专题十五 二次函数应用2026年中考一轮复习数学讲义

专题十五 二次函数应用 【题型一】增长率、利润问题 【例1】（2025•滁州三模）黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为a万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达y万元，若把增长率记作x，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝a（1+2x） B．y＝a（1+x）2 C．y＝a+a（1+x）+a（1+2x） D．y＝a+a（1+x）+a（1+x）2 【分析】由第一天的销售额及以后每天销售额的增长率，可得出第二、三天的销售额，再将三天的销售额相加，即可找出y关于x的函数关系式． 【解答】解：∵该地第一天销售额为a万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，增长率记作x， ∴第二天销售额为a（1+x）万元，第三天销售额为a（1+x）2万元． 根据题意得：y＝x+a（1+x）+a（1+x）2． 故选：D． 【变式1】（2025•云南校级模拟）某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出20本．设每本降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝（20﹣x）（300+10x） B．y＝（20﹣x）（300+20x） C．y＝（20﹣2x）（300+10x） D．y＝（20﹣2x）（300+20x） 【分析】根据降价x元，则售价为（20﹣x）元，销售量为（300+10x）本，由题意可得等量关系：总销售额为y＝销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可． 【解答】解：设每本降价x元，则售价为（20﹣x）元，销售量为（300+10x）本， 根据题意得，y＝（20﹣x）（300+10x）， 故选：A． 【变式2】（2025•垦利区三模）某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件．经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为x元，每天的销售利润为y元，则y与x的函数关系式为 y＝﹣5x2+175x﹣1250　 ． 【分析】当销售单价为x元时，每件学具的销售利润为（x﹣10）元，每天可销售（125﹣5x）件，利用每天的销售利润＝每件学具的销售利润×日销售量，即可找出y与x的函数关系式． 【解答】解：当销售单价为x元时，每件学具的销售利润为（x﹣10）元，每天可销售50﹣（x﹣15）×5＝（125﹣5x）件， 根据题意得：y＝（x﹣10）（125﹣5x）， 即y＝﹣5x2+175x﹣1250． 故答案为：y＝﹣5x2+175x﹣1250． 【变式3】（2025•大观区二模）某公司设计生产一种学生毕业纪念册，并投放市场，已知制造成本为18元/件，经过市场调查发现，销售单价为32元时，每月的销售量为36（万件）；销售单价为24元时，每月的销售量为52（万件）；如果每月的销售量y（万件）与销售单价x（元/件）成一次函数关系． （1）求每月销售量y（万件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式． （2）求每月的利润w（万元）与销售单价x（元件）之间的函数关系式（结果化为一般式）． 【分析】（1）由题意知，设y＝kx+b，当x＝32时，y＝36；当x＝24时，y＝52；代入解方程组即可求解； （2）根据利润等于单件利润乘销售量即可得到w关于x的函数关系式． 【解答】解：（1）设y＝kx+b，由条件可得， 解得， ∴y＝﹣2x+100； （2）由题意得w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣2x+100）， 整理得：w＝﹣2x2+136x﹣1800． 【题型二】拱桥、喷泉、投球问题 【例1】（2025•甘肃）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x（x＞0），则水流喷出的最大高度是（　　） A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m 【分析】把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值． 【解答】解：y＝﹣x2+2x（x﹣1）2+1（x﹣1）2， ∵﹣1＜0， ∴当x＝1时，y取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 【例2】（2025•巴中）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度h（m）与小球运动时间t（s）之间关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6）．有下列结论： ①小球运动时间是1s时，高度为25m； ②小球运动中高度可以是50m； ③当3≤t≤6时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】①当t＝1时，求出h的值即可判断； ②把函数解析式化为顶点式求出最大值即可判断； ③根据函数的性质即可判断． 【解答】解：①当t＝1时，h＝30﹣5＝25（m），故①正确； ②h＝30t﹣5t2＝﹣5（t2﹣6t）＝﹣5（t﹣3）2+45， ∵﹣5＜0， ∴当t＝3时，h由最大值，最大值为45m，故②错误； ③由②可知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线t＝3， ∴当3≤t≤6时，高度h随着时间t的增大而减小，故③正确， ∴正确的个数有2个， 故选：C． 【变式1】（2024秋•南宁期末）如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2.下列说法正确的是（　　） A．小球飞行1s时飞行高度为10m B．小球飞行高度为15m时，小球飞行的时间是3s C．小球飞行的最大高度达到25m D．小球从飞出到落地要用4s 【分析】根据函数表达式，t＝1时，可以求出h＝0的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程20t﹣5t2＝15的意义为h＝15时所用的时间，据此解答． 【解答】解：当t＝1时，h＝20t﹣5t2＝15， ∴小球飞行1s时飞行高度为15m． 故选项A不符合题意； 20t﹣5t2＝15的两根t1＝1与t2＝3，即h＝15时所用的时间， ∴小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s， 故选项B不符合题意； h＝20t﹣5t2＝20﹣5（2﹣t）2， ∴对称轴直线为：t＝2，最大值为20， 故选项C不符合题意； ∵当h＝0时，t1＝0，t2＝4， ∴t2﹣t1＝4， ∴小球从飞出到落地要用4s， 故选项D不符合题意． 故选：D． 【变式2】（2025•连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 　8　 m． 【分析】由题得A（0，1.6），代入y＝a（x﹣3）2+2.5，得出抛物线的解析式为，令y＝0，求解即可， 【解答】解：由题意，OA＝1.6m， 得A（0，1.6）， 将A（0，1.6）代入y＝a（x﹣3）2+2.5， 得：1.6＝a（0﹣3）2+2.5， 解得：， ∴， 令y＝0，得， 解得：x1＝8，x2＝﹣2， ∴OB为8m， 故答案为：8． 【变式3】（2025•陕西）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线型，水平横梁AC＝16m，L1的最高点B到AC的距离BO＝4m，L2，L3关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线L1的函数表达式； （2）已知抛物线L3的函数表达式为，，求MN的长． 【分析】（1）理解题意，先设抛物线L1的函数表达式为y＝a（x﹣0）2+4，结合二次函数的对称性得A（﹣8，0），C（8，0），再代入y＝a（x﹣0）2+4进行求解，即可作答； （2）理解题意，得出，再结合抛物线L1L3的函数表达式分别为y，代入y＝yN﹣yQ＝2，整理得x2﹣12x+36＝（x﹣6）2＝0，再解方程，可作答． 【解答】解：（1）∵BO＝4m， ∴抛物线L1的顶点B坐标为（0，4）， 设抛物线L1的函数表达式为y＝a（x﹣0）2+4， ∵AC＝16m， 结合二次函数的对称性得 A（﹣8，0），C（8，0）， 将C（8，0）代入y＝a（x﹣0）2+4， 得0＝64a+4， 则， ∴； （2）由（1）得抛物线L1的函数表达式， ∵MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC.，且抛物线L3的函数表达式为， ∴， 整理得x2﹣3（x﹣4）2＝24， ∴x2﹣3x2+24x﹣48＝24， ∴x2﹣12x+36＝（x﹣6）2＝0， 解得x1＝x2＝6， ∴MN＝2×6＝12（m）． 【题型三】图形问题 【例1】（2025•巴中）如图，计划用长为40m的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长25m）． （1）矩形围栏的面积为150m2时，三边分别长多少m？ （2）矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少m？ 【分析】（1）设垂直于墙的一边长xm，则平行于墙的边长为（40﹣2x）m，然后利用面积公式列出方程即可； （2）由长方形的面积公式建立二次函数，利用二次函数性质求出其解即可． 