1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（人教B版2019）

1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 基础过关练 题组一　空间向量的坐标 1.已知{e1,e2,e3}是单位正交基底,下列说法正确的是(　　) A.若p=2e1-e2+3e3,则p=(2,1,3) B.若q=-e1+2e2,则q=(-1,2) C.若r=e1+3e2-e3,则r=(1,3,-1) D.若s=-3e2,则s=(0,0,-3) 2.已知{a,b,c}是空间向量的一组基底,{a+b,a-b,c}是空间向量的另外一组基底,若一向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(1,2,3),则向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(　　) A. C. 题组二　空间向量坐标的运算 3.已知向量a=(1,-2,1),b=(1,0,2),则a-b=(　　) A.(2,-2,3)　　　　B.(-2,2,-3) C.(0,2,1)　　　　 D.(0,-2,-1) 4.若a=(x,2,0),b=(3,2-x,x2),且a与b的夹角为钝角,则实数x的取值范围是(　　) A.x>4　　　　B.x<-4　　　　C.0<x<4　　　　D.-4<x<0 5.已知点A(2,2,7),B(-2,4,3),若,则点C的坐标为(　　) A.(2,-1,2)　　　　B.(-2,1,-2) C.(0,3,2)　　　　 D.(0,3,5) 6.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4, -2),c=(4,5,λ),若a,b,c共面,则实数λ的值为(　　) A.6　　　　B.5　　　　C.4　　　　D.3 题组三　利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题 7.若在△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为(　　) A. 8.已知向量a=(1,-1,3),b=(2,2,3), c=(m,2,n),且(a+b)∥c,则m+n=　　　　.  9.已知空间中三点A(2,1,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4),设a=,b=. (1)若|c|=3,且c∥,求向量c的坐标; (2)已知向量ka+b与b互相垂直,求实数k的值. 题组四　利用空间向量的坐标运算解决夹角、模(长度)问题 10.已知a=(1-t,2t-1,0),b=(3,2t-2,2),则|b-a|的最小值为(　　) A.　　　　C.6　　　　D.5 11.已知空间中三点A(-2,0,8),P(m,m,m),B(4, -4,6),若向量的夹角为60°,则实数m=(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.-1　　　　D.-2 12.若空间向量a=(3,0,4),b=(-3,2, 5),则向量b在向量a上的投影数量为　　　　.  13.已知点A(0,1,2), B(1,-1,3),C(1,5,-1). (1)若D为线段BC的中点,求||; (2)若=(2,a,1),且=1,求实数a的值及向量夹角的余弦值. 题组五　空间直角坐标系及其应用 14.(多选题)在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,以空间中某个点作为坐标原点建立空间直角坐标系,则 B,D1的坐标可能为(　　) A.(0,0,4),(4,4,2) B.(0,4,0),(-4,0,4) C.(2,2,0),(-2,-2,2) D.(2,2,-2),(-2,-2,2) 15.(多选题)在空间直角坐标系中,O为坐标原点,点P的坐标为(2,-2,1),则(　　) A.点P到点O的距离是3 B.点P关于x轴对称的点的坐标是(-2,-2,1) C.点P关于点(1,1,1)对称的点的坐标是(2,1,3) D.点P关于xOy平面对称的点的坐标是(2,-2,-1) 16.已知点B是点A(1,2,3)在坐标平面xOy内的射影,则||=　　　　.  17.在三棱锥P-ABC中,∠ABC=90°,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=2,M,N分别是PC,AC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,则线段MN的中点的坐标为　　　　.  18.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,AB1⊥BC1,点O,O1分别是AC,A1C1的中点,建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求正三棱柱的侧棱长; (2)求夹角的余弦值. 能力提升练 题组一　空间向量坐标的应用 1.(多选题)已知空间中三个向量a=(1,2,0),b=(-1,2,1),c=(-1,-2,1),则下列说法正确的是(　　) A.a与c是共线向量 B.与a同向的单位向量是 C.c在a上的投影是(-1,-2,0) D.a与b的夹角为90° 2.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3, -2,z),若a∥b,b⊥c,则a+c与b+c夹角的余弦值为(　　) A.- 3.在空间直角坐标系中,O(0,0,0),E(2,0),B为EF的中点,C为空间中一点且满足||=3,若cos<,则=(　　) A.9　　　　B.7　　　　C.5　　　　D.3 4.已知O为坐标原点,向量=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当取得最小值时,点Q的坐标为(　　) A. C. 5已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),若向量a+kb与2a+b所成的角为锐角,则实数k的取值范围为　　　　　　.  6.已知空间向量 =(1,1,2),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为　　　　.  7.已知空间直角坐标系中四个点A(1,1,1),B(1,2,3),C(4,5,6),D(7,8,x). (1)求||; (2)若,求x的值; (3)若点D在平面ABC内,直接写出x的值. 题组二　空间直角坐标系的应用 8.三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,N是BC的中点,(λ∈R),,若,则λ= (　　) A. 9.如图,在三棱锥P-ABC中,△ABC为等边三角形,△PAC为等腰直角三角形,PA=PC=4,平面PAC⊥平面ABC,D为AB的中点,则夹角的余弦值为(　　) A.- 10.如图所示的几何体由半圆柱体与直三棱柱构成,半圆柱体底面直径BC=4,AB=AC,∠BAC=90°,D为半圆弧的中点,若cos<,则该几何体的体积为(　　) A.16+8π　　　　B.32+16π C.32+8π　　　　D.16+16π 11.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC =,AB=AC=AA1=1,G,E分别为A1B1,CC1的中点,D,F分别为线段AC,AB上的动点(不包括端点),若,则的模的取值范围为(　　) A. C. 12.(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,点P在侧面BCC1B1上运动,并且总是保持AP⊥BD1,则下列结论正确的是(　　) A. B.点P必在线段B1C上 C.AP⊥BC1 D.AP∥平面A1C1D 13.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,侧棱AA1⊥底面ABCD,AB=1,AA1=,E为线段AB上的一个动点,则|D1E|+|CE|的最小值为(　　) A.2 14.如图,以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在线段AB上,点Q在线段DC上. (1)当PB=2AP,且点P关于y轴的对称点为M时,求|PM|; (2)当点P是AB的中点,点Q在DC上运动时,探究|PQ|的最小值. 答案与分层梯度式解析 1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 基础过关练 1.C 2.B 3.D 4.B 5.D 6.B 7.D 10.B 11.B 14.BD 15.AD 1.C　由空间向量的坐标的概念可知p=(2,-1,3),q=(-1,2,0),r=(1, 3,-1),s=(0,-3,0). 2.B　依题意可知p=a+2b+3c. 设向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc, 由空间向量基本定理可得故p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为. 3.D　由题意可得a-b=(1,-2,1)-(1,0,2)=(0,-2,-1).故选D. 4.B　由题意可知,a·b=3x+2(2-x)<0,解得x<-4,易知a,b不共线,故选B. 5.D　由题意得=(-4,2,-4),所以=(-2,1,-2),所以C(0,3,5).故选D. 6.B　若a,b,c共面,则存在实数x,y,使c=xa+yb,即(4,5,λ)=x(2, -1,3)+y(-1,4,-2),故故选B. 7.D　由题意得=(-3,2,-k). ∵∠C=90°,∴ .故选D. 8.答案　18 解析　由题意得a+b=(3,1,6). 因为(a+b)∥c,所以,解得m=6,n=12,所以m+n=18. 9.解析　(1)由题意得=(2,1,-2). ∵c∥, ∴设c=m=(2m,m,-2m),m∈R, ∴|c|==3|m|=3,∴m=±1, 故c=(2,1,-2)或c=(-2,-1,2). (2)由题意得a==(-1,-2,0),b==(1,-1,-2),∴ka+b=(1-k,-1-2k,-2). ∵向量ka+b与b互相垂直, ∴(ka+b)·b=1-k+1+2k+4=0,解得k=-6. 10.B　由题意得b-a=(t+2,-1,2),所以|b-a|=,当且仅当t=-2时,等号成立,故|b-a|的最小值为.故选B. 11.B　∵A(-2,0,8),P(m,m,m),B(4,-4,6), ∴=(4-m,-4-m,6-m). 由题意得cos 60°==, ∴m2-4m+4=0,∴m=2. 12.答案　 解析　由题意得a·b=-9+0+20=11,|a|=5,所以向量b在向量a上的 投影数量为. 13.解析　(1)由题意得D(1,2,1),∴. (2)易知=2-2a+1=1,解得a=1, ∴=(2,1,1), ∴cos<, 即向量. 14.BD　在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,|BD1|=4. 对于A,|BD1|==6≠4; 对于B,|BD1|=; 对于C,|BD1|==6≠4; 对于D,|BD1|=. 故选BD. 15.AD　对于A,|OP|==3,故A正确; 对于B,点P关于x轴对称的点的坐标是(-2,2,-1),故B错误; 对于C,设点P关于点(1,1,1)对称的点的坐标是(x,y,z),则即对称点的坐标为(0,4,1),故C错误; 对于D,点P关于xOy平面对称的点的坐标是(2,-2,-1),故D正确. 故选AD. 16.答案　 解析　易得B(1,2,0),所以=(1,2,0),所以|. 17.答案　 解析　由题意可得A(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),所以M(0,1,1),N(1,1,0),所以线段MN的中点的坐标为. 18.解析　(1)设正三棱柱的侧棱长为h. 由题意得A(0,-1,0),B(,0,h),C1(0,1,h),则,1,h).因为AB1⊥BC1,所以= -3+1+h2=0,解得h=(负值舍去).