第1单元 第1节 实数及运算(含二次根式)-【众相原创·赋能中考】2026年数学课堂精讲册（贵州专用）

第一部分 第一单元 数与式 立足教材 过基础 ③单元知识体系 「分类 「数轴门 实数相关概念相反数大小比较 绝对值 “倒数 实数及运算 L运算：加减、乘除、乘方、开方 概念 (含二次根式) -.科学记数法 「概念 应用 通分、约分：性质 分式日数与式 二次根式十赞露 本质本质 念[学贸交 「加减：合并同类项 加减、乘除：运算 整式及 因式分解 运算1乘法 L 除法 儿国成分解秋会以东为个 逆 ®2022年版课标重要变化 ①理解负数的意义：（新增） ②知道实数由有理数和无理数组成；（新增） ③能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小；（新增） ④能借助数轴理解相反数和绝对值的意义；（新增） ⑤会按问题的要求进行简单的近似计算；（由“对结果取近似值”改动而来，更加注重近似计算的过程） ⑥了解代数推理；（新增） ⑦能利用公式进行简单的计算和推理；（新增） ⑧知道的含义（这里表示有理数）.（删除） 第1节 实数及运算（含二次根式) 核心知识全梳理 教材·课标 知识点①实数的分类 1.按定义分 2.按大小分 (整数：正整数、0、负整数 正实数 有理数 实数 分数：有限小数或无限循环小数 实数{0(0既不是正数也不是负数，负数<0<正数) 无理数：无限不循环小数 负实数 3.正、负数的意义：常用正、负数来表示一组具有相反意义的量.(2022版课标新增) 如：“零上(+)、零下(-)”“盈(+)、亏(-)”“上升(+)、下降(-)”“向东(+)、向西(-)”等 1 知识点2)数轴、相反数、绝对值、倒数（重点） (1)三要素：原点、正方向、① 原点正方向 (2)实数和数轴上的点是一一对应的； 数轴 (3)若数轴上A,B两点表示的数分别为a,b,则A,B两点间的距离 -3-2-101723 单位长度 为② 线段AB的中点表示的数为③ (1)只有符号不同的两个数叫作互为相反数.即a的相反数是④ ;a和-a互为相反 数：0的相反数是⑤ 相反数 (2)a,b互为相反数→a+b=⑥ ,a÷b=⑦ (b≠0)； (3)几何意义：在数轴上，表示互为相反数(0除外)的两个数的点，位于原点两侧且到原点的 距离相等，即这两个点关于⑧ 对称（北师独有） [a(a>0), 绝对值 (1)la的几何意义：数轴上表示数a的点到原点的距离，Ial≥0；(2)a=0(a=0), -a(a<0) (2)a,b互为倒数→ab=⑨ 倒数 ()a(a≠0)的倒数是： (3)0没有倒数，倒数等于其本身的数是⑩ 知识点③3)科学记数法（重点）（©链接：近似数和精确度见本书P83【特别提醒】） 1.表示形式：a×10(其中1≤|a<10,n为整数) 2.n的确定：设原数为x. (1)当1x|≥10时，n为正整数，n=“原数的整数位数”-1； (2)当0<xl<1时，n为负整数，lnl=原数左起第一个非0数前所有零的个数（含小数，点前的0）. 常考的单位换算：计数单位：1千=10,1万=104,1亿=10；计量单位：1mm=10-3m,1um=106m,1nm= 109m. 知识点4平方根、算术平方根、立方根 a(a≥0) a(a<0)) 性质 (1)正数有两个平方根，它们互为① 平方根 ±√a 无 (2)平方根等于它本身的数是0 算术平方根 a 无 算术平方根等于它本身的数是② (1)任意一个实数只有一个立方根，且与原数同号； 立方根 a(正数) a(负数) (2)立方根等于它本身的数是③ 例1.64的平方根是 算术平方根是 ,立方根是 ；-8的立方根是 知识点⑤二次根式及估值 1.二次根式的相关概念及性质 概念 般地，形如va(a≥0)的式子叫作二次根式，a叫作被开方数(a≥0是二次根式有意义的条件) 同时满足两个条件：(1)被开方数不含分母（分母不含根号）；(2)被开方数中不含能开得尽方 最简二 次根式 的因数或因式，如： 1 ,√⑧，√ab均不是最简二次根式 续表 (1)双重非负性：a≥0且a≥0： (2)(a)2=④ (a≥0)； a(a≥0)， 性质 (3)√=lal= (⑤ (a<0): 46 (a≥0，b>0); (5)√ab=⑦ (a≥0，b≥0) 【特别提醒】(1)在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式： (2)常见非负数及其性质：lal≥0，a2≥0，√a≥0：若|al+b2+c=0,则a=b=c=0. 2.二次根式的估值（例2.设问一：√6在哪两个相邻整数之间？设问二：√6离哪个整数较近？） 