【解答】解：（1）设垂直于墙的一边长xm，则平行于墙的边长为（40﹣2x）m， 根据题意得：x（40﹣2x）＝150， 解得：x1＝5，x2＝15时， 当x＝5时，40﹣2x＝30＞25（不符合题意，舍去）， 当x＝15时，40﹣2x＝10＜25（符合题意）， ∴三边长分别为：15m、10m、15m； （2）设矩形围栏的面积为Sm2， 则S＝x（40﹣2x） ＝﹣2（x﹣10）2+200， ∵﹣2＜0， ∴当x＝10时，S有最大值，最大值为200， 当x＝10时.40﹣2x＝20＜25（符合题意）， ∴三边长分别为：10m、20m、10m． 【变式1】（2025•滨海新区校级模拟）如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为xm，面积为Sm2，其中AD≥AB．有下列结论： ①x的取值范围为5≤x≤10； ②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100m2； ③矩形菜园ABCD的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据墙长为18m，AD≥AB，列不等式组，解不等式组即可求出自变量x的取值范围，从而可判断①；根据矩形的面积＝100列出方程，解方程求x的值，可以判断②；利用二次函数求最值的知识可得出菜园的最大面积，可以判断③． 【解答】解：设这个菜园垂直于墙的一边AB的长为xm．则BC的长为（30﹣2x）米， ∵墙长为18m，AD≥AB， ∴ 解得， ∴x的取值范围为6≤x≤10， 故①错误； 根据题意得：x（30﹣2x）＝100， 解得x1＝5，x2＝10， ∵6≤x≤10， ∴x＝10， ∴AB的长有1个值满足该矩形菜园的面积为100m2， 故②错误； 根据题意得：S＝x（30﹣2x）＝﹣2x2+30x＝﹣2（x）2， ∵﹣2＜0，6≤x≤10， ∴当x时，S有最大值，最大值为， 故③正确． 故选：B． 【变式2】（2024•槐荫区二模）某农户想要用栅栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，另外三边用栅栏围成，若栅栏的总长为20m，设长方形靠墙的一边长为xm，面积为ym2，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（　　） A．y＝20x B．y＝20﹣2x C． D．y＝x（20﹣2x） 【分析】利用长方形面积等于长乘宽计算即可． 【解答】解：由题意得：长方形靠墙的一边长为xm，则平行墙的边长为（20﹣2x）m， ∴面积y＝x（20﹣2x）， 故选：D． 【题型四】实际问题综合应用 【例1】（2025•浙江）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．下列选项正确的是（　　） A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 D．点（15，85）在该函数图象上 【分析】依据题意，作PG⊥AB，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，得到PH2＝225当点Q运动到点G的时候，PQ2最小为81，HG＝m﹣1，勾股定理求出m的值，判断A；当x＝m时，点Q运动到点B，根据三线合一，得到BG＝HG，进而求出n的值，判断B；连接AP，勾股定理求出AP2的长，确定C的纵坐标，判断C；依据题意，求出x＝15时，可得点Q的位置，再利用勾股定理求出PK2判断D． 【解答】解：如图，作PG⊥AB于G，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，则由题意和图象可知PH2＝225，当点Q运动到点G的时候，PQ2最小，即：PG2＝81，HG＝m﹣1＝12． 在Rt△PGH中，由勾股定理，得225＝81+（m﹣1）2， ∴m＝13． ∴A错误． ∴AG＝m＝13，HG＝m﹣1＝12． 当x＝n时，点Q运动到点B，则PB2＝225＝PH2， ∴PB＝PH， ∵PG⊥AB， ∴BG＝HG＝12， ∴AB＝13+12＝25， ∴选项B错误． ∴当x＝0，即点Q在A点时， ∴AP2＝AG2+PG2＝132+81＝250． ∴点C的纵坐标为250． ∴选项C错误． 当x＝15时，点Q运动到点K， ∴AK＝15． ∴GK＝AK﹣AG＝2． ∴PK2＝KG2+PG2＝4+81＝85． ∴点（15，85）在该函数图象上． ∴选项D正确． 故选：D． 【变式1】（2025•山西）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为（0，75），点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过．如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm．仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【分析】（1）根据起跳点与落地点的距离为160cm，得到对称轴为直线x＝80，根据运动路线的最高点距地面60cm，得到顶点纵坐标为60，写出顶点坐标，列出顶点式，把（0，0）代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令y＝0，求出x的值，进而求出OQ的长即可； （3）设该平台的高度为kcm，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点（120，51），代入求解即可． 【解答】解：（1）由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝80，顶点纵坐标为60， ∴顶点坐标为（80，60）， 设抛物线的函数解析式为：y＝a（x﹣80）2+60， ∵图象过原点， ∴a（0﹣80）2+60＝0， 解得， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点（0，75）， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当y＝0时，， 解得：x1＝200，x2＝﹣40（舍去）， 故起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm； （3）设该平台的高度为kcm，由题意，设新的函数解析式为：， ∵AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm，仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过CD正上方3cm处，即抛物线经过点（80+40，48+3），即：（120，51）， ∴把 （120，51）代入，得：， 解得：k＝6； 故设该平台的高度为6cm． 【变式2】（2024秋•汉阴县期末）如图，一小球M从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数yx刻画，若小球到达的最高的点坐标为（4，8），解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）在斜坡OA上的B点有一棵树，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？ 【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，将顶点坐标和（0，0）代入即可进行解答； （2）先求出点B的纵坐标和当小球M在点B正上方时M的纵坐标，再比较树顶端离地面的高度和小球M离地面的高度即可． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k， ∵抛物线最高点坐标为（4，8）， ∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+8， 由图可知，抛物线经过（0，0）， ∴0＝a（0﹣4）2+8， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）把x＝2代入得：y＝1， ∴B（2，1），即点B到x轴的距离为1， ∵树高为4， ∴树顶端的高度为4+1＝5， 把x＝2代入， ∵5＜6， ∴小球M能飞过这棵树． 【课后练习】 1．（2025秋•濉溪县期中）某农户用一段长度为20m的旧围墙（围墙作为矩形一边，长度不可超出），再用总长40m的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆仅围另外三边）．设矩形垂直于旧围墙的一边长为xm，菜园的面积为ym2，则y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围正确的是（　　） A．y＝﹣2x2+40x（10＜x＜20） B．y＝﹣2x2+40x（10≤x＜20） C．y＝﹣x2+40x（10＜x＜20） D．y＝﹣2x2+40x（0≤x≤20） 【分析】求出矩形的另一边长，根据矩形的面积公式，列出二次函数关系式，根据矩形与墙平行的一边的长度大于0，小于等于20，求出自变量的范围即可． 【解答】解：根据题意可知矩形另一边长为（40﹣2x）m， 则：y＝﹣2x2+40x， 由条件可知10≤x＜20， ∴y＝﹣2x2+40x（10≤x＜20）； 故选：B． 2．（2025•富锦市二模）小明用一张长为20cm、宽为15cm的长方形纸片制作一个无盖的长方体盒子（如图），若剪去四个边长为xcm的正方形，则盒子的容积V（单位：cm3）与x的函数关系式为（　　） A．V＝（20﹣2x）（15﹣2x） B．V＝x（20﹣x）（15﹣x） C．V＝4x2（20﹣2x） D．V＝（20﹣2x）（15﹣2x）x 【分析】根据长方体的体积公式即可得出答案． 【解答】解：∵它的四个角都剪去一个边长为xcm的正方形，然后把它折成一个无盖的长方体盒子， ∴长为（20﹣2x）cm，宽为（15﹣2x）cm，高为xcm， ∴V＝（20﹣2x）（15﹣2x）x． 故选：D． 3．（2025•广西模拟）某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件．商场为了清库存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期的销售额W（元）与降价x（元）的函数关系为（　　） A．W＝（60+x）（300+20x） B．W＝（60﹣x）（300+20x） C．W＝（60+x）（300﹣20x） D．W＝（60﹣x）（300﹣20x） 【分析】根据让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，求得销售量为（300+20x），根据售价乘以销量得出销售额，据此即可求解． 【解答】解：依题意，每星期的销售额W（元）与降价x（元）的函数关系为W＝（60﹣x）（300+20x）， 故选：B． 4．（2025•武都区校级模拟）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系为 y＝﹣10x2+200x﹣360　 ． 【分析】根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×（50+10×降价）”列出函数关系式即可． 【解答】解：根据题意得：y＝（x﹣2）[50+10（13﹣x）] 整理得：y＝﹣10x2+200x﹣360． 故答案为：y＝﹣10x2+200x﹣360． 5．（2025•市南区一模）宏海公司对某种海产品进行推广，在网络平台上直播销售．已知该海产品的成本价格为每千克40元．经过调研，当销售单价为每千克60元时，每天能售出500千克．销售单价每降低1元，每天的销售量将增加10千克．若设该种海产品销售单价为每千克x元，公司每天直播销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为y＝﹣10x2+1500x﹣44000　 ． 【分析】根据公司每天直播销售的利润＝销售每千克的利润×销售数量，即可得出y与x之间的函数关系式． 【解答】解：根据题意得：y＝（x﹣40）[500+（60﹣x）×10]＝﹣10x2+1500x﹣44000． 故答案为：y＝﹣10x2+1500x﹣44000． 6．（2025•山东）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（200≤x＜1000）内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围（x≥1000）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．当x≥1000时，y随x的增大而减小 B．当x＝2000时，y有最大值 C．当y≥0.6时，x≥1000 D．当y＝0.4时，x＝600 【分析】结合图象可得可得抛物线的对称轴为直线x＝2000，可得函数的最值，进而可得y随x的变化情况以及给定y的值或者取值范围所对应的自变量及自变量的取值情况． 【解答】解：A、当x≥1000时，y随x的增大先增大，后减小，故A选项错误，不符合题意； B、∵抛物线过点（1000，0.6），（3000.0.6）， ∴抛物线的对称轴为：直线x2000， ∵抛物线的开口向下， ∴x＝2000时，y有最大值， 故B选项正确，符合题意； C、由图象可得：当y＝0.6时，x1＝1000，x2＝3000， ∴当y≥0.6时，1000≤x≤3000， 故C选项错误，不符合题意； D、由图象可得当y＝0.4时，x对应的值有2个，故D选项错误，不符合题意． 故选：B． 7．（2025•台湾）坐标平面上有二次函数y＝﹣（x+7）2+12的图形，今将此图形向右平移10单位，平移过程中此图形与y轴的交点也会跟着变化．假设此图形与y轴的交点为P，判断在平移过程中，P点位置的变化情形为下列何者？（　　） A．持续向下 B．持续向上 C．先向下再向上 D．先向上再向下 【分析】依据题意，根据“左加右减，上加下减”的平移规律，求出平移后的解析式，然后设此图形向右平移m单位（0＜m≤10），故新图象为y＝﹣（x+7﹣m）2+12，由此可得P'的纵坐标满足的关系式，从而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝﹣（x+7）2+12， ∴令x＝0，则y＝﹣37，即此时图象与y轴的交点P为（0，﹣37）． 又根据“左加右减，上加下减”的平移规律，设此图形向右平移m单位（0＜m≤10）， ∴新图象为y＝﹣（x+7﹣m）2+12． ∴图象与y轴交点P'为（0，﹣m2+14m﹣37）． 又∵﹣m2+14m﹣37＝﹣（m﹣7）2+12， ∴当m＝7时，P'的纵坐标取最大值12． 又∵0＜m≤10， ∴P点位置的变化先向上再向下． 故选：D． 8．（2025•广东）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785km，主缆最低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 【分析】先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到（0，0.0015）、A（0.85，0.18），设该抛物线的顶点式为y＝ax2+0.0015，将A（0.85，0.18）代入解方程即可得到答案． 【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线顶点坐标为（0，0.0015），， 即A（0.85，0.18）， 设该抛物线的表达式为y＝ax2+0.0015， 将A（0.85，0.18）代入y＝ax2+0.0015， 得0.18＝0.852a+0.0015， 解得， ∴该抛物线的表达式为． 9．（2025秋•重庆期中）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是　（60+10x）　 件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）根据原来每天售出的60件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润x销售数量＝销售利润即可列出方程，解方程即可得解； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元，根据每件的利润x销售数量＝销售利润即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【解答】解：（1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是 （60+10x） 件， 故答案为：（60+10x）； （2）设该款巴小虎吉祥物降价x元， 根据题意可得：（40﹣30﹣x）（60+10x）＝630， 整理可得：x2﹣4x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝3， 由于要让利于游客，x＝1 舍去， ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时文旅公司每天的利润是630元； （3）设该款巴小虎吉祥物降价x元， 则W＝（40﹣30﹣x）（60+10x） ＝（10﹣x）（60+10x） ＝﹣10x2+40x+600 ＝﹣10（x﹣2）2+640， ∵﹣10＜0， ∴当x＝2时，W取最大值为640元，此时销售价为38元， 答：售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元． 10．（2025•新疆）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【分析】（1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入（12，0）即可求解a，继而得到函数解析式； （2）先求出点A坐标，然后求出点A距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与0.5比较即可． 【解答】解：（1）由题意得，顶点为，即（6，8）， 设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+8（a≠0）， 代入点（12，0）得a（12﹣6）2+8＝0， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）能安全通过，理由如下： 如图， 由题意得：， 将x＝2代入， 则， ∵， ∴能安全通过． 11．（2025•盐城）【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种路线，如图1和图2所示． 【数学建模】小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图3所示，从A点击球，击球点是抛物线的最高点，点A到地面的距离AO＝2.4m，球网上端点B到地面的距离BC＝1.55m，人与球网之间的距离OC＝1.6m，假设两种击球路线都经过点B正上方0.05m处的点D，网前吊球和扣杀球的落点分别为点E，F． （1）请在图3中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． 【模型应用】 （2）网前吊球的落点到球网的距离CE的长是　（1.6）　 m； （3）甲在A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s，网前吊球时，羽毛球下降的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为h＝5t2.乙在看到甲击球的同时尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要0.5s．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【分析】（1）以O为坐标原点，OF所在的中线为x轴，OA所在的中线为y轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点E坐标，则OE可求，利用CE＝OE﹣OC解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【解答】解：（1）以O为坐标原点，OF所在的中线为x轴，OA所在的中线为y轴，建立如图所示的坐标系， 则A（0，2.4），D（1.6，1.6）， 设直线AD的解析式为y＝kx+n， ∴， ∴， ∴扣杀球击球路线的函数表达式为yx+2.4； 设网前吊球击球路线的函数表达式为y＝ax2+2.4， ∴1.6＝a×1.62+2.4， ∴a， ∴网前吊球击球路线的函数表达式为yx2+2.4； （2）令y＝0，则x2+2.4＝0， ∵x＞0， ∴x， ∴E（，0）， ∴OE（m）， ∴CE＝OE﹣OC＝（1.6）m． 