故正三棱柱的侧棱长为. (2)由(1)可知,1,0), 所以|=2, 所以cos<. 能力提升练 1.BC 2.A 3.D 4.C 8.C 9.B 10.A 11.A 12.BD 13.B 1.BC　对于A,因为,所以a,c不共线,A错误; 对于B,与a同向的单位向量是,B正确; 对于C,c在a上的投影是|c|cos<a,c>··a=-(1,2,0)=(-1, -2,0),C正确; 对于D,因为a·b=3≠0,所以a,b不垂直,D错误. 故选BC. 2.A　因为a∥b,所以,解得x=2,y=-4,所以a=(2,4,1), b=(-2,-4,-1). 因为b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,所以c=(3,-2,2), 所以a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1), 所以(a+c)·(b+c)=5-12+3=-4,|a+c|=,|b+c|= . 所以cos<a+c,b+c>=.故选A. 3.D　易得B(,0),设C(x,y,z),则,0). 由cos<=, 整理可得x-y=-①. 由||=3,得,化简得x+y=②. 联立①②,解得x=,则·(0,2,0)=3.故选D. 4.C　∵点Q在直线OP上运动,∴存在唯一的实数λ,使得=(λ,λ,2λ), ∴=(2-λ,1-λ,2-2λ), ∴=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)·(2-2λ)=6λ2- 16λ+10=6, 当且仅当λ=时,上式取得最小值, 此时点Q的坐标为.故选C. 5.答案　 解析　易得a+kb=(1-k,1,2k),2a+b=(1,2,2). 由题意得(a+kb)·(2a+b)>0且a+kb,2a+b不共线, ∴1-k+2+4k>0,且不成立,解得k>-1且k≠,∴实数k的取值范围为. 6.答案　 解析　因为=(1,1,2), 所以cos∠BAC=, 所以sin∠BAC=, 故以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为||·||sin∠BAC= . 7.解析　(1)易得=(3,4,5),所以|. (2)由题意得=(3,3,x-6). 因为,所以=3+2x-12=2x-9=0,解得x=. (3)由(1)(2)知=(3,4,5). 因为点D在平面ABC内,所以可设, 即(6,7,x-1)=(0,a,2a)+(3b,4b,5b)=(3b,a+4b,2a+5b),所以 8.C　如图,以AB,AC,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Axyz, 则A1(0,0,1),B1(1,0,1),∴=(λ,0,0),则P(λ,0,1),又N,所以,所以=0,解得λ=.故选C. 9.B　取AC的中点O,连接OP,OB. ∵PA=PC,∴AC⊥OP. ∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,OP⊂平面PAC,∴OP⊥平面ABC. ∵AB=BC,∴AC⊥OB. 以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, ∵△PAC是等腰直角三角形,PA=PC=4,△ABC为等边三角形, ∴A(2,0), ∴), ∴cos<. 故选B. 10.A　如图,设D在底面半圆上的射影为D1,连接AD1,交BC于点O,连接A1D,交B1C1于点O1. 依题意知AD1⊥BC,A1D⊥B1C1,O,O1分别是下底面、上底面半圆的圆心,则OA⊥OB,连接OO1,则OO1与上、下底面垂直,所以OO1⊥OB,OO1⊥OA. 以OB,OA,OO1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.设几何体的高为h(h>0),则B(2,0,0),D(0,-2,h),A(0,2,0),B1(2,0,h),所以=(2,-2,h). 所以cos<,即,所以h=4(负值舍去).所以几何体的体积为×4×2×4=16+8π.故选A. 11.A　建立如图所示的空间直角坐标系Axyz, 则G.设D(0,y,0),F(x,0,0),其中x,y∈(0,1),则. ∵=0,即-=0,即x+2y=1,又∵0<x<1, ∴0<1-2y<1,∴0<y<. |,∴当 y=时,|;当y=0时,||=1;当y=时, |,故. 12.BD　∵点P在侧面BCC1B1上运动,平面BCC1B1∥平面AA1D1D,∴点P到平面AA1D1D的距离即为点C到平面AA1D1D的距离,即为正方体的棱长,∴·CD=,故A中结论错误. 以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),C(0,1,0),∴=(-1,0,-1).设P(x,1,z)(0≤x≤1,0≤z≤1),则=(x-1,1,z). ∵AP⊥BD1,∴=1-x-1+z=0,∴x=z, ∴P(x,1,x),∴,即B1,P,C共线,∴点P必在线段B1C上,故B中结论正确. 易知C1(0,1,1),∴=(-1,0,1),又=1-x+x=1,∴AP与BC1不垂直,故C中结论错误. 易知A1(1,0,1),D(0,0,0),∴=(1,0,1),又 (其中0≤x≤1),∴共面,又AP⊄平面A1C1D,∴AP∥平面A1C1D,故D中结论正确. 故选BD. 13.B　建立如图所示的空间直角坐标系Axyz, 则D1(0,1,),C(1,1,0). ∵E为线段AB上的一个动点, ∴设E(t,0,0)(0≤t≤1), 则|D1E|=, 故问题转化为求y=(0≤t≤1)的最小值,即转化为求平面直角坐标系tOy中的一个动点P(t,0)到两定点M(0,-2), N(1,1)的距离之和的最小值问题,如图所示: 由此可知,当M,P,N三点共线时, ,故.故选B. 14.解析　(1)由PB=2AP得P, 所以M, 所以|PM|=. (2)由题意得P.设点Q(a,1,a),a∈[0,1],则|PQ|=,所以当a=时,|PQ|取得最小值,此时点Q的坐标为. 20 学科网（北京）股份有限公司 $$