步骤： 【知识拓展】(1)记住常 (1)先对二次根式平方； W6)2=6 见的二次根式的估值， (2)找出与平方后所得数字相邻的两个能开 4<6<9 如：√2≈1.414,5≈ 得尽方的整数； (3)对以上两个整数开方； 1.732,√5≈2.236，√6≈ V4<V6<阿 (4)定范围；（设问一） 2.449, 5-1 2 ≈0.618，可 (5)求相邻整数的平均数； 2<V6<3 √6在2和3之间 提升解题速度； (6)求平均数的平方： (2+3)÷2=2.5 (2)若n<√a<n+1(a≥ (7)比大小，定结果：若平均数的平方大于二 2.52=6.25 次根式的平方，则离较小的数近.（设问二） 0,n为整数)，则Va的整 6.25>6 数部分为⑧ 例3.5在连续的整数 6离2更近 和 小数部分为四 之间，离5最近的整数是 【知识拓展】分母有理化：若二次根式中含分母，则需将二次根式化为分母是有理数的形式 即 a√a√a·√b_√ad 3√15 (a≥0.>0)，知：=号 知识点⑥实数的大小比较（重点） 类别比较法 正数>0>负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而四 数轴上的两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数②① (2022 数轴比较法 版课标新增)；距离原点越远的数，绝对值越大 作差比较法 a-b>0=→a>b:a-b=0→a=b:a-b<0台→a<b 平方比较法 若a>0,b>0,则a2>b→a>万（主要用于二次根式的估值和大小比较） 3 知识点7)实数的运算（重点）》 1. 常见运算 零次幂 a°=2 (a≠0) a·a·a·…·a=a; 乘方 n个 正数的任何次幂都是正数：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是3 -1的奇、 (1(n为偶数)， (-1)= (注意区分(-1)”和-1”，如：(-1)6=1，-16=-1)》 偶次幂 (②4 (n为奇数) 负整数 aP=-(a≠0，p是正整数).特别地，a1=5 (a≠0) 指数幂 a 「a-b(a>b), 去绝对 1a-b1=0(a=b), (绝对值符号有括号作用) 值符号 6 (a<b) ©链接：特殊角的三角函数值见本书P81 2. 实数混合运算的步骤 (1)计算每一小项的值（如：零次幂、乘方等）；(2)根据运算顺序计算：先乘方，再乘除，最后加减；有括号 的先计算括号里面的：(3)同级运算，从左到右进行：(4)得出计算结果 贵州考法变式练 教材·真题·课标 考点1实数的分类(2025.1，贵阳2022.1) (1)点C对应的实数是 ,其倒数 1.(2022贵阳1题)下列各数为负数的是( 是 ,其绝对值是 A.-2 B.0 C.3 D.√5 (2)图中5个点中，表示的数互为相反数的点 是点 和点 22 【变式】已知实数：行，m,3.14159265,-7, (3)到点A的距离为2个单位长度的点表示 的数是 √4,3，√3,0,0.202002.其中是无理数的 (4)将点A向右平移3个单位长度后对应的 是 是整数的是 既不是正 点表示的数是 数也不是负数的是 【拓展】若在数轴上，E,D两点表示的数分别 2.(2025贵州1题改编)如果向前运动3m记作 是-4和2，F是线段ED的中点，则点F表示 +3m,那么向后运动2m,记作 的数是 考点2数轴、相反数、绝对值、倒数(2023.1， 考点3科学记数法(2025.3,2023.3，贵阳2年必考) 贵阳2021.8涉及) 5.（2025贵州3题)贵州省“花江峡谷大桥”因跨 3.(2023贵州1题)5的绝对值是 越花江大峡谷而得名，其中主桥跨径1420m, A.±5 B.5 C.-5 D.√5 桥面至水面高度625m,建成后，会成为新的 【变式】5的相反数是 ,倒数是 世界第一高桥和世界第一的山区跨径桥梁 4.（北师七上P74T9改编)如图，A,B,C,D,E在 1420这个数用科学记数法可表示为() 数轴上分别表示5个数， E BD A.142×10 B.14.2×102 -3 -101 3 C.1.42×103 D.0.142×10 6.(人教七上P45T1改编)用科学记数法表示下12.(2025贵州14题改编)a,b,c三个实数在数轴上 列各数： 的对应点如图所示 (1)10870= a-1 0 1 b c (2)4000= (1)用“<”或“>”填空：①a b.a (3)11.73万= c,b c; (4)-0.000000305= ②a+c 0,be 0; (5)20纳米= 米. (2)这三个数中，最大的数是 ,最小的数 考点4二次根式(2024.13，贵阳2022.5) 是 (3)这三个数中，绝对值最大的数是 7.(2022贵阳5题改编)已知代数式x-3,要使 其在实数范围内有意义，则x的取值范围 考点6实数的运算（贵州3年必考） 13.（人教七上P47T1改编)计算： 是 :要使其值为0，则x的值是 (1)32= 【变式】使代数式1 有意义的x的取值范围 -3 (2)(-2)°= 是 (3)(-3)2= (4)(-3)3= 8.（2024贵州13题)计算2×3的结果是 (5)(-1)2025= 9.计算： (6)23= (1)(√10)2= (2)W(3-1)2= 0分 (3)18= (8)I2-√51= (4)-√(-3)2= 14.（2025贵州17(1)题)计算：1-31-21× (5)/12÷√3= 6+√4. (6)18-√2= 考点5实数的大小比较(2025.14,2024.1，贵阳 2021.1) 10.(2024贵州1题)下列有理数中最小的数是 ( A.-2 B.0 C.2 D.4 15.(2024贵州17(1)题)在①22，②1-21， 11.(2025贵阳华附中学模拟)下表记录的是某 ③(-1)”，④)×2中任选3个代数式求和. 一天中四个城市的平均气温，其中气温最低 的是 ( ) 北京 哈尔滨 贵阳 重庆 -5.7℃ -12.4℃ 9.5℃ 14.2℃ A.北京 B.哈尔滨 C.贵阳 D.重庆 温馨提示 请完成分层练习册P1~2习题 5课堂精讲册 第一部分 立足教材过基础 第一单元数与式 显然999a+99b+9c可以被3整除， 第1节实数及运算（含二次根式） 因此，若a+b+c+d可以被3整除，则abcd就可以被3 核心知识全梳理 整除 ①单位长度②1a-h13+ 【变式】B 2 ④-a⑤0⑥0⑦-1 贵州考法变式练 ⑧原点⑨1⑩1和-1①相反数20,1B0,±1 1.(1)a2+b2(2)3a(3)0.8a(4)(8m+100n) a巧-a6 (5)(1-15%)a ⑦a·√5Bn9a-n②①小 √b 2.(1)ab-a-b+1(2)2 3.A【变式】②⑧4.A @大②218正数②④-15工6-4 5.解：一正确的解答过程如下： 例1.±884-2 a(1+a)-(a-1)2 例3.232 =ata2-(a2-2a+1) 贵州考法变式练 =a+a2-a2+2a-1 1.A【变式】m,5,W5-7,4,3,00 =3a-1. 6.(x+2)(x-2) 22m及B【变式1-5号 【变式】(1)x(x-3)(2)(a-3)2 (3)m2(m-n)(4)(x+4)(x-1) 4()-2子2(2)cD《3)-3或1(4)2 【新教材素材】(2n+2)202 【拓展】-1 第3节分式 5.C 核心知识全梳理 6.(1)1.087×10(2)4×103(3)1.173×10 ①B≠0②A=0且B≠0③B≠0，C≠0，D≠0④不等于 (4)-3.05×107(5)2×10-8 0⑤不变⑥x(x+1)(x-1) ⑦·c 7.x≥33【变式】x>38.6 6.d b·.c 6 9.(1)10(2)2(3)32(4)-3(5)2(6)22 03①x+2@生乡B3 m-1 10.A11.B 贵州考法变式练 12.(1)①<<<②>>(2)ea(3)c 1.B2.x≠-32 13.(1)9(2)1(3)9(4-27(5)-1(6)g 8 31-3(21(3)号(42(5 x+1 (6)1 (7)-8(8)W5-2 14.原式=2. 4解：原式= a 15.解：选取①②③这3个代数式进行求和， ∵由题意知a≠0，a≠1，.当a=-1时，原式=-1.（答案 得2+1-21+(-1)°=7.（答案不唯一） 第2节整式及因式分解 不准-或当a=2时，脱式=宁》 核心知识全梳理 5.解：(1)二去括号时+1没有变号 ①高②相同③指数④5ab⑤-⑥-⑦am+n （2)2x-32x+1_2x-3-(2+1)2x-3-2x-1 x+3x+3 x+3 x+3 ⑧ama⑨am0a'b①6ab22ma+mb+me Bam+an+bm -44 +bn④a2-b5a2±2ab+b⑥4a2'c⑦a+b⑧m(a+b+c) 92xy②①(a+b)(a-b)@(a±b)22(x+1)(x+2) 单元整合提升 例1.(1)-2(2)14 易错题专练 例2.③⑥ 1.A【变式】32.C 例3.x2-6x+9x2+9-x2-9-6x-6×(-2)12 3.解：原式=3a+1, 例4.证明：abcd=1000a+1006+10c+d=(999a+99b+9c)+ (a+b+c+d), 2+1、5 当a=宁时原式-3 2 2