故答案为：（1.6）； （3）对于yx+2.4，令y＝0，则x+2.4＝0， ∴x＝4.8， ∴F（4.8，0）， ∴OF＝4.8， ∴AF5.52（m）， ∵扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s， ∴0.15（秒） ∵0.15＜0.5， ∴乙不能接到扣杀球的击球． ∵从A点击球，击球点是抛物线的最高点， ∴2.4＝5t2， ∵t＞0， ∴t＝0.68， ∵0.68＞0.5， ∴乙能接到网前吊球的击球． 12．（2025•青岛）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点O正上方1.8米的A点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，O为原点，OA在y轴上，球的运动路线可以看作是二次函数y＝ax2+bx+1.8（a，b为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离，图象经过点（2，3.2），（4，4.2）． 信息二：球和原点的水平距离x（米）与时间t（秒）（0≤t≤1.6）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： t（秒） 0 0.4 0.6 … x（米） 0 4 6 … （1）求y与x的函数关系式； （2）网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ （3）当t为1.6秒时，小明将球击回，球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数y＝﹣0.02x2+px+m（p，m为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标x为2，纵坐标y大于等于1.8时，p的取值范围为 p≤0.36　 （直接写出结果）． 【分析】（1）依据题意，根据二次函数y＝ax2+bx+1.8（a，b为常数）图象经过点（2，3.2），（4，4.2），从而由待定系数法即可计算得解； （2）依据题意，由二次函数为y＝﹣0.05x2+0.8x+1.8，可得其对称轴为直线，则此时最大高度为：y＝﹣0.05×82+0.8×8+1.8＝5，又根据信息二，x与t是一次函数关系，故可设x＝kt+c，再结合表格数据可得，图象过（0，0）和（0.4，4），可得一次函数的解析式为一次函数为x＝10t，进而可以得解； （3）依据题意，当t＝1.6秒时，x＝10×1.6＝16，再代入原抛物线得y＝﹣0.05×162+0.8×16+1.8＝1.8，即此时球的坐标为（16，1.8），又新抛物线y＝﹣0.02x2+px+m过点（16，1.8），得m＝1.8+0.02×162﹣16p＝6.92﹣16p，则抛物线为y＝﹣0.02x2+px+6.92﹣16p，结合当x＝2时，y≥1.8，可得﹣0.02×22+2p+6.92﹣16p≥1.8，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数y＝ax2+bx+1.8经过点（2，3.2）和（4，4.2）， ∴ ∴a＝﹣0.05，b＝0.8， ∴二次函数为y＝﹣0.05x2+0.8x+1.8． （2）由题意，∵二次函数为y＝﹣0.05x2+0.8x+1.8， ∴其对称轴为直线， ∴此时最大高度为：y＝﹣0.05×82+0.8×8+1.8＝5． 又根据信息二，x与t是一次函数关系， ∴可设x＝kt+c， 又∵结合表格数据可得，图象过（0，0）和（0.4，4）， ∴c＝0，且0.4k+c＝4． ∴k＝10，c＝0． ∴一次函数为x＝10t． ∴当x＝8时，t＝0.8（秒）． ∴经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米． （3）由题意，当t＝1.6秒时，x＝10×1.6＝16， ∴代入原抛物线得y＝﹣0.05×162+0.8×16+1.8＝1.8，即此时球的坐标为（16，1.8）． 又∵新抛物线y＝﹣0.02x2+px+m过点（16，1.8），得m＝1.8+0.02×162﹣16p＝6.92﹣16p， ∴抛物线为y＝﹣0.02x2+px+6.92﹣16p． 又∵当x＝2时，y≥1.8， ∴﹣0.02×22+2p+6.92﹣16p≥1.8． ∴p≤0.36． 故答案为：p≤0.36． 13．（2025•内江）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价a（60≤a≤100）元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【分析】（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）设需要购进B款纪念品 m个，则需要购进A款纪念品 （400﹣m） 个，根据购买资金不超过 12000元建立不等式求解即可； （3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为 （a﹣40）元，销售量为[200﹣5（a﹣60）]个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【解答】解：（1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品 （400﹣m）个， 由题意得，40（400﹣m）+20m≤12000， 解得m≥200， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； （3）由题意得，W＝（a﹣40）[200﹣5（a﹣60）] ＝（a﹣40）（200﹣5a+300） ＝（a﹣40）（500﹣5a） ＝500a﹣20000﹣5a2+200a ＝﹣5（a﹣70）2+4500， ∵﹣5＜0，60≤a≤100， ∴当a﹣70＝0，即a＝70时，W最大，最大值为4500． 14．（2025•兰州）综合与实践在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系描出相应的点． 说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： （1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； （2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 【分析】（1）先判断出y关于x的函数是二次函数，再利用待定系数法求解即可； （2）先计算出种子自然发芽率为35，令y＝35和y＝0时，分别求得x的值，再结合图象求解即可． 【解答】解：（1）观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数， 设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c， 将（0，35），（1，56），（2，63）代入得， ， 解得， ∴该二次函数的解析式为y＝﹣7x2+28x+35； （2）当x＝0时，y＝35， ∴种子自然发芽率为35%， ∴当y＝35时，﹣7x2+28x+35＝35， 解得x1＝0，x2＝4， 当y＝0时，﹣7x2+28x+35＝0， 解得x1＝﹣1（舍去），x2＝5， ∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4＜x≤5． 15．（2025•南充）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用（3200﹣50m）元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【分析】（1）设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为（x﹣15）人，根据用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即A型客车每辆载客量），再将其代入（x﹣15）中，即可求出B型客车每辆载客量； （2）设租用A型客车m辆，则租用B型客车（10﹣m）辆，根据租用的两种客车的总载客量不少于530人，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设本次研学活动学校的租车总费用为w元，利用租车总费用＝每辆A型客车的租金×租用A型客车的数量+每辆B型客车的租金×租用B型客车的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题． 【解答】解：（1）设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为（x﹣15）人， 根据题意得：， 解得：x＝60， 经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意， ∴x﹣15＝60﹣15＝45（人）． 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人； （2）设租用A型客车m辆，则租用B型客车（10﹣m）辆， 根据题意得：60m+45（10﹣m）≥530， 解得：m， 设本次研学活动学校的租车总费用为w元，则w＝（3200﹣50m）m+3000×0.8（10﹣m）＝﹣50m2+800m+24000， ∵抛物线的对称轴为直线m8， ∴m≤8时，w随着m的增大而增大， ∵m取正整数，且， ∴当m＝6时，w取得最小值，最小值为﹣50×62+800×6+24000＝27000（元）． 答：本次研学活动学校的最少租车费用是27000元． 16．（2025•江西）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x0＝m时，其对应的函数值y0＝m，那么我们称该函数为“不动点函数”，点（m，m）为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数y＝x2中，当x＝1时，y＝1，则我们称函数y＝x2为“不动点函数”，点（1，1）为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数y＝kx+b（k≠0）进行探究后，得出下列结论： ①y＝x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②y＝﹣3x+2是“不动点函数”，且不动点是； ③y＝x是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是　③　 （填写正确结论的序号）． （2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件． 探究2 （3）对二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线y＝x2﹣2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3 （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（12﹣x）件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 【分析】（1）根据“不动点函数”的定义，代入点（m，m），计算即可判断； （2）根据“不动点函数”的定义，代入点（m，m），计算即可得解； （3）先求得顶点坐标为（b，c﹣b2），根据“不动点函数”的定义，即可得到b＝c﹣b2； （4）根据题意得，y＝（x﹣6）（12﹣x）＝﹣x2+18x﹣72，令x＝﹣x2+18x﹣72解方程即可求解． 【解答】解：（1）①对于y＝x+2， 由于m≠m+2， 所以y＝x+2不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于y＝﹣3x+2，代入点（m，m）， 得m＝﹣3m+2， 解得， 所以y＝﹣3x+2是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误； ③y＝x是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． 故答案为：③； （2）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）是“不动点函数”， ∴代入点（m，m）， 得m＝mk+b， 整理得（1﹣k）m＝b， 当1﹣k≠0即k≠1且k≠0时，b为任意实数； 当1﹣k＝0即k＝1时，b＝0； （3）由抛物线y＝x2﹣2bx+c＝（x﹣b）2+c﹣b2得， 顶点坐标为（b，c﹣b2）， ∵抛物线y＝x2﹣2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴b＝c﹣b2； （4）根据题意得，y＝（x﹣6）（12﹣x）＝﹣x2+18x﹣72， ∴令x＝﹣x2+18x﹣72， 整理得x2﹣17x+72＝0， 解得x1＝8，x2＝9， ∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 17．（2025•陕西）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥L，钢缆L1，L2均呈抛物线型，线段BC为桥面，线段OA为立柱，OA⊥BC，OA＝2m，L1，L2关于OA所在直线对称．L1的最低点到BC的距离为m，到OA的距离为2m．以O为原点，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求L1所在抛物线的函数表达式； （2）现要悬挂两条灯带M1N1，M2N2来增加夜景效果，M1N1，M2N2均与BC垂直，点M1，M2分别在L1，L2上，点N1，N2在L上，点M1，M2到OA的距离均为3m．已知L所在抛物线的函数表达式为y，求这两条灯带的总长． 【分析】（1）设其表达式为，根据题意列方程即可得到结论； （2）把x＝3代入得，，于是得到结论． 【解答】解：（1）由题意知，L1所在抛物线的顶点为，且过A（0，2）， ∴设其表达式为， ∴， 解得， ∴L1所在抛物线的函数表达式为； （2）∵点M1，M2到OA的距离均为3m， 把x＝3代入得y， ∴， ∴M2N2＝M1N1（m）， ∴这两条灯带的总长为． 18．（2025•武汉）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动．研究背景 羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 收集数据 某次羽毛球飞行的高度y（单位：m）与距发球点的水平距离x（单位：m）的对应值如表（不考虑空气阻力）． 水平距离x/m 0 2 3 5 6 … 高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 探索发现 数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线y＝ax2+bx+1.1的一部分． 建立模型 求y与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． （1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到2.8m？请说明理由． （2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为y＝ax2+kx+1.1，发球点与球网的水平距离是5m．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过2.1m，且球的落地点与球网的水平距离小于6m．求k的取值范围． 【分析】（1）把（2，2.3），（3，2.6）代入y＝ax2+bx+1.1，用待定系数法求出函数解析式，再根据函数的性质求出最大值与2.8比较即可； （2）根据题意知，当x＝5时，y＞2.1，当x＝11时，y＜0，解不等式组求出k的取值范围． 【解答】解：（1）把（2，2.3），（3，2.6）代入y＝ax2+bx+1.1得： ， 解得， ∴y＝﹣0.1x2+0.8x+1.1＝﹣0.1（x﹣4）2+2.7， ∵﹣0.1＜0， ∴当x＝4时，y有最大值，最大值为2.7， ∵2.8＞2.7， ∴羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度不能达到2.8m； （2）∵保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变， ∴a＝﹣0.1， ∴解析式为y＝﹣0.1x2+kx+1.1， 当x＝5时，y＝﹣0.1×52+5k+1.1＞2.1， 解得k＞0.7； ∵球的落地点与球网的水平距离小于6， ∴当x＝11时，y＝﹣0.1×112+11k+1.1＜0， 解得k＜1， ∴k的取值范围为0.7＜k＜1． 19．（2025•徐州）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作ym；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作d1m；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作d2m，已知y＝d1+d2，d1与骑行速度成正比，d2与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为13km/h时，反应距离为2.6m，刹车距离为1m． （1）若骑行速度为26km/h，则d1＝ 　5.2　 m，d2＝ 　4　 m； （2）设骑行速度为xkm/h，求y关于x的函数表达式； （3）当刹车距离为2m时，停车距离为多少？（精确到0.1m，参考数据：，.73，） 【分析】（1）设d1＝k1xd_{2}＝k_{2}x^{2}结合题意可得d1＝0.2x，再进一步求解即可； （2）结合（1）可得：； （3）当刹车距离为2m时，可得求解x，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）d1与骑行速度成正比，d2与骑行速度的平方成正比．骑行速度为xkm/h，d1＝k1x，d2＝k2x2， ∵当骑行速度为13km/h时，反应距离为2.6m， ∴13k1＝2.6， 解得：k1＝0.2，d1＝0.2x， 当x＝26时，d1＝0.2×26＝5.2（m）， ∵当骑行速度为13km/h时，刹车距离为lm， ∴1＝132×k2， 解得： ， 当x＝26时，； （2）设骑行速度为xkm/h，而d1． ∴y关于x的函数表达式为； （3）∵当刹车距离为2m时， ∴， 解得：（）， ∴y， ∴停车距离约为5.7m． 20．（2025•大庆）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（65≤a≤72且a为整数）． （1）分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； （2）求当a为何值时，每天的利润W最大． 【分析】（1）依据题意，设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪念品的成本为y元，可得，进而可以计算得解； （2）依据题意，每套成本为25+35＝60元，售价为a元，故每套利润为 （a﹣60）元，又售价为72元时销量80套，每降价1元销量增10套，从而故销量为80+10（72﹣a）＝800﹣10a，则利润W＝（a﹣60）（800﹣10a）＝﹣10a2+1400a﹣48000＝﹣10（a﹣70）2+1000，结合65≤a≤72且a为整数，最后可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，设每个A纪念品的成本为x元，每个B纪念品的成本为y元， ∴． ∴． 答：每个A纪念品的成本为25元，每个B纪念品的成本为35元． （2）由题意，每套成本为25+35＝60元，售价为a元， ∴每套利润为 （a﹣60）元． ∵售价为72元时销量80套，每降价1元销量增10套， ∴故销量为80+10（72﹣a）＝800﹣10a． ∴利润W＝（a﹣60）（800﹣10a）＝﹣10a2+1400a﹣48000＝﹣10（a﹣70）2+1000． ∵65≤a≤72且a为整数， ∴当a＝70时，天的利润W最大． 21．（2025秋•奇台县期中）某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克10元，市场调查发现，该产品每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣x+60．设这种产品每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式． （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得225元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ 【分析】（1）根据销量乘以每千克利润总利润，进而得出答案； （2）利用二次函数的性质求解即可； （3）把w＝225代入函数关系式，得到一元二次方程求解即可． 【解答】解：（1）由题意，∵这种产品的成本价为每千克10元，每天销售量y与销售价x的关系为y＝﹣x+60， ∴w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣x+60）＝﹣x2+70x﹣600． 答：w与x之间的函数关系式为w＝﹣x2+70x﹣600； （2）由题意，结合（1）w＝﹣x2+70x﹣600＝﹣（x﹣35）2+625， ∵﹣1＜0， ∴当x＝35时，每天的销售利润最大，最大利润为625元， 答：该产品销售价定为每千克35元时，每天的销售利润最大，最大利润是625元； （3）由题意得，﹣x2+70x﹣600＝225， ∴x＝55或x＝15， ∵销售价不高于每千克28元，即x≤28， ∴x＝55不符合题意，舍去， 答：该农户想要每天获得225元的销售利润，销售价应定为每千克15元． 22．（2025•东营区）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，其中A（﹣1，0），C（0，5）． （1）求抛物线的表达式； （2）点P为对称轴上一点，当△ACP的周长最小时，求点P的坐标； （3）点M为对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标． 【分析】（1）将点A、C坐标代入即可得解； （2）由题易得直线BC与对称轴的交点即为点P，据此求解即可； （3）根据平行四边形相对的两个顶点横纵坐标之和相等，建立方程求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），C（0，5）， ∴解， 得 ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+5； （2）∵抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2，点B的坐标为（5，0）． 如图所示，点A，B关于直线x＝2对称，连接BC交对称轴于点P，点P即为所求， 设直线BC的表达式为y＝mx+n（m≠0）， 则 解得 ∴直线BC的表达式为y＝﹣x+5， 当x＝2时，y＝3， ∴点P的坐标为（2，3）； （3）由（2）可知，抛物线的对称轴是直线x＝2． 设点M（2，m），N（n，﹣n2+4n+5），分以下三种情况讨论． ①当AC为对角线时， ∵A（﹣1，0），C（0，5）， ∴2+n＝﹣1+0， 解得n＝﹣3， 此时﹣n2+4n+5＝﹣16， ∴N（﹣3，﹣16）； ②当AN为对角线时，﹣1+n＝0+2， 解得n＝3， 此时﹣n2+4n+5＝8， ∴N（3，8）； ③当AM为对角线时，0+n＝﹣1+2， 解得n＝1， 此时﹣n2+4n+5＝8， ∴N（1，8）． 综上所述，点N的坐标为（﹣3，﹣16），（3，8）或（1，8）． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题十五 二次函数应用 【题型一】增长率、利润问题 【例1】（2025•滁州三模）黄山毛峰是安徽最具代表性的绿茶之一，产于黄山山区，新茶一上市就获得全国人民的追捧，某地第一天销售额为a万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，三天后销售额累计达y万元，若把增长率记作x，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝a（1+2x） B．y＝a（1+x）2 C．y＝a+a（1+x）+a（1+2x） D．y＝a+a（1+x）+a（1+x）2 【分析】由第一天的销售额及以后每天销售额的增长率，可得出第二、三天的销售额，再将三天的销售额相加，即可找出y关于x的函数关系式． 【解答】解：∵该地第一天销售额为a万元，以后每天销售额按相同的增长率增长，增长率记作x， ∴第二天销售额为a（1+x）万元，第三天销售额为a（1+x）2万元． 根据题意得：y＝x+a（1+x）+a（1+x）2． 故选：D． 【变式1】（2025•云南校级模拟）某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，书城准备开展“读书节活动”，决定降价促销．经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出20本．设每本降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数表达式为（　　） A．y＝（20﹣x）（300+10x） B．y＝（20﹣x）（300+20x） C．y＝（20﹣2x）（300+10x） D．y＝（20﹣2x）（300+20x） 【变式2】（2025•垦利区三模）某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件．经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为x元，每天的销售利润为y元，则y与x的函数关系式为 　 ． 【变式3】（2025•大观区二模）某公司设计生产一种学生毕业纪念册，并投放市场，已知制造成本为18元/件，经过市场调查发现，销售单价为32元时，每月的销售量为36（万件）；销售单价为24元时，每月的销售量为52（万件）；如果每月的销售量y（万件）与销售单价x（元/件）成一次函数关系． （1）求每月销售量y（万件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式． （2）求每月的利润w（万元）与销售单价x（元件）之间的函数关系式（结果化为一般式）． 【题型二】拱桥、喷泉、投球问题 【例1】（2025•甘肃）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x（x＞0），则水流喷出的最大高度是（　　） A．3m B．2.75m C．2m D．1.75m 【分析】把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最大值． 【解答】解：y＝﹣x2+2x（x﹣1）2+1（x﹣1）2， ∵﹣1＜0， ∴当x＝1时，y取最大值，最大值为，即2.75米， 故选：B． 【例2】（2025•巴中）从地面竖直向上抛出一小球，小球高度h（m）与小球运动时间t（s）之间关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6）．有下列结论： ①小球运动时间是1s时，高度为25m； ②小球运动中高度可以是50m； ③当3≤t≤6时，高度h随着时间t的增大而减小． 其中正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】①当t＝1时，求出h的值即可判断； ②把函数解析式化为顶点式求出最大值即可判断； ③根据函数的性质即可判断． 【解答】解：①当t＝1时，h＝30﹣5＝25（m），故①正确； ②h＝30t﹣5t2＝﹣5（t2﹣6t）＝﹣5（t﹣3）2+45， ∵﹣5＜0， ∴当t＝3时，h由最大值，最大值为45m，故②错误； ③由②可知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线t＝3， ∴当3≤t≤6时，高度h随着时间t的增大而减小，故③正确， ∴正确的个数有2个， 故选：C． 【变式1】（2024秋•南宁期末）如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2.下列说法正确的是（　　） A．小球飞行1s时飞行高度为10m B．小球飞行高度为15m时，小球飞行的时间是3s C．小球飞行的最大高度达到25m D．小球从飞出到落地要用4s 【变式2】（2025•连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6m，则铅球掷出的水平距离OB为 　 　 m． 【变式3】（2025•陕西）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3均呈抛物线型，水平横梁AC＝16m，L1的最高点B到AC的距离BO＝4m，L2，L3关于BO所在直线对称．MN，MP，NQ为框架，点M，N在L1上，点P，Q分别在L2，L3上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O为原点，以AC所在直线为x轴，以BO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线L1的函数表达式； （2）已知抛物线L3的函数表达式为，，求MN的长． 【题型三】图形问题 【例1】（2025•巴中）如图，计划用长为40m的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长25m）． （1）矩形围栏的面积为150m2时，三边分别长多少m？ （2）矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少m？ 【分析】（1）设垂直于墙的一边长xm，则平行于墙的边长为（40﹣2x）m，然后利用面积公式列出方程即可； （2）由长方形的面积公式建立二次函数，利用二次函数性质求出其解即可． 【解答】解：（1）设垂直于墙的一边长xm，则平行于墙的边长为（40﹣2x）m， 根据题意得：x（40﹣2x）＝150， 解得：x1＝5，x2＝15时， 当x＝5时，40﹣2x＝30＞25（不符合题意，舍去）， 当x＝15时，40﹣2x＝10＜25（符合题意）， ∴三边长分别为：15m、10m、15m； （2）设矩形围栏的面积为Sm2， 则S＝x（40﹣2x） ＝﹣2（x﹣10）2+200， ∵﹣2＜0， ∴当x＝10时，S有最大值，最大值为200， 当x＝10时.40﹣2x＝20＜25（符合题意）， ∴三边长分别为：10m、20m、10m． 【变式1】（2025•滨海新区校级模拟）如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m．设矩形菜园的边AB的长为xm，面积为Sm2，其中AD≥AB．有下列结论： ①x的取值范围为5≤x≤10； ②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100m2； ③矩形菜园ABCD的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（2024•槐荫区二模）某农户想要用栅栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，另外三边用栅栏围成，若栅栏的总长为20m，设长方形靠墙的一边长为xm，面积为ym2，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（　　） A．y＝20x B．y＝20﹣2x C． D．y＝x（20﹣2x） 【题型四】实际问题综合应用 【例1】（2025•浙江）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）（0≤x≤n），PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．下列选项正确的是（　　） A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 D．点（15，85）在该函数图象上 【分析】依据题意，作PG⊥AB，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，得到PH2＝225当点Q运动到点G的时候，PQ2最小为81，HG＝m﹣1，勾股定理求出m的值，判断A；当x＝m时，点Q运动到点B，根据三线合一，得到BG＝HG，进而求出n的值，判断B；连接AP，勾股定理求出AP2的长，确定C的纵坐标，判断C；依据题意，求出x＝15时，可得点Q的位置，再利用勾股定理求出PK2判断D． 【解答】解：如图，作PG⊥AB于G，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，则由题意和图象可知PH2＝225，当点Q运动到点G的时候，PQ2最小，即：PG2＝81，HG＝m﹣1＝12． 在Rt△PGH中，由勾股定理，得225＝81+（m﹣1）2， ∴m＝13． ∴A错误． ∴AG＝m＝13，HG＝m﹣1＝12． 当x＝n时，点Q运动到点B，则PB2＝225＝PH2， ∴PB＝PH， ∵PG⊥AB， ∴BG＝HG＝12， ∴AB＝13+12＝25， ∴选项B错误． ∴当x＝0，即点Q在A点时， ∴AP2＝AG2+PG2＝132+81＝250． ∴点C的纵坐标为250． ∴选项C错误． 当x＝15时，点Q运动到点K， ∴AK＝15． ∴GK＝AK﹣AG＝2． ∴PK2＝KG2+PG2＝4+81＝85． ∴点（15，85）在该函数图象上． ∴选项D正确． 故选：D． 【变式1】（2025•山西）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm． 数学建模：如图1，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为（0，75），点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过．如图2，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝57cm，BC＝40cm，CD＝48cm．仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【变式2】（2024秋•汉阴县期末）如图，一小球M从斜坡OA上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数yx刻画，若小球到达的最高的点坐标为（4，8），解答下列问题： （1）求抛物线的解析式； （2）在斜坡OA上的B点有一棵树，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？ 【课后练习】 1．（2025秋•濉溪县期中）某农户用一段长度为20m的旧围墙（围墙作为矩形一边，长度不可超出），再用总长40m的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆仅围另外三边）．设矩形垂直于旧围墙的一边长为xm，菜园的面积为ym2，则y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围正确的是（　　） A．y＝﹣2x2+40x（10＜x＜20） B．y＝﹣2x2+40x（10≤x＜20） C．y＝﹣x2+40x（10＜x＜20） D．y＝﹣2x2+40x（0≤x≤20） 2．（2025•富锦市二模）小明用一张长为20cm、宽为15cm的长方形纸片制作一个无盖的长方体盒子（如图），若剪去四个边长为xcm的正方形，则盒子的容积V（单位：cm3）与x的函数关系式为（　　） A．V＝（20﹣2x）（15﹣2x） B．V＝x（20﹣x）（15﹣x） C．V＝4x2（20﹣2x） D．V＝（20﹣2x）（15﹣2x）x 3．（2025•广西模拟）某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件．商场为了清库存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期的销售额W（元）与降价x（元）的函数关系为（　　） A．W＝（60+x）（300+20x） B．W＝（60﹣x）（300+20x） C．W＝（60+x）（300﹣20x） D．W＝（60﹣x）（300﹣20x） 4．（2025•武都区校级模拟）某超市有一种商品，进价为2元，据市场调查，销售单价是13元时，平均每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出10件．若设降价后售价为x元，每天利润为y元，则y与x之间的函数关系为 　 ． 5．（2025•市南区一模）宏海公司对某种海产品进行推广，在网络平台上直播销售．已知该海产品的成本价格为每千克40元．经过调研，当销售单价为每千克60元时，每天能售出500千克．销售单价每降低1元，每天的销售量将增加10千克．若设该种海产品销售单价为每千克x元，公司每天直播销售的利润为y元，则y与x的函数关系式为 　 ． 6．（2025•山东）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y（厘米/天）和光照强度x（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（200≤x＜1000）内，y与x近似成一次函数关系；在中高光照强度范围（x≥1000）内，y与x近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．当x≥1000时，y随x的增大而减小 B．当x＝2000时，y有最大值 C．当y≥0.6时，x≥1000 D．当y＝0.4时，x＝600 7．（2025•台湾）坐标平面上有二次函数y＝﹣（x+7）2+12的图形，今将此图形向右平移10单位，平移过程中此图形与y轴的交点也会跟着变化．假设此图形与y轴的交点为P，判断在平移过程中，P点位置的变化情形为下列何者？（　　） A．持续向下 B．持续向上 C．先向下再向上 D．先向上再向下 8．（2025•广东）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km，主塔高0.27km，主缆可视为抛物线，主缆垂度0.1785km，主缆最低处距离桥面0.0015km，桥面距离海平面约0.09km．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 9．（2025秋•重庆期中）为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件．经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件． （1）设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是　 　 件； （2）为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元； （3）文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 10．（2025•新疆）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 11．（2025•盐城）【生活观察】小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种路线，如图1和图2所示． 【数学建模】小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面如图3所示，从A点击球，击球点是抛物线的最高点，点A到地面的距离AO＝2.4m，球网上端点B到地面的距离BC＝1.55m，人与球网之间的距离OC＝1.6m，假设两种击球路线都经过点B正上方0.05m处的点D，网前吊球和扣杀球的落点分别为点E，F． （1）请在图3中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． 【模型应用】 （2）网前吊球的落点到球网的距离CE的长是　 　 m； （3）甲在A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s，网前吊球时，羽毛球下降的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系式为h＝5t2.乙在看到甲击球的同时尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要0.5s．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 12．（2025•青岛）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点O正上方1.8米的A点将球击出． 信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，O为原点，OA在y轴上，球的运动路线可以看作是二次函数y＝ax2+bx+1.8（a，b为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离，图象经过点（2，3.2），（4，4.2）． 信息二：球和原点的水平距离x（米）与时间t（秒）（0≤t≤1.6）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下： t（秒） 0 0.4 0.6 … x（米） 0 4 6 … （1）求y与x的函数关系式； （2）网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？ （3）当t为1.6秒时，小明将球击回，球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数y＝﹣0.02x2+px+m（p，m为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标x为2，纵坐标y大于等于1.8时，p的取值范围为 p≤0.36　 （直接写出结果）． 13．（2025•内江）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价a（60≤a≤100）元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 14．（2025•兰州）综合与实践在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系描出相应的点． 说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： （1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； （2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 15．（2025•南充）学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同． 材料二 A型客车租车费用为3200元/辆；B型客车租车费用为3000元/辆． 优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用（3200﹣50m）元/辆； 租用B型客车，租车费用打八折． 材料三 租车公司最多提供8辆A型客车； 学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 16．（2025•江西）问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x0＝m时，其对应的函数值y0＝m，那么我们称该函数为“不动点函数”，点（m，m）为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数y＝x2中，当x＝1时，y＝1，则我们称函数y＝x2为“不动点函数”，点（1，1）为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1 （1）对一次函数y＝kx+b（k≠0）进行探究后，得出下列结论： ①y＝x+2是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②y＝﹣3x+2是“不动点函数”，且不动点是； ③y＝x是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是　③　 （填写正确结论的序号）． （2）若一次函数y＝kx+b（k≠0）是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件． 探究2 （3）对二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线y＝x2﹣2bx+c的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． 探究3 （4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（12﹣x）件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 17．（2025•陕西）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥L，钢缆L1，L2均呈抛物线型，线段BC为桥面，线段OA为立柱，OA⊥BC，OA＝2m，L1，L2关于OA所在直线对称．L1的最低点到BC的距离为m，到OA的距离为2m．以O为原点，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求L1所在抛物线的函数表达式； （2）现要悬挂两条灯带M1N1，M2N2来增加夜景效果，M1N1，M2N2均与BC垂直，点M1，M2分别在L1，L2上，点N1，N2在L上，点M1，M2到OA的距离均为3m．已知L所在抛物线的函数表达式为y，求这两条灯带的总长． 18．（2025•武汉）某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动．研究背景 羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 收集数据 某次羽毛球飞行的高度y（单位：m）与距发球点的水平距离x（单位：m）的对应值如表（不考虑空气阻力）． 水平距离x/m 0 2 3 5 6 … 高度y/m 1.1 2.3 2.6 2.6 2.3 … 探索发现 数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现羽毛球飞行路线是抛物线y＝ax2+bx+1.1的一部分． 建立模型 求y与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． （1）羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到2.8m？请说明理由． （2）保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为y＝ax2+kx+1.1，发球点与球网的水平距离是5m．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过2.1m，且球的落地点与球网的水平距离小于6m．求k的取值范围． 19．（2025•徐州）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作ym；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作d1m；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作d2m，已知y＝d1+d2，d1与骑行速度成正比，d2与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为13km/h时，反应距离为2.6m，刹车距离为1m． （1）若骑行速度为26km/h，则d1＝ 　 　 m，d2＝ 　 　 m； （2）设骑行速度为xkm/h，求y关于x的函数表达式； （3）当刹车距离为2m时，停车距离为多少？（精确到0.1m，参考数据：，.73，） 20．（2025•大庆）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A，B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（65≤a≤72且a为整数）． （1）分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本； （2）求当a为何值时，每天的利润W最大． 21．（2025秋•奇台县期中）某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克10元，市场调查发现，该产品每天销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣x+60．设这种产品每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式． （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得225元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $