第2单元 第6节 一元二次方程及其应用-【众相原创·赋能中考】2026年数学课堂精讲册（贵州专用）

4.2(y+2)(y-2) 【变式】(1)(2m+1)(2m-1)(2)m(b-1)2 2(x-1) x+1-2x+2 3-x x-3 5.-)(+1) 1 (x-1)(x+1)(x-1)(x+1)x+1 2日 0 【变式】解：原式=-a-b. 第二单元方程（组)与不等式（组) 第4节一次方程（组)及其应用 核心知识全梳理 例1.6-(4x-1)6x-2=6-4x+16x+4x=6+1+210x=9 而 9 例2.(1)2x-43x+2(2x-4)=-11-2 x=1, y=-2 x=1, (2)8x=8x=1y=1 (y=1 例3.(40-x)3x=5(40-x)2515 一盒乒乓球的售价 x+y=40 为25元，一根跳绳的售价为15元 (3x=5y 例4.(1)8x+6y=90(2) x+y=95, 】1 (2×8x=22y (3)7x+9x=1 贵州考法变式练 1.①②③⑤2.C3.C4.x=2. 5解：选择①②两个方程，得任+2=70， (x+3y=9②， （x=3 该方程组的解为 (答案不唯一) （y=2. 【拓展】-1 6.C7.2x=y8.20 9.(1)0.4xy0.8x0.8y (2)午餐含甲原料30克、乙原料20克恰好能满足初中学 生的需要 10.解：(1)A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是 30元； (2)设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意，得75m+30n=450,整理得n=15-5 m n均为狂垫数{0 ∴.该商店共有2种购进方案： ①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为35×2+ 15×10=220(元)； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为35×4+15× 5=215(元). .·220>215,.最大利润为220元 答：共有2种购进方案.假如这些头盔全部售出，最大利 润是220元， 【新教材素材】3x=2×2 第5节分式方程及其应用 核心知识全梳理 例1.(x+1)x-3+x+1=x+2x=4=4≠0x=4 例2.1.25x 5000_600=26250-6000=2.5x x1.25x x=100100100125更新设备后每天生产125 件产品 贵州考法变式练 1.C2.(1)-1(2)1或-1 7 3.原分式方程的解是x=3.4原分式方程的解为x=6 5.D 6.每辆大货车的货运量是16吨，每辆小货车的货运量是 12吨 第6节一元二次方程及其应用 核心知识全梳理 ①是②不是③3④-2⑤-1⑥±师-n ⑦-btvB-4ac 2a ⑧m⑨n⑩两个不相等①两个相等 @没有⑧-各行⑤云·6国a(1+)户 ⑦(n-1) 2 例1.(1)x1=22-2,x2=-22-2 (2)配方法：416(x+2)16x,=2,x2=-6 公式法：14-12644±/6 =-2±4 2×1 x1=2,x2=-6 因式分解法：x-2x+6x-2x+6x1=2,2=-6 例2.(1)50(1+x)2=72(2)x(x-1)=2070 (3)(x-2)2+(x-1)2=x2 (4)①(6-2x)(4-2x)=15②(6-x)(4-x)=15 ③(6-x)(4-x)=15 贵州考法变式练 1.(1)m≠1(2)1(3)-x2-20 2.(1)x1=1,x2=-1(2)x1=2,x2=0 3.解：（答案不唯一，挑选其中两个方程进行求解即可） ①利用公式法：a=1,b=2,c=-1, .62-4ac=22-4×1×(-1)=8>0, 2 2×1 =-1W2,即x1=-1+2,x2=-1-2. ②利用因式分解法：x(x-3)=0,∴x1=0,x2=3. ③利用配方法，④利用直接开平方法，解法略。 9 4.4 【变式设问(1)k<年且k≠0(2)k>4 9 (3)有两个不相等的实数根(4)1（答案不唯一） 5.B【变式设问10-4②122 6.C7.D8.6或4 3 g(1(a-)2a(a- (2)这次比赛共有45个选手参加. 第7节一元一次不等式（组）及其应用 核心知识全梳理 ①>②>③>④<⑤<⑥x<a⑦a≤x<b⑧无解 ⑨<0≥①≤ 例1.2(x-1)≤3x-12x-2≤3x-12x-3x≤-1+2-x≤1 x≥-1 -4-3-2-101234 例2.(1)120,80(2)(5-m)4×[120m+80(5-m)]≥ 2000m≥2.533 贵州考法变式练 1.D【变式】-2（答案不唯一）2.C3.B 4.解：由题意，得a-1>-a+3,解得a>2. 【变式】解：由题意，得+2解得-7 5.(1)①C②2(2)-1<a≤0 (2x+3<-1① 6.解：-5x>152, 解不等式①，得x<-2, 解不等式②，得x<-3, .原不等式组的解集为x<-3.(答案不唯一) 7.D 8.(1)该店第一次购进这款挂饰100个，第二次购进这款挂 饰200个： (2)每个挂饰的售价至少为10元. 单元整合提升 易错题专练 1.-3x+3=5x+10 202 3.-34.1或25.丙6.D7.3 第三单元函数 第8节平面直角坐标系与函数 核心知识全梳理 ①三②-③二④y⑤x⑥x=0,y=0⑦x1=y1 ⑧互为相反数⑨纵0x,①(a+m,b)②(a,b-m) B(-a,b)g(-a,-b)5(-b,a）G(-a,-b)⑦lxl ⑧√R+y791y-y2l2①x≠1@x≥12x>13x≠0 贵州考法变式练 1.D 2.(1)四5(2)(-3，-5)(-3,5)(3)(0，-5) (0,-1)(4)①0②3③(3，-1)【变式】(-4,5) 3.A【拓展设问】(-1,1) 4.(-4,2)5.B 6.A【变式】x≥1且x≠3 7.解：(1)18 4 (2)所挂物体质量弹簧长度所挂物体质量 (3)①1=18+2m(0≤m≤15). ②当m=7时，l=18+2×7=32 答：当所挂物体质量为7kg时，弹簧的长度是32cm 8.B9.D10.252 【新教材素材】B 第9节 一次函数及其应用 核心知识全梳理 ③一、三、四 ④二、四⑤二、三，四⑥负半轴⑦三、四⑧增大 ⑨减小0（冬.0）D(0,6)巴-mB+mg-m 5>6<( =x+6, 8>9(8-a)②@(8-a) (y=kx+b 0≤ (2k+b=1, (k=2, 例1.y=x+b(k≠0) (-k+b=-5 l6=-3y=2-3 例2.(8-a)200a+150(8-a)+450=50a+1650 3 a≤亏(8-a)a≤3增大318001800 贵州考法变式练 1.(1)①0②二、四(2)D(3)①y=x+2②< ③(-2,0)(4)k≤0 2.D 3.(1)y=-3x+5(2)y=-3x-4(3)y=3x-2 (4)y=3x+2【变式】y1=x+5 4.B5.B【变式】(1)x>2(2)x≤-36.C 7.解：(1)每个甲型哨所有4人，每个乙型哨所有3人； (2)设六个哨所共有y人， :每个甲型哨所的人数为m, .∴.y=3m+3(11-2m)=33-3m, 由题意得m≥1且11-2m≥1，.1≤m≤5. -3<0,.当m=1时，y有最大值为30， 当m=5时，y有最小值为18. 8.解：(1)画出w关于t的函数图象略，一次； (2)w关于t的函数解析式为0=3t+5: (3)当t=50时，w=3×50+5=155. 答：在第50分钟测量时容器的盛水量是155mL 第10节反比例函数及其应用 核心知识全梳理 ①> ③二、四④减小⑤增大⑥k ⑦原点⑧y=-t⑨1k102k1①1k1D21k1 例(1)=2 (2)y=-3第6节 一元二次方程及其应用 核心知识全梳理 教材·课标 知识点①一元二次方程及其解法（重点） 1.一元二次方程的相关概念 如：x2+2=0① 元二次方程； 只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是 概念 2x2+3x-1=2(x2-4)② 元二次 2的整式方程 方程（填“是”或“不是”） 二次项系数一次项系数 如：方程3x2-2x=1的二次项系数是 一般形式 + :+号=0(a≠0) ③ 次项系数是④ ,常 二次项一次项常数项 数项是⑤ 2 一元二次方程的解法 例1.求下列方程的解： (1)方程(x+2)2=8的根为 【方法总结】一元二次方程的四种解法： (1)直接开平方法：形如(x+n)2=p(p≥ (2)用三种方法解方程：x2+4x-12=0. 0)的根为x=⑥ 配方法：由原方程得x+4x+ 2 (2)配方法：适用二次项系数化为1后 即 ,一配方（两边同时加一次项系数一半的平方） 一次项系数为偶数的方程， 解得 公式法：原方程中，a= ,b ,C= ar2+hx+c=0变形x2+2mx+m2=n变形 注意系数符号+ (x+m)2=n; b2-4ac= ,一当△<0，方程无解，△≥0，用求根公式 （3)公式法：方程ax2+bx+c=0(b2 由求根公式，得x= 4ac≥0)的解为x=⑦ 即方程的解为 (4)因式分解法：ar+br+c=0变形(x 因式分解法： m)(x-n)=0,根为x,=⑧ 原方程可转化为( )( 0=0 2=⑨ 即 =0或 =0, 解法选择（优先顺序） 解得 直接开平法→因式分解法→配方法→ 【易错提醒】对于因式分解法，例如解3x(x-2)=2(x-2),应 公式法 先移项再分解因式，切勿直接约去公因式导致漏解」 知识点2)一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式（根的判别式为b2-4ac,用△表示，即△=b2-4ac) (1)△=b2-4ac>0台一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有0 的实数根； (2)△=b2-4ac=0一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有① 的实数根； (3)△=b2-4ac<0一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)② 实数根 【技巧点拨】一元二次方程根的判别式的应用：(1)不解方程，直接判断方程的根的情况； (2)根据一元二次方程根的情况，确定参数的取值范围（此时若二次项系数含未知参数，注意二次项系 数不为0的隐含条件) 18 2.一元二次方程根与系数的关系(2022版课标调整为考查内容) 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1,2,那么x,+x2=B ,X1x2=④ (前提条件：b2-4ac≥0) 【拓展变形】根据完全平方公式(a±b)2=a±2ab+b2和分式的性质，可推出以下等量关系： (1)x+x2=(1+x2)2-2x12; (2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-412; (3)11- (4)当-6+)2-2 X1 X2 X12 X2 X1 12 知识点3)一元二次方程的实际应用 例2.根据下列问题，列方程。 【方法总结】一元二次方程实际应用中的常 (1)[变化率问题]某经济开发区1月份工业产值达 见数量关系： 50亿元，3月份工业产值达72亿，设平均每月工业产值 (1)变化率问题：设a为原来的量，b为变化 增长率为x,则可列方程： 后的量，增长（下降）次数为2 (2)[循环问题]某校九年级毕业时，每个同学都送全班 平均增长率为x,则a(1+x)2=b; 其他同学各一张相片作纪念，全班共送了2070张相片. 平均下降率为x,则a(1-x)=b. 若全班有x名学生，列出方程： (2)每每问题：若单价每涨a元，少卖b件，则 (3)一个直角三角形的三条边长是三个连续整数，设斜 涨价x元时，少卖的数量为⑤ 件 边的长为x,则可列方程： (3)病毒传播问题：若初始数据为a个，每次 (4)[面积问题]如图，在长和宽分别为6和4的矩形 传播x个，则第二轮后共有⑥ 个； ABCD中，若空白部分的面积为15，设阴影部分的宽为 (4)循环问题：①单循环赛问题：若共有n人， x,分别列出各图中的方程. 则单循环赛总次数为⑦ ②互赠礼物问题：若共有人，则送礼物总份 数为n(n-1). 3 (5)面积问题：如(4)题 贵州考法变式练 教材·真题·课标 考点1一元二次方程及其解法(2025.15， 3.(2022贵阳17(2)题)在初中阶段我们已经学 2024.5,贵阳2022.17(2)) 习了一元二次方程的三种解法，它们分别是 1.（人教九上P4练习T1改编)已知关于x的方 配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元 程(m-1)x2-2x=0. 二次方程中任选两个，并解这两个方程。 (1)若该方程是一元二次方程，则m的取值 ①x2+2x-1=0; ②x2-3x=0; 范围是 ③x2-4x=4: ④x2-4=0. （2)若该方程是一元一次方程，则m的值 是 (3)若m=0,则该方程的二次项是 一次项系数是 ,常数项是 2.(1)(2025贵州15题)一元二次方程x2-1=0 的根是 (2)一元二次方程x2-2x=0的解是 19 考点2一元二次方程根的判别式及根与系 A.(50+x)(50-2x)=2100 数的关系(2023.15) B.(50+x)(30+2x)=2100 4.(2023贵州15题)若一元二次方程kx2-3x+1=0 C.(50-x)(30-2x)=2100 有两个相等的实数根，则k的值是 D.(50-x)(30+2x)=2100 【变式设问】对于上述方程. 8.(课标P148例71改编)如图，学校计划围建 (1)若有两个不相等的实数根，则k的取值范 一个矩形花园，它的一边是墙（长度大于 围是 10m),其余三边利用长为10m的围栏.当该 (2)若该方程没有实数根，则k的取值范围 花园的面积为12m2时，平行于墙的花园的边 是 长为 m. (3)若k=-1,则该方程的根的情况是 墙 (4)易错若方程有实数根，则k的值可以 9.(2025贵阳白云区二模)象棋是一种源自中国 为 的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的 【温馨提示】(1)若题中说明方程有两个实数根或 文化底蕴.九年级(1)班利用课余时间开展象 为一元二次方程，则隐含条件为二次项系数a≠ 棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手 0;(2)若未说明方程类型，则需分a=0和a≠0两 恰好比赛一局，信息如下： 种情况 每局赢者记2分，输者记0分， 5.（2022黔东南州改编)已知关于x的一元二次 如果平局，两个选手各记1分 方程x2-2x-a=0的两根分别记为x1,x2,若 x1=-1,则a-x1-2的值为 班主任统计了全班比赛得分共1980分 A.-1 B.1 C.2 D.-2 (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手 【变式设问】在上述方程中，若a=4时，则： 都要与 个选手比赛一局，比赛总共 ①x1x2= 有 局； 1.1 ②x2+x3= (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ X1 X2 考点3一元二次方程的实际应用 6.一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每 盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价 的百分率为 A.20%B.22%C.25%D.28% 7.[每每问题](2025遵义红花岗区一模)商场 某种商品平均每天可售30件，每件盈利 50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当 降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元， 商场平均每天可多售出2件.若商场销售该 商品日盈利要达到2100元，则每件商品应降 价多少元？设每件商品降价x元，依题意可列 方程 温馨提示请完成分层练习册P12~13习题 20