4.1整式（基础篇）讲义 2025-2026学年冀教版数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦整式核心知识点，系统梳理整式的概念（单项式与多项式统称），细化单项式的定义、系数、次数及注意事项，多项式的定义、项数、次数、命名规则，以及整式书写规范，形成从整体到局部的知识支架。 资料含思维导图辅助知识结构化呈现，练习题按单项式判断、多项式系数次数、字母求值等类型分层设计，注重通过定义辨析培养抽象能力，通过字母求值问题发展推理意识。课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固基础、查漏补缺，适合基础薄弱学生提升。

4.1整式 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 整式的概念 · 整式：单项式和多项式统称为整式。 · 整式是代数式的一部分，在整式中除数不能含有字母。 单项式 · 定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。 · 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。例如，的系数是(-5)。 · 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例如，的次数是。 · 注意：① 单项式的系数包括前面的符号；② 单独一个非零数的次数是(0)，如(5)的次数是(0)；③ 单独一个字母的次数是(1)，如(a)的次数是(1)。 多项式 · 定义：几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 · 项数：多项式中单项式的个数叫做多项式的项数。例如，多项式有三项，分别是，(-3x)，(1)。 · 次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。例如，多项式中，各项次数依次为(3)、(2)、(3)，所以这个多项式的次数是(3)。 · 多项式的命名：通常以多项式的次数和项数来命名，如是三次三项式。 整式的书写规范 · 数字与字母相乘时，数字要写在字母前面，乘号可以省略不写或用“·”表示。例如，应写成(3a)或，不能写成(a3)。 · 字母与字母相乘时，乘号可以省略不写。例如，应写成(ab)。 · 带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数。例如，应写成。 · 除法运算一般写成分数形式。例如，应写成（）。 · 多项式后面有单位时，若多项式是和或差的形式，要给多项式加括号。例如，((a + b))米不能写成(a + b)米。 型 习 练 题 单项式的判断、系数、次数 1．下列选项中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的定义，掌握单项式的核心特征：无加减运算、分母无变量．根据单项式的定义（仅由数字与字母的乘积构成，或单独的数字或字母，且分母中不含变量），选项A和D为多项式，选项B分母含变量，均不符合；选项C可化为常数与字母的乘积形式，符合定义． 【详解】∵单项式需满足：①数字与字母的乘积；②单独的数字或字母；③分母中不含变量． A．是二项式，含加法运算，不符合； B．分母含变量，不符合； C．，是常数与字母的乘积，符合； D．是二项式，含减法运算，不符合． ∴选项C是单项式． 故选：C． 2．下列判断错误的是（　　） A．是二次三项式 B．是多项式 C．中，系数是2 D．2024是单项式 【答案】C 【分析】本题考查单项式和多项式的相关定义，根据单项式、多项式及系数的定义判断各选项即可解答． 【详解】解：选项A：由常数项、一次项和二次项组成，是二次三项式，正确，不符合题意； 选项B：，是多项式，正确，不符合题意； 选项C：的系数为，不是2，错误，符合题意； 选项D：2024是单项式，正确，不符合题意． 故选：C． 3．单项式的系数和次数分别是（   ） A．3，2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的定义． 根据单项式的系数和次数的定义，系数是数字因数，次数是所有字母的指数之和． 【详解】解：∵单项式的数字因数是， ∴系数为， ∵字母的指数是1，的指数是2， ∴次数为， ∴系数和次数分别是和3， 故选：D． 4．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第10个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了单项式的系数和指数的规律，观察单项式的系数和指数的规律：系数符号交替，从负开始，系数的绝对值是奇数序列；指数与项数相同，据此求解即可． 【详解】解：∵按一定规律排列的单项式：，，，，，…， ∴第n个单项式的系数为，指数为n， ∴第n个单项式为． 当时，单项式为． 故选：B． 5．下列说法正确的是（    ） A．的系数，次数是4 B．的次数是6 C．是四次三项式 D．是单项式 【答案】C 【分析】本题考查了单项式与多项式的相关概念，解题的关键是明确单项式的系数、次数，多项式的次数、项数，以及单项式的定义． 逐一分析每个选项，根据单项式的系数、次数，多项式的次数、项数，以及单项式的定义判断正误． 【详解】A、单项式的系数是（包括π），次数是，选项错误； B、单项式的次数是，选项错误； C、多项式中，项次数为3，项次数为4，常数项次数为0，最高次数为4，且有三项，∴是四次三项式，选项正确； D、分母中含有字母，是分式，不是单项式，选项错误． 故选：C． 多项式的判断、项、项数、或次数 6．下列整式中是四次多项式的是（　 ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式的次数和项数．根据多项式的次数和项数即可得出答案． 【详解】解：A、是三次单项式，故该选项不符合题意； B、是二次单项式，故该选项不符合题意； C、是三次三项式，故该选项不符合题意； D、是四次三项式，故该选项符合题意； 故选：D． 7．下列选项正确的是（    ） A．是二次三项式 B．的系数是 C．单项式x的系数是1，次数是0 D．的次数是2 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式的次数、项数及单项式的系数、次数的定义，熟练掌握这些概念的定义是解题的关键．根据多项式的次数、项数，以及单项式的系数、次数的定义，逐一判断各选项的正误． 【详解】解：多项式中，最高次项是，次数为，项数为，它是二次三项式，故A项正确； 单项式的系数是，不是，故B项错误； 单项式的次数是，不是，故C项错误； 单项式的次数是，不是，故D项错误； 故选：． 8．多项式是几次几项式，下列说法中正确的是（   ） A．五次二项式 B．二次五项式 C．三次二项式 D．二次三项式 【答案】C 【分析】本题考查了多项式，熟练掌握多项式的项、次数的定义是解题的关键．多项式的次数由最高次项的次数决定，项数由单项式的个数确定． 【详解】解：∵多项式包含2个项：和， ∴是二项式， ∵中的指数为2，的指数为1，次数为； 中的指数为1，的指数为1，次数为， ∴最高次数为3， ∴该多项式是三次二项式， 故选：C． 9．下列说法正确的是（   ） A．是二次三项式 B．的常数项为1 C．的次数是6次 D．的系数是2 【答案】A 【分析】本题考查了单项式、多项式的相关基本概念等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据单项式和多项式的相关概念逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A：多项式中，最高次项是，次数为2，且有三项， ∴是二次三项式，正确，符合题意； B：多项式的常数项是，不是1， ∴错误，不符合题意； C：单项式即，次数为，不是6， ∴错误，不符合题意； D：单项式的系数是，不是2， ∴错误，不符合题意． 故选A． 10．多项式的一次项的系数是（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 根据多项式的相关定义解答即可． 【详解】解：多项式中，一次项为，系数为， 故选：B． 多项式系数、指数中字母求值 11．已知是关于x的二次多项式，则m的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． 多项式为二次多项式，需满足三次项系数为零且二次项系数不为零． 【详解】解：∵多项式是关于的二次多项式， ∴且． 由，得，即或． 当时，，不满足条件； 当时，，满足条件． ∴． 故选C． 12．若关于的多项式为二次三项式，则当时，这个二次三项式的值是（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式定义，代数式求值，熟练掌握多项式定义，是解题的关键．根据二次三项式的定义，多项式最高次项为二次且共有三项，因此三次项系数为零，且二次项指数为2，从而求出a和b的值，再代入计算多项式的值． 【详解】解：∵多项式为二次三项式， ∴三次项系数为零，即， ∴， 且最高次项为二次， ∴， 此时多项式为：， 当时，多项式的值为： ． 故选：D． 13．若多项式是关于的三次三项式，则，的值分别是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了多项式为三次三项式，则最高次项为三次，且项数为三；需使四次项系数为零以消除四次项，并确保三次项存在且二次项系数非零；据此即可求解； 【详解】解：∵ 多项式是关于 的三次式， ∴ 四次项系数为零，即 ，解得 ； 此时多项式为 ； ∵ 最高次项为三次， ∴ ，即 或 ； 又∵ 多项式是三项式，需确保二次项系数非零， 若 ，则 ，二次项消失，多项式仅为 ，两项，不符合； ∴ ，故 ； 验证：当 时，多项式为 ，是三次三项式； ∴ ，， 故选：B 14．如果是关于x、y的五次二项式，则正整数n的值有（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式的次数和项数的问题，要使表达式为五次二项式，需满足两项均存在（系数非零）且最高次数为5．第一项次数为，第二项次数为5，因此且，据此求解即可． 【详解】解：∵是关于x、y的五次二项式， ∴， ∴满足题意的正整数n有1，3，4，共3个， 故选：B． 15．如果多项式是关于x的四次三项式，那么的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数“次数最高的项的次数即为该多项式的次数”，熟记多项式的次数的定义是解题关键．根据多项式的次数可得，则可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵多项式是关于的四次三项式， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 整式的判断 16．下列式子a，，，，，π中，整式的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查整式的概念，关键是掌握整式的定义，注意分母中是否含有字母．根据整式的定义（分母中不含字母的代数式），逐个判断每个式子是否为整式． 【详解】∵整式是分母中不含字母的代数式， ∴a是单项式，分母无字母，是整式； 是常数，是整式； 系数为分数，但分母是数字，不是字母，是整式； 分母是数字2，不是字母，是整式； 分母是字母m，不是整式； π是常数，是整式． ∴整式有a、、、、π，共5个． 故选：C． 17．下列各式中，不是整式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的判断，理解整式的概念是关键． 整式分为单项式和多项式，单项式是由数和字母的积组成的代数式，单独的一个数或者一个字母也叫做单项式，多项式则是由多个单项式的和组成，逐项分析即可得到答案． 【详解】解：对于A，由数字和字母乘积组成，是整式，不符合题意； 对于B，分母中含有字母，是分式，不是整式，符合题意； 对于C，单独的一个数或者一个字母也是单项式，所以是整式，不符合题意； 对于D，由两个单项式相加得到，是整式，不符合题意． 故选：B． 18．代数式，0，，，，中，整式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查整式的定义，根据整式是分母中不含字母的代数式，包括单项式和多项式，逐一检查每个代数式是否符合定义即可． 【详解】解：是多项式，是整式； 0是单项式，是整式； 是单项式，是整式； 是多项式，是整式； 是多项式，是整式； 分母含字母x和y，不是整式． ∴整式共有5个． 故选：C． 19．关于多项式，下列说法错误的是（    ） A．它是七次三项式 B．常数项是 C．最高次项是 D．它是整式 【答案】C 【分析】本题考查多项式的相关概念，包括次数、项、常数项和整式的定义． 通过计算多项式的次数和项数，以及检查常数项，可以判断各选项的正误． 【详解】∵ 多项式为， ∴ 项包括：（次数为）、（次数为 ）、（次数为 ）， 故为七次三项式，A正确，不符合题意； 常数项为 ，B正确，不符合题意； 最高次项为 ，而非，故C错误，符合题意； 多项式是整式，D正确，不符合题意． 故选：C． 20．下列代数式中，不是整式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的定义，根据整式的定义，分母中不含字母的代数式是整式，由此逐一判断选项即可求解． 【详解】A、是单项式，分母无字母，是整式，不符合题意； B、是多项式，分母无字母，是整式，不符合题意； C、中分母是常数，不是字母，是整式，不符合题意； D、分母中含有字母，不是整式，符合题意． 故选：D． 写出满足条件的单项式 21．请写一个符合：①含有字母；②系数为；③次数为5的单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的系数和次数，根据单项式的系数为数字因式（包括符号），次数为所有字母的指数和，进行构造即可． 【详解】解：由题意，符合题意的单项式可以为； 故答案为：（答案不唯一） 22．写出一个同时满足下列条件的单项式：①只含有字母m、n；②次数3，③系数是．你写的单项式是 ． 【答案】或 【分析】本题考查单项式的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据系数、次数和字母的要求，构造符合条件的单项式． 【详解】解：∵单项式的系数为，只含有字母和，且次数为， ∴单项式的系数为，字母部分的指数和必须为， 满足条件的单项式为：或． 故答案为：或． 23．请写出一个系数为，且只含字母，的五次单项式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的系数和次数。要求系数为，只含字母和，且次数为，即和的指数之和为，据此写出一个单项式即可． 【详解】解：单项式的系数为，次数为， 字母和的指数之和必须为，且指数均为正整数， 可写出如、、、． 故答案为：． 24．有一单项式的系数是，次数为3，且只含有a，b，则这个单项式可能是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查单项式的概念，根据单项式的系数、次数和所含字母的要求，写出符合条件的单项式即可． 【详解】解：系数是，次数为，且只含有,的单项式可能是或． 故答案为：或． 25．系数为5，只含字母m、n的三次单项式有 个，它们是 ． 【答案】 2 、 【分析】本题主要考查单项式，熟练掌握单项式的概念是解题的关键；单项式的次数是所有字母指数的和，系数为5且只含字母m、n的三次单项式，要求字母部分同时包含m和n（即指数均大于0），因此m和n的指数之和为3且每个指数至少为1，满足条件的组合只有两种，然后问题可求解． 【详解】解：设单项式为，其中a和b为非负整数，且，由于字母部分必须同时包含m和n，故， ∴可能的情况为：或，对应的单项式分别为和；因此共有两个这样的单项式。 故答案为2；、． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1整式 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 整式的概念 · 整式：单项式和多项式统称为整式。 · 整式是代数式的一部分，在整式中除数不能含有字母。 单项式 · 定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。 · 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。例如，的系数是(-5)。 · 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例如，的次数是。 · 注意：① 单项式的系数包括前面的符号；② 单独一个非零数的次数是(0)，如(5)的次数是(0)；③ 单独一个字母的次数是(1)，如(a)的次数是(1)。 多项式 · 定义：几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 · 项数：多项式中单项式的个数叫做多项式的项数。例如，多项式有三项，分别是，(-3x)，(1)。 · 次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。例如，多项式中，各项次数依次为(3)、(2)、(3)，所以这个多项式的次数是(3)。 · 多项式的命名：通常以多项式的次数和项数来命名，如是三次三项式。 整式的书写规范 · 数字与字母相乘时，数字要写在字母前面，乘号可以省略不写或用“·”表示。例如，应写成(3a)或，不能写成(a3)。 · 字母与字母相乘时，乘号可以省略不写。例如，应写成(ab)。 · 带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数。例如，应写成。 · 除法运算一般写成分数形式。例如，应写成（）。 · 多项式后面有单位时，若多项式是和或差的形式，要给多项式加括号。例如，((a + b))米不能写成(a + b)米。 型 习 练 题 单项式的判断、系数、次数 1．下列选项中是单项式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列判断错误的是（　　） A．是二次三项式 B．是多项式 C．中，系数是2 D．2024是单项式 3．单项式的系数和次数分别是（   ） A．3，2 B． C． D． 4．按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第10个单项式是（   ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（    ） A．的系数，次数是4 B．的次数是6 C．是四次三项式 D．是单项式 多项式的判断、项、项数、或次数 6．下列整式中是四次多项式的是（　 ） A． B． C． D． 7．下列选项正确的是（    ） A．是二次三项式 B．的系数是 C．单项式x的系数是1，次数是0 D．的次数是2 8．多项式是几次几项式，下列说法中正确的是（   ） A．五次二项式 B．二次五项式 C．三次二项式 D．二次三项式 9．下列说法正确的是（   ） A．是二次三项式 B．的常数项为1 C．的次数是6次 D．的系数是2 10．多项式的一次项的系数是（   ） A．1 B． C．2 D．3 多项式系数、指数中字母求值 11．已知是关于x的二次多项式，则m的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 12．若关于的多项式为二次三项式，则当时，这个二次三项式的值是（   ） A． B． C．4 D．2 13．若多项式是关于的三次三项式，则，的值分别是（  ） A．， B．， C．， D．， 14．如果是关于x、y的五次二项式，则正整数n的值有（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 15．如果多项式是关于x的四次三项式，那么的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 整式的判断 16．下列式子a，，，，，π中，整式的个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 17．下列各式中，不是整式的是（   ） A． B． C． D． 18．代数式，0，，，，中，整式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 19．关于多项式，下列说法错误的是（    ） A．它是七次三项式 B．常数项是 C．最高次项是 D．它是整式 20．下列代数式中，不是整式的是（    ） A． B． C． D． 写出满足条件的单项式 21．请写一个符合：①含有字母；②系数为；③次数为5的单项式： ． 22．写出一个同时满足下列条件的单项式：①只含有字母m、n；②次数3，③系数是．你写的单项式是 ． 23．请写出一个系数为，且只含字母，的五次单项式： ． 24．有一单项式的系数是，次数为3，且只含有a，b，则这个单项式可能是 ． 25．系数为5，只含字母m、n的三次单项式有 个，它们是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $