第2单元 第4节 一次方程(组)及其应用-【众相原创·赋能中考】2026年数学课堂精讲册（贵州专用）

第二单元方程（组）与不等式（组） ③单元知识体系 「二元一次方程组 一次方程（组） 消元 元一次方程 实际问题 方程（组）与 分式方程 去分母 直接开平方法)降次 ①设未知数 不等式（组） 四种解法 因式分解法 ②分析数量关系 配方法 元二次 ③列方程（不等式） 方程 L公式法 ④抽象为数学模型 根的判别式及「4=b2-4ac 根与系数关系 x+,=-合，xx,=会 一元一次 「性质 实际问题的解，检验教学问题的解·一 不等式（组） 解集表示借助数轴 解法 ③2022年版课标重要变化 ①理解方程解的意义；（新增）》 ②了解一元二次方程的根与系数的关系；（调整为考查内容） ③掌握消元法，能解二元一次方程.（调整)》 第4节 一次方程（组）及其应用 核心知识全梳理 教材·课标 知识点①等式的性质 数学表达 在解方程中的应用 性质1 若a=b,则a±c=b±c 移项 若a=b,则ac=bc 去分母 性质2 若a=b(c≠0)，则4=b 系数化为1 cc 知识点2)一元一次方程及其解法（重点） 1.定义：只含有一个未知数（一元），未知数的次数都是1（一次）的整式方程（一般形式为ax+b=0, a≠0) 2.一元一次方程的解法 例1解方程：1 【常见误区】 6 1.去分母、去括号时不要漏乘任何 解：去分母，得2(3x-1)= 去括号，得 一项； 移项，得 2.移项时不要忘记变号； 合并同类项，得 3.系数化为1时，注意分子分母不要 系数化为1，得 颠倒. 12 知识点③二元一次方程（组）及其解法（重点） 1.二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程（形如a+by=c,a≠0，b≠0）； 二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程组成的方程组 2.解法（基本思想：消元） (1)代入消元法：适用于一个方程的常数项为0或某一个未知数的系数为1或-1； (2)加减消元法：适用于某一个未知数的系数相等或互为相反数或易变形为相等或互为相反数的形式 例2.解方程组：代入消元法： 加减消元法： 2x-y=4,① 5x-2y=3,① (1) (2) (3x+2y=-1:② 3x+2y=5.② 解：由①，得y= ,③-变形 解：①+②，得 ,加减（或先变形） 把③代入②，得 ,一代入 解得 ,③求解 解得x= ④-求解 把③代入①，得 把④代入③，得y= .方程组的解是 .方程组的解是 【拓展】*三元一次方程组的解法：三元一次方程组消元二元一次方程组消元 元一次方程， 知识点4一元一次方程（组)的实际应用（必考） 例3.（人教七下P2例2改编）为了丰富孩子们的课余生活，提高体育【审题】由①得，1盒乒兵球的 锻炼的积极性，吕老师准备给每班发一些乒乓球和跳绳。已知一盒乒 费用+1根跳绳的费用=40元； 乓球和一根跳绳共40元0,3盒乒乓球与5根跳绳的价钱相等。，求一 由②得，3盒乒乓球的费用= 盒乒乓球和一根跳绳的售价分别为多少元？ 5根跳绳的费用. 解法1：设：解：设一盒乒乓球为x元，则一根跳绳为 元 【方法点拨】常用数量关系： 列：（由条件②）列方程为 (1)购买分配问题 解：解得x= ,40-x= ①总价=单价×数量 答 ②甲单价×甲数量+乙单价× 解法2：设一盒乒乓球为x元，一根跳绳为y元，可列方程组为 乙数量=总价 ③甲的量+乙的量=总量 例4.根据下列实际问题列方程（组）： (2)打折销售问题 (1)[购买问题]小华到水果店购买水果，已知苹果8元/kg,橘子6元/kg,①销售额=售价×数量 他买这两种水果共花了90元，求他买苹果和橘子各多少kg？设他买了②售价=标价×折扣 xkg苹果和ykg橘子，可列方程为 ③利润=售价-进价 (2)[配套问题]某工厂有95个工人，一个工人每天可做8个螺杆或22(3)配套问题 个螺母，两个螺母和一个螺杆为一套，现要求工人每天做的螺杆和螺母m个A和n个B配套： 完整配套且没有剩余.设安排x个工人做螺杆，y个工人做螺母，可列A的数量×=B的数量×m 方程组为 (4)工程问题 (3)[数学文化-行程问题]《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫： 工作量=工作效率×工作时间 野鸭)，大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海 需要9天.如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相 遇？设经过x天相遇，则可列方程为 13 贵州考法变式练 教材·真题·课标 考点1等式的性质(2024.11) 5.（2025遵义汇川区二模)从下列三个方程中任 1.(湘教七上P89T2改编)根据等式的性质，下 选两个组成方程组，并求出该方程组的解。 列变形正确的是 .(填序号)》 ①x+2y=7;②x+3y=9;③3x-2y=13. ①若a=,则24=26：②若a=6,则兮=子 ③若a=b,b=c,则a=c;④若a=b,则a+1=b- 1;⑤若m=n,则-2m=-2n. 2.(2024贵州11题)小红学习了等式的性质后， 在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“○” “☐”“△”三种物体，如图所示，天平都保持平 衡.若设“☐”与“O”的质量分别为x,y,则下 列关系式正确的是 nO/O△yn△QO 【拓展】若关于x,y的二元一次方程组 甲 乙 x-y=2m+1, 的解满足x+y=1,则m的值 A.x=y B.x=2y (x+3y=3 C.x=4y D.x=5y 为 考点2一次方程（组）及其解法(2025.6、 考点3一元一次方程（组）的实际应用（必考） 21(1)涉及，2024.21(1)涉及，贵阳2021.21涉及)6.（2023贵州9题)《孙子算经》中有这样一道 3.(2025贵州6题)已知x=2是关于x的方程 题，大意为：今有100头鹿，每户分一头鹿后， x+m=7的解，则m的值为 ( 还有剩余，将剩下的鹿按每3户共分一头，恰 A.3 B.4 c.5 D.6 好分完，问：有多少户人家？若设有x户人家， 4.(北师七上P136T1改编)解方程：6(x-1)-2= 则下列方程正确的是 () x+2. 1 A.x+3=100 B.3x+1=100 1 C.x+3t=100 .0 7.（2024贵州11题改编)如图，在甲、乙两台天 平左右两边分别放入一定数量的“○”“口”两 种物体，天平保持平衡.若甲天平表示3x=y+ x,则乙天平可表示 OQ0/nQ/QO/月U 乙 8.(2024贵州15题)在元朝朱世杰所著的《算学 启蒙》中，记载了一道题，大意是：快马每天行 240里，慢马每天行150里，慢马先行12天， 则快马追上慢马需要的天数是 14 9.(课标P141例62改编)在人体每天摄取的总10.随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始 能量中，午餐约占40%，膳食中营养的均衡摄 积极购买头盔以保证骑行安全.某商店购进 入与学生身体健康密切相关.某健康营养师 A种头盔3个和B种头盔4个共需345元， 计划用甲、乙两种原料为学生配制营养午餐， A种头盔4个和B种头盔3个共需390元. 已知每克甲原料含0.4单位蛋白质和0.8单位 (1)求A,B两种头盔的单价各是多少元： 铁质，每克乙原料含1单位蛋白质和0.8单位 (2)若该商店计划正好用450元购进A,B两 铁质.设每份营养午餐含甲原料x克，乙原料 种头盔(A,B两种头盔均购买)，销售1个 y克 A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可 (1)依据题意，填写下表： 获利15元，求该商店共有几种购进方案？假 项目 甲原料x/克乙原料y/克 如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 其中所含蛋白质/单位 其中所含铁质/单位 (2)如果一个初中学生的午餐需要32单位蛋 白质和40单位铁质，那么午餐含甲、乙两种原 料各多少克恰好能满足初中学生的需要？ 新教材素材新人教七上数学活动—木杆挂重物问题 如图，有5个质量一样的重物，有2个挂在木杆的右端，有3个挂在木杆的左边，并使左右平衡 (杠杆平衡原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂).设木杆长为acm,支点在木杆的中点处，支点到木杆 左边挂重物处的距离为xcm,把a作为已知数，列出关于x的一元一次方程为 自 白 温馨提示 请完成分层练习册P8~9习题 154.2(y+2)(y-2) 【变式】(1)(2m+1)(2m-1)(2)m(b-1)2 2(x-1) x+1-2x+2 3-x x-3 5.-)(+1) 1 (x-1)(x+1)(x-1)(x+1)x+1 2日 0 【变式】解：原式=-a-b. 第二单元方程（组)与不等式（组) 第4节一次方程（组)及其应用 核心知识全梳理 例1.6-(4x-1)6x-2=6-4x+16x+4x=6+1+210x=9 而 9 例2.(1)2x-43x+2(2x-4)=-11-2 x=1, y=-2 x=1, (2)8x=8x=1y=1 (y=1 例3.(40-x)3x=5(40-x)2515 一盒乒乓球的售价 x+y=40 为25元，一根跳绳的售价为15元 (3x=5y 例4.(1)8x+6y=90(2) x+y=95, 】1 (2×8x=22y (3)7x+9x=1 贵州考法变式练 1.①②③⑤2.C3.C4.x=2. 5解：选择①②两个方程，得任+2=70， (x+3y=9②， （x=3 该方程组的解为 (答案不唯一) （y=2. 【拓展】-1 6.C7.2x=y8.20 9.(1)0.4xy0.8x0.8y (2)午餐含甲原料30克、乙原料20克恰好能满足初中学 生的需要 10.解：(1)A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是 30元； (2)设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意，得75m+30n=450,整理得n=15-5 m n均为狂垫数{0 ∴.该商店共有2种购进方案： ①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为35×2+ 15×10=220(元)； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为35×4+15× 5=215(元). .·220>215,.最大利润为220元 答：共有2种购进方案.假如这些头盔全部售出，最大利 润是220元， 【新教材素材】3x=2×2 第5节分式方程及其应用 核心知识全梳理 例1.(x+1)x-3+x+1=x+2x=4=4≠0x=4 例2.1.25x 5000_600=26250-6000=2.5x x1.25x x=100100100125更新设备后每天生产125 件产品 贵州考法变式练 1.C2.(1)-1(2)1或-1 7 3.原分式方程的解是x=3.4原分式方程的解为x=6 5.D 6.每辆大货车的货运量是16吨，每辆小货车的货运量是 12吨 第6节一元二次方程及其应用 核心知识全梳理 ①是②不是③3④-2⑤-1⑥±师-n ⑦-btvB-4ac 2a ⑧m⑨n⑩两个不相等①两个相等 @没有⑧-各行⑤云·6国a(1+)户 ⑦(n-1) 2 例1.(1)x1=22-2,x2=-22-2 (2)配方法：416(x+2)16x,=2,x2=-6 公式法：14-12644±/6 =-2±4 2×1 x1=2,x2=-6 因式分解法：x-2x+6x-2x+6x1=2,2=-6 例2.(1)50(1+x)2=72(2)x(x-1)=2070 (3)(x-2)2+(x-1)2=x2 (4)①(6-2x)(4-2x)=15②(6-x)(4-x)=15 ③(6-x)(4-x)=15 贵州考法变式练 1.(1)m≠1(2)1(3)-x2-20 2.(1)x1=1,x2=-1(2)x1=2,x2=0 3.解：（答案不唯一，挑选其中两个方程进行求解即可） ①利用公式法：a=1,b=2,c=-1, .62-4ac=22-4×1×(-1)=8>0, 2 2×1 =-1W2,即x1=-1+2,x2=-1-2. ②利用因式分解法：x(x-3)=0,∴x1=0,x2=3. ③利用配方法，④利用直接开平方法，解法略。 9 4.4 【变式设问(1)k<年且k≠0(2)k>4 9 (3)有两个不相等的实数根(4)1（答案不唯一） 5.B【变式设问10-4②122 6.C7.D8.6或4 3