专题03 统计案例全章7大题型汇总（专项训练）高二数学北师大版2019选择性必修第一册

专题03 统计案例 目录 A题型建模・专项突破 题型一、相关变量的散点图 3 题型二、一元线性回归方程的求法（常考点） 5 题型三、已知一元线性回归方程的求参数 6 题型四、一元非线性回归方程的求法（难点） 9 题型五、用相关系数判断相关变量间关系的强弱 12 题型六、独立性检验的判断变量是否相关 14 题型七、独立性检验的应用（重点） 20 B综合攻坚・能力跃升 题型一、相关变量的散点图 1.在下列4组样本数据的散点图中，样本相关系数最小的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知：， 由于图2的相关性比图4的相关性更强，故， 故选：B 2.下列图中，线性相关系数最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】观察幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，值相比于其他图更接近. 故选：A. 3.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在10℃至35℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图可知，随着温度的增加，发芽率的增长速度越来越慢，符合对数型函数的特征. 故选：D. 4.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是（   ） A．解释变量与响应变量的线性相关性变弱 B．方差变大 C．决定系数变小 D．残差平方和变小 【答案】D 【详解】从散点图可分析出，若去掉点，则剩下的点更能集中在一条直线附近， 所以解释变量与响应变量的线性相关性变强， 数据的离散程度减小，所以方差变小，决定系数越接近1，会变大， 因为拟合效果越好，所以残差平方和变小. 故选：D 题型二、一元线性回归方程的求法（常考点） 5.某产品的研发费用x万元与销售利润y万元的统计数据如表所示， 研发费用x (万元) 4 2 3 5 利润y (万元) 49 26 39 m 根据上表可得回归方程.中的 .据此模型预计研发费用为6万元时，利润为65.5， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意：. 所以. 又由已知数据，，. 又经过，所以. 所以，. 故选：C 6.某公司销售的3D卡通纪念章很受欢迎，国庆长假第一天每件售价为20元，卖出了100百件.为了缓解进货压力，同时保证销售额不下降，决定从第二天起开始涨价.根据往年的市场调研得出的规律，该种商品涨价会导致销量下降，具体数据如下： 每件涨价元 1 2 3 4 5 销量下降百件 1 2 8 14 15 (1)由统计表看出，可用线性回归模型拟合与的关系，试建立与的回归方程. (2)由（1）中的回归方程预测，当售价为多少元时，该款商品的日销售额最大，最大销售额是多少百元? 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】(1)； (2)售价为23元时，日销售额最大，为2116百元． 【详解】（1），， ， ， 则. （2）设涨价元时，每日的销售额为百元， 则 ，则当时，销售额最大为2116百元， 此时售价为23元，日销售额最大，为2116百元． 7.（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某奶茶连锁店研制了新品，在五个店按不同的价格进行试销售，通过一天的试销售得到的数据如下表： 单价（元/杯） 10 10.5 11 11.5 12 销售量（杯/店） 30 28 25 22 20 通过分析，发现该新品的销售量（杯/店）与单价（元/杯）具有线性相关关系. (1)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的回归直线方程； (2)已知此奶茶连锁店一共有500家奶茶店，若为了提高销量，此奶茶连锁店规定该新品的单价是9元/杯，根据（1）所得的回归直线方程，请估计此奶茶连锁店关于此新品一天的总销售量. 附：在回归直线方程中，. 【答案】(1) (2)杯 【详解】（1）解：由题意，可得， 且， 所以，， 所以关于的回归直线方程是. （2）解：由（1）知当时，可得， 所以估计此奶茶连锁店关于此新品一天的总销售量是（杯）. 题型三、已知一元线性回归方程的求参数 8.一组数据的线性回归方程为，若，则 ． 【答案】78 【详解】由得. 因为过点，所以，所以. 故答案为：78. 9.已知变量和满足经验回归方程，且变量和之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（   ） 5 6 9 12 8 7 2.4 A． B．当时， C．变量和呈负相关 D．该经验回归直线必过点 【答案】D 【详解】对于A，由表可得，， 因为经验回归直线必过样本中心点， 所以，解得，故A正确； 对于B，当时，，故B正确； 对于C，因为经验回归方程中，斜率，所以变量和呈负相关，故C正确； 对于D，该经验回归直线必过点为样本中心点，故D错误. 故选：D. 10.（多选）下列说法正确的是（    ） A．一组数据的第百分位数为17 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强 D．对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 【答案】BCD 【详解】对于A，因为，所以第百分位数为，所以选项A错误； 对于B，若随机变量服从正态分布，且， 则， 则，所以选项B正确； 对于C ,若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强，所以选项C正确； 对于D，样本点的中心为，所以，， 因为回归直线过样本点的中心，所以，解得.所以选项D正确． 故选：BCD. 题型三、一元非线性回归方程的求法（难点） 11.已知变量y与x的一组数据如表所示，根据数据得到y关于x的经验回归方程为． x 2 3 4 5 y 若，则（   ） A．6.8 B．7.8 C．8.8 D．9.8 【答案】D 【详解】由题意可得 x 2 3 4 5 2 3 5 6 由表中数据可得，， 故在上，故，故，则 当时，即，则，解得， 故选：D 12.某工厂生产各种规格的某种零件，从中随机抽取6个不同规格的零件，其检测数据如下表： 零件尺寸 38 48 58 68 78 88 零件质量 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 质量与尺寸之比 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290 (1)测评标准指出，当零件的质量与其尺寸之比在区间内时为优等品.现从上述6个零件中任选2个，求这2个零件中优等品个数的均值和方差； (2)据散点图分析，上述6个零件的质量与尺寸之间存在非线性相关关系，其经验回归方程可设为.当零件的尺寸为时，估计零件的质量约为多少?（精确到） 参考数据：，，，， 附：对于样本数据，其一元线性回归模型中斜率参数b和截距参数a的最小二乘估计分别为：， 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为0.357，0.325，，则抽取的6个零件中有3个优等品，3个为非优等品， 所以的可能取值为0，1，2. 因为，， 所以， . （2）由，得， 令，，，则 因为，，， 则， 所以，即，所以y与x的经验回归方程是 当时，，所以当零件尺寸为时，估计零件的质量约为. 13.中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y（单位：）关于时间x（单位：min）的回归方程模型，通过实验收集在室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据. 73.5 3.85 表中：， (1)根据散点图判断: ①与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的经验回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立该茶水温度y关于时间x的经验回归方程 (3)已知该茶水温度降至口感最佳，根据（2）中的经验回归方程，求在相同条件下，刚泡好的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感. 附：（1）对于一组数据，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， （2）参考数据：，，，，. 【答案】(1)②更适宜 (2) (3) 【详解】（1）由散点图知，点的分布呈现出曲线的趋势，因此更适宜的回归方程为②，即. （2）由，得，对等式两边取自然对数，得， 令，则， ， ， 结合表中数据，得， 结合参考数据可得，由，得结合参考数据可得， 所以茶水温度y关于时间x的回归方程为. （3）依题意，室温下，茶水温度降至口感最佳， 即，整理得， 于是，解得， 所以在相同条件下，刚泡好的茶水大约需要放置7.5min才能达到最佳饮用口感. 题型四、用相关系数判断相关变量间关系的强弱 14.下列命题是真命题的为（    ） A．经验回归方程一定不过样本点 B．可以用样本相关系数r来刻画两个变量x和y线性相关程度的强弱，r的值越小，说明两个变量线性相关程度越弱 C．在回归分析中，决定系数R2＝0.80的模型比决定系数R2＝0.98的模型拟合的效果要好 D．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 【答案】D 【详解】对于A，经验回归方程不一定经过所有样本点但可能经过部分样本点,则说明A是假命题； 对于B，由样本相关系数的意义，当越接近0时，表示变量y与x之间的线性相关程度越弱，所以B是假命题； 对于C，用决定系数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好， 所以C是假命题； 对于D，由残差的统计学意义知，D是真命题. 故选：D 15.已知四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，，则线性相关程度最强的是（    ） A．A组 B．B组 C．C组 D．D组 【答案】B 【详解】线性相关系数的绝对值越接近于1，相关程度就越强， 因为， 经过比较可知，最大，所以组的线性相关程度最强. 故选：B. 16.（多选）下列说法正确的是（   ） A．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70%分位数是23 B．若随机变量，且，则 C．在回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好 D．在回归模型中，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高 【答案】BCD 【详解】对于A： 先将数据从小到大排列为：12，13，14，15，17，19，23，24，27，30共10个数据， 因为，为整数，所以第70%分位数是第7项和第8项的平均值， 即，所以A错误； 对于B： 因为，正态分布关于对称， 所以，所以， 所以B正确； 对于C： 在回归分析中，决定系数越接近1，说明模型对数据的拟合效果越好，即越大，模型的拟合效果越好，所以C正确； 对于D： 残差点所在的带状区域宽度越窄，说明残差越小，模型对数据的拟合精度越高，所以D正确. 故选：BCD. 17.某高科技公司开发了一款AI学习机，为了解市场销售情况，该公司统计了过去5个月的月广告投入（单位：十万元）与该款学习机的月销量（单位：千台）的数据，如表所示. 月份代码 1 2 3 4 5 10 20 30 40 50 58 59 60 64 65 (1)求和的样本相关系数，并判断与是否具有较强的线性相关性；（结果精确到0.01，若，则认为与具有较强的线性相关性） (2)求关于的经验回归方程，并估计月广告投入600万元时该款学习机的月销量； (3)该款学习机目前售价为3000元/台，为提升销量，经销该款学习机的某专卖店针对该款学习机推出了两种促销方案.方案一：买一台立减400元；方案二：一次性购买两台可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖相互独立，中奖一次立减600元/台，中奖两次立减800元/台，中奖三次立减1000元/台，若三次均未中奖，仍可享基础优惠300元/台.某家长准备在该店购买两台该款学习机，请从付款总金额数学期望的角度分析选哪种方案更优惠. 参考公式：对于经验回归方程，，；样本相关系数. 参考数据：，，. 【答案】(1)0.96，与具有较强的线性相关性； (2)；当时，千台； (3)选第二种方案更优惠，理由见解析. 【详解】（1）由题可知，，所以 所以. 所以y与x具有较强的线性相关性. （2）由（1）知. 因为，， 所以. 关于的经验回归方程为，故当时，. 所以估计当月广告投入600万元时，该款学习机的月销量约为千台. （3）家长准备在该店购买两台该款学习机，选第二种方案更优惠.理由如下： 若采用方案一，可享受优惠（元）；付款总金额数学期望为（元）； 若采用方案二，记中奖次数为X，则. ；； ；； 记该家长购买两台学习机可享受优惠共为Y元，则Y的分布列如下： Y 600 1200 1600 2000 P 所以（元）. 所以若采用方案二，付款总金额数学期望为(元). 因为，所以选第二种方案更优惠. 题型五、独立性检验的判断变量是否相关 18.（25-26高二上·湖南长沙·期中）（多选）下列结论错误的是（    ） A．在回归模型中，决定系数越大，则回归拟合的效果越好 B．已知随机变量，随机变量，则 C．在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有数据都缩小为原来的十分之一，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变（） D．由两个分类变量的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），可判断独立 【答案】BCD 【详解】对于A选项，在回归模型中，决定系数越接近1，说明回归模型对数据的拟合效果越好，越大（越接近1），则回归拟合的效果越好，该选项正确； 对于B选项，，， 所以，故B错误； 对于C选项，若列联表中所有数据都缩小为原来的，则的值变为原来的，所以结论可能会发生改变，故C错误； 对于D选项，由可得出“零假设与独立”不成立，所以有的把握说有关，故D错误． 故选：BCD 19.（多选）随着人工智能应用软件豆包、Kimi、DeepSeek陆续出现，AI成为各行各业创新应用的热门话题．某课题小组对本市各行业人群使用AI频率进行调查研究，下列说法正确的是（　　） A．甲同学根据调查数据，利用最小二乘法得到AI每周使用频次关于年龄的经验回归方程为，可以推断使用频次与年龄正相关且相关系数为0.2 B．乙同学开展了AI每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，且相关程度很强 C．丙同学研究性别因素是否影响AI使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的AI使用频次有差异 D．丁同学得到经验回归方程①和②，通过决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好很多 【答案】BD 【详解】A选项：在经验回归方程中，斜率参数，只能说明使用频次与年龄正相关，但相关系数不是0.2，故A错误； B选项：样本相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关性越强，，说明两个变量正线性相关，且相关程度很强，故B正确； C选项：根据小概率值的独立性检验，计算得到，没有充分证据证明不同性别的AI使用频次有差异，故C错误； D选项：决定系数越接近于1，模型的拟合效果越好，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好． 故选：BD． 20.（多选）针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（   ） 附表： 附： A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】BCD 【详解】设男生可能有人，依题意可得列联表如下： 喜欢抖音 不喜欢抖音 总计 男生 女生 总计 ， 有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，， 解得：，又是的正整数倍， ，和都满足题意. 故选：BCD. 21.随着国家三胎政策的放开，为了调查一线城市和非一线城市的三胎生育意愿，某机构用简单随机抽样的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表： 城市级别生育意愿 非一线 一线 总计 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 总计 58 42 计算得．参照下表， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 则有 的把握认为生育意愿与城市级别有关． 【答案】 【详解】因为，所以有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”． 故答案为：． 题型六、独立性检验的应用 22.某中学为探究“周末使用手机时长是否影响学业成绩”，随机调查100名学生，得到部分统计数据如下表： 学业成绩 使用手机小时 使用手机小时 良好 20 不良好 40 记事件“学业成绩良好且使用手机小时”，事件“学业成绩不良好且使用手机小时”，已知事件的频率是事件的频率的3倍. (1)求表中的，的值； (2)记使用手机小时的学生中学业成绩良好的概率为，求的估计值； (3)根据上述数据，请画出列联表，并判断是否有95%的把握认为“周末使用手机时长”与“学业成绩”有关？请说明理由. 参考数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)，. (2) (3)有，理由见解析 【详解】（1）由样本容量为，得，即. 又事件A的频率是事件B的频率的3倍，所以，即. 故，. （2）因为在样本中用手机小时的学生中学业成绩良好的频率为， 根据用样本频率估计总体频率，估计总体中用手机小时的学生中学业成绩良好的频率为， 再由频率估计概率，故用手机小时的学生中学业成绩良好的概率为. 故的估计值为. （3）设假设：周末使用手机时长与学业成绩相互独立.由题得列联表： 学业成绩 使用手机小时 使用手机小时 合计 良好 30 20 50 不良好 10 40 50 合计 40 60 100 可知，，，，，. 所以 故假设不成立，有95%的把握认为“周末使用手机时长”与“学业成绩”有关 23.某市自从启动对“车不让人行为”处罚以来，斑马线前机动车抢行不文明行为得以根本改变，但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频繁发生，带来了较大的交通安全隐患，同时也使机动车的通畅率降低.该市交警部门在某十字路口根据以往的检测数据，得到行人闯红灯的概率约为0.4，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯情况得到如下列联表： 30岁及以下 30岁以上 总计 闯红灯 60 未闯红灯 80 总计 200 近期，为了整顿“行人闯红灯”这一项不文明及违法行为，交警部门在该十字路口对闯红灯行人试行经济处罚，了研究不同处罚金额的效果，交警部门在试行四种不同处罚金额（5元、10元、15元、20元）的情形下，每种情形均随机抽取200人进行调查，统计了闯红灯的人数，汇总如下表： 处罚金额（单位：元） 5 10 15 20 闯红灯的人数 50 40 20 0 将统计数据所得频率作为概率，完成下列问题. (1)将列联表填写完整（不需写出填写过程），并根据表中数据分析，在未对闯红灯行人试行经济处罚前，是否有的把握认为闯红灯与年龄有关？ (2)当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率比不进行处罚降低多少？ (3)结合调查结果，谈谈如何治理行人闯红灯现象. 【答案】(1)列联表见解析；有的把握认为闯红灯与年龄有关 (2)0.2 (3)答案见解析 【详解】（1）列联表如下： 30岁及以下 30岁以上 总计 闯红灯 20 60 80 未闯红灯 80 40 120 总计 100 100 200 零假设：假设闯红灯与年龄无关， 由表中数据可得. ，假设不成立，即有的把握认为闯红灯与年龄有关； （2）未进行处罚前，行人闯红灯的概率约为0.4， 当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率约为， 所以当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率比不进行处罚降低0.2； （3）①根据调查数据显示，行人闯红灯与年龄有明显关系， 所以可以针对30岁以上人群开展“道路安全”宣传教育； ②由于试行经济处罚可以明显降低行人闯红灯的概率， 所以可以进行适当经济处罚来降低行人闯红灯的概率. 24.近日，2025年江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”）火爆全网，话题不断．常州市随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 (1)对照列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关？ (2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取名市民参加“苏超”赛事知识问答．已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为，每个人是否顺利完成相互独立．求在有且只有人顺利完成的条件下，这人的性别不同的概率． 附：． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)认为关注“苏超”赛事与性别有关 (2). 【详解】（1）零假设：关注“苏超”赛事与性别无关． ， 故依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立，即认为关注“苏超”赛事与性别有关； （2）由分层抽样可知，抽取男性市民人，女性市民人， 记“有且只有人顺利完成知识问答”事件，“这人的性别不同”为事件， 则， ， ∴， ∴在有且仅有人顺利完成知识问答的条件下，这人的性别不同的概率为. 25.中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭、 载人航天、深空探测等多个领域． 某学校为了解学生对航天工程的关注情况，随机从该校学生中抽取男生和女生各 100 人进行调查， 调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 (1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为该校学生对航天工程的关注情况与性别有关？ (2)为了激发同学们对航天工程的关注，该校举办了一次航天知识闯关比赛，比赛有两个答题方案可供选择： 方案一：回答4个问题，至少答对3个问题才能晋级； 方案二：在4个问题中随机选择2个问题作答，都答对才能晋级． 已知该校学生甲答对这4个问题的概率分别为，学生甲回答这4个问题正确与否相互独立，则学生甲选择哪种方案晋级的可能性更大？ 请说明理由． 参考公式及参考数据： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)能有的把握认为该校学生对航天工程的关注与性别有关 (2)学生甲选择方案一晋级的可能性更大 【详解】（1）零假设：设认为该校学生对航天工程的关注与性别无关， 根据列联表可得： ， 能有的把握认为该校学生对航天工程的关注与性别有关． （2）记这4个问题为，，，，学生甲答对，，，的事件分别记为，，，， 分别记按方案一、二晋级的概率为，， 则 ， ， 因为，学生甲选择方案一晋级的可能性更大． 27.石墨烯发热膜在生产生活中应用广泛.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A材料、B材料可供选择，研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨各做了100次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图. (1)根据等高堆积条形图，填写如下列联表，并依据的独立性检验，分析试验结果与材料是否有关； （单位：次） A材料 B材料 合计 试验成功 试验失败 合计 (2)制作1吨石墨烯发热膜有甲、乙两个环节，其中甲环节生产合格的概率为，乙环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.若生产不合格还需进行修复，甲环节的修复费用为3万元，乙环节修复费用均为2万元.设随机变量为制作石墨烯发热膜所产生的修复费用，求的分布列及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析，试验结果与材料有关 (2)分布列见解析， 【详解】（1）根据题中所给等高堆积条形图，得列联表如下： 单位：次 A材料 B材料 合计 试验成功 90 60 150 试验失败 10 40 50 合计 100 100 200 零假设为：试验结果与材料无关. 计算可得， 依据的独立性检验，推断不成立，即认为试验结果与材料有关. （2）的可能取值为0，2，3，5. ，，，， 则的分布列为 0 3 5 数学期望. 1.（25-26高三上·重庆·模拟）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若事件与事件相互独立，则 B．若事件与事件相互独立，则 C．标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小， 标准差越大， 数据的离散程度越大 D．在残差图中， 残差点分布的水平带状区域越宽， 说明模型拟合效果越好 【答案】AC 【分析】根据独立事件的含义可判断AB；根据标准差的含义判读C；根据残差图的意义判断D. 【详解】对于A，事件与事件 相互独立，则，正确； 对于B，事件与事件相互独立，则， 而不一定等于0，故不一定成立，故B错误； 对于C，标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差越大，数据的离散程度越大，正确； 对于D，在残差图中， 残差点分布的水平带状区域越宽， 说明模型拟合效果越差，D错误， 故选：AC 2.（2025·四川南充·一模）（多选）一组样本数据．其中，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为，分布如图所示，且，则（   ） A．样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 【答案】ABD 【分析】利用回归方程判断A；利用样本中心点计算判断B；利用图象的波动性判断CD. 【详解】对于A，经验回归方程中斜率，则样本负相关，A正确； 对于B，原样本均值：，由，得，B正确： 对于C，由图1的数据波动较大可得比更集中，则，C错误； 对于D，由图1的残差平方和较图2的残差平方和大知，处理后拟合效果更好，决定系数变大，D正确． 3.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（   ） A．对于独立性检验，随机变量的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小 B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是，3 C．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 D．将两个具有相关关系的变量x，y的一组数据，，…，调整为，，，决定系数不变 【答案】BD 【分析】根据独立性检验的原理可判断A；对两边取对数，对照求解可判断B；由回归方程不一定过样本点可判断C，根据决定系数公式可判断D. 【详解】对A，由独立性检验的原理可知，的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，错误； 对B，对两边取对数得，即， 又，所以，即，正确； 对C，回归方程不一定过样本点，所以无法确定的值，错误； 对D，由决定系数公式可知， 当代换成时，和的值都没有发生变化，故决定系数不变，正确. 故选：BD 4.（25-26高二上·贵州贵阳·月考）随着新能源产业的发展，某地区近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究充电桩建设的情况，相关部门收集到了2020年到2024年充电桩数量y（单位：万个），为方便研究，年份代码用x表示（如：表示2020年），具体参考数据如下表： 55 70.4 19 (1)请根据表中数据，建立y关于x的回归直线方程； (2)假设该地区现有10个充电桩，其中6个为快充桩.现随机抽取2个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为X，求X的分布列及均值． （参考公式：，．） 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）首先求出，，再根据公式求解即可. （2）根据题意得到X的可能取值为0，1，2，从而得到，，，再求分布列和数学期望即可. 【详解】（1），， 因为，， 所以，， 所以回归直线方程为． （2）由题意，X的可能取值为0，1，2， ，， ． X的分布列为： X 0 1 2 P 所以． 5.（25-26高二上·云南昆明·阶段练习）在一个不透明的袋子里初始装有红球和白球各一个，每次有放回地从中任取一个，连续取两次，以上过程记为一轮．如果每一轮两次取到的都是红球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则往袋子里再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． (1)某人进行该抽球实验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球．记其进行抽球试验的轮次数为X，求X的分布列和数学期望； (2)为验证抽球实验成功的概率不超过，有1000名志愿者独立地进行该抽球实验，用t表示成功时抽球的轮次数，y表示对应的人数，以下是部分统计数据： t 1 2 3 4 5 y 232 98 60 40 20 求y关于t的回归方程，并预测当时y的值； (3)若在前n轮就成功的概率为，证明：． 附：回归方程系数：； 参考数据：（其中，） 【答案】(1)分布列见解析， (2)，10.8 (3)证明见解析 【分析】（1）依题意，确定X的取值可能为1，2，3，分别求出其对应的概率，列出分布列，利用数学期望公式计算即可； （2）利用将y关于t的回归方程化成线性方程，将相关数据代入公式依次计算，即得回归方程，并进行计算预测； （3）根据（1）的分析总结，得出在前n轮就成功的概率为，利用累乘法化简求解得，即可证得，即得. 【详解】（1）由题意知，X的取值可能为1，2，3， ，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的数学期望． （2）令，则．由题意知，，，． 则，则，则有， 故回归方程为．当时，，故预测y的值约为10.8． （3）由题意知在前n轮就成功的概率为 ． 则在前n轮没有成功的概率为 ， 即，所以．故． 6.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某零件生产车间，对甲乙两台机器生产的零件进行检验，现从两台机器生产的零件中抽查100个零件，检验结果如下表所示： 一等品 非一等品 合计 甲机器 30 15 乙机器 45 合计 (1)完成列联表并依据小概率值的独立性检验，判断该车间生产的零件是否是一等品与由哪台机器生产是否有关联； (2)已知这批零件的内径X（单位：mm）服从正态分布，若该车间又新购一台机器，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：mm）分别为：181，190，198，204，213.如果你是该车间的负责人，以原两台机器生产性能为标准，试根据原则通过计算概率判断这台机器是否需要进一步调试？并说明你的理由. 附：参考公式：，其中. 参考数据： 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 若，则，，，. 【答案】(1)列联表见解析，该车间生产的零件是否是一等品与由哪台机器生产无关联； (2)需要进一步调试，理由见解析. 【分析】（1）根据题设完成列联表，再求出即可判断； （2）计算出五个零件的内径中恰有1个不在的概率约为，而试生产的5个零件中内径出现了1个不在内，根据原则，得到结论. 【详解】（1）列联表如下： 一等品 非一等品 合计 甲机器 30 15 45 乙机器 45 10 55 合计 75 25 100 设零假设为：该车间生产的零件是否是一等品与由哪台机器生产无关， 而， 依据小概率值，零假设成立，故可以认为该车间生产的零件是否是一等品与由哪台机器生产无关联. （2）由题意得：，则， 所以， 即， 所以五个零件的内径中恰有1个不在的概率为， 又，则试产的5个零件中内径出现了1个不在内，小概率事件已发生， 根据原则，这台设备需要进一步调试. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 统计案例 目录 A题型建模・专项突破 题型一、相关变量的散点图 2 题型二、一元线性回归方程的求法（常考点） 3 题型三、已知一元线性回归方程的求参数 4 题型四、一元非线性回归方程的求法（难点） 5 题型五、用相关系数判断相关变量间关系的强弱 8 题型六、独立性检验的判断变量是否相关 10 题型七、独立性检验的应用（重点） 12 B综合攻坚・能力跃升 题型一、相关变量的散点图 1.在下列4组样本数据的散点图中，样本相关系数最小的是（   ）    A． B． C． D． 2.下列图中，线性相关系数最大的是（   ） A． B． C． D． 3.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在10℃至35℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）有一散点图如图所示，在5个数据中去掉后，下列说法正确的是（   ） A．解释变量与响应变量的线性相关性变弱 B．方差变大 C．决定系数变小 D．残差平方和变小 题型二、一元线性回归方程的求法（常考点） 5.某产品的研发费用x万元与销售利润y万元的统计数据如表所示， 研发费用x (万元) 4 2 3 5 利润y (万元) 49 26 39 m 根据上表可得回归方程.中的 .据此模型预计研发费用为6万元时，利润为65.5， 则（    ） A． B． C． D． 6.某公司销售的3D卡通纪念章很受欢迎，国庆长假第一天每件售价为20元，卖出了100百件.为了缓解进货压力，同时保证销售额不下降，决定从第二天起开始涨价.根据往年的市场调研得出的规律，该种商品涨价会导致销量下降，具体数据如下： 每件涨价元 1 2 3 4 5 销量下降百件 1 2 8 14 15 (1)由统计表看出，可用线性回归模型拟合与的关系，试建立与的回归方程. (2)由（1）中的回归方程预测，当售价为多少元时，该款商品的日销售额最大，最大销售额是多少百元? 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 7.（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某奶茶连锁店研制了新品，在五个店按不同的价格进行试销售，通过一天的试销售得到的数据如下表： 单价（元/杯） 10 10.5 11 11.5 12 销售量（杯/店） 30 28 25 22 20 通过分析，发现该新品的销售量（杯/店）与单价（元/杯）具有线性相关关系. (1)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的回归直线方程； (2)已知此奶茶连锁店一共有500家奶茶店，若为了提高销量，此奶茶连锁店规定该新品的单价是9元/杯，根据（1）所得的回归直线方程，请估计此奶茶连锁店关于此新品一天的总销售量. 附：在回归直线方程中，. 题型三、已知一元线性回归方程的求参数 8.一组数据的线性回归方程为，若，则 ． 9.已知变量和满足经验回归方程，且变量和之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（   ） 5 6 9 12 8 7 2.4 A． B．当时， C．变量和呈负相关 D．该经验回归直线必过点 10.（多选）下列说法正确的是（    ） A．一组数据的第百分位数为17 B．若随机变量服从正态分布，且，则 C．若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强 D．对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 题型四、一元非线性回归方程的求法（难点） 11.已知变量y与x的一组数据如表所示，根据数据得到y关于x的经验回归方程为． x 2 3 4 5 y 若，则（   ） A．6.8 B．7.8 C．8.8 D．9.8 12.某工厂生产各种规格的某种零件，从中随机抽取6个不同规格的零件，其检测数据如下表： 零件尺寸 38 48 58 68 78 88 零件质量 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 质量与尺寸之比 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290 (1)测评标准指出，当零件的质量与其尺寸之比在区间内时为优等品.现从上述6个零件中任选2个，求这2个零件中优等品个数的均值和方差； (2)据散点图分析，上述6个零件的质量与尺寸之间存在非线性相关关系，其经验回归方程可设为.当零件的尺寸为时，估计零件的质量约为多少?（精确到） 参考数据：，，，， 附：对于样本数据，其一元线性回归模型中斜率参数b和截距参数a的最小二乘估计分别为：， 13.中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y（单位：）关于时间x（单位：min）的回归方程模型，通过实验收集在室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据. 73.5 3.85 表中：， (1)根据散点图判断: ①与②哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的经验回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由） (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立该茶水温度y关于时间x的经验回归方程 (3)已知该茶水温度降至口感最佳，根据（2）中的经验回归方程，求在相同条件下，刚泡好的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感. 附：（1）对于一组数据，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， （2）参考数据：，，，，. 题型五、用相关系数判断相关变量间关系的强弱 14.下列命题是真命题的为（    ） A．经验回归方程一定不过样本点 B．可以用样本相关系数r来刻画两个变量x和y线性相关程度的强弱，r的值越小，说明两个变量线性相关程度越弱 C．在回归分析中，决定系数R2＝0.80的模型比决定系数R2＝0.98的模型拟合的效果要好 D．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 15.已知四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为，，则线性相关程度最强的是（    ） A．A组 B．B组 C．C组 D．D组 16.（多选）下列说法正确的是（   ） A．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70%分位数是23 B．若随机变量，且，则 C．在回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好 D．在回归模型中，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高 17.某高科技公司开发了一款AI学习机，为了解市场销售情况，该公司统计了过去5个月的月广告投入（单位：十万元）与该款学习机的月销量（单位：千台）的数据，如表所示. 月份代码 1 2 3 4 5 10 20 30 40 50 58 59 60 64 65 (1)求和的样本相关系数，并判断与是否具有较强的线性相关性；（结果精确到0.01，若，则认为与具有较强的线性相关性） (2)求关于的经验回归方程，并估计月广告投入600万元时该款学习机的月销量； (3)该款学习机目前售价为3000元/台，为提升销量，经销该款学习机的某专卖店针对该款学习机推出了两种促销方案.方案一：买一台立减400元；方案二：一次性购买两台可抽奖三次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖相互独立，中奖一次立减600元/台，中奖两次立减800元/台，中奖三次立减1000元/台，若三次均未中奖，仍可享基础优惠300元/台.某家长准备在该店购买两台该款学习机，请从付款总金额数学期望的角度分析选哪种方案更优惠. 参考公式：对于经验回归方程，，；样本相关系数. 参考数据：，，. 题型六、独立性检验的判断变量是否相关 18.（25-26高二上·湖南长沙·期中）（多选）下列结论错误的是（    ） A．在回归模型中，决定系数越大，则回归拟合的效果越好 B．已知随机变量，随机变量，则 C．在对两个分类变量进行独立性检验时，如果列联表中所有数据都缩小为原来的十分之一，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变（） D．由两个分类变量的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验（），可判断独立 19.（多选）随着人工智能应用软件豆包、Kimi、DeepSeek陆续出现，AI成为各行各业创新应用的热门话题．某课题小组对本市各行业人群使用AI频率进行调查研究，下列说法正确的是（　　） A．甲同学根据调查数据，利用最小二乘法得到AI每周使用频次关于年龄的经验回归方程为，可以推断使用频次与年龄正相关且相关系数为0.2 B．乙同学开展了AI每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，且相关程度很强 C．丙同学研究性别因素是否影响AI使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的AI使用频次有差异 D．丁同学得到经验回归方程①和②，通过决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好很多 20.（多选）针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”做了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数的，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（   ） 附表： 附： A．人 B．人 C．人 D．人 21.随着国家三胎政策的放开，为了调查一线城市和非一线城市的三胎生育意愿，某机构用简单随机抽样的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表： 城市级别生育意愿 非一线 一线 总计 愿生 45 20 65 不愿生 13 22 35 总计 58 42 计算得．参照下表， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 则有 的把握认为生育意愿与城市级别有关． 题型七、独立性检验的应用 22.某中学为探究“周末使用手机时长是否影响学业成绩”，随机调查100名学生，得到部分统计数据如下表： 学业成绩 使用手机小时 使用手机小时 良好 20 不良好 40 记事件“学业成绩良好且使用手机小时”，事件“学业成绩不良好且使用手机小时”，已知事件的频率是事件的频率的3倍. (1)求表中的，的值； (2)记使用手机小时的学生中学业成绩良好的概率为，求的估计值； (3)根据上述数据，请画出列联表，并判断是否有95%的把握认为“周末使用手机时长”与“学业成绩”有关？请说明理由. 参考数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 23.某市自从启动对“车不让人行为”处罚以来，斑马线前机动车抢行不文明行为得以根本改变，但作为交通重要参与者的行人，闯红灯通行却频繁发生，带来了较大的交通安全隐患，同时也使机动车的通畅率降低.该市交警部门在某十字路口根据以往的检测数据，得到行人闯红灯的概率约为0.4，并从穿越该路口的行人中随机抽取了200人进行调查，对是否存在闯红灯情况得到如下列联表： 30岁及以下 30岁以上 总计 闯红灯 60 未闯红灯 80 总计 200 近期，为了整顿“行人闯红灯”这一项不文明及违法行为，交警部门在该十字路口对闯红灯行人试行经济处罚，了研究不同处罚金额的效果，交警部门在试行四种不同处罚金额（5元、10元、15元、20元）的情形下，每种情形均随机抽取200人进行调查，统计了闯红灯的人数，汇总如下表： 处罚金额（单位：元） 5 10 15 20 闯红灯的人数 50 40 20 0 将统计数据所得频率作为概率，完成下列问题. (1)将列联表填写完整（不需写出填写过程），并根据表中数据分析，在未对闯红灯行人试行经济处罚前，是否有的把握认为闯红灯与年龄有关？ (2)当处罚金额为10元时，行人闯红灯的概率比不进行处罚降低多少？ (3)结合调查结果，谈谈如何治理行人闯红灯现象. 24.近日，2025年江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”）火爆全网，话题不断．常州市随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 (1)对照列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关？ (2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取名市民参加“苏超”赛事知识问答．已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为，每个人是否顺利完成相互独立．求在有且只有人顺利完成的条件下，这人的性别不同的概率． 附：． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 25.中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭、 载人航天、深空探测等多个领域． 某学校为了解学生对航天工程的关注情况，随机从该校学生中抽取男生和女生各 100 人进行调查， 调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 (1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为该校学生对航天工程的关注情况与性别有关？ (2)为了激发同学们对航天工程的关注，该校举办了一次航天知识闯关比赛，比赛有两个答题方案可供选择： 方案一：回答4个问题，至少答对3个问题才能晋级； 方案二：在4个问题中随机选择2个问题作答，都答对才能晋级． 已知该校学生甲答对这4个问题的概率分别为，学生甲回答这4个问题正确与否相互独立，则学生甲选择哪种方案晋级的可能性更大？ 请说明理由． 参考公式及参考数据： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 27.石墨烯发热膜在生产生活中应用广泛.从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A材料、B材料可供选择，研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨各做了100次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图. (1)根据等高堆积条形图，填写如下列联表，并依据的独立性检验，分析试验结果与材料是否有关； （单位：次） A材料 B材料 合计 试验成功 试验失败 合计 (2)制作1吨石墨烯发热膜有甲、乙两个环节，其中甲环节生产合格的概率为，乙环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.若生产不合格还需进行修复，甲环节的修复费用为3万元，乙环节修复费用均为2万元.设随机变量为制作石墨烯发热膜所产生的修复费用，求的分布列及数学期望. 附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 1.（25-26高三上·重庆·模拟）（多选）下列命题正确的是（    ） A．若事件与事件相互独立，则 B．若事件与事件相互独立，则 C．标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小， 标准差越大， 数据的离散程度越大 D．在残差图中， 残差点分布的水平带状区域越宽， 说明模型拟合效果越好 2.（2025·四川南充·一模）（多选）一组样本数据．其中，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为，分布如图所示，且，则（   ） A．样本负相关 B． C． D．处理后的决定系数变大 3.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的是（   ） A．对于独立性检验，随机变量的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小 B．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是，3 C．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 D．将两个具有相关关系的变量x，y的一组数据，，…，调整为，，，决定系数不变 4.（25-26高二上·贵州贵阳·月考）随着新能源产业的发展，某地区近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究充电桩建设的情况，相关部门收集到了2020年到2024年充电桩数量y（单位：万个），为方便研究，年份代码用x表示（如：表示2020年），具体参考数据如下表： 55 70.4 19 (1)请根据表中数据，建立y关于x的回归直线方程； (2)假设该地区现有10个充电桩，其中6个为快充桩.现随机抽取2个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为X，求X的分布列及均值． （参考公式：，．） 5.（25-26高二上·云南昆明·阶段练习）在一个不透明的袋子里初始装有红球和白球各一个，每次有放回地从中任取一个，连续取两次，以上过程记为一轮．如果每一轮两次取到的都是红球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则往袋子里再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． (1)某人进行该抽球实验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球．记其进行抽球试验的轮次数为X，求X的分布列和数学期望； (2)为验证抽球实验成功的概率不超过，有1000名志愿者独立地进行该抽球实验，用t表示成功时抽球的轮次数，y表示对应的人数，以下是部分统计数据： t 1 2 3 4 5 y 232 98 60 40 20 求y关于t的回归方程，并预测当时y的值； (3)若在前n轮就成功的概率为，证明：． 附：回归方程系数：； 参考数据：（其中，） 6.（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某零件生产车间，对甲乙两台机器生产的零件进行检验，现从两台机器生产的零件中抽查100个零件，检验结果如下表所示： 一等品 非一等品 合计 甲机器 30 15 乙机器 45 合计 (1)完成列联表并依据小概率值的独立性检验，判断该车间生产的零件是否是一等品与由哪台机器生产是否有关联； (2)已知这批零件的内径X（单位：mm）服从正态分布，若该车间又新购一台机器，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：mm）分别为：181，190，198，204，213.如果你是该车间的负责人，以原两台机器生产性能为标准，试根据原则通过计算概率判断这台机器是否需要进一步调试？并说明你的理由. 附：参考公式：，其中. 参考数据： 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 若，则，，，. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $