1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系（五大题型）训练-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 题型一 空间向量的坐标运算 1．已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（多选）下列结论正确的有（   ） A．已知，，则 B．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C．已知向量，，若，则为钝角 D．点为平面外一点，为平面内一点，若，则 3．如图，在长方体中，，，，与相交于点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则向量的坐标为 .    4．已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 题型二 空间向量模长的坐标表示 5．已知空间向量，则（    ） A．15 B． C．17 D． 6．（多选）已知空间中四点，则（    ） A． B． C． D．为锐角 7．在空间直角坐标系中，若，，且，则 . 8．如图，在几何体中，已知四边形是边长为2的正方形，平面，，． (1)试用，，表示，并求； (2)若是几何体内的一个动点，且，点满足，，求的最小值． 题型三 空间向量平行的坐标表示 9．设，向量，，，则（   ） A． B． C． D．1 10．（多选）已知空间中三点，则下列说法正确的有（   ） A． B．与是共线向量 C．与夹角为 D．在上投影向量的长度为 11．已知向量，，若，则 ． 12．已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 题型四 空间向量垂直的坐标表示 13．若空间向量与垂直，则实数k的值为（   ） A． B．1 C．0 D．2 14．（多选）关于空间向量，以下命题正确的是（    ） A．若为平面外任意一点，，则四点一定共面 B．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 C．若平面的法向量分别为，且，则 D．若向量（是不共面的向量，则称在基底下的坐标为，若在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 15．已知向量，，若，则实数的值为 . 16．已知空间中三点，，，设，. (1)求与的值； (2)已知向量与互相垂直，求k的值. 题型五 空间向量夹角余弦的坐标表示 17．已知空间向量，，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 18．（多选）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．与夹角的余弦值为 19．若向量，，且与的夹角余弦值为，则等于 20．在空间直角坐标系中，点，，，设，． (1)求与方向相同的单位向量的坐标； (2)求与夹角的余弦值； (3)若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 题型一 空间向量的坐标运算 1．已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量坐标运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2．（多选）下列结论正确的有（   ） A．已知，，则 B．若为空间的一个基底，则可构成空间的另一个基底 C．已知向量，，若，则为钝角 D．点为平面外一点，为平面内一点，若，则 【答案】AD 【分析】对于根据空间向量坐标运算求模即可；对于根据向量共面判定定理判定；对于，令，则，此时从而判定；对于根据四点共面的向量判定定理求解. 【详解】对于,因为，， 则， 所以， 故正确； 对于若三个向量共面， 则存在实数， 使得， 解得， 则， 所以三个向量共面， 不可以构成空间向量的基底，故错误； 对于,因为，， 当时，，， 则，此时,不为钝角， 则错误； 对于因为是平面内一点， 根据四点共面的向量判定定理知： ，解得， 故正确， 故选： 3．如图，在长方体中，，，，与相交于点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则向量的坐标为 .    【答案】 【分析】分别求出点和点的坐标，从而得到的坐标. 【详解】由题可知，，，，而为中点，则，所以. 故答案为： 4．已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）写出后，运用向量夹角公式计算即可； （2）若两个向量夹角为锐角，则两者的数量积大于0，并且要注意排除共线的情况. 【详解】（1）解：(1)因为, 所以. . 所以, 所以与的夹角余弦值为. （2）, 因为与的夹角为锐角，故两者不共线，且数量积大于0. 当与共线时，有,得, 故当时，与不共线. ,得,解得 综上，. 题型二 空间向量模长的坐标表示 5．已知空间向量，则（    ） A．15 B． C．17 D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的坐标运算和几何意义即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：D 6．（多选）已知空间中四点，则（    ） A． B． C． D．为锐角 【答案】BD 【分析】根据条件，求出，对A，利用模长公式，直接求出，即可求解；对B，利用向量垂直的坐标表示，即可求解；对C，利用向量共线的坐标表示，即可求解；对D，利用向量的夹角公式及夹角的范围，即可求解. 【详解】由， 可得，，，，， 对于选项A，因为，所以A错误； 对于选项B，因为，所以，故B正确； 对于选项C，由，可知与不平行，故C错误； 对于选项D，，又易知不共线，且， 故为锐角，所以D正确， 故选：BD． 7．在空间直角坐标系中，若，，且，则 . 【答案】 【分析】根据向量数量积求出，再由空间向量模计算即可. 【详解】因为， 所以，即， 所以，， 故答案为： 8．如图，在几何体中，已知四边形是边长为2的正方形，平面，，． (1)试用，，表示，并求； (2)若是几何体内的一个动点，且，点满足，，求的最小值． 【答案】(1)，. (2). 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，利用线线角的空间向量计算公式求解即可； （2）根据题意可得M在线段上，N在平面上，结合数量积的定义可得，进而求得最值. 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 因为四边形是边长为2的正方形，则，因为，，所以， 则， 则 . （2）以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. ，，，， 取BD的中点为O，MN的中点为G，连接OE，OF，则， 所以，，，， 所以，，，则， 所以. ，，则，又为中点， 所以，，平面， 所以平面， 因为（）， 所以M在线段OE上. 因为， 所以，故N在平面上. 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 则 ； 所以， 故， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 题型三 空间向量平行的坐标表示 9．设，向量，，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据空间向量共线的坐标表示进行求解即可. 【详解】因为， 所以，解得. 所以. 故选：B. 10．（多选）已知空间中三点，则下列说法正确的有（   ） A． B．与是共线向量 C．与夹角为 D．在上投影向量的长度为 【答案】AD 【分析】根据空间向量模的坐标运算判断A；根据共线向量的坐标形式判断B；利用向量夹角的坐标形式计算判断C；利用投影向量公式及模长运算公式计算判断D. 【详解】对于A，由题意得，所以，正确； 对于B，，，不存在实数，使得， 所以与不是共线向量，错误； 对于C，，，所以， 又，所以， 因为，所以，错误； 对于D，因，， 则在上投影向量为， 其长度为，故D正确. 故选：AD. 11．已知向量，，若，则 ． 【答案】4 【分析】根据向量平行的坐标关系，即可求得答案. 【详解】由，知，所以． 故答案为：4 12．已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 【答案】(1). (2)或. (3)或. 【分析】（1）首先求出向量，的坐标，进而由向量的夹角公式求解即可； （2）首先求出与的坐标，结合向量垂直的充要条件列方程求解即可； （3）根据向量共线的条件及向量模的公式列方程求解即可. 【详解】（1）因为，， ，， 所以，， 则. （2）因为，， 所以，. 又与垂直， 所以， 解得或. （3）由题可知，， 由，知存在实数，使得，即. 因为，所以，解得， 所以或. 题型四 空间向量垂直的坐标表示 13．若空间向量与垂直，则实数k的值为（   ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】C 【分析】，，即可求解. 【详解】，. 故选：C 14．（多选）关于空间向量，以下命题正确的是（    ） A．若为平面外任意一点，，则四点一定共面 B．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 C．若平面的法向量分别为，且，则 D．若向量（是不共面的向量，则称在基底下的坐标为，若在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 【答案】ACD 【分析】根据空间共面的条件、线面平行的向量坐标表示、面面垂直的向量坐标表示以及基底坐标等知识逐项计算即可. 【详解】对于A选项：因为，所以四点共面，故A正确； 对于B选项，若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，易得，即，则有，故B错误； 对于C选项：因为，所以，所以，所以C正确； 对于D选项：由题意得，设， 则，解得，则在基底下的坐标为正确， 故选：ACD. 15．已知向量，，若，则实数的值为 . 【答案】7 【分析】由向量垂直的坐标表示计算可得. 【详解】因为，所以. 故答案为：7. 16．已知空间中三点，，，设，. (1)求与的值； (2)已知向量与互相垂直，求k的值. 【答案】(1)， (2)5 【分析】（1）由向量夹角公式即可求解； （2）由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 所以，， . （2）， 因为向量与互相垂直， 所以， 解得．所以的值是5. 题型五 空间向量夹角余弦的坐标表示 17．已知空间向量，，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量的夹角公式计算可得. 【详解】由题意可得. 故选：A. 18．（多选）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．与夹角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的坐标运算，即可判断选项. 【详解】对于A：，因为，所以不平行，故A错误； 对于B：因为， 所以，故B正确； 对于C：， ，则，故C正确； 对于D：与夹角的余弦值为，故D正确； 故选：BCD. 19．若向量，，且与的夹角余弦值为，则等于 【答案】 【分析】根据向量的夹角公式求解. 【详解】由已知有：，解得， 由，可知，所以. 故答案为：. 20．在空间直角坐标系中，点，，，设，． (1)求与方向相同的单位向量的坐标； (2)求与夹角的余弦值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由单位向量计算公式即可求解； （2）由向量夹角公式即可求解； （3）由向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）由题意得， 所以与方向相同的单位向量的坐标为． （2）由题意得， ． （3）由题意得， 则， 得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $