1.1.3 第1课时 空间向量的坐标及运算-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

1．1．3　空间向量的坐标与空间直角坐标系

第1课时　空间向量的坐标及运算

知识点一　空间中向量的坐标

1．已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，p＝－e1＋2e3，则向量p的坐标为________．

答案　(－1，0，2)

解析　p＝－e1＋2e3＝－e1＋0e2＋2e3，故向量p的坐标为(－1，0，2)．

2．已知向量{a，b，c}是空间向量的一组基底，向量{a＋b，a－b，c}是空间向量的另一组基底，一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，－2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________．

答案　

解析　设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc＝a－2b＋3c，所以解得故p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为．

知识点二　空间向量的运算与坐标的关系

3．已知a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x＝(　　)

A．(0，3，－6) B．(0，6，－20)

C．(0，6，－6) D．(6，6，－6)

答案　B

解析　由b＝x－2a，得x＝4a＋2b．因为a＝(2，3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，所以x＝4a＋2b＝4(2，3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0，6，－20)．

4．已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则实数x的值是(　　)

A．3 B．4

C．5 D．6

答案　C

解析　因为a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，所以a·b＝－3＋2x－5＝2，解得x＝5．故选C．

5．已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|a－b|的最小值为(　　)

A． B．

C． D．

答案　C

解析　∵a－b＝(1－t，1－t，t)－(2，t，t)＝(－1－t，1－2t，0)，∴|a－b|2＝(－1－t)2＋(1－2t)2＝5t2－2t＋2＝5＋．当t＝时，|a－b|2取得最小值，∴|a－b|的最小值为．故选C．

6．已知向量a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，则(a＋b)·(a－b)＝________．

答案　－8

解析　(a＋b)·(a－b)＝a·a－b·b＝(2，－1，－2)·(2，－1，－2)－(0，－1，4)·(0，－1，4)＝9－17＝－8．

7．已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________．

答案　120°

解析　(2a＋b)·c＝0×1＋(－5)×(－2)＋10×(－2)＝－10，即2a·c＋b·c＝－10．又a·c＝4，∴b·c＝－18，又|c|＝3，|b|＝12，∴cos〈b，c〉＝＝－．∵0°≤〈b，c〉≤180°，∴〈b，c〉＝120°．

8．已知a＝(2，3，－1)，b＝(－2，1，3)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________．

答案　6

解析　a·b＝(2，3，－1)·(－2，1，3)＝－4＋3－3＝－4，|a|＝，|b|＝，∴cos〈a，b〉＝＝－．∴sin〈a，b〉＝．∴平行四边形的面积为S＝|a||b|sin〈a，b〉＝××＝6．

9．单位向量a＝(x，y，0)与向量c＝(1，1，1)的夹角为，求：

(1)x＋y的值；

(2)xy的值．

解　(1)∵a与c的夹角为，

∴cos＝＝

＝＝，

即2(x＋y)＝．

∵|a|2＝x2＋y2＝1，∴x＋y＝．

(2)由(1)知，(x＋y)2＝，

即x2＋2xy＋y2＝，

又x2＋y2＝1，∴xy＝．

知识点三　空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直

10．[多选]已知a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　)

A．2， B．－3，

C．3， D．2，2

答案　AB

解析　因为a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，a∥b，所以2μ－1＝0，解得μ＝，＝，解得λ＝2或λ＝－3，所以λ与μ的值可以是2，或－3，．

11．已知a＝(1，5，－2)，b＝(m，2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为(　　)

A．0 B．6

C．－6 D．±6

答案　B

解析　因为a⊥b，所以1×m＋5×2－2(m＋2)＝0，解得m＝6．故选B．

12．(2023·山东省莱西市第一中学学业考试)已知a＝(1，1，0)，b＝(1，1，1)，若b＝b1＋b2，