18.5分式方程【十一大考点+十一大题型】-2025-2026学年人教版八年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破

本初中数学讲义聚焦分式方程核心知识点，系统梳理分式方程的定义、增根的双重条件、解法步骤，以及行程、工程、经济等实际应用类型。前承分式概念与整式方程解法，后启方程与函数综合应用，搭建从概念理解到实际建模的完整学习支架。 该资料以“题型探究+分层训练”为特色，涵盖定义辨析、解法应用、参数讨论等11类题型，例题与变式题结合强化理解。通过赛事经济、工程施工等真实情境题，培养学生用数学眼光观察现实问题，增根分析与参数求解训练逻辑推理的数学思维，实际应用题助力数学语言表达与模型意识养成。课中辅助分层教学，课后便于学生自主查漏补缺。

18.5分式方程 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：分式方程： 定义：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 知识点二： 增根： 分式方程的增根必须满足两个条件： （1） 增根是最简公分母为0；（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。 知识点三：分式方程的解法： 知识点四：分式方程解实际问题 （1）步骤：审题—设未知数—列方程—解方程—检验—写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行检验。 （2）应用题基本类型； a.行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题． b.数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． c.工程问题 基本公式：工作量=工时×工效． d. 顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v水． e．相遇问题 f追及问题 相遇路程＝速度和×相遇时间 追及距离＝速度差×追及时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和 追及时间＝追及距离÷速度差 速度和＝相遇路程÷相遇时间 速度差＝追及距离÷追及时间 g流水问题 h浓度问题 顺流速度＝静水速度＋水流速度 溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 逆流速度＝静水速度－水流速度 溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度 静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2 溶液的重量×浓度＝溶质的重量 水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2 溶质的重量÷浓度＝溶液的重量 利润与折扣问题 利润＝售出价－成本 利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比 折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1) 利息＝本金×利率×时间 税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%) 【题型探究】 题型一：分式方程的定义 【例1】．（24-25八年级下·上海）在方程：①，②，③， ④中，是分式方程的有（        ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【变式1】．（24-25八年级上·上海·阶段练习）下列关于x的方程中：①；②；③；④，分式方程有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 题型二：解分式方程 【例2】．（25-26八年级上·重庆·月考）解下列分式方程： (1)；(2)． 【变式1】．（25-26八年级上·山东威海·月考）解方程： (1) (2) 【变式2】．（25-26八年级上·重庆·期中）解分式方程 (1) (2) 题型三：分式方程的增根问题 【例3】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若关于的方程有增根．则增根为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）关于x的分式方程会产生增根，则m的值为（   ） A． B．6或 C．或4 D．6 【变式2】．（25-26八年级上·山东淄博·月考）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．或 B． C． D．或 题型四：根据分式方程的解求参数问题 【例4】．（25-26八年级上·山东淄博·期中）已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式1】．（25-26八年级上·重庆荣昌·期中）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【变式2】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）若关于的方程有非负实数解，关于的一次不等式组，有解，则满足这两个条件的所有整数的值的和是（   ） A． B． C． D． 题型五：分式方程无解问题 【例5】．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）若关于的分式方程无解，则需满足的条件是（  ） A．和 B． C． D．且 【变式1】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）关于x的分式方程无解，则n的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【变式2】．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知关于的分式方程，若这个方程无解，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 题型六：列分式方程 【例6】．（25-26八年级上·全国·期末）我国著名院士袁隆平被誉为“杂交水稻之父”，他在杂交水稻事业方面取得了巨大成就．某水稻研究基地统计，杂交水稻的亩产量比传统水稻的亩产量多400千克，总产量同为3000千克的杂交水稻种植面积比传统水稻种植面积少2亩．若设传统水稻亩产量为x千克，则下列方程正确的是（ ）（亩：市制土地面积计量单位） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）为缓解城市地面交通压力，提高人们出行的效率，某地准备扩建一条地铁路线，现要对沿线的地下管道进行改迁，为尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天比原计划多改迁，结果提前10天完成改迁任务．设实际每天改迁管道，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 题型七：分式方程的行程问题 【例7】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）某班组织学生从学校出发到科技馆参观．部分学生骑自行车先出发后，其余学生乘坐公交车前往，结果同时到达．已知学校到科技馆的路程是，如果公交车的平均速度是自行车平均速度的2倍，那么自行车和公交车的平均速度各是多少？ 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，A，B两海港相距，甲、乙两船同时从B港驶出．乙船直接驶向A港．甲船先驶向C海港，后到达C港，然后立即返回B港，驶达B港后，又立即驶向A港，最后与乙船同时到达A港．已知甲船的速度是乙船速度的倍，求甲、乙两船的速度．（水流速度不计） 题型八：分式方程的工程问题 【例8】．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）神舟二十一号载人飞船的成功发射，离不开高精度电子控制系统的支持，甲乙两组被分配了个飞船专用控制元件的生产任务，甲组独立生产了总量的三分之一后，乙组加入协作生产．已知乙组每天生产的元件数量是甲组的倍，整个生产任务共用天完成，问甲、乙两组每天分别能生产多少个专用控制元件? 【变式1】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）某化工厂采用机器人和机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运10千克，机器人搬运900千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，每小时分别搬运多少千克化工原料． 【变式2】．（25-26八年级上·山东烟台·期中）铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． (1)求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 题型九：分式方程的经济问题 【例9】．（25-26八年级上·山东威海·月考）2025年湘超联赛火爆三湘大地，赛事带动关联消费突破200亿元，印有联赛专属Logo和热门球员剪影的潮流短袖T恤成为球迷追捧的爆款单品．某体育用品店紧抓“赛事经济”风口，先用6000元购进一批该款T恤；因线下观赛客流激增、订单火爆，店铺紧急追加采购，用15000元购入第二批，所购数量是第一批的2倍，且受货源紧张影响，每件进价较第一批贵10元． (1)该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是多少元？ (2)如果两批T恤按相同标价销售，最后50件断码款按五折优惠清仓，要使两批T恤全部售完后（扣除450元快递及包装费用），利润率不低于，那么每件T恤的标价至少是多少元？ 【变式1】．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）某校积极响应国家“科教兴园”战略．开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A、B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多150元，用3500元购买A型机器人模型和用2100元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的2倍，问购买A型机器人模型至少为多少台？ 【变式2】．（25-26八年级上·重庆·期中）中秋节是中华民族的传统节日，每年节前，大家都有购买月饼的习惯．有一家超市准备购进甲、乙两种月饼以便出售给顾客，甲种月饼的进货单价是乙种月饼进货单价的倍．且用1000元购进甲种月饼的数量，比用900元购进乙种月饼的数量要少20盒． (1)甲、乙两种月饼的进货单价分别是多少？ (2)超市一共购进了甲、乙两种月饼共100盒，甲种月饼的售价定为50元，乙种月饼的售价定为30元，乙种月饼按计划按时卖完．甲种月饼卖了后．发现销售不理想，所以按原售价打8折后又卖出一部分，但直到中秋节过了后，还有5盒没有卖出，最后就按5元一盒的价格处理售出，如果售出这些月饼的利润不少于1490元，则甲种月饼至少要购进多少盒？ 题型十：分式方程的和差倍分问题 【例10】．（25-26八年级上·山东济宁·期中）【调查活动】 小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《市初中生阅读水平的现状》，随机走访了市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书册；②甲校比乙校人均图书册数多册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少． 【交流质疑】 小峰把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小峰同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． 【问题解决】 聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 【变式1】．（24-25八年级下·河北保定·期末）利用分式方程和不等式解决实际问题 小卓和小越一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的单价比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少一本． (1)求这种科普书和这种文学书的单价分别是多少元？ 根据题意，小卓和小越分别列出如下方程： 小卓：；小越：． 则小卓所列方程中的所表示的含义为______； 则小越所列方程中的所表示的含义为______； 请你选择上面两个方程中的一个进行解答． (2)若小明所在的学校图书室计划用不超过1200元的资金购进两种书共200本，最多购进科普书多少本？ 【变式2】．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车主要有纯电动汽车和油电混合动力汽车两种．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多分钟，且花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？ 题型十一：分式方程的综合问题 【例11】．（25-26八年级上·北京房山·期中）给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． (1)在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； (2)若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； (3)若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【变式1】．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知关于x的分式方程：． (1)当时，请解这个分式方程； (2)若该分式方程无解，求的值． 【变式2】．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知关于x的分式方程． (1)已知，求方程的解； (2)若该分式方程无解，试求的值． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．－1或 3．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）关于x的分式方程，下列说法正确的是（　　） A．时，方程的解为负数 B．方程的解是 C．时，方程的解是正数 D．以上都不对 4．（25-26八年级上·河北邢台·期中）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？ 若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（   ） A．只能表示绫布的长度 B．只能表示罗布每尺的价格 C．既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度 D．既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 5．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，则小敏通过路段时的速度是（   ） A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒 6．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）若关于的分式方程有整数解，则符合条件的整数所有值的和为（    ） A．4 B．3 C．8 D．7 7．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）李老师在多媒体上展示了一个关于x的方程，甲、乙、丙同学分别提出了自己的结论： 甲：当时，此方程的解为； 乙：若此方程有增根，则； 丙：当此方程的解是非负数时，k的取值范围是． 下列判断正确的是（   ） A．甲乙对，丙错 B．甲丙对，乙错 C．乙丙对，甲错 D．甲乙丙都对 8．（25-26八年级上·山东淄博·期中）若，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的所有a的取值之和为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 二、填空题 9．（25-26八年级上·湖南常德·期中）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是 ．（填序号） 10．（25-26八年级上·北京顺义·期中）已知关于的方程的解为0，则的值为 ． 11．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为 ． 12．（25-26八年级上·山东威海·期中）在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成米的地铁轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装米，结果提前6天完成了安装任务，设施工队原计划每天安装米，根据题意可列方程为 ． 13．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为 ． 三、解答题 14（25-26八年级上·全国·月考）解方程： (1)； (2)． 15．（25-26八年级上·重庆·期中）学校为了以新的面貌迎接学生返校，在暑假期间对学校的建筑外墙进行了粉刷维修．学校雇用了、两个施工队，施工队工作5天和施工队工作6天完成的粉刷量相同，施工队工作3天比施工队工作2天完成的粉刷量多160平方米． (1)求、施工队每天粉刷的面积分别是多少平方米？ (2)已知施工队比施工队每天的费用低，施工结束学校给每个施工队支付了36000元，若施工队比施工队多工作10天，则施工队每天的费用是多少元? 16．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“m”看不清楚：． (1)她把这个数“m”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“m”代表的数是多少． 17．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 18．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．冬季，我校组织学生赴正定城市馆参加研学活动．为了让学生切身体会城市之美来之不易，特设了种草实践活动．活动中1、2两班各需种植的草地，已知2班每小时比1班多种植的草地，1班完成任务所需要的时间是2班完成任务所需时间的倍． (1)求1、2两班每小时各种植多少的草地？ (2)制作活动开始1小时分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回．由于1班无法在规定时间完成，2班决定在完成本班任务后，立即帮助1班共同完成剩余任务．如果两班速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？请说明理由． 19．（25-26八年级上·山东威海·月考）若关于的分式方程的解为整数，关于的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数的值之和． 20．（25-26八年级上·北京·期中）观察下列等式：；；…… 根据以上规律，解决下列问题． (1)若为正整数，猜想_____； (2)计算：_____； (3)解关于的分式方程：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.5分式方程 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：分式方程： 定义：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 知识点二： 增根： 分式方程的增根必须满足两个条件： （1） 增根是最简公分母为0；（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。 知识点三：分式方程的解法： 知识点四：分式方程解实际问题 （1）步骤：审题—设未知数—列方程—解方程—检验—写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行检验。 （2）应用题基本类型； a.行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题． b.数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法． c.工程问题 基本公式：工作量=工时×工效． d. 顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v水． e．相遇问题 f追及问题 相遇路程＝速度和×相遇时间 追及距离＝速度差×追及时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和 追及时间＝追及距离÷速度差 速度和＝相遇路程÷相遇时间 速度差＝追及距离÷追及时间 g流水问题 h浓度问题 顺流速度＝静水速度＋水流速度 溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 逆流速度＝静水速度－水流速度 溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度 静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2 溶液的重量×浓度＝溶质的重量 水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2 溶质的重量÷浓度＝溶液的重量 利润与折扣问题 利润＝售出价－成本 利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比 折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1) 利息＝本金×利率×时间 税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%) 【题型探究】 题型一：分式方程的定义 【例1】．（24-25八年级下·上海）在方程：①，②，③， ④中，是分式方程的有（        ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的定义，分母中含有未知数的方程即为分式方程．逐一分析各方程分母是否含未知数即可判断． 【详解】解：方程①：，分母为和，均含未知数，故为分式方程． 方程②：，无分母，为整式二次方程，不是分式方程． 方程③：，分母为常数3和2，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程． 方程④：，分母为和，均含未知数，故为分式方程． 综上，分式方程为①和④， 故选：D． 【变式1】．（24-25八年级上·上海·阶段练习）下列关于x的方程中：①；②；③；④，分式方程有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程．熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程． 根据分式方程的定义逐一分析各方程是否符合条件． 【详解】方程①：，分母为a，但未知数是x，分母不含未知数，故不是分式方程． 方程②：，分母为和x，均含未知数x，是分式方程． 方程③：，分母为，是无理方程，不是分式方程． 方程④：，化简为，但原式分母为x，含未知数x，故属于分式方程． 综上，分式方程有②、④，共2个． 应选项B． 【变式2】．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可． 【详解】解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程； 故选：C． 题型二：解分式方程 【例2】．（25-26八年级上·重庆·月考）解下列分式方程： (1)；(2)． 【答案】(1)无解 (2) 【详解】（1）解： 去分母得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解； （2）解： 去分母得：， 解整式方程得：， 把代入得：， ∴是原方程的根． 【变式1】．（25-26八年级上·山东威海·月考）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．注意：解分式方程要检验． （1）方程两边同时乘，化简并求出x的值，再检验即可． （2）方程两边同时乘，化简并求出x的值，再检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘， 得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为； （2）解：， 方程两边同时乘， 得， 解得， 检验：当时，， ∴原方程无解． 【变式2】．（25-26八年级上·重庆·期中）解分式方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，包括去分母（方程两边同乘最简公分母）、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，最后要检验所得的根是否为增根． （1）方程两边同乘得到，去括号得到，通过移项，合并同类项后得到，从而得到x的解，再将所得的x的解进行检验，经检验该x的解为原方程的解； （2）方程两边同乘得到，去括号得到，通过移项，合并同类项后得到，从而得到x的解，再将所得的x的解进行检验，经检验该x的解为原方程的增根，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，所以该分式方程无解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． （2）解： ， ， ， ， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解． 题型三：分式方程的增根问题 【例3】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若关于的方程有增根．则增根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求分式方程的增根，分式方程的增根是使分式方程分母为零的未知数的值，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有增根， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）关于x的分式方程会产生增根，则m的值为（   ） A． B．6或 C．或4 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；分式方程产生增根时，增根为使分母为零的值，即或，代入去分母后的整式方程求解m即可． 【详解】解：方程两边同乘公分母，得： ， 化简得：， ∵增根为或， 当时，代入得：，解得； 当时，代入得：，解得； ∴m的值为6或； 故选B． 【变式2】．（25-26八年级上·山东淄博·月考）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，根据解分式方程的方法去分母，把分式方程化为整式方程；接下来把增根的值代入到整式方程中，就可以求出m的值． 【详解】解：， 去分母，得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴是分式方程的增根， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴或， 故选：A． 题型四：根据分式方程的解求参数问题 【例4】．（25-26八年级上·山东淄博·期中）已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解及解的取值范围，解题的关键是先将分式方程化为整式方程求解，再结合分式有意义的条件（分母不为0）和解的正负性确定参数范围． 先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解关于的表达式，再根据＂解为正数＂和＂分母不为0＂列不等式，最终确定的取值范围． 【详解】解：∵方程， 又∵， ∴， ∴原方程化为． 左边合并：， 两边同时乘以得：， 解得． 由，得，即． 又∵解为正数，∴，即，． 综上，且． 故选：D． 【变式1】．（25-26八年级上·重庆荣昌·期中）已知关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0，表示出分式方程的解是解本题的关键． 先求解分式方程，得到解，根据解为负数且分母不为零的条件，列出不等式和排除条件即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∴分母， ∴， ∵解为负数， ∴，即， 又∵， ∴，即， ∴且． 故选：B． 【变式2】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）若关于的方程有非负实数解，关于的一次不等式组，有解，则满足这两个条件的所有整数的值的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先将分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，根据分式方程有非负实数解，确定出的范围，再解不等式组，根据不等式组有解，确定出的范围，进而确定出的具体范围，求出所有满足题意整数的值，求出其和即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得， ∵分式方程有非负实数解， 故，， 解得且； ， 解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组，有解， ∴存在满足且， 故， 即； 综上，且． 故所有满足题意整数的值为：，，，，，，，， ∵． 故满足条件的所有整数的值的和是． 故选：A． 题型五：分式方程无解问题 【例5】．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）若关于的分式方程无解，则需满足的条件是（  ） A．和 B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，分式方程无解可能由于化简后的整式方程无解，或解为增根（使分母为零）．先简化方程，再讨论参数的取值． 【详解】解：， ， 即 ， ， 整理得， 当，即时，方程左边为，右边为，矛盾， 整式方程无解，原方程无解， 当时，，若此解使分母为零，则原方程无解，当时，即 ， 解得， 当或时，原方程无解， 故选：A． 【变式1】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）关于x的分式方程无解，则n的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数的取值范围，分式方程无解的情况包括：解出的根使分母为零（增根），或化简后的整式方程无解（矛盾），由此计算即可得解，熟练掌握分式方程无解的情况是解此题的关键． 【详解】解：去分母可得：， 移项并合并同类项可得：， ∵关于x的分式方程无解， ∴当，即时，原分式方程无解； 当时，， 当，即时，原分式方程无解； 综上所述，n的值为1或， 故选：C． 【变式2】．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知关于的分式方程，若这个方程无解，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式方程无解的情况，解题关键是熟练掌握解分式方程． 分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程矛盾（如非零常数），二是解出的根使原方程分母为零，先将方程化简为 ，再求解整式方程，并考虑分母不为零的条件． 【详解】解：原方程， 又， ， 方程化为，即， 两边同乘得，， 整理得，， ， ， 当时，， 方程无解的情况： ①当时，方程化为，即，矛盾，无解； ②当时，原方程分母为零，无解，即 ，解得，， 综上，或时方程无解． 故选：． 题型六：列分式方程 【例6】．（25-26八年级上·全国·期末）我国著名院士袁隆平被誉为“杂交水稻之父”，他在杂交水稻事业方面取得了巨大成就．某水稻研究基地统计，杂交水稻的亩产量比传统水稻的亩产量多400千克，总产量同为3000千克的杂交水稻种植面积比传统水稻种植面积少2亩．若设传统水稻亩产量为x千克，则下列方程正确的是（ ）（亩：市制土地面积计量单位） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程． 设传统水稻亩产量为x千克，则杂交水稻亩产量为千克，根据亩产量和种植面积的关系，杂交水稻种植面积比传统水稻少2亩，列出方程． 【详解】设传统水稻亩产量为x千克，则杂交水稻亩产量为千克 根据题意得，． 故选：B． 【变式1】．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）为缓解城市地面交通压力，提高人们出行的效率，某地准备扩建一条地铁路线，现要对沿线的地下管道进行改迁，为尽量减少施工对周边居民生活造成的影响，实际施工时，每天比原计划多改迁，结果提前10天完成改迁任务．设实际每天改迁管道，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据实际比原计划每天多改迁，提前10天完成，列出原计划天数与实际天数的差为10的方程． 【详解】解：设实际每天改迁管道， 由题意，得． 故选：A． 【变式2】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系，设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋，甲单价为，乙单价为，根据卖得钱数相同即可得方程． 【详解】解：设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋， 根据题意得， 故选：A． 题型七：分式方程的行程问题 【例7】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 【答案】(1)“朝阳号”的行驶速度是米/秒； (2)不能同时到达，理由见解析 (3)调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一） 【分析】本题主要考查列分式方程解应用题、有理数的混合运算的应用等知识点，根据题意确定等量关系、列出方程是解题的关键． （1）根据“天元号”行全程的与 “朝阳号”行全程的所用时间相等作为等量关系列分式方程求解即可； （2）分别利用“时间=路程÷速度”求出二者时间，然后比较时间即可解答； （3）根据“朝阳号”行30米与“天元号”行36米所用时间相等作为等量关系、列分方程求解即可． 【详解】（1）解：设“朝阳号”的平均速度为米/秒，则“天元号”的平均速度为米/秒， 由题意得：， 解得：，经检验是原方程的解． 答：“朝阳号”的行驶速度是米/秒． （2）解：不能同时到达，理由如下： 设调整后“天元号”的行驶路程为（米）， “天元号”到达终点所用的时间为（秒）， “朝阳号”到达终点所用的时间为（秒）， 两车不能同时到达． （3）解：设调整后“天元号”的平均速度为米/秒． ，解得：． 经检验是原方程的解． 答：调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一）． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）某班组织学生从学校出发到科技馆参观．部分学生骑自行车先出发后，其余学生乘坐公交车前往，结果同时到达．已知学校到科技馆的路程是，如果公交车的平均速度是自行车平均速度的2倍，那么自行车和公交车的平均速度各是多少？ 【答案】自行车的平均速度是，公交车的平均速度是 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设自行车的平均速度为，则公交车的平均速度为，根据题意找出等量关系“自行车的行驶时间公交车的行驶时间分钟”，列出方程求解即可． 【详解】解：20分钟小时， 设自行车的平均速度为，则公交车的平均速度为， ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解． ∴， 答：自行车的平均速度是，公交车的平均速度是． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，A，B两海港相距，甲、乙两船同时从B港驶出．乙船直接驶向A港．甲船先驶向C海港，后到达C港，然后立即返回B港，驶达B港后，又立即驶向A港，最后与乙船同时到达A港．已知甲船的速度是乙船速度的倍，求甲、乙两船的速度．（水流速度不计） 【答案】甲船的速度为, 乙船的速度为 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设乙船的速度为,则甲船的速度为，利用时间路程速度，结合从港到港乙船所用时间比甲船多,可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值 (即乙船的速度)，再将其代入中，即可求出甲船的速度． 【详解】解：设乙船的速度为,则甲船的速度为， 根据题意得： 解得：, 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答: 甲船的速度为, 乙船的速度为． 题型八：分式方程的工程问题 【例8】．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）神舟二十一号载人飞船的成功发射，离不开高精度电子控制系统的支持，甲乙两组被分配了个飞船专用控制元件的生产任务，甲组独立生产了总量的三分之一后，乙组加入协作生产．已知乙组每天生产的元件数量是甲组的倍，整个生产任务共用天完成，问甲、乙两组每天分别能生产多少个专用控制元件? 【答案】甲组每天生产个，乙组每天生产个 【分析】本题考查了分式方程的工程问题，解题关键是找准等量关系． 设甲组每天能生产个专用控制元件，则乙组每天能生产个专用控制元件，根据题中的等量关系列出分式方程求解，进而求得甲组每天生产个，乙组每天生产个． 【详解】解：设甲组每天能生产个专用控制元件， 则乙组每天能生产个专用控制元件， 可列方程为， 解得：， 经检验是所列分式方程的解， 所以乙组每天分别能生产个专用控制元件， 答：甲组每天生产个，乙组每天生产个． 【变式1】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）某化工厂采用机器人和机器人搬运化工原料，机器人比机器人每小时少搬运10千克，机器人搬运900千克所用时间与机器人搬运1000千克所用时间相等．求机器人，每小时分别搬运多少千克化工原料． 【答案】机器人A每小时搬运90千克化工原料，机器人B每小时搬运100千克化工原料． 【分析】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据“工作时间相等”这一等量关系列出分式方程． 设机器人A每小时搬运的重量为未知数，结合机器人B与A的搬运量关系表示出B的速度，再根据时间相等的条件列方程求解． 【详解】解：设机器人A每小时搬运千克化工原料，则机器人B每小时搬运千克化工原料， ， 解得：， 检验：当时，，所以是原方程的解， 则机器人B每小时搬运：（千克）． 答：机器人A每小时搬运90千克，机器人B每小时搬运100千克． 【变式2】．（25-26八年级上·山东烟台·期中）铁路局对京张高铁段某项工程进行招标，收到了甲乙两个工程队的标书，从标书中得知：甲队单独完成这项工作所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的，假设由甲队先做10天，剩下的工程再由甲乙两队合作30天恰好完成． (1)求甲乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为6.6万元，工程预算的施工费用为500万元，为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？假设不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】(1)甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天 (2)工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元 【分析】此题考查分式方程的应用，涉及方案决策问题，所以综合性较强． （1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解； （2）根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断． 【详解】（1）解：设乙队单独完成这项工程需x天，那么甲队单独完成这项工作所需天数是天, 根据题意得:， 解得：， 经检验：是原方程的解， ， 因此，甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天； （2）解：设甲队和乙队合作a天完成． 根据题意得：， 解得：， 需要施工费用：（万元）． ∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算40万元． 题型九：分式方程的经济问题 【例9】．（25-26八年级上·山东威海·月考）2025年湘超联赛火爆三湘大地，赛事带动关联消费突破200亿元，印有联赛专属Logo和热门球员剪影的潮流短袖T恤成为球迷追捧的爆款单品．某体育用品店紧抓“赛事经济”风口，先用6000元购进一批该款T恤；因线下观赛客流激增、订单火爆，店铺紧急追加采购，用15000元购入第二批，所购数量是第一批的2倍，且受货源紧张影响，每件进价较第一批贵10元． (1)该店铺购进第一批、第二批T恤每件的进价分别是多少元？ (2)如果两批T恤按相同标价销售，最后50件断码款按五折优惠清仓，要使两批T恤全部售完后（扣除450元快递及包装费用），利润率不低于，那么每件T恤的标价至少是多少元？ 【答案】(1)第一批进价40元，第二批进价50元 (2)元 【分析】本题考查分式方程的实际应用及不等式的实际应用，解应用题时需要理清楚数量关系，找到合适的量设未知数，根据题意列出方程或不等式，注意分式方程求解需要检验． （1）设购进第一批T恤衫每件的进价是元，根据两次购买数量关系列分式方程求解即可； （2）设每件T恤衫的标价是y元，通过利润率不低于列不等式，求解范围即可． 【详解】（1）设购进第一批T恤衫每件的进价是元，则第二批T恤衫每件的进价是元； 由题意得， 解得， 经检验为分式方程的解且符合题意， ， 答：购进第一批T恤衫每件的进价是40元，第二批T恤衫每件的进价是50元； （2）设每件T恤衫的标价是y元， 第一次购进件，第二次购进件， 利润为：， 利润率不低于， 则 解得， 答：每件T恤衫的标价至少是元． 【变式1】．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）某校积极响应国家“科教兴园”战略．开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A、B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多150元，用3500元购买A型机器人模型和用2100元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的2倍，问购买A型机器人模型至少为多少台？ 【答案】(1)A型机器人模型的单价为是375元，B型机器人模型的单价为是225元 (2)购买A型机器人模型至少为14台 【分析】本题考查了分式方程的应用，解一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设B型机器人模型的单价为x元，则A型机器人模型的单价为元，结合用3500元购买A型机器人模型和用2100元购买B型机器人模型的数量相同，进行列方程，解方程，最后验根，即可作答． （2）设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，根据购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的2倍，进行列不等式，即可作答． 【详解】（1）解：设B型机器人模型的单价为x元，则A型机器人模型的单价为元， 由题意可得 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ．， 答：A型机器人模型的单价为是375元，B型机器人模型的单价为是225元； （2）解：设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台， 由题意可得： 解得 又∵m为正整数， ∴购买A型机器人模型至少为14台． 【变式2】．（25-26八年级上·重庆·期中）中秋节是中华民族的传统节日，每年节前，大家都有购买月饼的习惯．有一家超市准备购进甲、乙两种月饼以便出售给顾客，甲种月饼的进货单价是乙种月饼进货单价的倍．且用1000元购进甲种月饼的数量，比用900元购进乙种月饼的数量要少20盒． (1)甲、乙两种月饼的进货单价分别是多少？ (2)超市一共购进了甲、乙两种月饼共100盒，甲种月饼的售价定为50元，乙种月饼的售价定为30元，乙种月饼按计划按时卖完．甲种月饼卖了后．发现销售不理想，所以按原售价打8折后又卖出一部分，但直到中秋节过了后，还有5盒没有卖出，最后就按5元一盒的价格处理售出，如果售出这些月饼的利润不少于1490元，则甲种月饼至少要购进多少盒？ 【答案】(1)乙种月饼的购进单价为15元，甲种月饼的购进单价为25元 (2)甲种月饼至少购进68盒 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用． （1）设乙种月饼的购进单价为元，则甲种月饼的购进单价为元，列分式方程求解后检验即可； （2）设甲种月饼需要购进盒，则乙种月饼购进盒，列一元一次不等式求出，根据为整数，求出m的最小值即可． 【详解】（1）解：设乙种月饼的购进单价为元，则甲种月饼的购进单价为元， 由题意得：， 解得：． 检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， ． 答：乙种月饼的购进单价为15元，甲种月饼的购进单价为25元； （2）解：设甲种月饼需要购进盒，则乙种月饼购进盒， 由题意可得： 解得： 为整数 答：甲种月饼至少购进68盒． 题型十：分式方程的和差倍分问题 【例10】．（25-26八年级上·山东济宁·期中）【调查活动】 小峰同学为了完成老师布置的社会活动作业：《市初中生阅读水平的现状》，随机走访了市的甲、乙两所初中，收集到如下信息： ①甲、乙两校图书室各藏书册；②甲校比乙校人均图书册数多册； ③甲校的学生人数比乙校的人数少． 【交流质疑】 小峰把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小峰同学没有收集到甲、乙两校的“人数”和“人均图书册数”等重要信息，没法进行系统研究． 【问题解决】 聪明的你有何看法？请你根据上述三个信息，就甲、乙两校的“人数”或“人均图书册数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 问题：甲、乙两校的人数各是多少？设乙校的人数为x人．根据“甲校比乙校人均图书册数多册”可列方程，即可； 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？设乙校的人均图书册数为x册．根据“甲校的学生人数比乙校的人数少”可列方程，即可． 【详解】解：问题：甲、乙两校的人数各是多少？ 设乙校的人数为人． 根据题意可列方程： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 人， 答：甲、乙两校的人数各是人、人． 问题：甲、乙两校的人均图书册数各是多少？ 设：乙校的人均图书册数为册．根据题意可列方程： 解得：， 经检验，是原方程得解，且符合题意， ， 答：甲、乙两校的人均图书册数各是册、册． 【变式1】．（24-25八年级下·河北保定·期末）利用分式方程和不等式解决实际问题 小卓和小越一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的单价比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少一本． (1)求这种科普书和这种文学书的单价分别是多少元？ 根据题意，小卓和小越分别列出如下方程： 小卓：；小越：． 则小卓所列方程中的所表示的含义为______； 则小越所列方程中的所表示的含义为______； 请你选择上面两个方程中的一个进行解答． (2)若小明所在的学校图书室计划用不超过1200元的资金购进两种书共200本，最多购进科普书多少本？ 【答案】(1)文学书的价格，文学书数量，这种科普书和这种文学书的单价各是7.5元和5元； (2)最多购进科普书80本 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）小卓：设文学书的价格为元，则科普书的价格为元，利用数量=总价÷单价，结合用15元购买科普书的数量比用15元购买文学书的数量少1本，即可得出关于的分式方程； 小越：设文学书买了本，则科普书买了本，利用等量关系：科普书单价=文学书单价×，即可得出关于的分式方程； （2）设购进科普书本，则购买本文学书，利用总价=单价×数量，结合总价不超过1200元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：小卓：设文学书的价格为元，则科普书的价格为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：这种科普书和这种文学书的单价各是7.5元和5元； ∴小卓所列方程中的所表示的含义为文学书的价格； 小越：设文学书买了本，则科普书买了本， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ，， 答：这种科普书和这种文学书的单价各是7.5元和5元； ∴小越所列方程中的所表示的含义为购买文学书的数量； 故答案为：文学书的单价；购买文学书的数量； （2）解：设购进科普书本，则购买本文学书， 依题意得：， 解得：． 答：最多购进科普书80本． 【变式2】．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车主要有纯电动汽车和油电混合动力汽车两种．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多分钟，且花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？ 【答案】该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是分钟和分钟． 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设该车每次换电池服务的时间是分钟，根据“花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等”列分式方程求解即可． 【详解】解：设该车每次换电池服务的时间是分钟，则完成加油服务的时间是分钟， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， （分钟）， 答：该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是分钟和分钟． 题型十一：分式方程的综合问题 【例11】．（25-26八年级上·北京房山·期中）给出定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“k相关系数”． 例如：当时，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对称为关于x的分式方程的一个“1相关系数”． (1)在数对①；②；③中，______（只填序号）是关于x的分式方程的“1相关系数”； (2)若数对是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，求t的值； (3)若数对（且）是关于x的分式方程的一个“1相关系数”，且关于y的方程有整数解，直接写出整数c的值． 【答案】(1)① (2) (3)或 【分析】本题考查了分式的新定义，熟练掌握定义是解题的关键． （1）根据定义，计算判断即可． （2）根据定义，分式方程的解为，代入方程求t的值即可． （3）根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”，得关于的分式方程的解是，回代方程，得，结合关于的方程的解为，且方程有整数解，解答即可． 【详解】（1）解：当，时，使得关于的分式方程的解是成立， 所以数对是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 故①正确； 当，时，使得关于的分式方程的解是， ， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故②错误； 当，时，使得关于的分式方程的解是， 无意义， 所以数对不是关于的分式方程的一个“1相关系数”； 故③错误； 故答案为：①； （2）解：根据定义，分式方程的解为， 故． 解得； （3）解：根据数对（且）是关于的分式方程的一个“1相关系数”， 得关于的分式方程的解是， 回代方程，得， 整理，得， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∵方程的解为， ∴， ∵方程有整数解， ∴ 当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 故或． 【变式1】．（25-26八年级上·湖南郴州·期中）已知关于x的分式方程：． (1)当时，请解这个分式方程； (2)若该分式方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）把代入方程计算即可求出解即可； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到，代入整式方程计算即可求出m的值． 【详解】（1）解：当时，原方程为：， 方程两边同乘以得：， ， ． 经检验：是这个方程的解． 所以原方程的解是． （2）解：方程两边同乘以得：， ， 因为这个方程无解，所以，所以， 将代入，得，所以． 【变式2】．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知关于x的分式方程． (1)已知，求方程的解； (2)若该分式方程无解，试求的值． 【答案】(1) (2)、1或3 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程求参数是解题的关键， （1）将代入，把分式方程去分母转化为整式方程，计算即可求出方程的解； （2）把分式方程去分母转化为整式方程，由于分式方程无解，得到或，解可求得一个的值，将，代入整式方程即可求出另外两个的值． 【详解】（1）解：当，方程为 方程两边同乘得：， 解得：， 检验：把代入最简公分母得： ∴是原分式方程的解． （2）解：方程两边同乘得： 整理得：， ∵原分式方程无解， ∴或， ①当时，； ②当时， 解得：或， 当时，； 当时，； ∴的值可能为、1或3. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）解分式方程时，去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程．先确定分式的最简公分母为，再把等式的左右两侧同时乘以即可． 【详解】解：等式两边同时乘以得，， 故选：C． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．－1或 【答案】C 【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数，分式方程无解的情况有两种：去分母后的整式方程无解，或解出的根是增根．先化简方程，再去分母得到整式方程，然后讨论参数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 去分母：， 展开：， 移项：， 整理得：． 方程无解时： 当且，即，此时方程左边为0，右边为，整式方程无解； 当解出的根为增根，代入整式方程：，解得． ∴或． 故选C． 3．（2025八年级上·江苏苏州·专题练习）关于x的分式方程，下列说法正确的是（　　） A．时，方程的解为负数 B．方程的解是 C．时，方程的解是正数 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式方程的解等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键，解分式方程 ，得到 ，但需满足分母不为零，即 ，从而 ，然后根据各选项条件判断． 【详解】解：∵ ，且 ， ∴ ，解得 ， 又∵ ， ∴ ，即 ， 当 时，方程无解， 对于选项A：当 时，，方程有解 ，且 ，故解为负数，A正确，符合题意； 对于选项B：当 时方程无解，故B错误，不符合题意； 对于选项C：当 时，若 无解，故解不一定为正数，C错误，不符合题意； 对于选项D：以上A正确，故不符合题意； 故选：A． 4．（25-26八年级上·河北邢台·期中）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？ 若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（   ） A．只能表示绫布的长度 B．只能表示罗布每尺的价格 C．既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度 D．既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为尺，根据题意可列方程，由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的，由此可知x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 【详解】解：根据题意，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为尺， 由“绫布和罗布各出售1尺共收入120文”可列方程为：， 由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的， 因此x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 故选：C． 5．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度.如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用22秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，则小敏通过路段时的速度是（   ） A．0.5米/秒 B．1米/秒 C．1.5米/秒 D．2米/秒 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出分式方程是解答本题的关键．设通过的速度是，根据米，小敏共用22秒通过路段，通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，进行列分式方程，解出x即可． 【详解】解：设通过的速度是， 根据题意可列方程： ， 解得， 经检验：是原方程的解且符合题意． ∴通过时的速度是1米/秒 故选B． 6．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）若关于的分式方程有整数解，则符合条件的整数所有值的和为（    ） A．4 B．3 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解，根据分式方程解的情况求字母的值；先去分母化简分式方程，再求解关于的方程，根据为整数且分母不为零的条件，确定的取值，最后求和. 【详解】解：， ， 两边同乘（）， ， ， 整理得：， ， ∵为整数且， ∴为的约数，即或或或， 当即，则， 当即，则（舍去）， 当即，则， 当即，则， ∴或4或0， 其和为. 故选：D. 7．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）李老师在多媒体上展示了一个关于x的方程，甲、乙、丙同学分别提出了自己的结论： 甲：当时，此方程的解为； 乙：若此方程有增根，则； 丙：当此方程的解是非负数时，k的取值范围是． 下列判断正确的是（   ） A．甲乙对，丙错 B．甲丙对，乙错 C．乙丙对，甲错 D．甲乙丙都对 【答案】A 【分析】本题考查解分式方程，掌握相关知识是解决问题的关键．首先将原方程化简，得到解 ，且需满足 （即 ）．然后分别验证甲、乙、丙的结论：甲当 时解为 ，正确；乙方程有增根时 ，正确；丙解为非负数时需 且 ，但丙只给出 ，错误． 【详解】解：原方程： ， 两边同乘 ， ， 简化得 ， ∴ ， ∴ ，且 即， ∴； 验证甲：当 时，，且 ，正确． 验证乙：增根为 ，代入解得 ， ∴ ，正确； 验证丙：解为非负数时 ，即 ， ∴ ，但需排除 （增根），丙未排除，错误； ∴ 甲乙对，丙错． 故选：A． 8．（25-26八年级上·山东淄博·期中）若，且关于x的分式方程有正整数解，则满足条件的所有a的取值之和为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，解题的关键是熟练解分式方程． 先解分式方程，得到，要求为正整数且，结合，求出所有符合条件的值，然后求和． 【详解】解：方程 ， 原方程可以化为， 方程两边同乘，得： ， 化简得： ， ， ， 为正整数且 ， 为正整数，且， 设，则，其中为正整数，且 又， ， 解得：， （ 为正整数）， （）， 对应值： 当，； 当，； 当，， 所以，所有值为 ， 其和为 ， 故选：A． 二、填空题 9．（25-26八年级上·湖南常德·期中）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是 ．（填序号） 【答案】③④⑤⑨ 【详解】解：方程①的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程②的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程③的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程④的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑤的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑥无分母或分母为常数，故不是分式方程； 方程⑦的分母为和，均为常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程⑧不是方程，故不考虑； 方程⑨的分母为和，均含有未知数，故是分式方程． 因此，分式方程为③④⑤⑨． 故答案为：③④⑤⑨． 10．（25-26八年级上·北京顺义·期中）已知关于的方程的解为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，熟知分式方程的解即为能使分式方程成立的未知数的值是解本题的关键． 将方程的解代入原方程，得到关于的分式方程，通过解分式方程得到的值，并验证分母不为零． 【详解】解：将代入方程， 得：，即， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：当时，， 故是原方程的解． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查实数的概念及分式方程的解法，熟练掌握实数的概念及分式方程的解法是解题的关键；根据新运算的定义，将方程转化为分式方程，通过分子为零求解即可． 【详解】解：由定义可知：， ∴， 解得； 经检验，当时，分母， 故是方程的解； 故答案为． 12．（25-26八年级上·山东威海·期中）在某一施工段内，施工队计划在一定时间内完成米的地铁轨道安装工作，安装3天后改进了安装技术，每天比原计划多安装米，结果提前6天完成了安装任务，设施工队原计划每天安装米，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列分式方程，找出等量关系，是解题的关键．根据题意，原计划总时间为天，实际前3天安装米，剩余米以每天米的速度安装，剩余时间为天，实际总时间为天，由于提前6天完成，根据原计划时间等于实际时间加提前时间，列出方程即可． 【详解】解：设施工队原计划每天安装米，改进技术后每天安装米，根据题意得： ． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为 ． 【答案】 且 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据至少有2个整数解，得到；再解分式方程，得到，由解为非负数且分母不为零，得到且；综合可得的取值范围． 【详解】解不等式组，得， ∵至少有2个整数解， ∴， 解得． 解分式方程，得， ∵解为非负数， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴． ∴的取值范围是 且． 故答案为： 且． 三、解答题 14（25-26八年级上·全国·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，解题关键是掌握解分式方程的步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）先两边同时乘以，转化为一元一次方程后求解并检验即可； （2）先去分母，再解一元一次方程，最后检验即可． 【详解】（1）解： ， 检验：当时，，故不是该方程的解， ∴该方程无解． （2）解： ， 检验：当时，，故是该方程的解， ∴该方程的解为． 15．（25-26八年级上·重庆·期中）学校为了以新的面貌迎接学生返校，在暑假期间对学校的建筑外墙进行了粉刷维修．学校雇用了、两个施工队，施工队工作5天和施工队工作6天完成的粉刷量相同，施工队工作3天比施工队工作2天完成的粉刷量多160平方米． (1)求、施工队每天粉刷的面积分别是多少平方米？ (2)已知施工队比施工队每天的费用低，施工结束学校给每个施工队支付了36000元，若施工队比施工队多工作10天，则施工队每天的费用是多少元? 【答案】(1)A施工队每天粉刷120平方米，B施工队每天粉刷100平方米 (2)A施工队每天的费用是1200元 【分析】（1）设A施工队每天粉刷x平方米，B施工队每天粉刷y平方米 根据题意，得，解答即可； （2）设施工队每天的费用为x元，则施工队每天的费用为元，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，熟练掌握解方程组，分式方程是解题的关键． 【详解】（1）设A施工队每天粉刷x平方米，B施工队每天粉刷y平方米 根据题意，得， 解得， 答：A施工队每天粉刷120平方米，B施工队每天粉刷100平方米． （2）解：设施工队每天的费用为y元，则施工队每天的费用为元， 根据题意，得， 解得（元）， 答：A施工队每天的费用是1200元． 16．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“m”看不清楚：． (1)她把这个数“m”猜成5，请你帮小华解这个分式方程； (2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：原分式方程无解．”请你求出原分式方程中“m”代表的数是多少． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解分式方程，分式方程无解问题，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键： （1）去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可； （2）去分母，将方程化为整式方程，根据方程无解，得到方程有增根，进行求解即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 解得； 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）， 去分母，得， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴，解得， 把代入，得，解得． 17．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 【答案】(1)购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元 (2)最多能购买个型号的纪念品 【分析】本题主要考查分式方程，不等式的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，结合题意列分式方程求解即可； （2）设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，由此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴， ∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元； （2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴， 解得，， ∴最多能购买个型号的纪念品． 18．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．冬季，我校组织学生赴正定城市馆参加研学活动．为了让学生切身体会城市之美来之不易，特设了种草实践活动．活动中1、2两班各需种植的草地，已知2班每小时比1班多种植的草地，1班完成任务所需要的时间是2班完成任务所需时间的倍． (1)求1、2两班每小时各种植多少的草地？ (2)制作活动开始1小时分钟后，张老师通知所有学生1小时后集中乘车返回．由于1班无法在规定时间完成，2班决定在完成本班任务后，立即帮助1班共同完成剩余任务．如果两班速度保持不变，他们能在乘车前完成任务吗？请说明理由． 【答案】(1)1班每小时种植的草地，2班每小时种植的草地 (2)他们不能在乘车前完成任务；理由见解析 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，分式方程的工程问题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． (1)设1班每小时种植，则2班每小时种植．根据“1班所需时间是2班的倍”，列出方程求解即可； (2) 先计算两班已工作1小时分钟后的剩余工作量，再计算2班完成本班剩余任务所需时间，之后两班合作完成1班剩余任务．判断合作时间是否能在乘车前(1小时内)完成． 【详解】（1）解：设1班每小时种植，则2班每小时种植．​ 由题意，1班完成任务时间为小时，2班为小时， 解得∶． 2班每小时种植 所以1班每小时种植，2班每小时种植． （2）计算两班能否在乘车前完成任务．​ 两班已制作1小时分钟=​小时． 此时1班完成， 剩余． 2班完成， 剩余． 此后2班需先完成本班剩余，用时​小时（即分钟）， 在2班完成本班剩余任务的分钟内，1班完成了． 此时距集中乘车还剩1小时−分钟=分钟=小时． 两班合作每小时可完成． 在最后的小时内，可共同完成． 但此时1班仍有未完成，而合作只能完成， 因此无法在乘车前完成任务． 答案：不能，因为1班还剩未完成，而两班合作在剩余时间内只能完成． 19．（25-26八年级上·山东威海·月考）若关于的分式方程的解为整数，关于的不等式组有且仅有2个偶数解，则所有满足条件的整数的值之和． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解和不等式组的整数解，理解题意是解题的关键． 先分别解分式方程和不等式组，再根据题意求出整数m的值，再求解． 【详解】解：分式方程可化为：， 解得：， ∵分式方程的解为整数， ∴为2的倍数，即m为奇数， 解不等式组，得， ∵关于y的不等式组有且仅有2个偶数解， ∴不等式组的偶数解为：2，0， ， 解得：， 满足条件的整数m的值为、、， 当时，，此时分式无意义，不合题意， ， 20．（25-26八年级上·北京·期中）观察下列等式：；；…… 根据以上规律，解决下列问题． (1)若为正整数，猜想_____； (2)计算：_____； (3)解关于的分式方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字的变化规律类问题，发现数列规律是解题的关键． （1）根据已知的算式进行归纳即可解答； （2）先根据（1）得出的规律拆项展开，再合并即可解答； （3）先根据（1）得出的规律拆项展开，再合并，最后解方程即可． 【详解】（1）解：； ； ； …… ． 故答案为：． （2）解： ． （3）解： ． 经检验，是原分式方程的解． 2 学科网（北京）股份有限公司 $