2026年九年级中考数学二次函数专项训练五

2026九年级中考数学二次函数专项训练五解析版 时间：100分钟 总分：120分 一、单选题（每题4分，共40分）。 1.下列函数中是二次函数的是（） A． B． C． D． 2.下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为（    ） A． B． C． D． 4.下列二次函数中，二次项系数是的是（   ） A． B． C． D． 5.下列说法错误的是（   ） A．一元二次方程的一次项系数是 B．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 C．将数字图案“69”旋转，得到的数字图案是“69” D．某商场一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共y万元，若每月的增长率相同，设每月的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为 6.若，，是抛物线图象上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7.已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 8.如图，抛物线的部分图像，对称轴为直线，则的值（    ） A．－3 B．－2 C．－1 D．0 9.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，过点作直线轴，将直线l下方的抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变，得到新图象，若直线和新图象恰好有3个交点，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 10.已知二次函数，则其顶点坐标为（  ） A． B． C． D． 2、 填空题（每题5分，共20分）。 11.如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，若点M是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值为 ． 12.如果点和点是抛物线（是常数，且）上的两点，那么 ．（填“”、“”或“”） 13.已知二次函数的图象上有三点、、，则、、的大小关系为 ． 14.若把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得抛物线解析式为 ； 3、 解答题（每题12分，共60分）。 15.已知抛物线的对称轴为直线． (1)若点在抛物线上，求的值； (2)若点，在抛物线上， ①当时，求的取值范围； ②若，且，求的取值范围． 16.已知某二次函数与自变量的部分对应值如表： 1 2 3 7 7 (1)求该二次函数的解析式； (2)求的值． 17.新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图，的三个顶点，，都在抛物线上，我们把叫做抛物线的内接三角形，抛物线叫做的外接抛物线．问题： (1)已知点，，求的外接抛物线的解析式； (2)如图，已知等边是抛物线的内接三角形，求顶点的坐标； (3)已知是抛物线的内接三角形，抛物线与轴交于点（在的左侧），当是等腰直角三角形时，求的面积． 18.二次函数的图象如图所示． (1)写出关于x的一元二次方程的两个根； (2)写出关于x的不等式的解集； (3)若关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，求k的取值范围． 19.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点A在原点左边，点B在原点右边，与y轴交于点，且．点P为抛物线上一动点，且P点横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)如果，垂足为C，求P点坐标； (3)过点P作轴于点M，当点P与点M都不与点C重合时，以，为边作矩形，设矩形的周长为l． ①求l与m的函数解析式； ②若对于l的每一个取值，都有两个m的值与它对应，直接写出l的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026九年级中考数学二次函数专项训练五解析版 时间：100分钟 总分：120分 一、单选题（每题4分，共40分）。 1.下列函数中是二次函数的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数的定义，形如的函数称为二次函数，逐一判断各选项是否符合定义即可． 【详解】解：二次函数的标准形式为， 选项A：，其中，是二次函数，符合题意； 选项B：，最高次项为3次，不是二次函数，不符合题意； 选项C：，为常数函数，无二次项，不是二次函数，不符合题意； 选项D：，为一次函数，不是二次函数，不符合题意． 故选：A． 2.下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，形如 的函数是二次函数．逐一判断每个函数是否符合定义即可． 【详解】解：①，是二次函数； ②，不是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数； ∴ 是二次函数的有①和③，共2个． 故选：B 3.若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质． 首先根据二次函数的定义，确定指数必须为2，求出m的可能值；再根据函数在时的增减性条件，判断开口方向，从而确定m的符号，得到m的值． 【详解】解：∵函数为二次函数， ∴指数， 解得， ∴． 又∵当时，y随x的增大而增大， 函数为， 当时，开口向下，在时y随x增大而增大， ∴，故． 故选：C． 4.下列二次函数中，二次项系数是的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数的一般形式为，其中a为二次项系数，直接比较各选项中的系数即可． 本题考查了二次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. 二次项系数是，不符合题意； B. 二次项系数是1，不符合题意 C. 二次项系数是，不符合题意；     D. 二次项系数是，符合题意； 故选：D． 5.下列说法错误的是（   ） A．一元二次方程的一次项系数是 B．若函数是关于x的二次函数，则m的值为 C．将数字图案“69”旋转，得到的数字图案是“69” D．某商场一月份的营业额为200万元，第一季度的营业额共y万元，若每月的增长率相同，设每月的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为 【答案】D 【分析】该题考查了一元二次方程的一般式，二次函数的定义和应用，旋转，根据以上相关知识点解答即可． 【详解】解：A：一元二次方程的一次项系数为，正确； B：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得，即， 当时，系数，不符合要求， ∴，正确； C：数字“69”整体旋转后，得到“69”，正确； D：第一季度的营业额包括一月、二月和三月， 一月为200万元，二月为万元，三月为万元， 总和， 而非，错误． 故选：D． 6.若，，是抛物线图象上的三点，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．先求出抛物线的对称轴，再由对称性得点关于对称轴的对称点的坐标，再根据抛物线开口向上，在对称轴右边，y随x的增大而增大，便可得出的大小关系． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∴关于直线的对称点， ∵， ∴抛物线开口向上，当时，随的增大而增大， ∵，，，， ∴， 故选：D． 7.已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数图象的性质可得关于对称轴的对称点为点，再由当时，y随x的增大而增大，即可求解． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的图象的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为点， ∵二次项系数， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点，都在二次函数的图象上，且， ∴． 故选：C 8.如图，抛物线的部分图像，对称轴为直线，则的值（    ） A．－3 B．－2 C．－1 D．0 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，解题关键是掌握二次函数的性质． 根据二次函数关于对称轴对称，可以求出与轴另一个交点坐标，再将坐标代入解析式中即可求解． 【详解】解：设抛物线与轴交点的横坐标为，， 由图像得，， 对称轴为直线， ，． 抛物线经过点． ． 故选：D． 9.如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，过点作直线轴，将直线l下方的抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变，得到新图象，若直线和新图象恰好有3个交点，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、求抛物线与y轴的交点坐标、折叠问题 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 求出点，可得直线为，再求出抛物线的顶点坐标为，可得点关于直线的对称点为，再根据直线和新图象恰好有3个交点，可得直线过点，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴点， ∵直线轴， ∴直线为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵将直线l下方的抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变， ∴点关于直线的对称点为， ∵直线和新图象恰好有3个交点， ∴直线过点， ∴， ∴，符合题意． 故选：B 10.已知二次函数，则其顶点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】将一般式转化为顶点式，即可得出结果． 本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为：， 故选：C． 2、 填空题（每题5分，共20分）。 11.如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，若点M是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积的最大值为 ． 【答案】4 【知识点】求一次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数以一次函数的综合应用，涉及二次函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，熟练掌握二次函数的最值的求解是解决本题的关键． 先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再通过设点的坐标，将四边形的面积表示为关于点横坐标的函数，最后根据二次函数的性质求出面积的最大值． 【详解】解：连接，过点作轴交于点， 令，则，因式分解可得， 解得，， 所以，， 那么． 令，则，所以． 设直线的解析式为， 把，代入可得， 将代入，得，解得， 所以直线的解析式为． 设，则． 所以． ， 其中． ． 则． 对于二次函数， 可得． 把代入， 可得． 故答案为：4． 12.如果点和点是抛物线（是常数，且）上的两点，那么 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了抛物线，掌握关于对称轴两点的纵坐标相等是解题的关键． 抛物线关于y轴对称，点A和点B的横坐标互为相反数，因此纵坐标相等． 【详解】解：由抛物线解析式，对称轴为y轴， 又， 点A和点B关于y轴对称， 则． 故答案为：． 13.已知二次函数的图象上有三点、、，则、、的大小关系为 ． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的增减性，关键是知识点的熟练应用； 先确定抛物线的对称轴和开口方向，再计算各点与对称轴的距离，根据二次函数的增减性判断函数值的大小． 【详解】解：∵二次函数 的对称轴为直线，且开口向上， ∴点 到对称轴的距离为， 点 到对称轴的距离为， 点 到对称轴的距离为， ∵抛物线开口向上，距离对称轴越远，函数值越大， 又∵， ∴， 故答案为：． 14.若把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得抛物线解析式为 ； 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的平移；将解析式化为顶点式，然后根据平移规律得出答案． 【详解】解：原抛物线的顶点为， 向左平移2个单位，顶点横坐标变为； 向上平移3个单位，顶点纵坐标变为， 故新顶点为， 由于平移不改变二次项系数，新解析式为． 故答案为：． 3、 解答题（每题12分，共60分）。 15.已知抛物线的对称轴为直线． (1)若点在抛物线上，求的值； (2)若点，在抛物线上， ①当时，求的取值范围； ②若，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】求一元一次不等式的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的顶点式， 对于（1），将点代入抛物线得，再根据抛物线的对称轴可得答案； 对于（2）①，当时求出，再将抛物线得关系式化为顶点式，然后分两种情况讨论得出答案； ②，先根据抛物线的性质可得，再将点代入抛物线的表达式整理得，然后根据与可得，接下来结合可得，进而得出答案． 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得 ， 则． ∵抛物线的对称轴为， ∴； （2）解：①当时，， 则抛物线，顶点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， 解得； 故答案为：； ②∵点在抛物线上，， ∴在对称轴的右边，且函数值y随着x的增大而增大， ∴． 将点代入抛物线的表达式，得 ， ，得， ∴． 由，得，则， 即，则． ∵， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 综上所述，． 16.已知某二次函数与自变量的部分对应值如表： 1 2 3 7 7 (1)求该二次函数的解析式； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查二次函数的解析式求解与对称性，涉及的知识点有二次函数的顶点式、抛物线的对称性．解题中用到的思想是对称思想（利用抛物线的轴对称性简化计算）；方法技巧是通过表格中对称的函数值确定对称轴，优先选择顶点式求解析式，再利用对称性求参数．解题关键是准确识别抛物线的对称轴，避免解析式设为一般式增加计算量．易错点是忽略函数值相等的点的对称性，或在解方程时计算失误． （1）通过表格中对称的函数值，确定抛物线的对称轴和顶点，设顶点式并代入已知点求出解析式； （2）利用二次函数中，函数值相等的两点关于对称轴对称的性质，结合对称轴建立方程求解t． 【详解】（1）（1）由表可得：二次函数的顶点坐标为：，经过点 设该二次函数的解析式为： 当时， ， 解得：． 该二次函数的解析式为： （2）（2）关于直线对称 解得：． 17.新定义：如果一个三角形的三个顶点都在同一条抛物线上，那么这个三角形叫做这条抛物线的内接三角形，这条抛物线叫做这个三角形的外接抛物线．例如：如图，的三个顶点，，都在抛物线上，我们把叫做抛物线的内接三角形，抛物线叫做的外接抛物线．问题： (1)已知点，，求的外接抛物线的解析式； (2)如图，已知等边是抛物线的内接三角形，求顶点的坐标； (3)已知是抛物线的内接三角形，抛物线与轴交于点（在的左侧），当是等腰直角三角形时，求的面积． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、已知抛物线上对称的两点求对称轴、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（）由点的坐标可得抛物线的对称轴为轴，设抛物线解析式为，利用待定系数法解答即可求解； （）设与轴交于点，由等边三角形的性质得，由抛物线的对称性得，，设，则，，即得，再把点坐标代入抛物线解析式求出的值即可求解； （）设抛物线的解析式为，抛物线的对称轴交于点，由抛物线和等腰直角三角形的对称性得，，，，可得，设，由对称轴为直线得点的坐标为，点的坐标为， 把坐标代入函数解析式由方程组可得，即得，，再根据三角形的面积公式解答即可求解． 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴抛物线的对称轴为直线，即轴， ∵在抛物线上， ∴设抛物线解析式为， 将代入，得， ∴， ∴的外接抛物线的解析式为； （2）解：设与轴交于点，如图， ∵为等边三角形， ∴， 由抛物线的对称性得，， 设，则， ∴， ∴， 将坐标代入，得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴，； （3）解：如图，设抛物线的对称轴交于点， 由抛物线和等腰直角三角形的对称性得，C为抛物线的顶点，，，， 设， ∵对称轴为， ∴点的坐标为，点的坐标为， 将点的坐标代入得， ， 整理得，， 解得或（不合，舍去）， ∴，， ∴． 18.二次函数的图象如图所示． (1)写出关于x的一元二次方程的两个根； (2)写出关于x的不等式的解集； (3)若关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了根的判别式和抛物线与x轴的交点问题． （1）根据抛物线与x轴的交点问题求解； （2）结合函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的取值范围即可； （3）利用直线与抛物线有两个交点确定k的取值范围． 【详解】（1）∵抛物线与x轴的交点坐标为，即或时，， 关于x的一元二次方程的两个根为； （2）∵当或时，， 关于x的不等式的解集为或； （3）∵抛物线顶点的纵坐标为2， 直线与抛物线只有一个交点， 当时，直线与抛物线有两个交点， 即时，关于x的一元二次方程有两个不等的实数根， 的取值范围为 19.如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点A在原点左边，点B在原点右边，与y轴交于点，且．点P为抛物线上一动点，且P点横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)如果，垂足为C，求P点坐标； (3)过点P作轴于点M，当点P与点M都不与点C重合时，以，为边作矩形，设矩形的周长为l． ①求l与m的函数解析式； ②若对于l的每一个取值，都有两个m的值与它对应，直接写出l的取值范围． 【答案】(1) (2)P点坐标为 (3)①；②或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、利用不等式求自变量或函数值的范围、线段周长问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）先根据C点坐标为，求得，再结合，求得，．设抛物线解析式为，将代入求得：，从而求得抛物线的解析式； （2）先求出的解析式为，再求得的解析式为，然后联立方程组得：，求得P点坐标为； （3）①分、、三段，分别求得与的函数解析式； ②根据l的函数图象,得出当或时，对于l的每一个取值，都有两个m的值与它对应． 【详解】（1）解：∵C点坐标为， ∴． ∵， ∴，． ∵点A在原点左边，点B在原点右边， ∴，． 设抛物线解析式为， 将代入得：． ∴． （2）∵，， ∴的解析式为． ∵， ∴的解析式为． 联立方程组得：， 解得或． 所以P点坐标为； （3）①，轴， ∴． 如图，当点P在y轴左侧， 当时， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴； 如图，当点P在直线上方，即时， 同理得：，， ∴； 如图，当点P在y轴右侧下方，时， 同理得：，， ∴． 综上，； ②l的函数图象如图所示，由图象可知： 当或时，对于l的每一个取值，都有两个m的值与它对应． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，利用不等式求自变量或函数值的范围，线段周长问题(二次函数综合)，其他问题(二次函数综合)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 学科网（北京）股份有限公司 $