章末检测试卷6 (第7章 统计案例)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

**基本信息** 本单元卷为高中数学第七章统计内容的章末检测，120分钟150分，通过生活、科技等真实情境考查相关关系、回归分析、独立性检验等核心知识，适配单元复习，助力提升数据意识与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|相关关系判断、样本相关系数、χ²检验|结合吸烟与健康等生活实例，基础巩固| |多项选择|3/18|线性回归方程性质、异常数据处理|设置易错选项，考查推理能力| |填空|3/15|χ²计算、回归预测、样本点位置|融入设备维修费用等应用场景| |解答|5/77|列联表构建、线性回归方程求解与预测、独立性检验|以新能源汽车销量、APP满意度调查为情境，综合考查数据处理与模型观念|

章末检测试卷六(第七章) [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.下列两个变量具有正相关关系的是(　　) A.正方形面积与边长 B.吸烟与健康 C.数学成绩与物理成绩 D.汽车的质量与汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程 答案　C 解析　正方形的面积与边长是函数关系，故A选项错误；吸烟越多，越不健康，所以吸烟与健康具有负相关关系，故B选项错误；汽车越重，每消耗1 L汽油所行驶的平均路程越短，所以汽车的质量与汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程具有负相关关系，故D选项错误；一般来说，数学成绩越好，那么物理成绩越好，所以数学成绩与物理成绩具有正相关关系.故C选项正确. 2.(2024·天津)下列图中，样本相关系数最大的是(　　) 答案　A 解析　观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体在一条直线附近，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，样本相关系数相比于其他3图更接近1. 3.经过对统计量χ2的研究，得到了若干个临界值，当χ2<2.706时，则(　　) A.认为A与B有关系，且这个结论犯错误的可能性不超过5% B.认为A与B有关系，且这个结论犯错误的可能性不超过1% C.认为A与B无关 D.认为A与B有关系，且这个结论犯错误的可能性不超过10% 答案　C 4.设某商场今年上半年月销售额Y(万元)关于月份X(X＝1，2，…，6)的线性回归方程为Y＝1.2X+，已知上半年的总销售额为120万元，则该商场12月份的销售额预计为(　　) A.24万元 B.27.8万元 C.30.2万元 D.32万元 答案　C 解析　由已知数据可得 ＝3.5，＝20， 因为回归直线经过点(，)， 所以20＝1.2×3.5+，解得＝15.8， 则线性回归方程为Y＝1.2X+15.8. 所以该商场12月份销售额预计为1.2×12+15.8＝30.2(万元). 5.下列说法错误的是(　　) A.回归直线过点(，) B.若两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数的绝对值就越接近于1 C.对分类变量X与Y，随机变量χ2越大，则推断X与Y没有关联的概率越大 D.在线性回归方程Y＝0.2X+0.8中，当X每增加1个单位时，Y增加0.2个单位 答案　C 解析　根据相关定义分析知A，B，D正确；对分类变量X与Y，随机变量χ2越大，则推断X与Y没有关联的概率越小，故C错误. 6.有如下成对样本数据： X 3 4 5 6 7 Y 4.0 2.5 －0.5 0.5 －2.0 由此得到的线性回归方程为Y=X+.若=7.9，则X每增加1个单位，Y就平均(　　) A.增加1.4个单位 B.减少1.4个单位 C.增加1.2个单位 D.减少1.2个单位 答案　B 解析　由已知求得＝5，＝0.9，代入线性回归方程可得0.9＝×5+7.9⇒＝－1.4，所以X每增加1个单位，Y就减少1.4个单位. 7.已知具有线性相关关系的变量X，Y，设其样本点为Ai(xi，yi)(i＝1，2，…，8)，线性回归方程为Y＝X+，若++…+＝(6，2)(O为原点)，则等于(　　) A. B.－ C. D.－ 答案　B 解析　因为++…+＝(x1+x2+…+x8，y1+y2+…+y8)＝(8，8)＝(6，2)， 所以8＝6，8＝2⇒，， 因此×+，即＝－. 8.有甲、乙两个班级共计105人进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如表所示的列联表： 优秀 非优秀 甲班 10 b 乙班 c 30 已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为，则下列说法正确的是(　　) A.列联表中c的值为20，b的值为35 B.列联表中c的值为30，b的值为45 C.若算得χ2≈6.109，则认为成绩与班级有关系，且这个结论犯错误的可能性不超过2.5% D.若算得χ2≈6.109，则认为成绩与班级没有关系，且这个结论犯错误的可能性不超过2.5% 答案　C 解析　因为在105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为， 所以成绩优秀的人数为105×=30， 非优秀人数为105-30=75， 所以c=30-10=20，b=75-30=45，A，B错误； 因为χ2≈6.109>5.024，所以认为成绩与班级有关系，且这个结论犯错误的可能性不超过2.5%，C正确，D错误. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.某商品的销售量Y(件)与销售价格X(元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的线性回归方程为Y＝－5X+150，则下列结论正确的是(　　) A.Y与X具有负的线性相关关系 B.若r表示Y与X之间的样本相关系数，则r＝－5 C.当销售价格为10元/件时，销售量为100件 D.当销售价格为10元/件时，销售量为100件左右 答案　AD 解析　由线性回归方程Y＝－5X+150可知Y与X具有负的线性相关关系，故A正确；Y与X之间的样本相关系数|r|≤1，故B错误；当销售价格为10元/件时，销售量为－5×10+150＝100(件)左右，故C错误，D正确. 10.已知由样本数据(xi，yi)(i＝1，2，3，…，8)组成的一个样本，得到线性回归方程为Y＝1.5X－0.6且＝2，去除两个异常数据(－2，7)和(2，－7)后，得到的新的回归直线的斜率为3，则(　　) A.相关变量X，Y具有正相关性 B.去除异常数据后，新的平均数'＝2 C.去除异常数据后的线性回归方程为Y＝3X－4.8 D.去除异常数据后，随着X值的增加，Y值增加的速度变小 答案　AC 解析　A选项，因为线性回归方程的斜率为正数， 所以相关变量X，Y具有正相关性，所以A正确； B选项，因为＝2，所以去除两个异常数据(－2，7)和(2，－7)后， 得到新的'＝，所以B错误； C选项，由＝2代入Y＝1.5X－0.6得＝2.4， 故去除两个异常数据(－2，7)和(2，－7)后， '＝＝3.2， 因为得到的新的回归直线的斜率为3， 所以'－3'＝3.2－3×＝－4.8， 所以去除异常数据后的线性回归方程为Y＝3X－4.8，故C正确； D选项，因为回归直线Y＝3X－4.8的斜率为正数，所以变量X，Y具有正相关性，且去除异常数据后，斜率由1.5增大到3，故Y值增加的速度变大，D错误. 11.某校团委对“学生性别和喜欢短视频是否有关”做了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生喜欢短视频的人数占男生人数的，女生喜欢短视频的人数占女生人数的，若可以得出“是否喜欢短视频和性别有关”的结论，且这个结论犯错误的可能性不超过5%，则调查人数中男生可能有(　　) A.30人 B.54人 C.60人 D.75人 答案　BC 解析　设男生的人数为6n(n∈N+)， 根据题意列出2×2列联表如表所示： 是否喜欢短视频 性别 男生 女生 总计 喜欢短视频 5n 4n 9n 不喜欢短视频 n 2n 3n 总计 6n 6n 12n 则χ2==， 则χ2≥3.841， 即≥3.841，得n≥8.642 25， 因为n∈N+， 则n的可能取值有9，10，11，12，13，…， 因此调查人数中男生人数的可能值为54，60，66，72，78，… 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.某高校《统计初步》课程的教师随机调查了选该课的学生的一些情况，具体数据如表： 性别 主修专业 非统计专业 统计专业 总计 男 13 10 23 女 7 20 27 总计 20 30 50 则χ2≈　　　　(保留3位小数).  答案　4.844 解析　χ2=≈4.844. 13.假设关于某设备的使用年限X和所支出的维修费用Y(万元)有如下的统计资料： X 2 3 4 5 6 Y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料可知Y对于X呈线性相关关系，且线性回归方程为Y＝+X，其中已知＝1.23，请估计使用年限为20年时，维修费用为　　　　万元. 答案　24.68 解析　由表中数据可知＝4，＝5， 又∵回归直线经过点(，)， ∴5＝+1.23×4，∴＝0.08， ∴线性回归方程为Y＝1.23X+0.08， 故估计使用年限为20年时， 维修费用为1.23×20+0.08＝24.68(万元). 14.某工厂为了给新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下成对数据： 单位X(元) 4 5 6 7 8 9 销量Y(件) 90 84 83 80 75 68 由表中数据，求得线性回归方程为Y＝－4X+，若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为　　　　. 答案　 解析　由表中数据，得＝6.5，＝80，由点(，)在线性回归方程Y＝－4X+上，得＝106，即线性回归方程为Y＝－4X+106，经过计算只有点(9，68)和(5，84)在直线的左下方，故所求概率为. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)在研究某种药物对“H1N1”病毒的治疗效果时，进行了动物试验，得到以下数据：对150只动物进行药物治疗，其中132只动物存活，18只动物死亡，对150只动物进行常规治疗，其中114只动物存活，36只动物死亡.请根据以上数据建立一个2×2列联表. 解　2×2列联表如表所示： 治疗方法 治疗效果 存活 死亡 合计 药物治疗 132 18 150 常规治疗 114 36 150 合计 246 54 300 16.(15分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的成对数据如下： 零件的个数X(个) 2 3 4 5 加工的时间Y(小时) 2.5 3 4 4.5 (1)在给定的坐标系中画出表中成对数据的散点图；(5分) (2)求出Y关于X的线性回归方程Y＝X+；(6分) (3)试预测加工10个零件需要多少时间？(4分) 参考公式：，. 解　(1)散点图如图. (2)由表中数据得xiyi＝52.5， ＝3.5，＝3.5，＝54， 所以 ＝0.7， 所以 ＝3.5－0.7×3.5＝1.05. 所以Y＝0.7X+1.05. (3)将X＝10代入线性回归方程，得Y＝0.7×10+1.05＝8.05， 所以预测加工10个零件需要8.05小时. 17.(15分)为了调查某大学学生在某天上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下的统计结果： 表1：男生上网时间与频数分布表 上网时 间(分) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80] 人数 5 25 30 25 15 表2：女生上网时间与频数分布表 上网时 间(分) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80] 人数 10 20 40 20 10 (1)若该大学共有女生750人，试估计其中上网时间不少于60分钟的人数；(6分) (2)完成下面的2×2列联表，试问大学生上网时间与性别是否有关.(9分) 性别 上网时间 上网时间少 于60分钟 上网时间不少 于60分钟 总计 男生 女生 总计 参考公式：χ2＝，其中n＝a+b+c+d. 解　(1)设女生上网时间不少于60分钟的人数为x， 依题意有，解得x＝225， 所以估计其中上网时间不少于60分钟的女生人数是225. (2)提出假设H0：大学生上网时间与性别无关. 填2×2列联表如下： 性别 上网时间 上网时间少 于60分钟 上网时间不少 于60分钟 总计 男生 60 40 100 女生 70 30 100 总计 130 70 200 由表中数据可得到χ2=≈2.198<2.706， 故不能否定假设H0，即可以认为大学生上网时间与性别无关. 18.(17分)“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展，下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 销量(万台) 8 10 13 25 24 某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示： 车主 购车种类 传统燃油车 新能源车 总计 男性 6 24 女性 2 总计 30 (1)求新能源乘用车的销量Y关于年份X的样本相关系数r，并判断Y与X是否线性相关；(9分) (2)请将上述2×2列联表补充完整，并依据χ2的值判断，购车车主购置新能源乘用车是否与性别有关.(8分) 参考数据：≈25. 解　(1)依题意， ＝2 017， ＝16. 故(xi－)(yi－)＝(－2)×(－8)+(－1)×(－6)+0×(－3)+1×9+2×8＝47， (xi－)2＝4+1+1+4＝10， (yi－)2＝64+36+9+81+64＝254， 则r＝ ＝≈0.94， |r|≈0.94接近于1，故Y与X线性相关. (2)提出假设H0：购车车主购置新能源乘用车与性别无关. 依题意，完善表格如下： 车主 购车种类 传统燃油车 新能源车 总计 男性 18 6 24 女性 2 4 6 总计 20 10 30 则χ2===3.75>2.706， 所以我们认为可能性不超过10%的小概率事件发生了，所以认为假设H0不成立，即认为购车车主购置新能源乘用车与性别有关. 19.(17分)足不出户，手机下单，送菜到家，轻松逛起手机“菜市场”，拎起手机“菜篮子”，省心又省力.某手机APP(应用程序)公司为了了解居民使用这款APP的人数及满意度，对一大型小区居民开展5个月的调查活动，得到使用这款APP的人数的满意度统计数据如下： 月份 1 2 3 4 5 不满意的人数 120 105 100 95 80 (1)请利用所给数据求不满意人数Y与月份X之间的线性回归方程Y＝X+，并预测该小区10月份对这款APP不满意的人数；(7分) (2)工作人员发现使用这款APP的居民的年龄ξ近似服从正态分布N(35，42)，求P(27<ξ≤47)的值；(5分) (3)工作人员从这5个月内的调查表中随机抽查100人，调查是否使用这款APP与性别的关系，得到如表： 性别 是否使用APP 使用APP 不使用APP 女性 48 12 男性 22 18 试问使用这款APP是否与性别有关？(5分) 参考公式：，.χ2＝(其中n＝a+b+c+d). 参考数据：随机变量ξ~N(μ，σ2)， 则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 5，P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 3. 解　(1)由表中的数据可知， ＝3， ＝100， 所以＝－9， 故＝100－(－9)×3＝127， 所以所求的线性回归方程为Y＝－9X+127. 令X＝10，则Y＝－9×10+127＝37， 所以预测该小区10月份对这款APP不满意的人数为37. (2)依题意得P(27<ξ≤47)=P(35-2×4<ξ≤35+3×4)≈0.954 5+=0.975 9. (3)提出假设H0：使用这款APP与性别无关. 由表中的数据计算可得， χ2==≈7.143>6.635， 所以我们认为可能性不超过1%的小概率事件发生了，所以认为H0不成立，即认为使用这款APP与性别有关. 学科网（北京）股份有限公司 $