6.1 正弦、余弦、正切、余切（4）——同角三角比的关系（1）教学设计-2025-2026学年高一上学期数学沪教版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦必修第二册“同角三角比的关系（1）”，核心知识点包括借助单位圆简化任意角正弦、余弦、正切、余切的表述，以及同角三角比的平方、商数、倒数关系。课堂导入通过复习任意角三角比定义、各象限符号特征，结合例题“已知正弦值求其他三角比”及分类讨论练习，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生逐步过渡到单位圆概念的学习。 本设计亮点在于以单位圆为数形结合载体，通过引导学生观察三角比定义式自主推导关系，培养数学思维中的逻辑推理能力。例题与练习注重象限符号讨论，如练习1分第二、四象限求解，强化数学语言的精确表达。分层作业（A组基础巩固、B组综合提高）兼顾不同学生需求，助力教师实施差异化教学。整体环节层层递进，既深化学生对三角比内在联系的理解，又提升数学运算与直观想象素养，为后续三角恒等变换奠定坚实基础。

必修第二册 6.1 正弦、余弦、正切、余切（4）——同角三角比的关系（1） 【教学目标】 借助单位圆简化任意角的正弦、余弦、正切、余切的表述；通过对同角的正弦、余弦、正切、余切之间关系的探寻及应用，理解它们之间的内在联系，发展逻辑推理素养. 【教学重点】 借助单位圆简化任意角的正弦、余弦、正切、余切表述并求值；理解同角的正弦、余弦、正切、余切之间的关系，并能已知同角的正弦、余弦、正切、余切中的一个值，求其它的值. 【教学难点】 已知同角的正弦、余弦、正切、余切中的一个值，求其它的值. 【教学过程】 1． 复习引入 1. 任意角三角比的定义：角终边上异于原点的任一点，，则，，， 2. 定义中角的范围要求：对于，有；对于，有 3. 三角比在各象限内的符号 例1 已知，且是第二象限的角. 求，及. 解：由直角三角形知识及三角比在各象限符号可知，，. 练习1：已知，求、及. 解：在第二象限，，； 在第四象限，，. 2． 概念形成 理解辨析 （1） 单位圆 半径为个单位的圆称为单位圆，于是有，因此，所以单位圆上一点坐标可表示为. 例2 求角的正弦、余弦和正切值. 解 设角的终边交以原点为圆心的单位圆于点，过点作轴的垂线，其垂足为，可得的坐标为.于是，，，而. （2） 同角三角比的关系 观察任意角的正弦、余弦、正切、余切的定义式，它们之间有什么关系？ （1）由于，所以，即有. 由，和，两边同除，得，即与有平方关系. （2）由于，当时，有；由，，，可知、与之间存在商数关系，即当时，. 同理，当时，有. （3）由于，，可知，之间存在倒数关系，即当，都有意义时，有. 3． 例题与练习 例3 已知，，且为第二象限角，求实数的值. 解：由得或， 又为第二象限角，所以，所以. 4． 课堂小结 知识：任意角的正弦、余弦、正切、余切的简化表述，任意角的正弦、余弦、正切、余切值的求解，同角三角公式. 思想方法：数形结合，类比归纳. 核心素养：直观想象、数学运算、逻辑推理. 5． 回家作业 【A组 基础巩固】 1. 求的正弦、余弦及正切值. 2. （1）已知，且是第四象限的角.求及； （2） 已知，求及. 3. 已知，且，求的值. 4. 已知，且，求的值. 5. 若角终边经过点且，求： （1）点坐标；（2）角的余弦值. 【B组 综合提高】 6. 已知，，且，求的值. 7. 已知，求的值. （作业答案） 1. 2. （1） ； （2）若在第二象限，则， 若在第四象限，则 3. 由题意，. 4. . 5. （1），； （2）. 6. 由解得或，又，所以，于是，∴. 7. ， 又，得， 解得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $