18.1分式及其基本性质【十大考点+十大题型】-2025-2026学年人教版八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破

本初中数学讲义聚焦分式及其基本性质核心知识点，系统梳理分式的定义、有意义条件、基本性质及约分通分等内容，承接整式知识基础，为后续分式运算搭建学习支架。 资料通过十大题型探究结合各地月考期中真题，例题与变式训练并重，培养学生推理意识和抽象能力。高分达标分层练习覆盖选择填空解答，课中辅助教学实施，课后助力学生查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

18.1分式及其基本性质 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：分式的定义和意义 形如，是整式，中含有字母且不等于0的整式叫做分式.其中叫做分式的分子，叫做分式的分母. 知识点二：分式有关的条件和性质 1、分式有意义的条件：分母不等于0. 2、分式基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变. 字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。 知识点三：分式的约分、通分 1、约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分. 2、通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分. 3、.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式. 技巧归纳：. 分式的通分和约分：关键先是分解因式 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。 最简分式：分子与分母没有公因式的分式 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。 【题型探究】 题型一：分式的判断 【例1】．（25-26八年级上·湖南永州·月考）在、、、、、中分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】．（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）下列各式中：，，，，中，分式的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．（25-26八年级上·重庆荣昌·期中）在，，，，中，分式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二：分式有意义的条件 【例2】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）使分式有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（2025八年级上·全国·专题练习）若式子无意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）无论取什么值时，下列各式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 题型三：求分数为正（负）数时x的取值范围 【例3】．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）若分式的值是负数，则的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．且 【变式2】．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 题型四：判断分式的变形是否正确 【例4】．（25-26八年级上·北京通州·阶段练习）下列各式从左到右的变形一定正确的是 ． ①  ②  ③  ④ 【变式1】．（2025八年级上·全国·专题练习）下列变形：①；②；③；④；⑤．其中不正确的是 ．（请填写序号） 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）根据分式的基本性质填空： （1）；序号中应分别填 ； ； ． （2）；序号中应分别填 ； ； ． （3）；序号中应分别填 ； ； ． （4）．序号中应分别填 ； ； ． 题型五：利用分式基本性质判断分式值的变化 【例5】．（24-25八年级下·四川巴中·月考）若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，则分式的值 （①扩大到原来的3倍；②缩小到原来的；③不变）选择正确的序号． 【变式1】．（24-25八年级下·吉林长春·月考）若分式的值为3，将，都扩大2倍，则变化后分式的值为 ． 【变式2】．（23-24八年级下·江苏南京·期末）把分式中的值都扩大倍，则的值 ． 题型六：求分数为整数时x的取值范围 【例6】．（25-26八年级上·北京房山·期中）若分式的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是 ． 【变式1】．（24-25七年级上·上海·月考）已知x为整数，且分式的值为整数，则x可取的值是 ． 【变式2】．（22-23八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若分式的值为负整数，则所有满足条件的整数x的值的和为 ； 题型七：分式的分子分母各项系数化为整数 【例7】．（24-25八年级上·北京昌平·期中）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数， 【变式1】．（23-24八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使得分式的分子和分母的各项系数都是整数． （1） ；（2） ；（3） ． 【变式2】．（23-24八年级下·江苏南京·期中）不改变分式的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成整数，结果为 ． 题型八：最简分式 【例8】．（25-26八年级上·全国·课前预习）把下列分式化为最简分式： （1） ； （2） ． 【变式1】．（24-25八年级下·四川攀枝花·月考）下列各式中，最简分式有 个． ①②③④⑤⑥⑦ 【变式2】．（22-23八年级下·江苏常州·期中）有下列分式：①；②；③；④；⑤．其中是最简分式的有 ．（填序号） 题型九：最简公分母 【例9】．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）分式：的最简公分母是 【变式1】．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）分式，，的最简公分母是 ． 【变式2】．（25-26八年级上·广西来宾·阶段练习）分式，，的最简公分母是 ． 题型十：通分与约分 【例10】．（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)． 【例11】．（25-26八年级上·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)． 【变式3】．（24-25八年级下·全国·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式4】．（25-26八年级上·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26八年级上·广西贵港·期中）下列选项中的代数式，是分式的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·北京·期中）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东珠海·期末）下列分式中，最简分式的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山东烟台·期中）在分式中，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·重庆·期中）如果把中的与都扩大为原来的倍，那么这个代数式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的倍 D．扩大为原来的倍 6．（25-26八年级上·湖南永州·月考）下列说法正确的是（    ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式时， D．无论x为何值，的值总为正数 7．（25-26八年级上·北京·期中）下列式子的变形正确的是（） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·山东威海·期中）下列说法正确的是（    ） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 9．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）嘉琪的一次课堂练习如图所示，他做对的题目有（） 判断题，对的打“√”，错的打“×” ①代数式、都是分式（×） ②当时，分式无意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．②③④ B．①②⑤ C．①② D．③④⑤ 二、填空题 10．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤，是分式的有 ．（只填序号） 11．（25-26八年级上·湖南永州·期中）若分式的值为0，则x的值为 ． 12．（25-26八年级上·北京顺义·期中）如果分式的值是正数，那么的取值范围是 ，若分式的值为整数，则的整数值为 ． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）把，，通分后，各分式的分子之和为 ． 14．（25-26八年级上·河北邢台·期中）请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件： ①分式的值不可能为0； ②分母是含有字母m的一次二项式． 这个分式可以是 ． 三、解答题 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）在下列等式中，从等号的左边到右边是通过怎样的变形得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)与； (2)与； (3)，，． 17．（2025八年级上·河北·专题练习）利用分式的基本性质填空： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（25-26八年级上·山东·阶段练习）计算（约分）： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ (3)若分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么？ 20．（24-25八年级下·河南周口·月考）阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.1分式及其基本性质 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：分式的定义和意义 形如，是整式，中含有字母且不等于0的整式叫做分式.其中叫做分式的分子，叫做分式的分母. 知识点二：分式有关的条件和性质 1、分式有意义的条件：分母不等于0. 2、分式基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变. 字母表示：，，其中A、B、C是整式，C0。 拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含条件B0。 知识点三：分式的约分、通分 1、约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分. 2、通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分. 3、.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式. 技巧归纳：. 分式的通分和约分：关键先是分解因式 分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。 最简分式：分子与分母没有公因式的分式 分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。 最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。 