第十四章全等三角形期末基础知识复习、易错点避坑指南、备考策略及同步习题 2025-2026学年人教版数学八年级上册

该初中数学全等三角形复习讲义以“定义-性质-判定-应用”逻辑链构建知识体系，通过对比表格呈现五大判定定理的适用条件与注意事项，用思维导图梳理平移、翻折、旋转等全等模型，框架图明确证明步骤的“找已知-补隐含-定对应-选定理-写证明”流程，系统呈现对应关系识别、辅助线构造等重难点。 讲义亮点在于“易错点避坑指南”表格归纳对应关系错误、SSA误用等类型及避坑技巧，辅助线专项训练如倍长中线构造全等三角形，实际应用题如测量池塘宽度的几何建模步骤，培养推理意识与几何直观。分层习题覆盖选择、填空、解答题，基础题巩固定理应用，综合题提升推理能力，助力教师实施精准分层教学，支持学生自主复习突破难点。

八年级期末基础知识复习 易错点避坑指南及习题汇编 第14章 全等三角形 本章是初中几何证明的核心章节，承接《三角形》的基础性质，聚焦全等三角形的定义、性质、判定定理及综合应用，重点考查 “全等三角形的判定与证明”“对应边与对应角的识别”“辅助线的构造与应用”“实际问题的几何建模” 四大能力。本专题将系统梳理知识脉络、突破几何证明的逻辑难点、规避常见易错点，助力期末高效备考。 一、基础铺垫：全等三角形的核心定义与性质 准确理解全等三角形的定义、掌握 “对应关系” 的本质，是判定全等、推导结论的前提，需重点把握 “对应边 / 角相等” 的核心性质与应用场景。 1. 全等三角形的定义与表示 定义：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形。完全重合意味着：① 形状相同（对应角相等）；② 大小相同（对应边相等）。 对应元素： 对应顶点：重合的顶点（如△ABC≌△DEF，A 与 D、B 与 E、C 与 F 是对应顶点）； 对应边：重合的边（AB 与 DE、BC 与 EF、AC 与 DF 是对应边）； 对应角：重合的角（∠A 与∠D、∠B 与∠E、∠C 与∠F 是对应角）。 表示方法：用符号 “≌” 表示，读作 “全等于”。书写规范：对应顶点必须按顺序书写（如△ABC≌△DEF，不可写成△ABC≌△DFE，避免对应关系混乱）。 2. 全等三角形的性质（核心考点） 全等三角形的 “对应元素” 具有相等关系，是证明线段相等、角相等的重要依据，具体性质如下： 对应元素 性质 应用场景 对应边 全等三角形的对应边相等 证明两条线段相等（如 “要证 AB=CD，可证含 AB、CD 的三角形全等”） 对应角 全等三角形的对应角相等 证明两个角相等（如 “要证∠A=∠B，可证含∠A、∠B 的三角形全等”） 对应线段 全等三角形的对应中线、对应高线、对应角平分线相等 证明三角形的重要线段相等（如 “证 AD=BE，AD、BE 分别是全等三角形的中线”） 周长与面积 全等三角形的周长相等、面积相等 计算三角形的周长或面积（如 “已知△ABC≌△DEF，S△ABC=8，则 S△DEF=8”） 易错警示：若对应顶点书写错误，会导致对应边、对应角判断失误。例如△ABC≌△DFE，正确对应边是 AB 与 DF、BC 与 FE、AC 与 DE，而非 AB 与 DE。 二、核心突破：全等三角形的判定定理 全等三角形的判定是本章核心技能，需根据已知条件灵活选择判定定理，避免误用 “SSA” 等无效条件，具体定理对比与应用场景如下： 1. 全等三角形的五大判定定理（高频考点） 定理名称 符号表示 适用条件 关键注意事项 示例（已知条件选定理） 边边边 SSS 两个三角形的三条对应边分别相等 无需角的条件，适用于 “已知三边” 或 “可推导出三边相等” 的场景 已知 AB=DE、BC=EF、AC=DF，用 SSS 判定△ABC≌△DEF 边角边 SAS 两个三角形的两条对应边分别相等，且这两条边的夹角相等 必须是 “两边的夹角”，不可是 “一边的对角”（即 SSA 不成立） 已知 AB=DE、∠B=∠E、BC=EF，用 SAS 判定（∠B 是 AB 与 BC 的夹角） 角边角 ASA 两个三角形的两个对应角分别相等，且这两个角的夹边相等 必须是 “两角的夹边”，夹边是两个角的公共边或关联边 已知∠A=∠D、AB=DE、∠B=∠E，用 ASA 判定（AB 是∠A 与∠B 的夹边） 角角边 AAS 两个三角形的两个对应角分别相等，且其中一个角的对边相等 由 ASA 推导而来，适用于 “已知两角及非夹边” 的场景 已知∠A=∠D、∠B=∠E、BC=EF，用 AAS 判定（BC 是∠A 的对边） 斜边直角边 HL 直角三角形的斜边和一条直角边分别相等 仅适用于直角三角形，不可用于锐角 / 钝角三角形 已知 Rt△ABC 与 Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，AB=DE（斜边）、AC=DF（直角边），用 HL 判定 易错警示： SSA 不成立：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等； HL 的适用范围：仅直角三角形，若用 HL 判定非直角三角形，直接错误。 2. 判定定理的选择策略（核心技能） 根据已知条件的数量与类型，优先选择简便的判定定理，避免冗余推导： 已知 “三边”→选 SSS； 已知 “两边 + 一角”→先看角是否为夹角，是则选 SAS，否则不可判定（SSA 无效）； 已知 “两角 + 一边”→若边是夹边选 ASA，若边是对边选 AAS（ASA 与 AAS 可灵活转化）； 已知 “直角三角形”→优先看是否有斜边 + 直角边，是则选 HL，否则用 SSS或SAS或ASA或AAS。 3. 常见全等模型（辅助识别） 通过图形特征快速识别全等三角形，常见模型如下： 模型类型 图形特征 对应关系 平移型 两个三角形沿某一直线平移后重合（对应边平行或共线） 对应边平行，对应角相等（如△ABC 沿 BC 方向平移得△DEF，AB∥DE、AC∥DF） 翻折型 两个三角形沿某一直线翻折后重合（有公共边或公共角） 有公共边（如 BC 是公共边）或公共角（如∠A 是公共角），对应边 / 角关于对称轴对称 旋转型 两个三角形绕某一点旋转一定角度后重合（对应顶点连线过旋转中心） 旋转角相等（如∠BAD=∠CAE），对应边相等（AB=AD、AC=AE） 三、核心技能：全等三角形的证明与对应关系识别 全等三角形的证明核心是 “找已知条件→定对应关系→选判定定理→写规范证明”，需熟练掌握对应边 / 角的识别方法与证明步骤。 1. 对应边与对应角的识别方法 方法 1：根据对应顶点书写顺序识别（最可靠）若△ABC≌△DEF，则对应边：AB↔DE、BC↔EF、AC↔DF；对应角：∠A↔∠D、∠B↔∠E、∠C↔∠F。 方法 2：根据图形特征识别 公共边：两个三角形的公共边一定是对应边（如△ABC 与△DBC 有公共边 BC，BC↔BC）； 公共角：两个三角形的公共角一定是对应角（如△ABC 与△ADC 有公共角∠A，∠A↔∠A）； 对顶角：对顶角一定是对应角（如∠AOB 与∠COD 是对顶角，∠AOB↔∠COD）； 最长 / 最短边：两个三角形中最长边对应最长边，最短边对应最短边； 最大 / 最小角：两个三角形中最大角对应最大角，最小角对应最小角。 2. 全等三角形的证明步骤（规范流程） 找已知：从题目中提取已知条件（如 “AB=DE”“∠A=∠D”），标注在图形上； 补隐含：挖掘图形中的隐含条件（公共边、公共角、对顶角相等）； 定对应：确定待证全等三角形的对应顶点、对应边、对应角； 选定理：根据已知条件 + 隐含条件，选择合适的判定定理（如 SSS、SAS）； 写证明：按 “在△XXX 和△XXX 中→列出全等条件→∴△XXX≌△XXX（定理）→∴对应边 / 角相等” 的格式书写。 3. 常见辅助线做法（突破难点） 当直接证明全等条件不足时，需构造辅助线补充条件，常见做法如下： 做法 1：倍长中线（已知三角形中线，证线段相等）步骤：延长中线 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE，构造△ADC≌△EDB（SAS，AD=DE、∠ADC=∠EDB、CD=BD），转化线段 AC=BE。 做法 2：截长补短（已知角平分线，证线段和差）步骤：① 截长：在 AB 上截取 AE=AC，连接 DE，构造△AED≌△ACD（SAS，AE=AC、∠EAD=∠CAD、AD=AD）；② 补短：延长 AC 至 F，使 AF=AB，连接 DF，构造△ABD≌△AFD。 做法 3：作高（已知角平分线或直角，证线段相等）步骤：过角平分线上一点作两边的垂线，利用 “角平分线性质” 得垂线段相等，再证直角三角形全等（HL）。 四、综合应用：全等三角形的实际与几何综合 期末考查重点分为两类：一是全等三角形的实际建模（如测量距离），二是与几何图形（平行线、三角形、四边形）的综合证明，需掌握建模思路与综合推理方法。 1. 实际应用：全等三角形的建模 常见场景：① 测量不可直接到达的距离（如池塘宽度、山高）；② 证明物体形状相等（如两块三角形钢板全等）；③ 确定位置关系（如证明两条线段垂直）。 建模步骤： 抽象几何图形：将实际问题转化为三角形模型（如 “测量池塘 AB 宽度”→抽象为△ABC 与△DEC）； 构造全等条件：通过操作（如取中点、作平行线）使两个三角形满足全等判定定理（如 ASA、SAS）； 推导实际距离：利用全等三角形对应边相等，将未知距离转化为已知距离。 2. 几何综合：与其他图形的结合 核心考点：① 与平行线结合：利用 “两直线平行，内错角 / 同位角相等” 补充全等条件；② 与三角形性质结合：利用 “等腰三角形等边对等角”“三角形内角和” 推导对应角相等；③ 与四边形结合：利用 “平行四边形对边相等”“矩形四个角为直角” 构造全等三角形。 解题思路： 分解图形：将复杂图形分解为两个或多个待证全等的三角形； 关联性质：用平行线、等腰三角形等性质补充全等所需的边或角； 逐步推导：先证三角形全等，再用全等性质推导线段 / 角相等，最终解决问题。 五、易错点避坑指南 易错类型 易错表现 避坑技巧 对应关系错误 1. 对应顶点书写混乱（如△ABC≌△DFE 写成△ABC≌△DEF）；2. 误将非对应边 / 角当作对应元素（如用 AB=DF、BC=DE、∠A=∠D 判定 SSA）。 1. 书写全等时，严格按 “对应顶点顺序” 书写，如 A→D、B→E、C→F，则△ABC≌△DEF；2. 识别对应边 / 角时，优先用 “公共边、公共角、对顶角”，或标注 “最长边对应最长边”。 判定定理误用 1. 用 SSA 判定全等（如已知 AB=DE、AC=DF、∠B=∠E，误判△ABC≌△DEF）；2. 直角三角形误用 SSA（如不用 HL，用 SSA 判定）；3. 忽略 “夹” 的条件（如 SAS 中用非夹角）。 1. 牢记 “SSA 不成立”，遇到 “两边 + 一角” 先看角是否为夹角；2. 直角三角形优先用 HL（已知斜边 + 直角边），无斜边时用其他定理；3. SAS 判定时，在角的两边标注 “夹边”，明确角是两边的夹角。 隐含条件遗漏 1. 忽略公共边（如△ABC 与△DBC 有公共边 BC，未用 BC=BC）；2. 忽略公共角（如△ABC 与△ADC 有公共角∠A，未用∠A=∠A）；3. 忽略对顶角（如∠AOB 与∠COD 是对顶角，未用∠AOB=∠COD）。 1. 画图时用红笔标注公共边、公共角、对顶角，明确 “这些条件无需额外证明，可直接用”；2. 证明前先列 “已知条件 + 隐含条件”，确保条件不遗漏。 证明步骤不规范 1. 全等条件未按 “定理顺序” 列出（如 SSS 中先列角再列边）；2. 缺少 “在△XXX 和△XXX 中” 的前提；3. 未注明判定定理（如只写 “∴△ABC≌△DEF”，漏写 “（SSS）”）；4. 未用全等性质推导最终结论（如证完全等，漏写 “∴AB=CD”）。 1. 严格按 “前提→条件→定理→结论” 四步书写： 前提：“在△XXX 和△XXX 中”； 条件：按定理顺序列边 / 角（SSS 按边列，SAS 按 “边→角→边” 列）； 定理：“∴△XXX≌△XXX（定理）”； 结论：“∴对应边 / 角相等（全等性质）”。 辅助线错误 1. 作辅助线后未说明做法（如 “延长 AD 至 E”，未说明 “使 DE=AD”）；2. 辅助线构造后未证明相关条件（如倍长中线后，未证∠ADC=∠EDB）。 1. 作辅助线时，完整描述 “操作 + 条件”，如 “延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE”；2. 辅助线构造后，先证明由此产生的相等边 / 角（如对顶角、公共边），再用判定定理。 六、备考策略 夯实基础：定理与对应关系双过关 默写五大判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），标注适用条件与注意事项； 画图训练：画平移、翻折、旋转型全等三角形，标注对应边 / 角，强化 “对应关系” 识别。 突破难点：模型与辅助线专项练 模型训练：针对 “倍长中线”“截长补短”“角平分线作高” 三类高频辅助线，各练 5-8 道典型题，总结 “辅助线做法→全等条件→结论推导” 的固定流程； 综合训练：练 “全等 + 平行线”“全等 + 等腰三角形”“全等 + 平行四边形” 的综合题，学习 “分解图形→关联性质→逐步推导” 的思路。 规范书写：按模板统一格式 给学生提供 “全等证明模板”，要求严格按格式书写，如： 模板：在△XXX 和△XXX 中， ∴△XXX≌△XXX（XXX）。 ∴XX=XX/∠XXX=∠XXX（全等三角形对应边 / 角相等）。 错题复盘：聚焦高频错误整理 “对应关系错误”“SSA 误用”“步骤不规范” 三类典型错题，标注错误原因（如 “未识别公共边”“对应顶点写错”），重做时重点检查易错点，形成 “避坑笔记”。 复习口诀 全等三角形，定义要记详：完全重合形，对应是核心。对应边相等，对应角也等，中线高角分，周长面积同。判定有五种，灵活来选用：三边对应等，SSS 来证明；两边夹一角，SAS 要记牢；两角夹一边，ASA 最简便；两角对一边，AAS 也能辨；直角三角形，HL 特殊用，斜边加直边，全等立判定。证题步骤清，前提条件明：先找已知和隐含，对应关系要确定，定理选对列条件，最后推得结论成。实际应用中，建模是关键，构造全等形，距离轻松算。 一、选择题汇编 1.下列选项中的两个图形属于全等形的是（      ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】利用全等图形的概念即可判断 【解答】根据全等形的定义可知,只有选项中的两个图形能够完全重合, 故选 2.（25-26·四川期中）下列说法正确的是（   ） A.形状相同的两个三角形全等 B.能够完全重合的两个三角形全等 C.面积相等的两个三角形全等 D.两个等边三角形全等 【答案】B 【解析】本题主要考查了全等三角形的定义等知识点，掌握全等三角形的概念是解题的关键． 根据全等三角形的定义逐项判断即可． 【解答】解：、形状相同的两个三角形不一定全等，原说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； 、能够完全重合的两个三角形全等，说法正确，符合题意； 、面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意； 、两个等边三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意． 故选：． 3.（25-26·江苏期中）如图，已经，、在同一条直线上，则下列结论错误的是（    ） A. B. C. D . 【答案】C 【解析】根据全等三角形的性质及平行线的判定定理即可求解． 【解答】，、在同一条直线上， ，， ，，正确； 故 故，正确； ，， 故与不一定相等 故选． 4.（25-26·全国期中）三个全等三角形按下图的形式摆放，，，则的度数等于（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的性质，由平角的定义可得，由三角形内角和定理可得，由全等三角形的性质可得，即可得解． 【解答】解：如图： 由图可得：，，， ， 由三角形内角和定理可得：， 由全等三角形的性质可得：， ， ，， ， 故选：． 5.（25-26·江苏期中）如图，点，，在同一直线上，若，，，则的长为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了全等三角形的性质和线段和差． 根据全等三角形的性质得出，，再由线段的和差即可求解． 【解答】， ，， ， ， ， 故选：． 6.（24-25·全国同步）如图，四边形中，垂直平分，垂足为，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D.平分 【答案】C 【解析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形底边上三线合一及三角形全等的判定，根据垂直平分线得到，，，根据可证，根据三线合一可得平分，即可得出结论． 【解答】解∶垂直平分， ，，， 平分， ，，， ， 由条件无法得, 选项、、正确，选项错误， 故选：． 7.（25-26·山西期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合．过角尺顶点的射线即是的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是（    ） A. B. C. D.无法确定 【答案】A 【解析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．根据证明，即可． 【解答】解：根据题意得：， 在和中， ，，， ， ， 即射线是的平分线． 故选：． 8.（25-26·甘肃期中）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（   ）  A.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C.两点确定一条直线 D.两点之间线段最短 【答案】B 【解析】本题考查全等三角形的应用，利用判定三角形全等，进行判断即可． 【解答】解：点为、的中点， ， ； ； 依据的数学基本事实是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； 故选． 9.（25-26·青海期中）如图，已知，是上的点，，，且，，则可以直接判定的依据是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查全等三角形的判定，根据，，得到，利用判定即可． 【解答】解：，， ， ，， ； 故选． 10.（25-26·全国期中）如图，，，且点在上，点在上，添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题时要熟练掌握并能灵活运用全等三角形的判定方法是关键．依据题意，添加各个选项的条件后逐个分析判断可以得解． 【解答】解：，添加，结合，， 不能满足判定的条件，故符合题意． ，添加，结合，， ，故不符合题意． ，添加，结合，， ，故不符合题意． ，添加，结合，， ，故不符合题意． 故选：． 11.（25-26·海南开学）如图，在中，已知与的面积相等，如果，，那么的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，构造一个新的三角形．根据三角形的三边关系就可以求解． 【解答】解：延长到，使， ，已知与的面积相等， 为的底边的中线， ， 在和中 ， ， ， ，， ， 在中，， ， ， ； 故选： 12.（25-26·重庆开学）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【解答】解：如图，过点作于点， 则， ， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， 又，， ， ， ． 故选：． 13.（24-25·河南月考）如图，，，是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（   ） A.三条角平分线的交点位置 B.三条高的交点位置 C.三边的中垂线的交点位置 D.三条中线的交点位置 【答案】A 【解析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答． 【解答】解：加油站在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， 加油站应该在三条角平分线的交点处． 故选： 14.（25-26·河北期中）课堂上老师给出问题∶在中，，使用尺规在上作出点 ，使得．如图是给出的部分作图痕迹，图是嘉嘉和淇淇各自补充的作图，则下列选项说法正确的是（   ） A.嘉嘉，淇淇的作法都对 B.嘉嘉，淇淇的作法都不对 C.嘉嘉的作法对，淇淇的作法不对 D.嘉嘉的作法不对，淇淇的作法对 【答案】A 【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，尺规作图---作角平分线，作一个角等于已知角，作垂线，熟练掌握各知识点是解题的关键． 由嘉嘉的尺规作图痕迹可得，证明即可得到；由淇淇的尺规作图痕迹可得，然后证明即可得到． 【解答】解：由图可得平分， 则， 由嘉嘉的尺规作图痕迹可得， 则， 又， ， ， ， 嘉嘉的作法正确； 由淇淇的尺规作图痕迹可得， 又， ， ， ， 淇淇的作法正确， 故选：． 15.（25-26·全国期中）如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧与交于点，连接，以点为圆心，适当长为半径作弧分别与和交于点和，再分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点，若，则的大小为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，角平分线的意义，尺规作图等知识；由题意知，则，；再由尺规作图知平分，则，由即可求解． 【解答】解：由题意知， ； ， ； 由尺规作图知，平分， ； ． 故选：． 16.（25-26·黑龙江期中）如图，是中的平分线，于点，交于点，，则长是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线的性质主要体现在垂线段长度相等，一般可作为某三角形的高来处理三角形的面积问题． 根据角平分线的性质可知，再依据，可求值． 【解答】解：是中的平分线，于点，交于点， ． ，， ， ， 故选：． 17.（24-25·浙江模拟）如图，是的中线，下列说法错误的是（    ） A.和全等 B.若平分，则是等腰三角形 C.若，则是等腰三角形 D.若点到和的距离相等，则 【答案】A 【解析】仅根据无法证明和全等，选项说法错误；延长至点，使，连接，利用“边角边”证明，由全等三角形性质得到，，结合平分，可证是等腰三角形，则选项说法正确；利用“边角边”证明，由全等三角形性质即可证是等腰三角形，则选项说法正确；若点到和的距离相等，即平分，根据选项可得是等腰三角形，结合三线合一定理即可证，则选项说法正确． 【解答】解：是的中线， ， 此时，但不一定等于， 无法证明和全等， 选项说法错误，符合题意，选项正确； 平分， ， 延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即是等腰三角形， 选项说法正确，不符合题意，选项错误； ， ， 在和中， ， ， ，即是等腰三角形， 选项说法正确，不符合题意，选项错误； 若点到和的距离相等， 点在的角平分线上，平分， 则根据选项可得是等腰三角形， 结合三线合一定理即可证， 选项说法正确，不符合题意，选项错误． 故选：． 18.（24-25·山东期中）如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】过点分别作、、的垂线、、，利用角平分线性质可以得到，即这三个三角形的高都相等，所以面积比等于它们的底边比，从而得出答案． 【解答】如图，过点分别作、、的垂线、、 是的角平分线 同理 所以答案为选项．   19.（25-26·黑龙江期中）如图，与都是等边三角形（锐角），连接交于点交于点交于点，给出下列结论：①；②；③连接则平分；④．上述结论中正确的个数有（   ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】C 【解析】本题考查的知识点是等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及角平分线的判定，解题的关键是通过证明三角形全等，结合等边三角形的角度和边长关系，逐一分析每个结论的正确性． 【解答】和是等边三角形 即 在和中， ，故①正确； ， ， ， 是的外角 ，所以②正确； 过作于，于 ， 平分，故③正确； ， 不全等， ，故④错误， 故选：． 20.（25-26·黑龙江月考）如图，在和中，，，，是的中线，、、三点在一条直线上，连接，．以下五个结论，其中正确的有（    ）． ①；②；③；④；⑤． A.①②③⑤ B.①②④⑤ C.①②③④ D.①②③④⑤ 【答案】D 【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． 证明，即可判断①；根据，得到，再利用三角形外角的性质，即可判断②；根据，得到，进而得到，再根据是等腰直角三角形，即可判断③；延长到，使得，连接、，证明，得到，，再利用平行线的判定和性质，得到，进而得到，推出，得到，即可判断④；延长交于，根据全等三角形的性质及各角之间的关系即可判断． 【解答】 解：， ， ， 在和中， ， ， ，①正确； ， ， ， ， ，②正确； ， ， ， ，， ， ，③正确； 延长到，使得，连接、， 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，④正确， 延长交于． ， ， ， ， ， ，故⑤正确． 综上可知，正确的结论有①②③④⑤， 故选． 二、填空题汇编 21.（24-25·全国同步）如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是____________，的对应角是_____________． 【答案】, 【解析】本题考查了全等三角形的对应边与对应角．解题的关键是牢记“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即可．解题时要找对对应边，对应角即可． 【解答】解：， ，， 的对应边是，的对应角是． 故答案为：，． 22.（25-26·福建期中）如图，，，，，则_____58______． 【答案】 【解析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和；由全等三角形的对应角相等得出，，再由三角形内角和为，求出，从而由即可求解. 【解答】解：， ，， ， 又， 故答案为： 23.（25-26·全国期中）一个三角形的三条边的长分别是，，，另一个三角形的三条边的长分别是，，．若这两个三角形全等，则的值是_____3______． 【答案】 【解析】由两个三角形全等的性质：对应三边相等，得或，分别求解得出结论． 【解答】解：两个三角形全等， 或， 且（舍去）或， ． 故答案为：3 24.（25-26·山东月考）如图，，，，则______2______． 【答案】 【解析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，则有，设，利用线段的和差列出方程，求出的值即可解答． 【解答】解：， ， ，即， 设， ， ， 解得， ． 故答案为：2 25.（25-26·浙江期中）如图，在中，点在上，点在上，连接、．若，，，，则的度数为____________． 【答案】 【解析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． 先由外角性质求得，再根据“”证明，得，再对运用内角和定理求解即可． 【解答】解：，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． 26.（25-26·天津月考）如图，在锐角三角形外作等边三角形和等边三角形，则的大小为__________________． 【答案】度 【解析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得到，，，则，再根据三角形全等的判定方法可证得，根据全等的性质得出，然后根据三角形的外角性质解答即可． 【解答】解：和是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 27.（24-25·甘肃期中）如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则_____4_______． 【答案】4 【解析】本题重点考查三角形的高的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由是边上的高，推导出 ，即可证明，则，于是得到问题的答案． 【解答】在中，是边上的高，是边上一点， 于点， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：4 28.（24-25·山东期中）如图，线段，射线，垂足为点，点是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点，则的长为________________． 【答案】 【解析】过点作于，先利用证出，从而得出，，然后利用证出,从而求出的长. 【解答】解：过点作于，如图所示 ，和为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中 ， 在和中 故答案为： 29.（24-25·江苏月考）如图，已知在中，平分，，则_________________. （用含的代数式表示）. 【答案】 【解析】在上截取，连接，根据证明，根据，得出，，再证明即可解决问题. 【解答】在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， 故答案为： 30.如图，一块余料，，现进行如下操作以点为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧在内部相交于点，画射线，交于点．连结、．若，则的大小是     28  _度． 【答案】28 ．【解析】由作图可知平分，根据平行线的性质求出的度数，再利用平行线的性质求出的大小即可． 【解答】解：由作图可知：，， ，， ， ， ， 故答案为：． 31.（25-26·河南期中）如图，已知中，平分，为边上的点，连接．解决以下问题： ____________； 若，则_____12_______． 【答案】, 【解析】过点作于，根据角平分线的性质定理得，证明，推出，即可得到； 由得到，再证明，得到，由此得到 ． 【解答】解：如图，过点作于， ，平分，， ， 又， ， ； 故答案为：； ， ， ， 故答案为：180°，12 32.（25-26·江苏月考）如图，的外角的平分线与内角平分线交于点，若，则_________________ 【答案】 【解析】本题考查了角平分线的判定和性质定理，三角形外角的性质． 过点作 于，于，于，根据角平分线的性质定理得到，，，根据角平分线的判定定理得到，最后根据三角形外角的性质计算即可． 【解答】解：过点作 于，于，于， 设， 平分， ，， 平分， ，， ， 又于，于， ， ， ． 故答案为：． 33.（25-26·全国期中）如图，过边长为的等边三角形的边上一点，作于为延长线上一点，当时，连接交边于，则的长为_____0.5_______． 【答案】 【解析】本题考查了等边三角形及其性质、平行线的性质以及全等三角形的性质与判定，通过作辅助线，根据等边三角形的性质，得到，利用垂直得到，用证明出后得到，再利用线段关系计算． 【解答】过点作交于点， ，是等边三角形， ，是等边三角形， ． ， ． ， ． ， ． ． ， ， ， ． 故答案为： 34.（25-26·山东期中）如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的序号是___①②③⑤_________． 【答案】①②③⑤ 【解析】本题考查了等腰直角三角形的定义，全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，角平分线的判定与性质等知识，熟练证明三角形全等是解答本题的关键． 证明，证明，再利用全等三角形的性质即可判断①②；由可得，再由，证得即可判断③；分别过作，，根据全等三角形面积相等和，证得，即可得平分，但无法得到平分，可判断④；由平分结合即可判断⑤． 【解答】解：， ，即， 和都是等腰直角三角形， ，， 在和中，， ， ，，故①②符合题意； 设与交于点， ， ， ，， ， ，即，故③符合题意； 分别过作，，垂足分别为、， ， ， 平分， ， 若平分， ， ，而， ， ， 但未必相等， 故④不符合题意； 平分，， ，故⑤符合题意． 综上，正确的是①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 35.如图，中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④平分；其中正确的结论是     ①②③      ．（填正确结论的序号） 【答案】①②③ 【解析】由三角形的角平分线的含义结合三角形的内角和定理可判断①，先证明与， 结合可判断②，由，，可得，，再证明{{\,//\,}}， 可判断③，若平分，推导{{\,//\,}}，这个显然与条件矛盾，可判断④； 【解答】解：在中， ，， 又、分别平分、， ， ，故①正确． ， 又， ， ， 又，， ， ，，， 在和中， ， ， ， ，故②正确， ，， ，，， ， ， {{\,//\,}}， ， ，故③正确， 若平分，则， {{\,//\,}}， ， ， {{\,//\,}}，这个显然与条件矛盾，故④错误； 故答案为：①②③． 三、解答题汇编 36.（25-26·河北月考）如图，在的网格中，每一小格均为正方形且边长是，已知． （1）画出中边上的高； （2）用一条线段将分成面积相等的两部分（线段的端点是小正方形的顶点）； （3）画一个格点三角形，使之与全等． 【答案】见解答 见解答 见解答 【解析】（1）根据三角形高的概念和网格的特点求解即可； （2）根据三角形中线的性质求解即可； （3）根据网格的特点和全等三角形的概念求解即可． 【解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，作的中点，连接，线段即为所求； （3）如图所示， 37.（25-26·福建月考）根据下列语句，用尺规作图，不要求写作法： （1）过点作直线； （2）作，使，，． 【答案】见解答 见解答 【解析】（1）作，直线即为所求； （2）作线段，分别以，为圆心，，为半径作弧，两弧交于点，连接，，即为所求． 【解答】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，即为所求． 38.（25-26·甘肃月考）如图，，，，，为的中点． （1）求的长； （2）求的度数． 【答案】； ． 【解析】（1）由得，．再由为的中点即可求解； （2）由得，，从而求得，进而利用周角定义即可求解． 【解答】（1）解：， ，． 又为的中点， ， ； （2）解：， ，． ， ， ， ． 39.（25-26·河北月考）如图，延长直角三角尺的直角边至点，连接，点在直角边上，连接并延长，交于点．已知，，． 为证明，嘉嘉正确的解答过程如下： 证明：， ， 在和中， ，， ， （ ）． （1）将嘉嘉的过程补充完整，处应填_______，处应填_______； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，； ，理由见解析． 【解析】（1）本题主要考查了全等三角形的判定和性质，垂直定义，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 由，得，然后通过“”即可证明； 由，则，然后通过三角形内角和定理，对顶角相等得，然后通过垂直定义即可求解． 【解答】（1）解：证明：， ， 在和中， ，，， ， 故答案为：，； （2）解：，理由如下， ， ， ，， ， ． 40.（25-26·河南期中）如图，和都是等边三角形，点在的延长线上 （1）求证：； （2）若，，求的长； 【答案】证明见解答； 【解析】（1）根据等边三角形的性质，由即能判定； （2）根据等边三角形的性质和全等三角形的性质，即可得出，，进而得到,即可求解． 【解答】（1）解：证明：和都是等边三角形， ， ， ， 在 和中， ， ； （2）解： ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 41.（25-26·全国期中）如图，中，，为延长线上一点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】答案见解答 【解析】（1）用直角三角的判断方法，直接判定即可； （2）先根据等腰三角形的性质，求出的度数，再求出的度数，由的全等求出，由的全等和等腰三角形的性质求出，最后根据外角的性质，即可得出答案． 【解答】（1）解：证明：， ， 在和中 ， ，即； （2）， ， ， ， ， ， ， ． 42.（25-26·江苏期中）如图，中，平分，且平分，于，于． （1）求证：； （2）探究和的数量关系，并说明理由． 【答案】见解答； ，理由见解析 【解析】（1）连接、，先证出，，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先证出，根据全等三角形的性质可得，进一步利用线段的和差进行证明即可． 【解答】（1）解：证明：如图，连接、， 且平分， ， 平分，于，于， ，， 在与中， ， ， ． （2）解：平分，于，于， ，， 在与中， ， ， ， 由已证：， ， 43.（25-26·江苏期中）如图，在中，分别以，为边向外作等边三角形、等边三角形，与相交于点． （1）求证：． （2）求的度数． （3）连接，求证：平分． 【答案】见解答 见解答 【解析】（1）通过证明来证明； （2）利用中全等得角相等，结合三角形内角和求； （3）通过作垂线，证明，得到，结合角平分线的判定定理证明． 【解答】（1）解：和都是等边三角形 ，即 在和中： （2）解：由知 在中： 将代入： 则 是等边三角形 （3）解：过点作于，于 由知， ， 在和中， ． ． 又， 平分（到角两边距离相等的点在角的平分线上） 44.（25-26·辽宁期中）已知等边三角形，点是直线上一点，连接， ，且，连接交直线于点 ． （1）如图，当点在的延长线上时，过点作，交于点， ①求证： ； ②试确定线段的数量关系___________； （2）如图，当点在的延长线上时，中②的结论是否发生变化？若不发生变化，请证明；若发生变化，写出结论并证明． 【答案】①证明见解析；② 结论变化，，证明见解析 【解析】（1）①由等边三角形的性质得，进而可得，再利用平行线的性质可得，进而由“”即可求证；②由全等三角形及等边三角形的性质可证，即可证明，得到，进而由即可求证； 过点作，交的延长线于，同理①可证，得到，，再证明，得到，进而得到，即可求证； 本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 【解答】（1）解：①证明：是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ； ②， ，， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：中②的结论变化，新结论为：． 证明：过点作，交的延长线于， 是等边三角形 ，， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ． 45.（25-26·广东期中）已知：是的角平分线，且． （1）如图，求证：； （2）如图，，点在上，连接并延长交于点，交的延长线于点，且，连接． ①求证：； ②若，且，求的长． 【答案】见解答 ①见解析；② 【解析】（1）用证明，即得； （2）①证明可得，再用证明，即得； ②过作于，由，可得，，而，故，即得，根据，可求． 【解答】（1）解：证明：是的角平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ． （2）①在中，， 又， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ②如图，过点分别作于，于，交的延长线于点，过点作于． ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， 又， ， ， 又， ， ，，， ， ， 又， ， ， ． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级期末基础知识复习 易错点避坑指南及习题汇编 第14章 全等三角形 本章是初中几何证明的核心章节，承接《三角形》的基础性质，聚焦全等三角形的定义、性质、判定定理及综合应用，重点考查 “全等三角形的判定与证明”“对应边与对应角的识别”“辅助线的构造与应用”“实际问题的几何建模” 四大能力。本专题将系统梳理知识脉络、突破几何证明的逻辑难点、规避常见易错点，助力期末高效备考。 一、基础铺垫：全等三角形的核心定义与性质 准确理解全等三角形的定义、掌握 “对应关系” 的本质，是判定全等、推导结论的前提，需重点把握 “对应边 / 角相等” 的核心性质与应用场景。 1. 全等三角形的定义与表示 定义：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形。完全重合意味着：① 形状相同（对应角相等）；② 大小相同（对应边相等）。 对应元素： 对应顶点：重合的顶点（如△ABC≌△DEF，A 与 D、B 与 E、C 与 F 是对应顶点）； 对应边：重合的边（AB 与 DE、BC 与 EF、AC 与 DF 是对应边）； 对应角：重合的角（∠A 与∠D、∠B 与∠E、∠C 与∠F 是对应角）。 表示方法：用符号 “≌” 表示，读作 “全等于”。书写规范：对应顶点必须按顺序书写（如△ABC≌△DEF，不可写成△ABC≌△DFE，避免对应关系混乱）。 2. 全等三角形的性质（核心考点） 全等三角形的 “对应元素” 具有相等关系，是证明线段相等、角相等的重要依据，具体性质如下： 对应元素 性质 应用场景 对应边 全等三角形的对应边相等 证明两条线段相等（如 “要证 AB=CD，可证含 AB、CD 的三角形全等”） 对应角 全等三角形的对应角相等 证明两个角相等（如 “要证∠A=∠B，可证含∠A、∠B 的三角形全等”） 对应线段 全等三角形的对应中线、对应高线、对应角平分线相等 证明三角形的重要线段相等（如 “证 AD=BE，AD、BE 分别是全等三角形的中线”） 周长与面积 全等三角形的周长相等、面积相等 计算三角形的周长或面积（如 “已知△ABC≌△DEF，S△ABC=8，则 S△DEF=8”） 易错警示：若对应顶点书写错误，会导致对应边、对应角判断失误。例如△ABC≌△DFE，正确对应边是 AB 与 DF、BC 与 FE、AC 与 DE，而非 AB 与 DE。 二、核心突破：全等三角形的判定定理 全等三角形的判定是本章核心技能，需根据已知条件灵活选择判定定理，避免误用 “SSA” 等无效条件，具体定理对比与应用场景如下： 1. 全等三角形的五大判定定理（高频考点） 定理名称 符号表示 适用条件 关键注意事项 示例（已知条件选定理） 边边边 SSS 两个三角形的三条对应边分别相等 无需角的条件，适用于 “已知三边” 或 “可推导出三边相等” 的场景 已知 AB=DE、BC=EF、AC=DF，用 SSS 判定△ABC≌△DEF 边角边 SAS 两个三角形的两条对应边分别相等，且这两条边的夹角相等 必须是 “两边的夹角”，不可是 “一边的对角”（即 SSA 不成立） 已知 AB=DE、∠B=∠E、BC=EF，用 SAS 判定（∠B 是 AB 与 BC 的夹角） 角边角 ASA 两个三角形的两个对应角分别相等，且这两个角的夹边相等 必须是 “两角的夹边”，夹边是两个角的公共边或关联边 已知∠A=∠D、AB=DE、∠B=∠E，用 ASA 判定（AB 是∠A 与∠B 的夹边） 角角边 AAS 两个三角形的两个对应角分别相等，且其中一个角的对边相等 由 ASA 推导而来，适用于 “已知两角及非夹边” 的场景 已知∠A=∠D、∠B=∠E、BC=EF，用 AAS 判定（BC 是∠A 的对边） 斜边直角边 HL 直角三角形的斜边和一条直角边分别相等 仅适用于直角三角形，不可用于锐角 / 钝角三角形 已知 Rt△ABC 与 Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，AB=DE（斜边）、AC=DF（直角边），用 HL 判定 易错警示： SSA 不成立：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等； HL 的适用范围：仅直角三角形，若用 HL 判定非直角三角形，直接错误。 2. 判定定理的选择策略（核心技能） 根据已知条件的数量与类型，优先选择简便的判定定理，避免冗余推导： 已知 “三边”→选 SSS； 已知 “两边 + 一角”→先看角是否为夹角，是则选 SAS，否则不可判定（SSA 无效）； 已知 “两角 + 一边”→若边是夹边选 ASA，若边是对边选 AAS（ASA 与 AAS 可灵活转化）； 已知 “直角三角形”→优先看是否有斜边 + 直角边，是则选 HL，否则用 SSS或SAS或ASA或AAS。 3. 常见全等模型（辅助识别） 通过图形特征快速识别全等三角形，常见模型如下： 模型类型 图形特征 对应关系 平移型 两个三角形沿某一直线平移后重合（对应边平行或共线） 对应边平行，对应角相等（如△ABC 沿 BC 方向平移得△DEF，AB∥DE、AC∥DF） 翻折型 两个三角形沿某一直线翻折后重合（有公共边或公共角） 有公共边（如 BC 是公共边）或公共角（如∠A 是公共角），对应边 / 角关于对称轴对称 旋转型 两个三角形绕某一点旋转一定角度后重合（对应顶点连线过旋转中心） 旋转角相等（如∠BAD=∠CAE），对应边相等（AB=AD、AC=AE） 三、核心技能：全等三角形的证明与对应关系识别 全等三角形的证明核心是 “找已知条件→定对应关系→选判定定理→写规范证明”，需熟练掌握对应边 / 角的识别方法与证明步骤。 1. 对应边与对应角的识别方法 方法 1：根据对应顶点书写顺序识别（最可靠）若△ABC≌△DEF，则对应边：AB↔DE、BC↔EF、AC↔DF；对应角：∠A↔∠D、∠B↔∠E、∠C↔∠F。 方法 2：根据图形特征识别 公共边：两个三角形的公共边一定是对应边（如△ABC 与△DBC 有公共边 BC，BC↔BC）； 公共角：两个三角形的公共角一定是对应角（如△ABC 与△ADC 有公共角∠A，∠A↔∠A）； 对顶角：对顶角一定是对应角（如∠AOB 与∠COD 是对顶角，∠AOB↔∠COD）； 最长 / 最短边：两个三角形中最长边对应最长边，最短边对应最短边； 最大 / 最小角：两个三角形中最大角对应最大角，最小角对应最小角。 2. 全等三角形的证明步骤（规范流程） 找已知：从题目中提取已知条件（如 “AB=DE”“∠A=∠D”），标注在图形上； 补隐含：挖掘图形中的隐含条件（公共边、公共角、对顶角相等）； 定对应：确定待证全等三角形的对应顶点、对应边、对应角； 选定理：根据已知条件 + 隐含条件，选择合适的判定定理（如 SSS、SAS）； 写证明：按 “在△XXX 和△XXX 中→列出全等条件→∴△XXX≌△XXX（定理）→∴对应边 / 角相等” 的格式书写。 3. 常见辅助线做法（突破难点） 当直接证明全等条件不足时，需构造辅助线补充条件，常见做法如下： 做法 1：倍长中线（已知三角形中线，证线段相等）步骤：延长中线 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE，构造△ADC≌△EDB（SAS，AD=DE、∠ADC=∠EDB、CD=BD），转化线段 AC=BE。 做法 2：截长补短（已知角平分线，证线段和差）步骤：① 截长：在 AB 上截取 AE=AC，连接 DE，构造△AED≌△ACD（SAS，AE=AC、∠EAD=∠CAD、AD=AD）；② 补短：延长 AC 至 F，使 AF=AB，连接 DF，构造△ABD≌△AFD。 做法 3：作高（已知角平分线或直角，证线段相等）步骤：过角平分线上一点作两边的垂线，利用 “角平分线性质” 得垂线段相等，再证直角三角形全等（HL）。 四、综合应用：全等三角形的实际与几何综合 期末考查重点分为两类：一是全等三角形的实际建模（如测量距离），二是与几何图形（平行线、三角形、四边形）的综合证明，需掌握建模思路与综合推理方法。 1. 实际应用：全等三角形的建模 常见场景：① 测量不可直接到达的距离（如池塘宽度、山高）；② 证明物体形状相等（如两块三角形钢板全等）；③ 确定位置关系（如证明两条线段垂直）。 建模步骤： 抽象几何图形：将实际问题转化为三角形模型（如 “测量池塘 AB 宽度”→抽象为△ABC 与△DEC）； 构造全等条件：通过操作（如取中点、作平行线）使两个三角形满足全等判定定理（如 ASA、SAS）； 推导实际距离：利用全等三角形对应边相等，将未知距离转化为已知距离。 2. 几何综合：与其他图形的结合 核心考点：① 与平行线结合：利用 “两直线平行，内错角 / 同位角相等” 补充全等条件；② 与三角形性质结合：利用 “等腰三角形等边对等角”“三角形内角和” 推导对应角相等；③ 与四边形结合：利用 “平行四边形对边相等”“矩形四个角为直角” 构造全等三角形。 解题思路： 分解图形：将复杂图形分解为两个或多个待证全等的三角形； 关联性质：用平行线、等腰三角形等性质补充全等所需的边或角； 逐步推导：先证三角形全等，再用全等性质推导线段 / 角相等，最终解决问题。 五、易错点避坑指南 易错类型 易错表现 避坑技巧 对应关系错误 1. 对应顶点书写混乱（如△ABC≌△DFE 写成△ABC≌△DEF）；2. 误将非对应边 / 角当作对应元素（如用 AB=DF、BC=DE、∠A=∠D 判定 SSA）。 1. 书写全等时，严格按 “对应顶点顺序” 书写，如 A→D、B→E、C→F，则△ABC≌△DEF；2. 识别对应边 / 角时，优先用 “公共边、公共角、对顶角”，或标注 “最长边对应最长边”。 判定定理误用 1. 用 SSA 判定全等（如已知 AB=DE、AC=DF、∠B=∠E，误判△ABC≌△DEF）；2. 直角三角形误用 SSA（如不用 HL，用 SSA 判定）；3. 忽略 “夹” 的条件（如 SAS 中用非夹角）。 1. 牢记 “SSA 不成立”，遇到 “两边 + 一角” 先看角是否为夹角；2. 直角三角形优先用 HL（已知斜边 + 直角边），无斜边时用其他定理；3. SAS 判定时，在角的两边标注 “夹边”，明确角是两边的夹角。 隐含条件遗漏 1. 忽略公共边（如△ABC 与△DBC 有公共边 BC，未用 BC=BC）；2. 忽略公共角（如△ABC 与△ADC 有公共角∠A，未用∠A=∠A）；3. 忽略对顶角（如∠AOB 与∠COD 是对顶角，未用∠AOB=∠COD）。 1. 画图时用红笔标注公共边、公共角、对顶角，明确 “这些条件无需额外证明，可直接用”；2. 证明前先列 “已知条件 + 隐含条件”，确保条件不遗漏。 证明步骤不规范 1. 全等条件未按 “定理顺序” 列出（如 SSS 中先列角再列边）；2. 缺少 “在△XXX 和△XXX 中” 的前提；3. 未注明判定定理（如只写 “∴△ABC≌△DEF”，漏写 “（SSS）”）；4. 未用全等性质推导最终结论（如证完全等，漏写 “∴AB=CD”）。 1. 严格按 “前提→条件→定理→结论” 四步书写： 前提：“在△XXX 和△XXX 中”； 条件：按定理顺序列边 / 角（SSS 按边列，SAS 按 “边→角→边” 列）； 定理：“∴△XXX≌△XXX（定理）”； 结论：“∴对应边 / 角相等（全等性质）”。 辅助线错误 1. 作辅助线后未说明做法（如 “延长 AD 至 E”，未说明 “使 DE=AD”）；2. 辅助线构造后未证明相关条件（如倍长中线后，未证∠ADC=∠EDB）。 1. 作辅助线时，完整描述 “操作 + 条件”，如 “延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE”；2. 辅助线构造后，先证明由此产生的相等边 / 角（如对顶角、公共边），再用判定定理。 六、备考策略 夯实基础：定理与对应关系双过关 默写五大判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），标注适用条件与注意事项； 画图训练：画平移、翻折、旋转型全等三角形，标注对应边 / 角，强化 “对应关系” 识别。 突破难点：模型与辅助线专项练 模型训练：针对 “倍长中线”“截长补短”“角平分线作高” 三类高频辅助线，各练 5-8 道典型题，总结 “辅助线做法→全等条件→结论推导” 的固定流程； 综合训练：练 “全等 + 平行线”“全等 + 等腰三角形”“全等 + 平行四边形” 的综合题，学习 “分解图形→关联性质→逐步推导” 的思路。 规范书写：按模板统一格式 给学生提供 “全等证明模板”，要求严格按格式书写，如： 模板：在△XXX 和△XXX 中， ∴△XXX≌△XXX（XXX）。 ∴XX=XX/∠XXX=∠XXX（全等三角形对应边 / 角相等）。 错题复盘：聚焦高频错误整理 “对应关系错误”“SSA 误用”“步骤不规范” 三类典型错题，标注错误原因（如 “未识别公共边”“对应顶点写错”），重做时重点检查易错点，形成 “避坑笔记”。 复习口诀 全等三角形，定义要记详：完全重合形，对应是核心。对应边相等，对应角也等，中线高角分，周长面积同。判定有五种，灵活来选用：三边对应等，SSS 来证明；两边夹一角，SAS 要记牢；两角夹一边，ASA 最简便；两角对一边，AAS 也能辨；直角三角形，HL 特殊用，斜边加直边，全等立判定。证题步骤清，前提条件明：先找已知和隐含，对应关系要确定，定理选对列条件，最后推得结论成。实际应用中，建模是关键，构造全等形，距离轻松算。 一、选择题汇编 1.下列选项中的两个图形属于全等形的是（      ） A. B. C. D. 2.（25-26·四川期中）下列说法正确的是（   ） A.形状相同的两个三角形全等 B.能够完全重合的两个三角形全等 C.面积相等的两个三角形全等 D.两个等边三角形全等 3.（25-26·江苏期中）如图，已经，、在同一条直线上，则下列结论错误的是（    ） 4.（25-26·全国期中）三个全等三角形按下图的形式摆放，，，则的度数等于（   ） A. B. C. D. 5.（25-26·江苏期中）如图，点，，在同一直线上，若，，，则的长为（   ） A. B. C. D. 6.（24-25·全国同步）如图，四边形中，垂直平分，垂足为，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D.平分 7.（25-26·山西期中）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合．过角尺顶点的射线即是的平分线．这种做法是利用了全等三角形对应角相等，图中判断三角形全等的依据是（    ） A. B. C. D.无法确定 8.（25-26·甘肃期中）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（   ） 9.（25-26·青海期中）如图，已知，是上的点，，，且，，则可以直接判定的依据是（   ） A. B. C. D. 10.（25-26·全国期中）如图，，，且点在上，点在上，添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（    ） A. B. C. D. 11.（25-26·海南开学）如图，在中，已知与的面积相等，如果，，那么的取值范围是（    ） A. B. C. D. 12.（25-26·重庆开学）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A. B. C. D. 13.（24-25·河南月考）如图，，，是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（   ） A.三条角平分线的交点位置 B.三条高的交点位置 C.三边的中垂线的交点位置 D.三条中线的交点位置 14.（25-26·河北期中）课堂上老师给出问题∶在中，，使用尺规在上作出点 ，使得．如图是给出的部分作图痕迹，图是嘉嘉和淇淇各自补充的作图，则下列选项说法正确的是（   ） A.嘉嘉，淇淇的作法都对 B.嘉嘉，淇淇的作法都不对 C.嘉嘉的作法对，淇淇的作法不对 D.嘉嘉的作法不对，淇淇的作法对 15.（25-26·全国期中）如图，在中，以点为圆心，长为半径作弧与交于点，连接，以点为圆心，适当长为半径作弧分别与和交于点和，再分别以点和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点，作射线交于点，若，则的大小为（    ） A. B. C. D. 16.（25-26·黑龙江期中）如图，是中的平分线，于点，交于点，，则长是（   ） A. B. C. D. 17.（24-25·浙江模拟）如图，是的中线，下列说法错误的是（    ） A.和全等 B.若平分，则是等腰三角形 C.若，则是等腰三角形 D.若点到和的距离相等，则 18.（24-25·山东期中）如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于 A. B. C. D. 19.（25-26·黑龙江期中）如图，与都是等边三角形（锐角），连接交于点交于点交于点，给出下列结论：①；②；③连接则平分；④．上述结论中正确的个数有（   ） A.个 B.个 C.个 D.个 20.（25-26·黑龙江月考）如图，在和中，，，，是的中线，、、三点在一条直线上，连接，．以下五个结论，其中正确的有（    ）． ①；②；③；④；⑤． A.①②③⑤ B.①②④⑤ C.①②③④ D.①②③④⑤ 二、填空题汇编 21.（24-25·全国同步）如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是___________，的对应角是____________． 22.（25-26·福建期中）如图，，，，，则__________． 23.（25-26·全国期中）一个三角形的三条边的长分别是，，，另一个三角形的三条边的长分别是，，．若这两个三角形全等，则的值是__________． 24.（25-26·山东月考）如图，，，，则________． 25.（25-26·浙江期中）如图，在中，点在上，点在上，连接、．若，，，，则的度数为___________． 26.（25-26·天津月考）如图，在锐角三角形外作等边三角形和等边三角形，则的大小为_____________． 27.（24-25·甘肃期中）如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则_______． 28.（24-25·山东期中）如图，线段，射线，垂足为点，点是射线上一动点，分别以，为直角边作等腰直角三角形，得与，连接交射线于点，则的长为______________． 29.（24-25·江苏月考）如图，已知在中，平分，，则_______________. （用含的代数式表示）. 30.如图，一块余料，，现进行如下操作以点为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧在内部相交于点，画射线，交于点．连结、．若，则的大小是      _度． 31.（25-26·河南期中）如图，已知中，平分，为边上的点，连接．解决以下问题： ___________； 若，则_________． 32.（25-26·江苏月考）如图，的外角的平分线与内角平分线交于点，若，则________________ 33.（25-26·全国期中）如图，过边长为的等边三角形的边上一点，作于为延长线上一点，当时，连接交边于，则的长为___________． 34.（25-26·山东期中）如图，已知和都是等腰直角三角形，，，交于点，连接，下列结论：①；②；③；④平分；⑤，其中结论正确的序号是____________． 35.如图，中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④平分；其中正确的结论是          ．（填正确结论的序号） 三、解答题汇编 36.（25-26·河北月考）如图，在的网格中，每一小格均为正方形且边长是，已知． （1）画出中边上的高； （2）用一条线段将分成面积相等的两部分（线段的端点是小正方形的顶点）； （3）画一个格点三角形，使之与全等． 【答案】见解答 见解答 见解答 【解析】（1）根据三角形高的概念和网格的特点求解即可； （2）根据三角形中线的性质求解即可； （3）根据网格的特点和全等三角形的概念求解即可． 【解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，作的中点，连接，线段即为所求； （3）如图所示， 37.（25-26·福建月考）根据下列语句，用尺规作图，不要求写作法： （1）过点作直线； （2）作，使，，． 38.（25-26·甘肃月考）如图，，，，，为的中点． （1）求的长； （2）求的度数． 39.（25-26·河北月考）如图，延长直角三角尺的直角边至点，连接，点在直角边上，连接并延长，交于点．已知，，． 为证明，嘉嘉正确的解答过程如下： 证明：， ， 在和中， ，， ， （ ）． （1）将嘉嘉的过程补充完整，处应填______，处应填____； （2）判断与的位置关系，并说明理由． 40.（25-26·河南期中）如图，和都是等边三角形，点在的延长线上 （1）求证：； （2）若，，求的长； 41.（25-26·全国期中）如图，中，，为延长线上一点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 42.（25-26·江苏期中）如图，中，平分，且平分，于，于． （1）求证：； （2）探究和的数量关系，并说明理由． 43.（25-26·江苏期中）如图，在中，分别以，为边向外作等边三角形、等边三角形，与相交于点． （1）求证：． （2）求的度数． （3）连接，求证：平分． 44.（25-26·辽宁期中）已知等边三角形，点是直线上一点，连接， ，且，连接交直线于点 ． （1）如图，当点在的延长线上时，过点作，交于点， ①求证： ； ②试确定线段的数量关系___________； （2）如图，当点在的延长线上时，中②的结论是否发生变化？若不发生变化，请证明；若发生变化，写出结论并证明． 45.（25-26·广东期中）已知：是的角平分线，且． （1）如图，求证：； （2）如图，，点在上，连接并延长交于点，交的延长线于点，且，连接． ①求证：； ②若，且，求的长． 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $