专题09 因式分解四大题型 2025-2026学年人教版八年级上册数学重难点培优专题【题型分类+知识梳理+能力提升】

人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题09 因式分解四大题型目录 A · 重难点题型分类 题型1：因式分解中字母求参问题……………………………………………… 3 题型2：十字相乘法……………………………………………………………… 5 题型3：分组分解法……………………………………………………………… 11 题型4：因式分解的应用………………………………………………………… 18 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 34 知识梳理 1、公式及扩展：① 平方差公式： ② 完全平方公式： ③ 立方和公式：（a+b）（a2－ab+b2）=a3+b3 ④ 立方差公式：（a－b）（a2+ab+b2）=a3－b3 ⑤ 完全立方公式：（ab）3=a33a2b+3ab2b3 ⑥ 三项完全平方：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ⑦ 欧拉公式：（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－bc－ca）=a3+b3+c3－3abc 2、十字相乘法： 1）二次项系数为1： 方法：拆常数项，凑一次项. 例：分解因式 1 2当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的负号与一次项系数的符号相同. 1 3 12+13=5 = = 分解因式 1 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因式的符号与一次项系数的符号相同. 1 1 11+1() =5 = = 2）二次项系数不为1： 方法：拆两头，凑中间. 分解因式当二次项系数为正数且常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同. 2 3 1 23+31 =9 = 分解因式当二次项系数为正数且常数项为负数时，应分解为两异号因数，其中绝对值较大的因式符号与一次项系数的符号相同. 2 － 3 1 2+31 = = 分解因式 2 －当二次项系数为负数时，先提出负号，再按照上面的方法求解. 3 1 2+31 = == = 重难点题型分类 【题型1：因式分解中字母求参问题】 【例1】多项式可分解因式为，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，利用单项式乘以多项式，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ∴M为：， 故选：D． 【变式1-1】若多项式x2+mx+12因式分解的结果是（x﹣2)（x﹣6），则m的值是（    ） A．8 B．﹣4 C．﹣8 D．4 【答案】C 【分析】根据题意可列出等式求出m的值． 【详解】由题意可知：x2+mx+12=（x-2）（x-6）， ∴x2+mx+12=x2-8x+12 ∴m=-8 故选C． 【点睛】本题考查因式分解的意义，涉及多项式乘以多项式的法则，本题属于基础题型． 【变式1-2】已知是的一个因式，则 ． 【答案】 【分析】设另一个因式是根据多项式乘多项式法则求出，根据多项式乘多项式得出，再求出答案即可． 【详解】解：设另一个因式是 则， ， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的定义和整式的乘法，能灵活运用多项式乘多项式法则进行计算是解此题的关键． 【变式1-3】若关于的二次三项式的因式是和，则的值是 ． 【答案】2 【分析】先利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出的值即可． 【详解】解：由题意得：， ． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了多项式乘以多项式法则，因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键． 【变式1-4】若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，根据题意可得当时，的值为0，则，解之即可得到答案． 【详解】解：∵多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为， ∴当时，的值也为0， ∴当时，的值也为0， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型2：十字相乘法】 【例1】下列四个多项式，可能是x2＋mx－3 （m是整数）的因式的是（   ） A．x－2 B．x＋3 C．x＋4 D．x2－1 【答案】B 【分析】将原式利用十字相乘分解因式即可得到答案． 【详解】∵k为整数，且常数项﹣3=（﹣1）×3=（﹣3）×1， ∴或， 故选B． 【点睛】此题考查因式分解，根据二次项和常数项将多项式分解因式是解题的关键． 【变式1-1】下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别根据因式分解的方法：提公因式法，公式法，十字相乘法逐项运算即可． 【详解】A. ，故该选项不符合题意． B. ，故该选项符合题意． C. ，不可以继续分解，故该选项不符合题意． D. ．故该选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查因式分解．一个多项式有公因式先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 【变式1-2】分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 设，原式化为，然后整理得到，然后利用十字相乘法化简即可． 【详解】解：设 ∴ ． 故答案为：． 【变式1-3】已知等式中，a、p、q都是整数，则符合条件的a的个数有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法是解此题的关键．可利用多项式乘法展开后的系数对应关系，展开得，与原式对比后找到所有整数对并计算对应的即可． 【详解】解：展开可得：， 与原式对比可得：常数项：，一次项系数：， ∴整数对需满足，且，可能得整数对及对应的a如下： ①，，则； ②，，则； ③，，则； ④，，则； ⑤，，则； ⑥，，则． 综上所述，符合条件的a的个数有6个． 故答案为：6． 【变式1-4】阅读下面材料，并回答相应的问题： 通过学习，我们了解了因式分解的两种基本方法：提公因式法，公式法．下面我们将探索因式分解的其它方法． (1)请运用多项式乘以多项式的法则填空： __________，____________， __________，__________． 从特殊到一般，探索规律进行推导，过程如下： ________________． (2)因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用（1）中的规律，我们可以得到一种因式分解的新方法：_________________（用字母等式表示）． 利用这种方法，请将下列各式因式分解： __________，___________， __________，___________． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）运用多项式乘以多项式运算法则进行计算即可得到结果； （2）运用（1）中的规律进行相反方向变形可得结果． 【详解】（1） ∴ 故答案为：， （2） = =； = = = 故答案为：，，，， 【点睛】此题考查了因式分解的方法-分组分解法和十字相乘法、公式法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键． 【变式1-5】阅读理解： 阅读下列材料：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值． 解：设另一个因式是， 根据题意，得， 展开，得， 所以，解得， 所以，另一个因式是，a的值是-6． 请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 【答案】另一个因式是，m的值是-8． 【分析】根据题意得到，再展开得到，据此列方程组，解此方程组即可解答． 【详解】解：设另一个因式是， 根据题意，得， 展开，得， 所以， 解得， 所以，另一个因式是，m的值是-8． 【点睛】本题考查多项式的因式分解，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式1-6】请阅读下列材料，并完成相应的任务： （1）探究发现； 小明计算下面几个题目 ①；②；③；④后发现，形如的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律： ． （2）面积说明： 上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算发现这个规律是正确的，小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出右面图形说明他发现的规律． （3）逆用规律： 学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面因式分解的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：． （4）拓展提升 现有足够多的正方形和矩形卡片（如图），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重复，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为并利用你所拼的图形面积对进行因式分解． 【答案】（1）；（2）（3）；（4），画图见解析 【分析】（1）利用多项式乘以多项式的法则进行运算，总结即可； （2）利用面积的两种计算方法可证明公式； （3）分别确定公式当中的，再利用公式计算即可； （4）由可得此长方形是有2张1号卡片、3张2号卡片和1张3号卡片拼成的矩形，再画出拼图，从而可得答案． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）长方形的面积为： 长方形的面积等于四个小长方形的面积之和为：， 所以． （3）按照小明发现的规律： （4）由可得此长方形是有2张1号卡片、3张2号卡片和1张3号卡片拼成的矩形，所以拼图如下： ∴． 【点睛】本题考查的是多项式乘以多项式，因式分解，利用图形面积证明多项式乘以多项式的运算法则以及因式分解，熟练构建长方形证明多项式的乘法与因式分解是解本题的关键． 【题型3：分组分解法】 【例1】阅读下面的材料： 常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫作分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)若多项式利用分组分解法可分解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分组分解法分解因式．解题关键是正确分组，使得分组后可以分别进行因式分解，并且分解后能出现新的公因式，进而提取公因式完成整个多项式的因式分解． （1）进行分组为，通过提取公因式，乘法分配律的逆运算进行因式分解； （2）先用整式乘法还原，再由对应项系数相等得出、的值，进而求出． 【详解】（1）解： ． （2）， 而 比较系数可得， ． 【变式1-1】已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（    ） A．28 B．43 C．76 D．78 【答案】C 【分析】将利用分组分解法化为，再根据a，b为正整数，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴， ∵a，b为正整数，要使最大，则b的值应比a大， ∴当时，； 当时，， ∴的最大值为76， 故选：C． 【点睛】此题考查了分组分解法的应用，解题的关键在于把等号左边的式子化为乘积的形式． 【变式1-2】当时，代数式 【答案】 【分析】原式先提取x，再分组，利用因式分解，代入数值即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：0． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握分组分解法以及提公因式法分解因式是解题的关键． 【变式1-3】观察探究性学习小组的甲、乙两名同学进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分成两组，前两项一组，后两项一组，然后进行分解即可； （2）分成两组，第一项，第三项，第四项分到一组，第二项单独一组，然后进行分解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 【点睛】本题考查了因式分解——公式法，提公因式法，分组分解法，一定要注意把每一个多项式分解到不能再分解为止． 【变式1-4】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式.后两项可提取公因式.前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式x2﹣2xy+y2﹣16； (2)△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状． 【答案】(1)（x﹣y＋4）（x﹣y﹣4） (2)△ABC的形状是等腰三角形 【分析】（1）首先将前三项组合，利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可； （2）首先将前两项以及后两项组合，进而提取公因式法分解因式，即可得出a，b，c的关系，判断三角形形状即可． 【详解】（1）x2-2xy+y2-16 =（x-y）2-42 =（x-y+4）（x-y-4）； （2）∵a2-ab-ac+bc=0 ∴a（a-b）-c（a-b）=0， ∴（a-b）（a-c）=0， ∴a=b或a=c， ∴△ABC的形状是等腰三角形． 【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式以及等腰三角形的判定，正确分组分解得出是解题关键． 【变式1-5】先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． 拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如： x2＋2x﹣3＝x2＋2x＋1﹣4＝（x＋1）2﹣22＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1） 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： （1）分解因式：x2﹣6x﹣7； （2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2 【答案】（1）(x+1)(x－7)；（2）(a+5b)( a－b) 【分析】（1）仿照例题方法分解因式即可； （2）仿照例题方法分解因式即可； 【详解】解：（1）x2﹣6x﹣7 = x2﹣6x+9－16 =（x－3）2－42 =（x－3+4）(x－3－4) =(x+1)(x－7)； （2）a2＋4ab﹣5b2 = a2＋4ab+4b2﹣9b2 =（a+2b）2－(3b)2 =（a+2b +3b）(a+2b－3b) =(a+5b)( a－b)． 【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，理解题中的分解因式方法并能灵活运用是解答的关键． 【变式1-6】先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、配方法（拆项法）、十字相乘法等等．分组分解法是将一个多项式适当分组后，再用提公因式或运用公式继续分解的方法． 如①和②： ① ② 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： （1）分解因式：； （2）两个不相等的实数m，n满足．若，，求和k的值． 【答案】（1）；（2），． 【分析】（1）先分组得，再根据平方差公式和提取公因式法进行因式分解； （2）由已知，两式相减得到，左边分解后可得到，再由已知，两式相加结合即可求得的值． 【详解】解：（1） ； （2）∵，， 两式相减得， ∴，即， 因式分解得， ∵， ∴即， ∵，， 两式相加得，即， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平方差公式以及分组分解法分解因式，因式分解的应用，正确灵活应用公式是解题关键． 【题型4：因式分解的应用】 【例1】已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解． 由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可． 【详解】解：因为，， ∴ ， 将，代入得： ， 故选：C． 【变式1-1】已知，则代数式的值为（   ） A．30 B．36 C．42 D．48 【答案】B 【分析】此题主要考查了平方差公示的运用，代数式求值，先利用平方差公式进行因式分解，再代入计算即可求值． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式1-2】若，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的值与提公因式，由，得，然后整体代入即可求解，熟练掌握利用整体代入进行求解代数式的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ， ， ， ， 故选：． 【变式1-3】若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解、代数式求值．先提公因式得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【变式1-4】如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 因式分解即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式1-5】已知均为质数，若是完全平方数，则的值为 ． 【答案】22 【分析】本题考查完全平方数，因式分解的应用．设，则，由x，y均为质数，得到只能分解为，得到，两式相减，得，进而得出或或或，分别求解即可． 【详解】解：∵是完全平方数， ∴设， ∴， ∴， ∵x，y均为质数， ∴x，y均为正整数，且都不小于2， ∴分解为或， ∴，且， ∴只能分解为， ∴， 两式相减，得， ∴， ∴， ∴或或或， ∴（不合题意，舍去）或或（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）， ∴． 故答案为：22 【例2】如图，大长方形由一个边长是a的小正方形和两个长、宽分别是a，b的小长方形组成．整个图形可表示出几个有关多项式因式分解的等式，其中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用面积分割法检验乘法算式以及多项式的因式分解． 根据计算面积的方法多种多样，因此可以用不同的方式表达求解即可． 【详解】解：A、把图形分割成一个正方形，两个长方形计算面积，则有：，故A正确； B、无法分割得到，故B错误； C、把图形分割成两个长方形，边长分别是，宽都是，则有：，故C正确； D、用整个图形的面积减去一个边长为的长方形，得到另外一个长方形，边长是，即：，故D正确． 故选：B 【变式2-1】有4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则满足（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式在图形中的应用，因式分解的应用． 先根据多项式的乘法求出，，再根据列出等式，因式分解即可． 【详解】解：由题意可知：， 正方形面积， ∴ ∵ ∴， 即， ∴ ∴或（舍去） 故选：B． 【变式2-2】如图有三种类型卡片A、B、C，现用A型卡片3张，B型卡片k张，C型卡片4张一起拼成一个长方形．当 时，这个长方形的周长最长为 ． 【答案】 13或7 【分析】本题考查了因式分解的应用.根据十字相乘法，进行分类讨论，得出相应周长，即可解答． 【详解】解：当时，，周长为：； 当时，，周长为：； 当时，，周长为：； 即或7时，这个长方形的周长最长为． 故答案为：13或7；． 【变式2-3】我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图可以用来解释．现有足够多的正方形卡片1号，2号和长方形卡片3号，如图． (1)根据图B完成因式分解：___________： (2)现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张．在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为___________； (3)现要拼出一个面积为的长方形，则需要1号卡片___________张，2号卡片___________张，3号卡片___________张； (4)若，比较图中的两个正方形面积之和与两个长方形面积之和的大小关系．并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)1，3，4； (4)，理由见解析 【分析】本题考查完全平方公式和几何图形的应用，主要考查学生的画图能力和计算能力． （1）观察可知大长方形面积等于两个小正方形的面积和加上两个长方形面积和，即可得到结论； （2）画出图形，观察可知大长方形面积等于两个正方形面积加上两个长方形面积，即可得到结论； （3）根据画出的图形，即可得到结论； （4）由题意可知，，，则，由完全平方公式的非负性可得结论． 【详解】（1）解：大长方形的面积可以表示为四个图形之和，即，也可以利用面积公式表示为， 即， 故答案为：； （2）解：如图， ， 即这个大正方形的边长为， 故答案为： （3）解：如图， ， 即要拼出一个面积为的长方形，则需要1号卡片1张，2号卡片4张，3号卡片3张， 故答案为：1，3，4； （4）解：由题意可知，，， ， ， ， ，即． 【变式2-4】阅读材料： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若x满足，求代数式的值． (2)若x满足，求代数式的值． (3)已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是35，分别以为边作正方形和正方形，且，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3)阴影部分的面积为24 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，完全平方公式的几何背景，理解例题的解题思路是解题的关键． （1）按照例题的解题思路，进行计算即可解答； （2）按照例题的解题思路，进行计算即可解答； （3）根据已知可得，然后按照例题的解题思路，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵正方形的边长为x， ∴， ∵， ∴， ∵长方形的面积是35， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积 ， ∴阴影部分的面积为24． 【例3】整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 下面是小明对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式 ． 请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，设，再结合多项式乘以多项式法则进行化简，最后再利用完全平方公式分解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设， ∴原式． 【变式3-1】已知的三边长分别是，，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的应用，将题目中的式子变形，然后利用完全平方公式和非负数的性质，可以求得a、b、c的关系，从而可以判断的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， 故选：B． 【变式3-2】对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方公式，提取公因式进行因式分解．多项式利用完全平方公式计算，合并同类项进行化简，然后提取公因式进行因式分解，即可做出判断． 【详解】解： ， 无论为奇数或偶数，与必为一奇一偶，其乘积为偶数， 故． 该式恒为8的倍数，因此对任意整数，原式必被8整除． 故选：B． 【变式3-3】下列四种说法中正确的有（　　） ①关于x、y的方程存在整数解． ②若两个不等实数a、b满足，则a、b互为相反数． ③若，则． ④若，则． A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】将提公因式2得，由x、y为整数，则为偶数，因为199为奇数，即原等式不成立，即可判断①；将，整理得，即得出，由于实数a、b不相等，即得出a、b互为相反数，故可判断②；整理得，即得，即，故可判断③；由，得出，即可变形为，可以得出或，故可判断④． 【详解】∵， ∴如果x、y为整数，那么为偶数， ∵199为奇数， ∴不存在整数解，故①错误； ∴， ∵实数a、b不相等， ∴a、b互为相反数，故②正确； ∴，即，故③正确； ∵ ∴， ∴，即， ∴， ∴或，故④不一定正确． 综上可知正确的有②③． 故选B． 【点睛】本题考查因式分解，整式的混合运算．熟练掌握完全平方公式是解题关键． 【变式3-4】一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，这个两位数记作；一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作． 【基础设问】 （1）泉小五发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全泉小五的证明思路． 证明：∵①______②______， 又∵代数式②，都能被3整除， ∴能被3整除． （2）能被11整除吗？请说明理由； 【拓展设问】 （3）泉小五又看到如下的阅读材料： 割尾法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去m的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 泉小五不明白该方法的道理，请你帮帮他．证明：若是7的倍数，则能被7整除． 【答案】（1）；或；（2）能被11整除，理由见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，新定义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据题意完成证明过程即可； （2）根据即可得证． （3）根据题意得到即可． 【详解】解：（1）证明：∵①②， 又∵代数式②，都能被3整除， ∴能被3整除． 故答案为：；或；    (2)能被11整除，理由如下：    ，    能被11整除；    (3) ， ，    设，    ，              能被7整除． 【变式3-5】教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题． 例如：分解因式 求代数式的最小值，． 当时，有最小值，最小值是， 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：__________． （2）当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． （3）若，求出a，b的值． 【答案】（1）（x+1）（x-5）；（2）x=-1，最大值为5；（3）a=2，b=1 【分析】（1）根据题目中的例子，可以将题目中的式子因式分解； （2）根据题目中的例子，先将所求式子变形，然后即可得到当x为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值； （3）将题目中的式子化为完全平方式的形式，然后根据非负数的性质，即可得到a、b的值． 【详解】解：（1）x2-4x-5 =（x-2）2-9 =（x-2+3）（x-2-3） =（x+1）（x-5）， 故答案为：（x+1）（x-5）； （2）∵-2x2-4x+3=-2（x+1）2+5， ∴当x=-1时，多项式-2x-4x+3有最大值，这个最大值是5； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴a-2b=0，b-1=0， ∴a=2，b=1． 【点睛】本题考查非负数的性质、因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用因式分解的方法和非负数的性质解答． 能力提升 一、单选题 1．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，判断每个选项是否将多项式化为几个整式的积的形式．本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题的关键． 【详解】解：选项A，，是对单项式的拆分，不是因式分解，故该选项不符合题意； 选项B，，是整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； 选项C，，是因式分解，故该选项符合题意； 选项D，，不是整式，原变形不是因式分解，故该选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知，求的值．（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法因式分解是解决此题的关键．先因式分解，然后利用整体代入法求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 故选：D． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，相邻两边长为的长方形的周长为14，面积为10，则的值为（   ） A．260 B．290 C．360 D．390 【答案】B 【分析】本题既考查了对因式分解的应用，先把所给式子提取公因式，再整理为与题意相关的式子，代入求值即可． 【详解】解：根据题意得：，， 则 ． 故选：B． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，两个正方形的边长分别为a，b，若，则阴影部分的面积为（    ） A．20 B．16 C．14 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；由题意易得阴影部分的面积为，然后代入进行求解即可． 【详解】解：阴影部分的面积为， ∵， ∴； 故选C． 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则的值为（   ） A．14 B．21 C．49 D．56 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，幂的乘方和积的乘方，先利用幂的乘方与积的乘方得到原式，再利用平方差公式计算，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 6．（25-26八年级上·山东·课后作业）若是的一个因式，则的值为（    ） A．4 B．1 C． D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，由已知中的两个因式，发现它们的关系符合平方差的形式是解题的关键． 根据多项式结构特点整理，判断出是运用平方差公式进行的分解，即可求解． 【详解】解：，它的一个因式 分解时是利用平方差公式， ． 故选：C． 7．（25-26八年级上·重庆·开学考试）将代数式分别标记在4个形状大小质地等完全相同的卡片上，随机打乱后一一摸出，并将摸出的卡片上的代数式分别标记为，记（其中），则下列说法正确的个数为（   ） ①至少存在一种组合，使得； ②当时，的最大值为； ③化简之后一共有2种不同的结果． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减，因式分解的应用，并考查了分类讨论思想，根据题意分不同的情况，依次化简并做判断即可．．通过分析四个代数式在时的大小关系及不同组合下的绝对差之和，逐一验证各说法． 【详解】若将四个代数式分为两对：，和，x， ， ， 当时，结果恒为2，存在组合使，故①正确； 又在时取得最大值， 当时，的最大值为，故②正确； 若将四个代数式分为两对：，和，x，则， 若将四个代数式分为两对：，和，x，则， 若将四个代数式分为两对：，和，，则， 因此，A仅有两种不同结果，故③正确； 综上，三个说法均正确， 故选D． 8．（24-25九年级下·江西·期末）已知，则的值为：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查的因式分解，利用因式分解将已知条件化简，再通过展开目标表达式并合并同类项，发现其与已知条件中的代数式相等，从而得出结果． 【详解】已知 化简 由已知条件可知该式值为3 故选：C． 9．（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）一个两位数，其中，、为正整数，下列说法 ①的最大值为； ②若，则的值可能为； ③当为质数时，不存在，使． 其中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用，由可得，进而可得，即得是合数，得到，即得到的最大值为，即可判定①和③；由得，得到，可得是的倍数，即可判定②，据此即可求解，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴是合数， ∵， ∴， ∵的最大值为， ∴的最大值为，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是的倍数， ∴的值不可能为，故②错误； ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴是合数， ∴当为质数时，不存在，使，故③正确； ∴正确的个数为个， 故选：． 二、填空题 10．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）已知，，，则代数式的值是 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，根据题意正确的分解因式得出的值是解决问题的关键．根据的值，分别求出进而得出的值，即可得出答案． 【详解】解：， ，， ∴， ， ， ， ， ， 故答案为： 11．（2025八年级上·全国·专题练习）若，则M等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式除以单项式、因式分解等知识点，熟练掌握运算提取公因式进行因式分解是解题的关键． 根据题意可知：，然后再运用因式分解和多项式除以单项式即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知可因式分解为，其中均为正整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，提取公因式法分解因式，直接提取公因式，进而合并同类项得出即可．正确找出公因式是解题关键． 【详解】解： 可分解因式为，， 则， 故． 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26八年级上·全国·期末）“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了． 例如：分解因式． 解：将看成一个整体，令，则原式 ，将x还原得，原式． 请根据上述材料回答下列问题： (1)请补全横线上的步骤： ； (2)因式分解： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解和整体代换的思想． （1）对进行因式分解，可以直接套用完全平方公式； （2）观察到在式子中重复出现，考虑使用整体代换，设，原式就变成，化简后再进行因式分解，最后将m还原成即可． 【详解】（1）解：由完全平方公式可得：， 故答案为：． （2）解：令， 则原式 ， 将m还原， 原式． 14．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）通过整式乘法和因式分解的学习，我们知道可以用图形的面积来验证乘法公式，结合你的学习经验进行如下探究． (1)如图，总面积可以用各部分的面积之和表示为，还可以整体表示为___________，可以得到的数学等式为___________． (2)根据上述规律，对以下多项式进行因式分解． ① ② 【答案】(1)， (2)①② 【分析】此题考查了因式分解，多项式乘以多项式的几何应用，弄清阅读材料中的因式分解的结构特点是解本题的关键． （1）总面积还可以看成两边长分别为的大长方形的面积，根据面积相等求解即可． （2）仿照材料进行因式分解即可． 【详解】（1）解：总面积还可以整体表示为，可以得到的数学等式为， 故答案为：，； （2）解：①， ②． 15．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，，两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式． (1)若抽中的卡片是． ①求整式； ②当时，求整式的值； (2)若无论取何值，整式的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片． 【答案】(1)①；②4 (2)抽到的是卡片 【分析】此题考查整式的混合运算和因式分解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）①根据卡片各项改变符号后得出 ，再与整式相加，合并同类项即可； ②把代入整式C计算即可； （2）分抽中的卡片是B和抽中的卡片是A两种情况进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：①； ②当时，； （2）由（1）知，若抽中的卡片是，则． ，， 无论取何值，整式的值都是非负数； 若抽中的卡片是，则． ，， 无论取何值，整式的值都是非正数， 抽到的是卡片． 16．（2025·安徽六安·三模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个奇数的平方差是否能被8整除）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下： 能否被8整除 能 能 能 能 能 … … 按上表规律，完成下列问题： （ⅰ）____； （ⅱ）若是正整数，请用含的式子描述你能得出的一般性结论，并证明你的结论； (2)兴趣小组还猜测：相邻两个偶数的平方差不能被8整除．师生一起研讨，分析过程如下： 假设相邻两个偶数的平方差能被8整除．令一个偶数为（为正整数），则相邻的一个偶数可表示为，则（为正整数）．因为_____，所以_____，这与为正整数相矛盾，故相邻两个偶数的平方差不能被8整除． 阅读以上内容，请在横线上填写所缺内容． 【答案】(1)（ⅰ）48；（ⅱ）能被8整除，证明见解析 (2)（或）， 【分析】本题考查了数字类规律探索，因式分解的应用，掌握相关运算法则是解题关键． （1）（ⅰ）根据表中规律作答即可； （ⅱ）根据表中规律即可得出能被8整除；根据平方差公式化简，即可得解； （2）根据题中方法利用平方差公式化简即可求解． 【详解】（1）解：（ⅰ）； （ⅱ）能被8整除； 证明： ， 又是正整数， 能被8整除，结论成立； （2）解： ， ． 故答案为：（或），． 17．（2025·湖南益阳·模拟预测）（1）已知a，b，c为整数，且，若多项式能被多项式整除，求的值． （2）证明：两个不能被3整除的整数的平方差能被3整除． 【答案】（1）（2）见解析 【分析】本题主要考查因式分解、数的整除、整式除法等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题可知，进而用m表示a、b、c，进而代入求解即可； （2）由题意知不能被3整除的数被3除的余数只能是1或2分类讨论，①若两个不能被3整除的整数的余数分别为1，2，则可设这两个整数分别为，，其中，为整数．②若两个不能被3整除的整数的余数均为，则可设这两个整数分别为，其中，为整数．进而求证即可． 【详解】（1）解：由题意可知存在整数m，使得 即 所以，，， 所以； （2）证明：因为一个整数不能被3整除，那么其被3除的余数只能是1或 ①若两个不能被3整除的整数的余数分别为1，2，则可设这两个整数分别为，，其中，为整数． 所以，， 由，为整数，可知为整数． 所以，能被3整除． ②若两个不能被3整除的整数的余数均为，则可设这两个整数分别为，其中，为整数． 所以，， 由，及r为整数，可知为整数， 所以，能被3整除． 综上所述，结论成立． 18．（2025·江苏扬州·三模）【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①；② 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键． （1）利用如图1、图2，仿图3的“十字”可以对进行因式分解； （2）①利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解；②利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （3）①利用题中的“十字”可以对多项式进行因式分解；②利用如图4所示的“十字”可以对多项式进行因式分解为，然后结合有理数的乘法运算分析求解即可． 【详解】 解：（1）， ∴， ∴， 故答案为：． （2）①∵ ∴； ②∵ ∴， ∴， 故答案为：； （3）①根据题意得： ∴， 故答案为：； ②， ∴， ∴， ∵、均为整数， ∴为奇数，不能为3的倍数， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴． 19．（2025·宁夏银川·二模）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角分别是和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键． （1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可； （2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可； （3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到，整体代入得出答案即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） 根据题意得：， ∴原式． 1 / 51 学科网（北京）股份有限公司 $人教版八上 重难点题型突破 培优专题 专题09 因式分解四大题型目录 A · 重难点题型分类 题型1：因式分解中字母求参问题……………………………………………… 3 题型2：十字相乘法……………………………………………………………… 3 题型3：分组分解法……………………………………………………………… 6 题型4：因式分解的应用………………………………………………………… 9 B · 能力提升 ………………………………………………………………………… 13 知识梳理 1、公式及扩展：① 平方差公式： ② 完全平方公式： ③ 立方和公式：（a+b）（a2－ab+b2）=a3+b3 ④ 立方差公式：（a－b）（a2+ab+b2）=a3－b3 ⑤ 完全立方公式：（ab）3=a33a2b+3ab2b3 ⑥ 三项完全平方：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ⑦ 欧拉公式：（a+b+c）（a2+b2+c2－ab－bc－ca）=a3+b3+c3－3abc 2、十字相乘法： 1）二次项系数为1： 方法：拆常数项，凑一次项. 例：分解因式 1 2当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的负号与一次项系数的符号相同. 1 3 12+13=5 = = 分解因式 1 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因式的符号与一次项系数的符号相同. 1 1 11+1() =5 = = 2）二次项系数不为1： 方法：拆两头，凑中间. 分解因式当二次项系数为正数且常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同. 2 3 1 23+31 =9 = 分解因式当二次项系数为正数且常数项为负数时，应分解为两异号因数，其中绝对值较大的因式符号与一次项系数的符号相同. 2 － 3 1 2+31 = = 分解因式 2 －当二次项系数为负数时，先提出负号，再按照上面的方法求解. 3 1 2+31 = == = 重难点题型分类 【题型1：因式分解中字母求参问题】 【例1】多项式可分解因式为，那么等于（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】若多项式x2+mx+12因式分解的结果是（x﹣2)（x﹣6），则m的值是（    ） A．8 B．﹣4 C．﹣8 D．4 【变式1-2】已知是的一个因式，则 ． 【变式1-3】若关于的二次三项式的因式是和，则的值是 ． 【变式1-4】若多项式能分解成两个因式的积，且其中一个因式为，则的值为 ． 【题型2：十字相乘法】 【例1】下列四个多项式，可能是x2＋mx－3 （m是整数）的因式的是（   ） A．x－2 B．x＋3 C．x＋4 D．x2－1 【变式1-1】下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】分解因式： ． 【变式1-3】已知等式中，a、p、q都是整数，则符合条件的a的个数有 个． 【变式1-4】阅读下面材料，并回答相应的问题： 通过学习，我们了解了因式分解的两种基本方法：提公因式法，公式法．下面我们将探索因式分解的其它方法． (1)请运用多项式乘以多项式的法则填空： __________，____________， __________，__________． 从特殊到一般，探索规律进行推导，过程如下： ________________． (2)因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用（1）中的规律，我们可以得到一种因式分解的新方法：_________________（用字母等式表示）． 利用这种方法，请将下列各式因式分解： __________，___________， __________，___________． 【变式1-5】阅读理解： 阅读下列材料：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值． 解：设另一个因式是， 根据题意，得， 展开，得， 所以，解得， 所以，另一个因式是，a的值是-6． 请你仿照以上做法解答下题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 【变式1-6】请阅读下列材料，并完成相应的任务： （1）探究发现； 小明计算下面几个题目 ①；②；③；④后发现，形如的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律： ． （2）面积说明： 上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算发现这个规律是正确的，小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出右面图形说明他发现的规律． （3）逆用规律： 学过因式分解后，小明知道了因式分解与整式乘法是逆变形，他就逆用发现的规律对下面因式分解的多项式进行了因式分解，请你用小明发现的规律分解下面因式：． （4）拓展提升 现有足够多的正方形和矩形卡片（如图），试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重复，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为并利用你所拼的图形面积对进行因式分解． 【题型3：分组分解法】 【例1】阅读下面的材料： 常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫作分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)若多项式利用分组分解法可分解为，求的值． 【变式1-1】已知a，b为正整数，满足，则的最大值为（    ） A．28 B．43 C．76 D．78 【变式1-2】当时，代数式 【变式1-3】观察探究性学习小组的甲、乙两名同学进行的因式分解： 甲： （分成两组） （直接提公因式） 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请你在他们解法的启发下，完成下面的因式分解： (1) (2) 【变式1-4】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2﹣4y2﹣2x+4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式.后两项可提取公因式.前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题： (1)分解因式x2﹣2xy+y2﹣16； (2)△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状． 【变式1-5】先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等． 拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如： x2＋2x﹣3＝x2＋2x＋1﹣4＝（x＋1）2﹣22＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1） 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： （1）分解因式：x2﹣6x﹣7； （2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2 【变式1-6】先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、配方法（拆项法）、十字相乘法等等．分组分解法是将一个多项式适当分组后，再用提公因式或运用公式继续分解的方法． 如①和②： ① ② 请你仿照以上方法，探索并解决下列问题： （1）分解因式：； （2）两个不相等的实数m，n满足．若，，求和k的值． 【题型4：因式分解的应用】 【例1】已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 【变式1-1】已知，则代数式的值为（   ） A．30 B．36 C．42 D．48 【变式1-2】若，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】若，则 ． 【变式1-4】如果，，那么 ． 【变式1-5】已知均为质数，若是完全平方数，则的值为 ． 【例2】如图，大长方形由一个边长是a的小正方形和两个长、宽分别是a，b的小长方形组成．整个图形可表示出几个有关多项式因式分解的等式，其中错误的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】有4张长为，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则满足（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图有三种类型卡片A、B、C，现用A型卡片3张，B型卡片k张，C型卡片4张一起拼成一个长方形．当 时，这个长方形的周长最长为 ． 【变式2-3】我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图可以用来解释．现有足够多的正方形卡片1号，2号和长方形卡片3号，如图． (1)根据图B完成因式分解：___________： (2)现有1号卡片1张、2号卡片4张，3号卡片4张．在不重叠的情况下可以紧密地拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长为___________； (3)现要拼出一个面积为的长方形，则需要1号卡片___________张，2号卡片___________张，3号卡片___________张； (4)若，比较图中的两个正方形面积之和与两个长方形面积之和的大小关系．并说明理由． 【变式2-4】阅读材料： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解下面问题： (1)若x满足，求代数式的值． (2)若x满足，求代数式的值． (3)已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是35，分别以为边作正方形和正方形，且，求阴影部分的面积． 【例3】整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 下面是小明对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式 ． 请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【变式3-1】已知的三边长分别是，，且满足，判断此三角形的形状为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 【变式3-2】对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（    ） A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除 【变式3-3】下列四种说法中正确的有（　　） ①关于x、y的方程存在整数解． ②若两个不等实数a、b满足，则a、b互为相反数． ③若，则． ④若，则． A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④ 【变式3-4】一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，这个两位数记作；一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作． 【基础设问】 （1）泉小五发现：如果能被3整除，那么就能被3整除．请补全泉小五的证明思路． 证明：∵①______②______， 又∵代数式②，都能被3整除， ∴能被3整除． （2）能被11整除吗？请说明理由； 【拓展设问】 （3）泉小五又看到如下的阅读材料： 割尾法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去m的2倍所得的差为．若是7的倍数，则能被7整除． 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的倍数，所以364能被7整除． 泉小五不明白该方法的道理，请你帮帮他．证明：若是7的倍数，则能被7整除． 【变式3-5】教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题． 例如：分解因式 求代数式的最小值，． 当时，有最小值，最小值是， 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：__________． （2）当x为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． （3）若，求出a，b的值． 能力提升 一、单选题 1．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知，求的值．（   ） A． B．0 C．1 D． 3．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，相邻两边长为的长方形的周长为14，面积为10，则的值为（   ） A．260 B．290 C．360 D．390 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，两个正方形的边长分别为a，b，若，则阴影部分的面积为（    ） A．20 B．16 C．14 D．12 5．（25-26八年级上·全国·课后作业）若，则的值为（   ） A．14 B．21 C．49 D．56 6．（25-26八年级上·山东·课后作业）若是的一个因式，则的值为（    ） A．4 B．1 C． D．0 7．（25-26八年级上·重庆·开学考试）将代数式分别标记在4个形状大小质地等完全相同的卡片上，随机打乱后一一摸出，并将摸出的卡片上的代数式分别标记为，记（其中），则下列说法正确的个数为（   ） ①至少存在一种组合，使得； ②当时，的最大值为； ③化简之后一共有2种不同的结果． A．0 B．1 C．2 D．3 8．（24-25九年级下·江西·期末）已知，则的值为：（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）一个两位数，其中，、为正整数，下列说法 ①的最大值为； ②若，则的值可能为； ③当为质数时，不存在，使． 其中正确的个数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）已知，，，则代数式的值是 ． 11．（2025八年级上·全国·专题练习）若，则M等于 ． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知可因式分解为，其中均为正整数，则的值为 ． 三、解答题 13．（25-26八年级上·全国·期末）“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了． 例如：分解因式． 解：将看成一个整体，令，则原式 ，将x还原得，原式． 请根据上述材料回答下列问题： (1)请补全横线上的步骤： ； (2)因式分解： 14．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）通过整式乘法和因式分解的学习，我们知道可以用图形的面积来验证乘法公式，结合你的学习经验进行如下探究． (1)如图，总面积可以用各部分的面积之和表示为，还可以整体表示为___________，可以得到的数学等式为___________． (2)根据上述规律，对以下多项式进行因式分解． ① ② 15．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，，两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式． (1)若抽中的卡片是． ①求整式； ②当时，求整式的值； (2)若无论取何值，整式的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片． 16．（2025·安徽六安·三模）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“相邻两个奇数的平方差是否能被8整除）”的问题． (1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下： 能否被8整除 能 能 能 能 能 … … 按上表规律，完成下列问题： （ⅰ）____； （ⅱ）若是正整数，请用含的式子描述你能得出的一般性结论，并证明你的结论； (2)兴趣小组还猜测：相邻两个偶数的平方差不能被8整除．师生一起研讨，分析过程如下： 假设相邻两个偶数的平方差能被8整除．令一个偶数为（为正整数），则相邻的一个偶数可表示为，则（为正整数）．因为_____，所以_____，这与为正整数相矛盾，故相邻两个偶数的平方差不能被8整除． 阅读以上内容，请在横线上填写所缺内容． 17．（2025·湖南益阳·模拟预测）（1）已知a，b，c为整数，且，若多项式能被多项式整除，求的值． （2）证明：两个不能被3整除的整数的平方差能被3整除． 18．（2025·江苏扬州·三模）【阅读与思考】： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，用“十字相乘法”分解因式：________； 【理解与应用】请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）①________；②________； 【探究与拓展】 ①类比我们已经知道：． 反过来，就得到：． （3）请你仔细体会上述方法并尝试下面进行分解因式：①________； ②若、均为整数，且、满足，求的值． 19．（2025·宁夏银川·二模）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； 【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角分别是和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $