第6章《三角》教材解读【与两角和差相关的三角恒等变换】讲义-2023-2024学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

【原卷版】 微专题解读 与两角和差相关的三角恒等变换 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin( )=sin cos cos sin ; cos( ∓ )=cos cos sin sin ; tan( )=; 2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 =2sin cos ; cos 2 =cos2 -sin2 =2cos2 -1=1-2sin2 ; tan 2 =; 3、函数f( )=asin +bcos (a,b为常数) 可以化为 f( )=sin( + ); 或 f( )= cos( - ) ; 题型1、两角和与差角公式及倍角公式的基本应用 例1、(1)若cos =-, 是第三象限的角,则sin=( ) A. B.- C.- D. (2)若 ∈,tan 2 =,则tan =( ) A. B. C. D. (3)已知sin =, ∈,tan( - )=,则tan( - )的值为( ) A.- B. C. D.- 【说明】两角和与差角公式可看作是诱导公式的推广,可用 , 的三角函数表示 的三角函数,在使用两角和与差公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的;三角函数公式的应用策略:(1)熟悉各个公式的结构特征,明确待求目标能与哪个公式联系;(2)使用公式求值时,应先求出相关角相应的函数值,再代入公式求值; 题型2、两角和与差角公式及倍角公式的逆用及变形 例2、(1)已知sin +cos =,则sin2=_. (2)在 ABC中,若tan A tan B=tan A+tan B+1,则cos C= . (3)若 + =-,则(1+tan )(1+tan )= . 【说明】两角和与差角公式与倍角公式的逆用和变形用的应用技巧 1、逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式.tan tan ,tan +tan (或tan -tan ),tan ( + )(或tan ( - ))三者中可以知二求一,且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题.同时重视sin cos ,cos sin ,cos cos ,sin sin 的整体应用. 2、两角和与差角公式的变形 sin sin +cos ( + )=cos cos ; cos sin +sin ( - )=sin cos ; tan tan =tan ( )(1∓tan tan ). 3、倍角公式变形:降幂公式; 题型3、辅助角公式的运用 例3、(1)化简:3sin x+3cos x. (2)函数f(x)=cos x-sin-sin在[0, ]的值域为( ) A.[-1,1] B.[-2,1] C.[-2,2] D. 【说明】对asin x+bcos x化简时,辅助角 的值如何求要清楚. 题型4、两角和与差角公式及倍角公式与角的变换问题的交汇 例4、(1)已知 , ∈,sin( + )=-,sin=,则cos=_. (2)若sin=,则sin=_. 【说明】1、当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式; 2、当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 3、常见的角变换:2 =( + )+( - ), =+,+ =-, =( + )- =( - )+ ,+=等. 题型5、两角和与差公式与三角比值定义的交汇 例5、如图,在平面直角坐标系xOy中,顶点在坐标原点,以x轴非负半轴 为始边的锐角 与钝角 的终边与单位圆O分别交于A,B两点, x轴的非负半轴与单位圆O交于点M,已知S OAM=,点B的纵坐标是. (1)求cos( - )的值; (2)求2 - 的值. 题型6、两角和与差公式与数学文化的交汇 例6、我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距 (0 ≤ ≤80 )的对应数表,这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知,晷影长度l等于表高h与太阳天顶距 正切值的乘积,即l=h tan .若对同一“表高”两次测量,“晷影长”分别是“表高”的2倍和3倍(所成的角记为 1, 2),则tan ( 1- 2)=( ) A. B.- C. D.- 【说明】对于数学应用题关键在阅读理解与转化为教材知识与方法; 【收获与归纳】 1、tan tan =tan( )(1∓tan tan ). 2、降幂公式:cos2 =,sin2 =. 3、1+sin 2 =(sin +cos )2, 1-sin 2 =(sin -cos )2, sin cos =sin. 4、常用结论 (1)公式的常用变式:tan tan =tan ( ) (1∓tan tan ). (2)降幂公式:sin2 =;cos2 =;sin cos =s