【题型探究】 题型一：分式的判断 【例1】．（25-26八年级上·湖南永州·月考）在、、、、、中分式的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题主要考查了分式概念，关键是掌握分式的分母必须含有字母．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 根据分式的定义（分母中含有字母的代数式），逐一判断每个表达式是否为分式． 【详解】的分母为，含有字母，是分式． 的分母为，是常数，不含字母，不是分式． 的分母为，是常数，不含字母，不是分式． 的分母为，是常数，不含字母，不是分式． 的分母为，含有字母，是分式． 的分母为，含有字母，是分式． 分式有 3 个．故选B． 【变式1】．（2025八年级上·黑龙江哈尔滨·专题练习）下列各式中：，，，，中，分式的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，涉及知识点：分式是分母中含有字母的式子（注意π是常数）．根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式．逐一判断每个式子即可． 【详解】∵分式是分母中含有字母的式子， ∴分母含字母，是分式； 分母含字母，是分式； 是整式，不是分式； 分母含字母，是分式； 分母是常数，不是分式． ∴分式有3个． 故选：C． 【变式2】．（25-26八年级上·重庆荣昌·期中）在，，，，中，分式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 根据分式的定义（分母中含有字母的式子），判断每个表达式是否为分式即可． 【详解】解：∵分式是分母中含有字母的式子， ∴分母含字母，是分式； 分母是常数，不含字母，不是分式； 分母是常数，不含字母，不是分式； 分母是常数，不含字母，不是分式； 分母含字母和，是分式． ∴分式有个． 故选B． 题型二：分式有意义的条件 【例2】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）使分式有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件. 分式有意义的条件是分母不为零，因此需确保分母. 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母， 即， ∴. 故的取值范围是 . 故选：B. 【变式1】．（2025八年级上·全国·专题练习）若式子无意义，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式无意义的条件． 根据分式无意义的条件，即分母为0，进行求解即可． 【详解】解：分式无意义的条件是分母为零，由，得， 故选：C． 【变式2】．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）无论取什么值时，下列各式一定有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为零，据此逐项判断即可求解，掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、当 时，分母，此时分式无意义， ∴该分式不一定有意义，该选项不合题意； 、∵分母为 ， ∴该分式一定有意义，该选项符合题意； 、当 时，分母，此时分式无意义， ∴该分式不一定有意义，该选项不合题意； 、当 时，分母，此时分式无意义， ∴该分式不一定有意义，该选项不合题意； 故选：． 题型三：求分数为正（负）数时x的取值范围 【例3】．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）若分式的值是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据分式的值求字母的取值范围，由分式的值为正数且可得，据此即可求解，掌握平方的非负性和同号相除得正是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值是正数，且， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）若分式的值是负数，则的取值范围是（     ） A． B．或 C．或 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的值及一元一次不等式组的解法，熟练掌握分式的值及一元一次不等式组的解法是解题的关键；由题意易得或，然后进行求解即可． 【详解】解：由分式的值是负数，可分： 当时，解得：； 当时，解得：； 综上所述，满足条件x的取值范围为：或 故选C． 【变式2】．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式的值为正，则的取值范围是(    ) A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向． 根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， ∵分式的值为正， ∴， ∴， ∴且． 故选：D． 题型四：判断分式的变形是否正确 【例4】．（25-26八年级上·北京通州·阶段练习）下列各式从左到右的变形一定正确的是 ． ①  ②  ③  ④ 【答案】④ 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的基本性质． 利用分式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】解：根据分式的基本性质， ①该选项变形错误，不符合题意； ②，该选项变形错误，不符合题意； ③，当异号的时候，该选项变形错误，不符合题意； ④，该选项变形正确，符合题意； 正确选项为④， 故答案为：④． 【变式1】．（2025八年级上·全国·专题练习）下列变形：①；②；③；④；⑤．其中不正确的是 ．（请填写序号） 【答案】①②③ 【分析】此题考查分式的性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，据此依次判断即可，正确理解分式的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，，故①不正确，符合题意； ，故②不正确，符合题意； ，故③不正确，符合题意； ，故④正确，不符合题意； ，故⑤正确，不符合题意． 故答案为：①②③． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）根据分式的基本性质填空： （1）；序号中应分别填 ； ； ． （2）；序号中应分别填 ； ； ． （3）；序号中应分别填 ； ； ． （4）．序号中应分别填 ； ； ． 【答案】 【详解】解：（1），故答案为：，，； （2），故答案为：，，； （3），故答案为：，，； （4），故答案为：，，． 题型五：利用分式基本性质判断分式值的变化 【例5】．（24-25八年级下·四川巴中·月考）若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，则分式的值 （①扩大到原来的3倍；②缩小到原来的；③不变）选择正确的序号． 【答案】③ 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质将原式中的x和y都扩大到原来的3倍，然后约分即可． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大到原来的3倍得， 则分式的值不变， 故答案为：③． 【变式1】．（24-25八年级下·吉林长春·月考）若分式的值为3，将，都扩大2倍，则变化后分式的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】解：因为， 所以， 故答案为：3． 【变式2】．（23-24八年级下·江苏南京·期末）把分式中的值都扩大倍，则的值 ． 【详解】解：把分式中的值都扩大倍， 可得：， ∵， ∴如果把分式中的值都扩大倍，那么的值扩大为原来的倍． 故答案为：扩大为原来的倍． 题型六：求分数为整数时x的取值范围 【例6】．（25-26八年级上·北京房山·期中）若分式的值为正整数，则实数m可取的所有整数值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查分式的值为整数时求字母的取值．先对分式进行变形，然后根据分式值为整数的条件来确定m的取值． 【详解】解：∵， ∴是3的因数， ∵分式的值为正整数， ∴或， ∴或， ∵时，原分式无意义，舍去， ∴， 故答案为：0． 【变式1】．（24-25七年级上·上海·月考）已知x为整数，且分式的值为整数，则x可取的值是 ． 【答案】1或3或5 【分析】本题考查了分式的值，先化简得到原式，再根据为整数，从而得到x的值． 【详解】解：∵， ∴为，时，的值为整数， ∴解得或3或5或， ∵， ∴，， ∴x可取的值是1，3，5． 故答案为：1或3或5． 【变式2】．（22-23八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若分式的值为负整数，则所有满足条件的整数x的值的和为 ； 【答案】 【分析】先将分子和分母分解因式，再约分，然后根据题意确定x的值，且保证分母不等于0． 【详解】由，其中， 当时，原式=，解得； 当时，原式=，解得； 当时，原式=，解得； 当时，原式=，解得（舍去）． 所以符合题意的x的值的和为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式求值，注意分式有意义的条件是分母不等于0． 题型七：分式的分子分母各项系数化为整数 【例7】．（24-25八年级上·北京昌平·期中）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数， 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的数或整式，分式的值不变，据此把分式的分子分母同时乘以10即可得到答案． 【详解】解：把分式的分子分母同时乘以10得， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】．（23-24八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值，使得分式的分子和分母的各项系数都是整数． （1） ；（2） ；（3） ． 【答案】 【详解】解：（1）；故答案为： （2）；故答案为： （3），故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 【变式2】．（23-24八年级下·江苏南京·期中）不改变分式的值，把它的分子与分母中的各项系数都化成整数，结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 题型八：最简分式 【例8】．（25-26八年级上·全国·课前预习）把下列分式化为最简分式： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的约分，以及化为最简分式； （1）约去分子分母的公因式即可； （2）约去分子分母的公因式即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：． （2）； 故答案为：． 【变式1】．（24-25八年级下·四川攀枝花·月考）下列各式中，最简分式有 个． ①②③④⑤⑥⑦ 【答案】2 【详解】解：①是最简分式； ②，不是最简分式； ③不是分式； ④，不是最简分式； ⑤，不是最简分式； ⑥，不是最简分式； ⑦是最简分式； 综上分析可知：最简分式有2个． 故答案为：2． 【变式2】．（22-23八年级下·江苏常州·期中）有下列分式：①；②；③；④；⑤．其中是最简分式的有 ．（填序号） 【答案】④⑤ 【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：①，原式不是最简分式； ②，原式不是最简分式； ③，原式不是最简分式； ④，原式是最简分式； ⑤是最简分式； 综上分析可知，最简分式有④⑤． 故答案为：④⑤． 【点睛】本题主要考查了最简分式的定义，解题的关键是熟练掌握定义， 在化简结果中（利用约分的方法），分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式． 题型九：最简公分母 【例9】．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）分式：的最简公分母是 【答案】 【详解】解：分母系数分别为3、2、5，其最小公倍数为30， 分母字母的最高次幂为， 分母字母的最高次幂为， 分母字母的最高次幂为， 故最简公分母为． 故答案为：． 【变式1】．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【详解】解：分式、、的分母分别为、、． 其中可因式分解为， 因此所有分母的因式为和， 最简公分母为， 故答案为：． 【变式2】．（25-26八年级上·广西来宾·阶段练习）分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【详解】解：分式，，的最简公分母是， 故答案为： 题型十：通分与约分 【例10】．（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【详解】（1）解：， （2）解：， （3）解：，，． 【例11】．（25-26八年级上·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【变式3】．（24-25八年级下·全国·课后作业）通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)，， (3)，， (4)， 【详解】（1）解：分式的最简公分母是， 则， ． （2）解：分式的最简公分母是， 则， ， ． （3）解：分式的最简公分母是， 则， ， ． （4）解：， 分式的最简公分母是， 则， ． 【变式4】．（25-26八年级上·全国·课后作业）约分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26八年级上·广西贵港·期中）下列选项中的代数式，是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的代数式，据此即可求解； 【详解】解：根据分式的定义可知，为分式， 故选：B ． 2．（25-26八年级上·北京·期中）下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质和变形，熟记分式相关性质是解决问题的关键． 根据分式的性质，检查每个选项的等式是否成立，通过化简或代入值验证即可得到答案． 【详解】解：A：右边左边，分式变形错误，不符合题意； B：右边左边，除非或，分式变形错误，不符合题意； C：右边左边，除非，分式变形错误，不符合题意； D：，分式变形正确，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·广东珠海·期末）下列分式中，最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的判断，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，通过检查每个选项的分子和分母是否有公因式，即可判断； 【详解】解：∵ A：，分子分母有公因式2，可约分为，不是最简分式； B：  ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； C：  ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； D：，分母在实数范围内不可因式分解，与分子无公因式，是最简分式； 故选：D 4．（25-26八年级上·山东烟台·期中）在分式中，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握使分式有意义的条件是解题的关键． 分式的分母不能为零，据此列式求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故的取值范围是． 故选：C． 5．（25-26八年级上·重庆·期中）如果把中的与都扩大为原来的倍，那么这个代数式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的倍 D．扩大为原来的倍 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的计算原则是解题的关键． 将与都扩大为原来的3倍，代入代数式并化简，比较与原式的关系． 【详解】解：与都扩大为原来的3倍， 得：，，，，即与原式相等， 代数式的值不变； 故选：A． 6．（25-26八年级上·湖南永州·月考）下列说法正确的是（    ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式时， D．无论x为何值，的值总为正数 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题的关键是熟练掌握分式的相关概念与性质． 判断分式有意义需分母不为零；确定最简公分母取系数最小公倍数与字母因式最高次幂的积；分式值为零需分子为零且分母不为零；判断分式值的正负需分析分母的取值范围． 【详解】解：A、分式有意义的条件是，并非，此选项不符合题意； B、分式与的最简公分母是，并非，此选项不符合题意； C、当时，由得，但即，故，此选项不符合题意； D、因，故，此选项符合题意； 故选：D． 7．（25-26八年级上·北京·期中）下列式子的变形正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． 需检查每个选项的变形是否符合此性质． 【详解】A：∵， ∴A错误． B：∵， ∴B正确． C：∵，∴， ∴C错误． D：∵， ∴D错误． 故选：B． 8．（25-26八年级上·山东威海·期中）下列说法正确的是（    ） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义、分式的基本性质、分式值为0的条件和最简分式的概念．根据分式的定义判断A；根据分式的基本性质判断B；根据分式值为0的条件判断C；根据最简分式的定义判断D． 【详解】解：A． ∵ 分母π是常数，不是字母， ∴ 是整式，不是分式，故A错误． B． ∵ x，y都扩大3倍后，分式变为，值扩大3倍，故B错误． C． ∵ 分式值为0， ∴ 分子且分母． 由得，由得， ∴ ，故C正确． D． ∵ （），可约分， ∴ 不是最简分式，故D错误． 因此，正确的是C． 故选：C． 9．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）嘉琪的一次课堂练习如图所示，他做对的题目有（） 判断题，对的打“√”，错的打“×” ①代数式、都是分式（×） ②当时，分式无意义（√） ③若分式的值为0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．②③④ B．①②⑤ C．①② D．③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了分式的判断，分式有意义的条件，分式值为0的条件，分式的性质；逐一判断每个小题的正误，对比嘉琪的判断，找出他做对的题目． 【详解】解：①∵分母不含字母，不是分式，∴原题说法错误，嘉琪判断“×”正确． ②∵当时，分母，∴分式无意义，原题说法正确，嘉琪判断“√”正确． ③∵分式值为0需分子为0且分母不为0，分子得，但时分母为0，∴只有满足，原题说法错误，嘉琪判断“√”错误． ④∵分式变形需分子分母同乘除非零整式，此处加2不满足，如时两边不相等，∴原题说法错误，嘉琪判断“√”错误． ⑤∵分子与分母无公因式，∴是最简分式，原题说法正确，嘉琪判断“√”正确． 综上，嘉琪做对①、②、⑤． 故选：B． 二、填空题 10．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）下列各式：①；②；③；④；⑤，是分式的有 ．（只填序号） 【答案】①④ 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是紧扣分式定义中“分母含有字母"这一核心特征（注意是常数，不属于字母）．明确分式定义（分母含字母）；逐个分析式子分母是否含字母（排除等常数）；确定符合分式定义的序号． 【详解】分式的定义是形如 （、 是整式， 中含有字母且 ）的式子， ① ：分母含有字母，是分式； ② ：分母是常数，不是字母，不是分式； ③ ：是整式的和，不是分式； ④ ：分母 含有字母，是分式； ⑤ ：是单项式，不是分式． 故答案为：①④． 11．（25-26八年级上·湖南永州·期中）若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．根据分式的值为0的条件，分子等于0且分母不等于0． 【详解】解：分式的值为0，则分子， 解得或． 当时，分母，分式无意义； 当时，分母，满足条件． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·北京顺义·期中）如果分式的值是正数，那么的取值范围是 ，若分式的值为整数，则的整数值为 ． 【答案】 ， 【分析】本题考查根据分式的值，求参数的范围，根据分式的值为正数，得到，根据的值为整数，得到，求出的整数值即可． 【详解】解：∵的值为正数， ∴， ∴； ∵的值为整数， ∴， ∴； 故的整数值为； 故答案为：；． 13．（25-26八年级上·全国·课后作业）把，，通分后，各分式的分子之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分． 先将各分式的分母因式分解，确定最简公分母为，再通分得到各分式的分子，最后将分子相加并化简． 【详解】解：各分母分解因式： ， ， ， 可知最简公分母为． 的分子通分后为， 的分子通分后为， 的分子通分后为， 分子之和为： ． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·河北邢台·期中）请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件： ①分式的值不可能为0； ②分母是含有字母m的一次二项式． 这个分式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查最简分式、分式的值不为0以及分母的条件．根据题意，分子应为非零常数，分母为含有字母m的一次二项式，且分子与分母无公因式． 【详解】解：分式中，分子2为非零常数，因此分式的值不可能为0， 分母是含有字母m的一次二项式，且分子与分母无公因式，为最简分式． 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题 15．（25-26八年级上·全国·课后作业）在下列等式中，从等号的左边到右边是通过怎样的变形得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)分子和分母同时乘以 (2)分子和分母同时除以 (3)分子和分母同时乘以 (4)分子和分母同时除以 【详解】（1）解：分子和分母同时乘以； （2）分子和分母同时除以； （3）分子和分母同时乘以； （4）分子和分母同时除以． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)与； (2)与； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【详解】（1）解：最简公分母是，，； （2）解：最简公分母是，，； （3）解：最简公分母是，，，． 17．（2025八年级上·河北·专题练习）利用分式的基本性质填空： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)(4) 【详解】（1）解：： （2）解：； （3）解：； （4）解：． 18．（25-26八年级上·山东·阶段练习）计算（约分）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 19．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ (3)若分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么？ 【答案】(1)， (2)将变为原来的倍 (3)变为原来的倍 【详解】（1）解：当，时，， 当，时，； 故答案为：，； （2）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍； （3）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍． 20．（24-25八年级下·河南周口·月考）阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 【答案】(1)3；4(2)(3)3或 【详解】（1）∵， ∴若将分式拆分成（为整数），则，， 故答案为：3；4． （2）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，，解得， ． （3）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． ∵分式的值为负整数， ∴是整数， ∴或， 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 综上所述，分式的值为负整数，满足条件的整数的值为3或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $