD， ∴ 四边形PECF是矩形 ∴ 故 ① 正确； ② 解：延长AP交BC于H,连接PC交EF于O，如图    由① 知： 故② 正确； ③ 解：由①② 知： 故③正确； ④解：∵四边形PECF是矩形 ∴ PF=EC 在中 故④错误； ⑤ 解：过点P作于G，连接PC    易知四边形ABEG、PECF、GPFD为矩形 ∴ 故⑤ 正确； 故选：D． 【考点剖析】本题考查了正方形性质，矩形的判定及性质，勾股定理，灵活运用知识及作出辅助线是解题关键． 6．如图，已知半圆A的面积是3，半圆B的面积是4，则半圆C的面积是 . 【答案】 【思路引导】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．根据圆的面积公式得出半圆、、面积的表达式，再由勾股定理即可得出结论． 【规范解答】解：如图 ∵半圆A的面积是3，半圆B的面积是4， ∴，， ∵， ∴半圆C的面积， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，枣庄公安监控区域的警示图标中，摄像头的支架由水平、竖直方向的两段构成，若段长度为，点A，C之间的距离比段长，则段的长度为 ． 【答案】15 【思路引导】本题考查勾股定理的应用，设，则，利用勾股定理求出的值即可． 【规范解答】解：由题意，，， 设，则， 由勾股定理，得：， ∴， 解得， ∴； 故答案为：15． 8．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形较短直角边为a，较长直角边为b，那么的值为 ． 【答案】24 【思路引导】本题考查了勾股定理，根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，即四个直角三角形的面积和，从而不难求得的值． 【规范解答】解：由题意得，， ∴， ∴． 故答案为：24． 9．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中有一长方形，点B的坐标为为x轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在y轴上时，的长为 ． 【答案】或10 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理与折叠问题，掌握知识点是解题的关键． 先由题意求出，再由折叠的性质得到 ，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，由勾股定理建立方程求出的长即可得到答案． 【规范解答】解：由题意得，轴，轴， ∵B的坐标为， ∴， ∴， 分两种情况： ①当点D在x轴的正半轴时，如图所示： 由折叠的性质可得 ， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴； ②当点D在x轴的负半轴时，如图所示： 由折叠的性质可得 ， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或10． 10．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是掌握角平分线的性质定理，学会利用面积法解决问题．过点作于点．证明，利用面积法求解． 【规范解答】解：由题意可知，平分，如图，过点作于点． ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵， 又∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·山东淄博·期中）小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能成功，见解析 【思路引导】本题考查勾股定理的应用，理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． （1）过点A作于点E，在中，利用勾股定理求出，即可求解； （2）假设能上升，延长至点F，使，连接，在中， 利用勾股定理求出，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图1，过点A作于点E，则， 在中，由勾股定理得： ， ∴； （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升， 如图2，延长至点F，使，连接， ∴， 在中， ， ∵，余线仅剩， ∴， ∴不能上升，即不能成功． 12．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图．小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 【答案】(1)旗杆的高度为米 (2)此时绳结离地面米 【思路引导】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． （1）由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答； （2）由题可知，米，米．在中根据勾股定理列出方程 ，求出，进而求解即可． 【规范解答】（1）解：旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 答：旗杆的高度为米： （2）解：由题可知，米，米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴（米）， 答：此时，绳结离地面米高． 13．（24-25八年级上·全国·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 【答案】(1) (2)米 【思路引导】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． ()设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； ()过作，垂足为，证明四边形为长方形，得出，由勾股定理得，即可得解． 【规范解答】（1）解：设旗杆的高度为，则， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度． （2）过作，垂足为， 则， ∴四边形为长方形， ∴， ∵， ∴ 在中，， 由勾股定理得：， ∴． 答：小明需后退． 14．（23-24八年级上·四川内江·期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）千米；（3）8 【思路引导】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可得出． 【规范解答】（1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得，即千米， (千米)， 答：新路比原路少千米； （3）解：如图， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $