第十三章三角形期末基础知识复习、易错点避坑指南、备考策略及同步习题 2025-2026学年人教版数学八年级上册

八年级期末基础知识复习 易错点避坑指南及习题汇编 第13章 三角形 本章是初中几何的入门章节，是后续学习四边形、圆等几何图形的基础，核心围绕三角形的定义、性质、重要线段及多边形的相关计算展开，重点考查 “三角形三边关系的应用”“内角和与外角性质的计算”“重要线段的作图与理解”“多边形内角和与外角和的运用” 四大能力。本专题将系统梳理知识脉络、突破几何语言与图形分析的难点、规避常见易错点，助力期末高效备考。 一、基础铺垫：三角形的核心定义与分类 准确理解三角形的定义、掌握分类标准，是分析三角形性质、解决几何问题的前提，需重点把握 “三边关系” 的本质与分类的依据。 1. 三角形的定义与构成要素 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形。 构成要素： 边：组成三角形的三条线段（用两个顶点字母表示，如边 AB、BC、AC；或用对边与角的小写字母对应，如∠A 对边为 a，∠B 对边为 b，∠C 对边为 c）； 角：三角形相邻两边组成的角（共 3 个，分别记为∠A、∠B、∠C，顶点为 A、B、C）； 顶点：三条线段的公共端点（共 3 个，A、B、C）。 表示方法：用符号 “△” 表示，记作△ABC，读作 “三角形 ABC”（顶点字母顺序可任意）。 2. 三角形的分类（核心考点） 三角形有两种常见分类方式，需根据不同场景灵活运用： 分类标准 类型 定义与特征 按边的关系分 不等边三角形 三条边都不相等的三角形 等腰三角形 有两条边相等的三角形（相等的边叫腰，第三边叫底边；两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角） 等边三角形（特殊等腰） 三条边都相等的三角形（三个角也相等，均为 60°） 按角的关系分 锐角三角形 三个角都是锐角（小于 90°）的三角形 直角三角形 有一个角是直角（等于 90°）的三角形（直角所对的边叫斜边，另外两边叫直角边） 钝角三角形 有一个角是钝角（大于 90° 且小于 180°）的三角形 易错警示：等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形；直角三角形和钝角三角形统称为 “斜三角形”，锐角三角形的三条高线均在三角形内部。 3. 三角形的三边关系定理（高频考点） 核心定理：三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边。用字母表示（设三边为 a、b、c：a+b>c，a+c>b，b+c>a；|a-b|<c，|a-c|<b，\b-c|<a。 常见应用：① 判断三条线段能否构成三角形：只需验证 “较短两边的和是否大于最长边”（无需逐一验证，简化计算）；② 求第三边的取值范围：设已知两边为 a、b（a≥b），则第三边 c 的范围为a-b<c<a+b； 易错点：忽略 “任意” 二字，误认为 “只要两边和大于第三边” 即可。 二、核心突破：三角形的重要线段与性质 三角形的重要线段（中线、高线、角平分线）是连接 “形” 与 “量” 的桥梁，内角和与外角性质是角度计算的核心依据，需熟练掌握其定义、性质与应用。 1. 三角形的重要线段（核心技能） 三角形的三条中线、三条高线、三条角平分线均交于一点，分别称为重心、垂心、内心，具体定义与性质如下： 线段类型 定义 性质 作图要点 中线 连接三角形一个顶点与对边中点的线段（共 3 条） ① 三条中线交于一点（重心），重心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍；② 一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形（等底同高）。 1. 找对边的中点（用刻度尺或尺规作图找中点）；2. 连接顶点与中点，即为中线。 高线（高） 从三角形一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段（共 3 条） ① 三条高线交于一点（垂心）；② 高线的位置：- 锐角三角形：三条高均在三角形内部；- 直角三角形：两条高与直角边重合，一条高在内部；- 钝角三角形：两条高在三角形外部，一条高在内部。 1. 过顶点作对边所在直线的垂线（用三角板的直角边贴合对边，另一直角边过顶点）；2. 标注垂足，顶点到垂足的线段即为高线。 角平分线 平分三角形一个内角且交对边于一点的线段（共 3 条） ① 三条角平分线交于一点（内心），内心到三角形三边的距离相等；② 角平分线上任意一点到角两边的距离相等（逆定理：到角两边距离相等的点在角平分线上）。 1. 用尺规作图法平分内角（以顶点为圆心画弧交两边，再以交点为圆心画弧找交点，连接顶点与交点）；2. 角平分线与对边的交点到顶点的线段即为角平分线。 易错警示：作钝角三角形的高线时，需延长对边，高线在三角形外部（如钝角△ABC 中，∠A 为钝角，作 BC 边上的高需延长 BC，过 A 作延长线的垂线）； 角平分线的 “距离” 指 “垂线段的长度”，不是 “线段的长度”（如角平分线上一点到顶点的距离不相等，到两边的垂线段距离相等）。 2. 三角形的内角和定理与推论（高频考点） 内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。证明方法：通过剪拼（将三个角拼成平角）或作平行线（过一个顶点作对边的平行线，利用平行线的性质转化角）。 重要推论：① 直角三角形的两个锐角互余（∠A+∠B=90°，若∠C=90°）；② 有两个角互余的三角形是直角三角形（推论①的逆用）；③ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；④ 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。 易错点：应用外角性质时，混淆 “相邻” 与 “不相邻” 的内角（如误将外角等于 “相邻内角的和”，实际外角等于 “不相邻两内角的和”）； 计算直角三角形角度时，漏用 “两锐角互余”，直接用内角和计算（虽正确，但效率低）。 3. 多边形的内角和与外角和（核心考点） 三角形是最简单的多边形，多边形的内角和与外角和是三角形性质的延伸，需掌握公式的推导与应用： 多边形类型 内角和公式 外角和性质 正多边形的每个内角 / 外角 n 边形（n≥3，且 n 为整数） (n-2)×180°\)（推导：将 n 边形分成 n-2 个三角形，每个三角形内角和 180°） 任意多边形的外角和恒为 360°（与边数 n 无关） 每个内角：；每个外角：（正多边形的外角相等） （1）常见应用 求多边形的边数：已知内角和或外角和，列方程求解；。 求正多边形的内角或外角：利用 “每个外角 = 360°/n” 快速计算（比内角和公式更简便）。 （2）易错点 内角和公式记错； 混淆 “内角和” 与 “外角和”（内角和随边数增加而增大，外角和恒为 360°）。 三、核心技能：三角形性质的综合应用 三角形性质的应用核心是 “数形结合”，通过图形分析已知条件，利用三边关系、内角和、重要线段性质解决计算与证明问题。 1. 三边关系的应用 判断能否构成三角形：只需验证 “较短两边之和> 最长边”； 求第三边范围：设已知两边为 a、b（a≥b），则第三边 c 满足a-b<c<a+b； 求周长范围：结合第三边范围求周长 范围。 2. 角度计算的方法 直接计算：利用内角和定理（∠C=180°-∠A-∠B）或外角性质（∠外角 =∠A+∠B）； 方程思想：设未知数，根据角度关系（如互余、互补、外角等于不相邻内角和）列方程；。 利用重要线段：如角平分线平分内角（∠BAD=∠CAD）、直角三角形两锐角互余。 3. 重要线段的应用 中线与面积：一条中线分三角形为两个等面积的三角形（等底同高），多条中线可将三角形分为面积相等的小三角形； 角平分线与距离：利用 “角平分线上的点到两边距离相等” 求线段长度；。 高线与面积：三角形面积S=×底×高，已知面积和底可求高，反之亦然。 四、综合应用：实际问题与几何证明 期末考查重点分为两类：一是三角形性质的实际建模（如稳定性、距离计算），二是与三角形有关的简单证明（如角度相等、线段相等），需掌握建模与证明的基本思路。 1. 实际应用：三角形性质的建模 常见场景：① 稳定性应用：三角形具有稳定性（四边形具有不稳定性），如自行车车架、篮球架底座设计成三角形；② 距离最短：利用 “两点之间线段最短” 或 “垂线段最短”（如从 A 到直线 BC 的最短距离是 A 到 BC 的垂线段长度）；③ 角度测量：利用三角形内角和或外角性质测量不可直接到达的角（如测量山的顶角）。 解题步骤： 审：分析题意，找出实际问题中的三角形模型（如 “自行车车架” 对应△ABC）； 构：画出示意图，标注已知条件（如边长、角度、高线）； 用：利用三角形性质（如稳定性、内角和、三边关系）解决问题； 答：用完整语言回答实际问题（带单位）。 2. 几何证明：简单角度与线段证明 常见题型：① 证明角度相等：利用角平分线定义、等腰三角形性质、平行线性质、三角形内角和推论；② 证明线段相等：利用等腰三角形 “等角对等边”、全等三角形（后续学习）、中线定义； 证明思路： 找已知：从题目中提取已知条件（如 “AD 是角平分线”→∠BAD=∠CAD）； 联性质：关联相关三角形性质（如已知∠BAD=∠CAD，AD⊥BC→△ABC 是等腰三角形）； 推结论：逐步推导，每一步注明依据（如 “由角平分线定义得”“由三角形内角和定理得”）。 五、易错点避坑指南 易错类型 易错表现 避坑技巧 概念类错误 1. 混淆三角形的分类标准（如将 “等腰三角形” 归为按角分类）；2. 误将 “正三角形” 与 “等腰三角形” 并列（正三角形是特殊的等腰三角形）；3. 多边形 “边数” 与 “内角和” 对应错误（如误将五边形内角和算为 5×180°）。 1. 牢记 “按边分看边长，按角分看角度”，用表格对比分类；2. 明确 “特殊与一般” 关系：正三角形⊂等腰三角形，直角三角形⊂斜三角形；3. 熟记多边形内角和公式，计算前先标边数 n。 性质类错误 1. 三边关系忽略 “任意”二字；2. 高线位置判断错误；3. 外角性质误用。 1. 判断三边能否构成时，只验证 “较短两边之和> 最长边”；2. 画钝角三角形的高时，延长对边，明确 “钝角对边的高在外部”；3. 应用外角性质前，标注 “相邻内角” 与 “不相邻内角”，避免混淆。 计算类错误 1. 三角形内角和计算漏减；2. 正多边形内角计算错误；3. 利用中线求面积时，漏乘 2。 1. 内角和计算口诀：“三个角加起来，凑够 180°”，计算后验证；2. 正多边形计算优先算外角，再用 180°- 外角得内角；3. 牢记 “中线分三角形为两个等面积三角形”，总面积 = 2× 小面积。 作图类错误 1. 作高线时，未标注垂足（或垂足位置错误）；2. 作角平分线时，未用尺规作图，导致角度平分不准确；3. 作中线时，未找对边中点，直接连接顶点与对边上任意一点。 1. 作图时严格按步骤：作高线标垂足，作角平分线用尺规（两弧交点法），作中线先找中点；2. 作图后检查：中线是否平分对边，角平分线是否平分内角，高线是否垂直于对边。 证明类错误 1. 证明角度相等时，缺少依据（如直接说 “∠A=∠B”，未说明理由）；2. 混淆 “角平分线的定义” 与 “角平分线的性质”（如误将 “到两边距离相等” 当 “角平分线定义”）。 1. 证明每一步都要注明依据（如 “由三角形内角和定理得”“由角平分线性质得”）；2. 明确：角平分线定义是 “平分内角”（角的关系），角平分线性质是 “到两边距离相等”（线段关系）。 六、备考策略 夯实基础：图形与概念结合记忆 用 “画图法” 记忆三角形的分类、重要线段：画锐角、直角、钝角三角形，分别作出三条中线、高线、角平分线，标注交点（重心、垂心、内心），直观理解位置关系； 默写三角形三边关系、内角和定理、多边形内角和与外角和公式，结合简单例题巩固（如求第三边范围、计算正六边形内角）。 突破难点：针对性训练核心题型 针对 “角度计算”：多练 “含未知数的内角和问题”“外角与内角的综合计算”，总结 “设未知数→列方程→求解” 的流程； 针对 “重要线段应用”：重点练 “中线与面积”“角平分线与距离”“高线与面积” 的计算，熟练掌握面积公式的变形； 针对 “多边形”：多练 “已知内角和求边数”“正多边形内角与外角的计算”，掌握公式的逆用。 规范步骤：避免逻辑与书写漏洞 角度计算题：写出 “依据（如内角和定理）→算式→结果”，； 作图题：写出作图步骤（如 “1. 找 BC 中点 D；2. 连接 AD，AD 即为中线”），保留作图痕迹（如弧、垂足）； 证明题：按 “已知→求证→证明” 格式书写，每一步推理都要有依据，避免 “跳步”。 错题复盘：聚焦高频错误整理 “三边关系判断错误”“高线位置错误”“内角和计算漏减” 三类典型错题，标注错误原因（如 “概念混淆”“步骤遗漏”），重做时重点关注易错点，形成 “避坑笔记”。 复习口诀 三角形，三要素，边角顶点要记住；按边分，不等腰，等边特殊等腰属；按角分，锐直钝，直角两锐互余补。三边关系很重要，两边之和大于第三边，两边之差小于它，构成三角形全靠它。三条线，要记牢，中线分积等，高线垂直底，角平分线距等。内角和，一百八，外角等于不相邻和，多边形，内角和，(n-2) 乘一百八，外角和，三百六，不管边数怎么变。实际应用找模型，证明推理注依据，期末备考多练习，几何入门没问题。 一、选择题汇编 1.（25-26·山东月考）下列说法正确的是（    ） A.三条线段组成的图形叫三角形 B.三角形的角平分线是射线 C.任何一个三角形都有三条高、三条中线和三条角平分线 D.三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 【答案】C 【解析】本题主要考查对三角形定义，三角形的角平分线、中线、高等知识点的理解和掌握，能熟练地运用定义进行说理是解此题的关键．根据三角形定义，三角形的角平分线、中线、高的定义判断即可． 【解答】解：、由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接作出的图形叫三角形，故错误； 、三角形的角平分线是线段，故错误； 、任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，故正确； 、三角形的高所在的直线交于一点，这一点可以是三角形的直角顶点，故错误； 故选：． 2.（25-26·河北月考）如图，以点为顶点的三角形共有（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】D 【解析】此题主要考查了三角形的定义，解题的关键是理解三角形的定义：由三条都不共线的线段首尾相连围成的图形得出三角形个数．根据三角形的定义得出答案即可． 【解答】解：以点为顶点的三角形有，共有个 故选：． 3.（25-26·四川期中）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（    ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 【答案】C 【解析】本题考查的是三角形的分类，根据钝角三角形的定义作答即可． 【解答】解：由三角形中有个已知角为钝角， 这个三角形是钝角三角形； 故选 4.（25-26·北京期中）若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（    ） A. B. C. D.或 【答案】A 【解析】本题考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，运用分类讨论思想．解题关键是分情况讨论等腰三角形的腰长，再根据三边关系判断能否构成三角形；易错点是忽略三边关系的验证，误将不符合条件的情况计入，导致错选． 分情况讨论腰长： 情况一：假设腰长为，则三边为、、．根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，，不满足，舍去． 情况二：假设腰长为，则三边为、、．，满足三边关系，即可得周长． 【解答】等腰三角形两边长为和， 可能腰为、底为或腰为、底为． ①当腰为、底为时，三边为、、， ，不满足三角形三边关系， 不成立． ②当腰为、底为时，三边为、、， ，，均成立， 周长为． 故选：．  5.（24-25·广东期中）中，是边上的中线，若，，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了全等三角形的应用，三角形三边关系的应用．延长到，使，连接，根据两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等可证明，根据全等三角形的对应边相等得出，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可求解． 【解答】解：延长到，使，连接，如图： 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ． 故选： ． 6.木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的和），这样做的根据是（ ） A.矩形的对称性 B.矩形的四个角都是直角 C.三角形的稳定性 D.两点之间线段最短 【答案】C 【解析】根据三角形具有稳定性解答． 【解答】门框为防止变形钉上两条斜拉的木板条的根据是三角形具有稳定性． 故选． 7.（25-26·全国期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（    ） A. B.或 C. D.或 【答案】B 【解析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形中线的性质，一元一次方程的应用，根据题意先画出图形，设腰，由中线性质可得，再分和两种情况，列出方程解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【解答】解：如图，中，，为的中线， 设腰， 为的中线， ， 中线将它的周长分成和两部分, 当时，， 解得； 当时，， 解得； 等腰三角形的腰长为或， 故选：． 8.（25-26·浙江月考）如图所示，在中，已知点、、分别在边、、的中点，且阴影部分面积是，则的面积等于（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了根据三角形中线求面积．点是的中点，可以得到（等底等高），所以，点是的中点，可以得到（等底等高），（等底等高），，最后由，即可得答案． 【解答】解：在中，点是的中点， ， ， 又，， ， 点是的中点， ， ，， ， 又， ． 故选：．  9.（25-26·山东月考）如图，在中，，是的高线，是的角平分线，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】利用角平分线的定义可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理可求出的度数，再结合，即可求出的度数． 【解答】解： 是的角平分线， ． 是的高， ． 在中，， ， ， 的度数为 故选． 10.（25-26·广东月考）如图，中边上的高是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】三角形高的定义是：从三角形的一个顶点向对边引垂线，从顶点到垂足之间的线段是三角形的高，据此可判断． 【解答】边对应的顶点是，， 是边上的高． 故选：． 11.（25-26·浙江月考）如图，中，，是边上一动点，过作于，于．则下列结论正确的是（    ） A.四边形面积不变 B.的值不变 C.的值有最小值 D.的值不变 【答案】B 【解析】本题考查与三角形的高有关的计算，连接，作于点，等面积法得到，即可得出结果． 【解答】解：连接，作于点， 则：，， ， ， ， ， 故的值不变， 四边形的面积，的值均随着点的变化而变化， 故选． 12.（25-26·全国期中）如图，的两条高相交于点，若，，，则的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查全等三角形的性质，求三角形的面积．由全等三角形面积相等、对应边相等，可得，，进而可得． 【解答】解： ，，是的高， ， ， ，， ， ， 故选． 13.（25-26·广东期中）如图，在中，，，则为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角的性质以及等腰三角形的性质．此类题目考查学生分析各角之间关系的能力，运用所学的三角形知识点求解． 根据三角形外角的性质以及等腰三角形的性质．由可得，即可求解． 【解答】解：在中，，， ， 又， ． 故选：． 14.（25-26·浙江期中）如图，已知，，为 中点，，则 的度数为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，由直角三角形斜边上的中线的性质得，所以，又， 则，然后通过等边对等角得，最后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题关键． 【解答】解：，， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， 故选：．   15.（24-25·河北期末）如图，，与的平分线相交于点，于点，为上的一点，且，于点．下列说法：①；②；③；④若，则．其中正确的有（    ） A.①②③④ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 【答案】 A 【解析】 ①中，运用平行线的性质以及三角形的内角和性质列式，化简作答；②中，根据等角的余角相等，得，故；③中，根据三角形的面积公式进行作答；④运用四边形内角和度以及，得出，再结合角平分线的性质，证明全等，即可作答．此题的综合性较强，运用了平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和公式、等边对等角、三角形的面积公式、角平分线的概念． 【解答】 解： ， 与的平分线相交于点， ， ； 故①是正确的； ②中， 故②是正确的； ， （等底同高）； 故③是正确的； 在四边形中，． 又， 则， 故④是正确的． 故选：．  16.如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于，下面说法正确的是（      ）①的面积的面积；②；③；④． A.①②③④ B.①②③ C.②④ D.①③ 【答案】B 【解析】根据三角形中线的性质可证明①；根据三角形的高线可得，利用三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件无法判定④． 【解答】是中线，， 的面积的面积等底等高的三角形的面积相等，故正确； 是角平分线， ， 为高， ， ， ，， ， ，， ，故正确； 为高， ， ， ，， ， 是的平分线， ， ， 即，故正确； 根据已知条件不能推出，即不能推出，故错误； 故此题答案为． 17.（25-26·内蒙古月考）如图，在中，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接，下列结论：①； ②；③；④的最小值是；⑤四边形的面积是定值．其中正确的个数有（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】C 【解析】先证明出，再根据全等三角形的性质，圆内接四边形的判定和性质推出其他选项，即可得到答案． 【解答】解：，， 为等腰直角三角形， 点是的中点， ，平分，且， ， 又， ， ， 故①正确； ， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ， ； 故②正确； ， ， ， ，， 故③错误； 当时，的最小，如图所示： 是等腰直角三角形，， 是等腰直角三角形， ， ， 故④正确； ，， ， ， ，， ， ， 四边形的面积是，为定值， 故⑤正确， 即正确的有个， 故选：．  18.（25-26·江苏期中）如图，中，，的角平分线，相交于点，延长至，使，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.①③④ 【答案】A 【解析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据角平分线的定义以及三角形内角和定理可，可判断①；证明，可得，从而得到，可判断②；根据，可得，再结合角平分线的定义可得，可得到，可判断③；根据，可得，从而得到，可判断④． 【解答】解：， ， ，为的角平分线， ， ， ，故①正确； ，，， ， ， ， ， 即，故②正确； ， ， 平分， ， ， ， ，故③正确； ， ， ，故④正确； 故选： 19.（25-26·河南月考）如图，中，平分，平分，与相交于点，、、都是的外角平分线，设，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的是（    ） A.①②③④ B.①②③ C.②③④ D.③④ 【答案】B 【解析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质， 根据角平分线的定义得，再根据三角形内角和定理得，再结合可解答①；先根据三角形内角和定理和角平分线定义得， 再根据平角定义可得 ，进而说明②；对于③结合可判断；先根据三角形外角的性质得，再根据角平分线的定义得出，即可判断④. 【解答】解：平分，平分， ， 在中，， ； 所以①正确； 和是的外角平分线， 在中，， ， ， ； 所以②正确； 由上述可知： ； 所以③正确； 平分， 是的外角，是的外角. ， ，， 即， ， 即； 所以④不正确. 则正确的有①②③. 故选： 20.（25-26·广东期中）如图，在中，和的平分线相交于点交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③；④若，则．其中正确的结论是（    ） A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 【答案】D 【解析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的判定与性质，由角平分线的定义和三角形内角和定理可求解和的关系，进而判定①；根据得，根据角平分线和三角形内角和定理得，在上取一点，使，利用证明可得，利用可证明得，进而可判定②；没有条件证明②；作于，于，根据题意得，根据，利用三角形面积即可判断④，即可得． 【解答】解：和的平分线，相交于点， ，， ， 故①正确； ， ， ，分别是和的平分线， ， ， ， ， 如图所示，在上取一点，使， 是的角平分线， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故②正确； ③不一定成立，故③错误 如图所示，作于，于， 和的平分线相交于点， 点在的平分线上， ， ， ， 故④正确； 综上，①②④正确， 故选：． 二、填空题汇编 21.（25-26·北京月考）如图所示，图中共有____5___个三角形，用符号表示为______，，，，_______，其中以为边的三角形是______，，______，以为一个内角的三角形是___，______． 【答案】见解答。 【解析】本题考查了三角形的知识，关键是熟练掌握三角形的边及角； 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形，据此找出图中所有的三角形并确定三角形的个数； 找出以点和另外一点组成的三角形，就是以为边的三角形.观察各三角形，还能确定以为内角的三角形. 【解答】解：图中共有个三角形，分别是，，，，； 以为边的三角形有：，，； 以为一个内角的三角形是：，； 故答案为：；，，，，；，，；， ． 22.（25-26·河南月考）中，如果是的倍，且比大，那么是____直角________三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【答案】直角 【解析】本题考查的是三角形内角和定理．设，得到，，根据三角形内角和定理，列式计算求得各内角的度数，根据角度来判定三角形的类别． 【解答】解：设， 是的倍， ， 比大， ， ， ， 解得， ，，， 是直角三角形． 故答案为：直角． 23.（25-26·广东期中）一个等腰三角形的一边长为，周长为，则底边长为____6________． 【答案】 【解析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 由于等腰三角形的一边长为，可能是腰长或底边长，需分情况讨论，并利用三角形三边关系验证． 【解答】解：设等腰三角形的腰长为，底边长为，则周长为：， 若一边长为是腰长，则，代入解得：， 此时三边分别为、、，但，不符合三角形三边关系，故不成立，舍去； 若一边长为是底边长，则，代入解得：， 此时三边分别为、、，满足，符合三角形三边关系； 故答案为：6 24.（25-26·天津期中）在中，，，则的中线取值范围是____________． 【答案】 【解析】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，延长到，使，由“”可证和全等，可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可得解． 【解答】解：如图，延长到，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 即， ． 故答案为：．  25.（25-26·四川月考）已知三角形的三边长为，，，则化简的结果为_______8_______． 【答案】8 【解析】本题考查三角形三边关系的应用，此类求范围的问题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式组，然后解不等式组即可．根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；可得的取值范围，进而得到化简结果． 【解答】解：由三角形三边关系定理得， 解得． ． 故答案为： 26.（25-26·黑龙江期中）如图，在中，是边上的中线，，与交于点，若的面积等于．设的面积为，的面积为，则____________． 【答案】 【解析】本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，解方程，熟练掌握中线的意义是解题的关键． 设边上的高为，根据题意，得，，结合得．根据是边边上的中线，的面积等于 ，得到，结合的面积为的面积为，得到即，连接，根据，得到，根据是边上的中线，，继而得到，得到，代入解答即可． 【解答】解：设边上的高为， 根据题意，得，， ， ， 是边上的中线，的面积等于 ， ， 的面积为，的面积为， ，即， 如图，连接， ， ， 是边上的中线，， ， 解得， 故． 故答案为：．  27.（24-25·重庆开学）如图，中，，于，，点在上移动，则的最小值是_______________． 【答案】 【解析】本题考查了与三角形高有关的计算，垂线段最短，根据题意，当时，有最小值，利用即可解答． 【解答】解：根据题意得：当时，有最小值， 中，，于，， ， ， ， 故答案为：．  28.（25-26·江苏月考）如图，在中，和的平分线交于点，过作，分别交于点，交于点，若，，则线段的长为________8___________. 【答案】8 【解析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边，熟练掌握等角对等边是解答本题的关键．根据角平分线的定义得出，，根据平行线的性质得出，，推得，，根据等角对等边得出，，即可求解． 【解答】解：和的平分线交于点， ，， ， ，， ，， ，， ． 故答案为：． 29.（25-26·山西期中）如图，是等边的边上的中线，，则的度数为______15°_____． 【答案】度 【解析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是利用等边三角形的中线性质求出相关角的度数，结合等腰三角形等边对等角的性质推导角度关系． 根据等边三角形性质，得出，为中线则平分且求出和；由可得为等腰三角形，利用内角和求出的度数；最后通过与的差求出的度数． 【解答】解：是等边三角形， ，． 是边上的中线， 平分（等边三角形三线合一）， ，． 是等腰三角形，． 在中，， ， 即， 解得． ， ． 故答案为：．  30.（25-26·四川期中）如图，在中，，点在上，且，点在的延长线上，且，则的大小为_________． 【答案】 【解析】根据等边对等角可得，进而求得,进而即可求得． 【解答】 ，， 设， 故答案为：． 31.（25-26·山东月考）如图，在中，，，的高与中线相交于点，则以下结论正确的是______①③______．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】①③ 【解析】本题主要考查了三角形的中线、三角形的高、三角形内角和定理、等角对等边等知识点，灵活运用相关性质是解题的关键． 根据三角形的中线、三角形的高、三角形内角和定理、等角对等边逐个判断即可． 【解答】解：是的中线， ，即①正确； 是的中线，而不是角平分线， 不成立，即②错误； 在中，，， ， 是的高， ，即③正确； ， ， ，即④错误． 综上，正确的有①③． 故答案为：①③． 32.（25-26·吉林期中）如图，在中，，点分别在边上，点是线段的中点，，．给出下面四个结论： ①； ②； ③若平分，则； ④若，则是等边三角形． 上述结论中，正确结论的序号有____①②④_______． 【答案】①②④ 【解析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，等边三角形的判定，由三线合一定理可得，据此可判断①；根据等边对等角和三角形内角和定理可推出，进而得到，据此可判断②；若，则可导角证明，据此可判断④；根据现有条件无法证明③的结论． 【解答】解：，点是线段的中点， ，故①正确； ， ； 如图所示，连接， ， ， ， ， ，故②正确； 若，则， ， 又， 是等边三角形，故④正确； 若平分，根据现有条件无法证明，故③错误； 故答案为：①②④． 33.（25-26·广东期中）如图，在三角形中，点，是边上两点，点在边 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论：①；②；③；④若，则． 其中正确的结论是______①③④______（填写序号）． 【答案】①③④ 【解析】由折叠的性质可得，，则，，，由，可得，，则，由，可得，则，进而可判断①的正误；由题意知，无法判断与的关系，进而可判断②的正误；由，则，，可得，即，进而可判断③的正误；根据，可得，整理得，即，则，进而可判断④的正误； 【解答】 解：由折叠的性质可得，， ，，， ， ，， ， ， ， ，①正确，故符合要求； ，无法判断与的关系，②错误，故不符合要求； ， ， ， ， ，③正确，故符合要求； ， ， ， ， ，即， ，④正确，故符合要求； 故答案为：①③④．  34.（25-26·河南月考）如图，已知、的角平分线、相交于点，，，垂足分别为、．现有四个结论： ①平分；②；③；④． 其中结论正确的为____①②③_______．（填写结论的编号） 【答案】①②③ 【解析】①过点做，因为平分，可以得到，再证明即可得出结论； ②根据和都是角平分线，即可得到，根据外角定理，可以得到，即可得到结论； ③由①可得，，故，因为，所以，代入得，即可得出结论； ④由①可得，，故，即可得出结论． 【解答】解：①过点做，如图所示： 是的平分线， 是的角平分线， ，故①正确； ②和分别是和的角平分线以及三角形内角和为 外角定理 ，故②正确； ③由①可得，，且 以及四边形内角和为 ，故③正确； ③由①可得，，且 ，故④错误； 故答案为：①②③． 35.（25-26·江苏月考）如图，中，，的角平分线相交于点，延长至，使，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有___①②③⑤_________． 【答案】①②③⑤ 【解析】由角平分线可求，则，可判断①的正误；则，证明，则，，，可求，即，可判断②的正误；由，，，证明，可判断③的正误；由，，可知当时，即时，，，由的大小未知，可判断④的正误；由，可判断⑤的正误． 【解答】解：，的角平分线相交于点， ，， ， ，①正确，故符合题意； ， ， ， ，，， ，即，②正确，故符合题意； ， ， ， ， ， 又，， ，③正确，故符合题意； ， 由题意知，，， 当时，即时，，， 的大小未知， ④错误，故不符合题意； 由题意知，，⑤正确，故符合题意； 综上，正确的有①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 三、解答题汇编 36.（25-26·云南月考）如图，的顶点都在方格纸的格点上，其中每个格子的边长为个单位长度． （1）画出中边上的中线； （2）画出中边上的高； （3）的面积为_______个平方单位． 【答案】见解答 见解答 8 【解析】（1）根据三角形的中线的概念作图即可： （2）根据三角形的高的概念作图即可： （3）根据三角形的面积公式，计算即可． 【解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，面积为， 故答案为：8 37.（25-26·陕西期中）在中，，，．若的长度是奇数，求的周长． 【答案】 【解析】本题考查了三角形的三边关系及条件应用．先根据三角形的三边关系确定的取值范围，再结合和的长度为奇数的条件确定的值，最后计算周长． 【解答】解：在中，，， 根据三角形三边关系，， 即， ， 又，即， ， 的长度是奇数， ， 的周长为． 38.（25-26·江西期中）如图，在中，，，是高，是角平分线，求与的度数． 【答案】， 【解析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后求解即可． 【解答】解：，， ， 是角平分线， ， 是高， ， ． 39.（25-26·青海月考）如图，已知，分别是的边上的高和中线，若 ，，． （1）求的长度； （2）求的面积； （3）求和的周长之差． 【答案】 的面积是 和的周长的差是 【解析】（1）根据的面积两种求法计算即可； （2）直接用面积公式计算即可； （3）由于是中线，那么，于是可得的周长与的周长差，代入计算即可． 【解答】（1）解：是边上的高， ， ， 即． （2）是边的中线，， ． 由可知， ， 的面积是 （3）为边上的中线， ， 的周长的周， 即和的周长的差是． 40.（25-26·陕西期中）如图，在中，，点在的延长线上，连接，平分交于点，过点作，垂足为点，与相交于点． （1）判断的形状，并说明理由 （2）求证：． 【答案】等腰三角形，理由见解答 见解答 【解析】（1）根据等边对等角，可得，然后利用三角形内角和定理，可证，结合对顶角相等，可得，从而判定其为等腰三角形； （2）不妨设，然后利用三角形内角和定理，分别表示出，即可得证． 【解答】（1）解：等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）证明： 平分交于点， ， 设， ，， ． 41.（25-26·上海期中）如图，已知：在中，，平分（为外一点），． （1）求证：是等腰三角形； （2）如果，求证：． 【答案】见解答 见解答 【解析】（1）根据已知结合三角形内角和定理得出，根据等角对等边即可得证； （2）过点作，垂足为点，根据三线合一可得，进而证明得出，即可得． 【解答】（1）解：证明：，平分， ． ，， ． ． ， 即是等腰三角形． （2）证明：过点作，垂足为点． ，， ． ，， ． 在和中， ． ． ． 42.（25-26·河南期中）如图，在中，点和点分别在和边上，且，连接并延长交的延长线于点，，取的中点，连接并延长交于点． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】的度数为； 的度数为． 【解析】（1）根据推出，再利用三角形内角和定理即可求解； （2）根据等腰三角形三线合一的性质可得，推出，再利用三角形的外角性质和三角形内角和定理即可求解． 【解答】（1）解：， ， ， ， 即的度数为； （2）解：的中点为， ，即是的中线， 又， ，， ， 又， ， 又， ， ， ， 即的度数为． 43.（25-26·辽宁期中）如图．于于，延长交的延长线于点，连接． （1）试判断，，的数量关系．并说明理由； （2）若，求的度数． 【答案】，理由见解析 【解析】（1）过作交于，先证明，得到，，再证明，得到，即可得到； （2）先求出，则，由得，则． 【解答】（1）解：，理由如下： 过作交于，则， ， ，， ，， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ，， ， ， ； （2）解：， ， ， 由得， ． 44.（25-26·福建期中）已知是等边三角形中边上一点（不与点重合，且满足），点关于直线的对称点为点．连接，延长交直线于点 （1）如图，若，直接写出的度数； （2）如图，若，，求的长； （3）如图，连接，当点在运动过程中，请探究线段之间的数量关系，并证明． 【答案】 ，证明见解答 【解析】（1）根据等边三角形及翻折的性质可求出的值以及，在根据三角形内角和定理求出的值，然后在中根据三角形内角和定理求解的值即可； （2）方法同先求出，然后在上截取，使，连接，如图，可知是等边三角形，根据，，得到，证明，最后根据计算求解即可； （3）由可得，证明过程同． 【解答】（1）解：由等边三角形及翻折的性质得， ，， ， ， ， 的度数为； （2）解：由可得， ，， ， ， 如图，在上截取，使，连接， 由题意知， 是等边三角形， ，， ， 在和中 ， ， ， ， ， 的长为； （3）解：； 证明如下：由可得，点在运动过程中，是定值， 如图，在上截取，使，连接， 同理可知是等边三角形， ，， ， 在和中 ， ， ， ， ． 45.（25-26·黑龙江期中）【问题提出】 （1）如图①，在中，，点为外一点，点为延长线上一点，点为线段上一点，于点，于点，且．则线段，，之间满足的数量关系是_________； （2）如图②，已知等边三角形及外一点，连接，，．若，试判断，，之间满足的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，在中，，点为外一点，且，，求的度数． 【答案】 ，见解析 【解析】（1）根据题意，证明，得，即可解决问题； （2）在上截取，根据等边三角形的判定与性质，证明，即可解答； （3）延长至点，使，在上取点，使，连接，，，证明，，即可解答． 【解答】（1）解：，， ， 在和中， ， ， ， ； 故答案为：； （2），理由如下： 如图（2），在上截取， 是等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 又， ； （3）如图③，延长至点，使，在上取点，使，连接，，， ， 为等边三角形，， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，，， ， ， ，，， ， ， ． 第 1 页 共 60 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级期末基础知识复习 易错点避坑指南及习题汇编 第13章 三角形 本章是初中几何的入门章节，是后续学习四边形、圆等几何图形的基础，核心围绕三角形的定义、性质、重要线段及多边形的相关计算展开，重点考查 “三角形三边关系的应用”“内角和与外角性质的计算”“重要线段的作图与理解”“多边形内角和与外角和的运用” 四大能力。本专题将系统梳理知识脉络、突破几何语言与图形分析的难点、规避常见易错点，助力期末高效备考。 一、基础铺垫：三角形的核心定义与分类 准确理解三角形的定义、掌握分类标准，是分析三角形性质、解决几何问题的前提，需重点把握 “三边关系” 的本质与分类的依据。 1. 三角形的定义与构成要素 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形。 构成要素： 边：组成三角形的三条线段（用两个顶点字母表示，如边 AB、BC、AC；或用对边与角的小写字母对应，如∠A 对边为 a，∠B 对边为 b，∠C 对边为 c）； 角：三角形相邻两边组成的角（共 3 个，分别记为∠A、∠B、∠C，顶点为 A、B、C）； 顶点：三条线段的公共端点（共 3 个，A、B、C）。 表示方法：用符号 “△” 表示，记作△ABC，读作 “三角形 ABC”（顶点字母顺序可任意）。 2. 三角形的分类（核心考点） 三角形有两种常见分类方式，需根据不同场景灵活运用： 分类标准 类型 定义与特征 按边的关系分 不等边三角形 三条边都不相等的三角形 等腰三角形 有两条边相等的三角形（相等的边叫腰，第三边叫底边；两腰的夹角叫顶角，腰与底边的夹角叫底角） 等边三角形（特殊等腰） 三条边都相等的三角形（三个角也相等，均为 60°） 按角的关系分 锐角三角形 三个角都是锐角（小于 90°）的三角形 直角三角形 有一个角是直角（等于 90°）的三角形（直角所对的边叫斜边，另外两边叫直角边） 钝角三角形 有一个角是钝角（大于 90° 且小于 180°）的三角形 易错警示：等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形；直角三角形和钝角三角形统称为 “斜三角形”，锐角三角形的三条高线均在三角形内部。 3. 三角形的三边关系定理（高频考点） 核心定理：三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边。用字母表示（设三边为 a、b、c：a+b>c，a+c>b，b+c>a；|a-b|<c，|a-c|<b，\b-c|<a。 常见应用：① 判断三条线段能否构成三角形：只需验证 “较短两边的和是否大于最长边”（无需逐一验证，简化计算）；② 求第三边的取值范围：设已知两边为 a、b（a≥b），则第三边 c 的范围为a-b<c<a+b； 易错点：忽略 “任意” 二字，误认为 “只要两边和大于第三边” 即可。 二、核心突破：三角形的重要线段与性质 三角形的重要线段（中线、高线、角平分线）是连接 “形” 与 “量” 的桥梁，内角和与外角性质是角度计算的核心依据，需熟练掌握其定义、性质与应用。 1. 三角形的重要线段（核心技能） 三角形的三条中线、三条高线、三条角平分线均交于一点，分别称为重心、垂心、内心，具体定义与性质如下： 线段类型 定义 性质 作图要点 中线 连接三角形一个顶点与对边中点的线段（共 3 条） ① 三条中线交于一点（重心），重心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍；② 一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形（等底同高）。 1. 找对边的中点（用刻度尺或尺规作图找中点）；2. 连接顶点与中点，即为中线。 高线（高） 从三角形一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段（共 3 条） ① 三条高线交于一点（垂心）；② 高线的位置：- 锐角三角形：三条高均在三角形内部；- 直角三角形：两条高与直角边重合，一条高在内部；- 钝角三角形：两条高在三角形外部，一条高在内部。 1. 过顶点作对边所在直线的垂线（用三角板的直角边贴合对边，另一直角边过顶点）；2. 标注垂足，顶点到垂足的线段即为高线。 角平分线 平分三角形一个内角且交对边于一点的线段（共 3 条） ① 三条角平分线交于一点（内心），内心到三角形三边的距离相等；② 角平分线上任意一点到角两边的距离相等（逆定理：到角两边距离相等的点在角平分线上）。 1. 用尺规作图法平分内角（以顶点为圆心画弧交两边，再以交点为圆心画弧找交点，连接顶点与交点）；2. 角平分线与对边的交点到顶点的线段即为角平分线。 易错警示：作钝角三角形的高线时，需延长对边，高线在三角形外部（如钝角△ABC 中，∠A 为钝角，作 BC 边上的高需延长 BC，过 A 作延长线的垂线）； 角平分线的 “距离” 指 “垂线段的长度”，不是 “线段的长度”（如角平分线上一点到顶点的距离不相等，到两边的垂线段距离相等）。 2. 三角形的内角和定理与推论（高频考点） 内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。证明方法：通过剪拼（将三个角拼成平角）或作平行线（过一个顶点作对边的平行线，利用平行线的性质转化角）。 重要推论：① 直角三角形的两个锐角互余（∠A+∠B=90°，若∠C=90°）；② 有两个角互余的三角形是直角三角形（推论①的逆用）；③ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；④ 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。 易错点：应用外角性质时，混淆 “相邻” 与 “不相邻” 的内角（如误将外角等于 “相邻内角的和”，实际外角等于 “不相邻两内角的和”）； 计算直角三角形角度时，漏用 “两锐角互余”，直接用内角和计算（虽正确，但效率低）。 3. 多边形的内角和与外角和（核心考点） 三角形是最简单的多边形，多边形的内角和与外角和是三角形性质的延伸，需掌握公式的推导与应用： 多边形类型 内角和公式 外角和性质 正多边形的每个内角 / 外角 n 边形（n≥3，且 n 为整数） (n-2)×180°\)（推导：将 n 边形分成 n-2 个三角形，每个三角形内角和 180°） 任意多边形的外角和恒为 360°（与边数 n 无关） 每个内角：；每个外角：（正多边形的外角相等） （1）常见应用 求多边形的边数：已知内角和或外角和，列方程求解；。 求正多边形的内角或外角：利用 “每个外角 = 360°/n” 快速计算（比内角和公式更简便）。 （2）易错点 内角和公式记错； 混淆 “内角和” 与 “外角和”（内角和随边数增加而增大，外角和恒为 360°）。 三、核心技能：三角形性质的综合应用 三角形性质的应用核心是 “数形结合”，通过图形分析已知条件，利用三边关系、内角和、重要线段性质解决计算与证明问题。 1. 三边关系的应用 判断能否构成三角形：只需验证 “较短两边之和> 最长边”； 求第三边范围：设已知两边为 a、b（a≥b），则第三边 c 满足a-b<c<a+b； 求周长范围：结合第三边范围求周长 范围。 2. 角度计算的方法 直接计算：利用内角和定理（∠C=180°-∠A-∠B）或外角性质（∠外角 =∠A+∠B）； 方程思想：设未知数，根据角度关系（如互余、互补、外角等于不相邻内角和）列方程；。 利用重要线段：如角平分线平分内角（∠BAD=∠CAD）、直角三角形两锐角互余。 3. 重要线段的应用 中线与面积：一条中线分三角形为两个等面积的三角形（等底同高），多条中线可将三角形分为面积相等的小三角形； 角平分线与距离：利用 “角平分线上的点到两边距离相等” 求线段长度；。 高线与面积：三角形面积S=×底×高，已知面积和底可求高，反之亦然。 四、综合应用：实际问题与几何证明 期末考查重点分为两类：一是三角形性质的实际建模（如稳定性、距离计算），二是与三角形有关的简单证明（如角度相等、线段相等），需掌握建模与证明的基本思路。 1. 实际应用：三角形性质的建模 常见场景：① 稳定性应用：三角形具有稳定性（四边形具有不稳定性），如自行车车架、篮球架底座设计成三角形；② 距离最短：利用 “两点之间线段最短” 或 “垂线段最短”（如从 A 到直线 BC 的最短距离是 A 到 BC 的垂线段长度）；③ 角度测量：利用三角形内角和或外角性质测量不可直接到达的角（如测量山的顶角）。 解题步骤： 审：分析题意，找出实际问题中的三角形模型（如 “自行车车架” 对应△ABC）； 构：画出示意图，标注已知条件（如边长、角度、高线）； 用：利用三角形性质（如稳定性、内角和、三边关系）解决问题； 答：用完整语言回答实际问题（带单位）。 2. 几何证明：简单角度与线段证明 常见题型：① 证明角度相等：利用角平分线定义、等腰三角形性质、平行线性质、三角形内角和推论；② 证明线段相等：利用等腰三角形 “等角对等边”、全等三角形（后续学习）、中线定义； 证明思路： 找已知：从题目中提取已知条件（如 “AD 是角平分线”→∠BAD=∠CAD）； 联性质：关联相关三角形性质（如已知∠BAD=∠CAD，AD⊥BC→△ABC 是等腰三角形）； 推结论：逐步推导，每一步注明依据（如 “由角平分线定义得”“由三角形内角和定理得”）。 五、易错点避坑指南 易错类型 易错表现 避坑技巧 概念类错误 1. 混淆三角形的分类标准（如将 “等腰三角形” 归为按角分类）；2. 误将 “正三角形” 与 “等腰三角形” 并列（正三角形是特殊的等腰三角形）；3. 多边形 “边数” 与 “内角和” 对应错误（如误将五边形内角和算为 5×180°）。 1. 牢记 “按边分看边长，按角分看角度”，用表格对比分类；2. 明确 “特殊与一般” 关系：正三角形⊂等腰三角形，直角三角形⊂斜三角形；3. 熟记多边形内角和公式，计算前先标边数 n。 性质类错误 1. 三边关系忽略 “任意”二字；2. 高线位置判断错误；3. 外角性质误用。 1. 判断三边能否构成时，只验证 “较短两边之和> 最长边”；2. 画钝角三角形的高时，延长对边，明确 “钝角对边的高在外部”；3. 应用外角性质前，标注 “相邻内角” 与 “不相邻内角”，避免混淆。 计算类错误 1. 三角形内角和计算漏减；2. 正多边形内角计算错误；3. 利用中线求面积时，漏乘 2。 1. 内角和计算口诀：“三个角加起来，凑够 180°”，计算后验证；2. 正多边形计算优先算外角，再用 180°- 外角得内角；3. 牢记 “中线分三角形为两个等面积三角形”，总面积 = 2× 小面积。 作图类错误 1. 作高线时，未标注垂足（或垂足位置错误）；2. 作角平分线时，未用尺规作图，导致角度平分不准确；3. 作中线时，未找对边中点，直接连接顶点与对边上任意一点。 1. 作图时严格按步骤：作高线标垂足，作角平分线用尺规（两弧交点法），作中线先找中点；2. 作图后检查：中线是否平分对边，角平分线是否平分内角，高线是否垂直于对边。 证明类错误 1. 证明角度相等时，缺少依据（如直接说 “∠A=∠B”，未说明理由）；2. 混淆 “角平分线的定义” 与 “角平分线的性质”（如误将 “到两边距离相等” 当 “角平分线定义”）。 1. 证明每一步都要注明依据（如 “由三角形内角和定理得”“由角平分线性质得”）；2. 明确：角平分线定义是 “平分内角”（角的关系），角平分线性质是 “到两边距离相等”（线段关系）。 六、备考策略 夯实基础：图形与概念结合记忆 用 “画图法” 记忆三角形的分类、重要线段：画锐角、直角、钝角三角形，分别作出三条中线、高线、角平分线，标注交点（重心、垂心、内心），直观理解位置关系； 默写三角形三边关系、内角和定理、多边形内角和与外角和公式，结合简单例题巩固（如求第三边范围、计算正六边形内角）。 突破难点：针对性训练核心题型 针对 “角度计算”：多练 “含未知数的内角和问题”“外角与内角的综合计算”，总结 “设未知数→列方程→求解” 的流程； 针对 “重要线段应用”：重点练 “中线与面积”“角平分线与距离”“高线与面积” 的计算，熟练掌握面积公式的变形； 针对 “多边形”：多练 “已知内角和求边数”“正多边形内角与外角的计算”，掌握公式的逆用。 规范步骤：避免逻辑与书写漏洞 角度计算题：写出 “依据（如内角和定理）→算式→结果”，； 作图题：写出作图步骤（如 “1. 找 BC 中点 D；2. 连接 AD，AD 即为中线”），保留作图痕迹（如弧、垂足）； 证明题：按 “已知→求证→证明” 格式书写，每一步推理都要有依据，避免 “跳步”。 错题复盘：聚焦高频错误整理 “三边关系判断错误”“高线位置错误”“内角和计算漏减” 三类典型错题，标注错误原因（如 “概念混淆”“步骤遗漏”），重做时重点关注易错点，形成 “避坑笔记”。 复习口诀 三角形，三要素，边角顶点要记住；按边分，不等腰，等边特殊等腰属；按角分，锐直钝，直角两锐互余补。三边关系很重要，两边之和大于第三边，两边之差小于它，构成三角形全靠它。三条线，要记牢，中线分积等，高线垂直底，角平分线距等。内角和，一百八，外角等于不相邻和，多边形，内角和，(n-2) 乘一百八，外角和，三百六，不管边数怎么变。实际应用找模型，证明推理注依据，期末备考多练习，几何入门没问题。 一、选择题汇编 1.（25-26·山东月考）下列说法正确的是（    ） A.三条线段组成的图形叫三角形 B.三角形的角平分线是射线 C.任何一个三角形都有三条高、三条中线和三条角平分线 D.三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 2.（25-26·河北月考）如图，以点为顶点的三角形共有（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 3.（25-26·四川期中）如图所示，小手盖住了一个三角形的一部分，则这个三角形是（    ） A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 4.（25-26·北京期中）若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长为（    ） A. B. C. D.或 5.（24-25·广东期中）中，是边上的中线，若，，则的取值范围是（    ） A. B. C. D. 6.木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的和），这样做的根据是（ ） A.矩形的对称性 B.矩形的四个角都是直角 C.三角形的稳定性 D.两点之间线段最短 7.（25-26·全国期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成和两部分，则等腰三角形的腰长为（    ） A. B.或 C. D.或 8.（25-26·浙江月考）如图所示，在中，已知点、、分别在边、、的中点，且阴影部分面积是，则的面积等于（    ） A. B. C. D. 9.（25-26·山东月考）如图，在中，，是的高线，是的角平分线，则的度数是（    ） A. B. C. D. 10.（25-26·广东月考）如图，中边上的高是（    ） A. B. C. D. 11.（25-26·浙江月考）如图，中，，是边上一动点，过作于，于．则下列结论正确的是（    ） A.四边形面积不变 B.的值不变 C.的值有最小值 D.的值不变 12.（25-26·全国期中）如图，的两条高相交于点，若，，，则的面积为（    ） A. B. C. D. 13.（25-26·广东期中）如图，在中，，，则为（   ） A. B. C. D. 14.（25-26·浙江期中）如图，已知，，为 中点，，则 的度数为（     ） A. B. C. D. 15.（24-25·河北期末）如图，，与的平分线相交于点，于点，为上的一点，且，于点．下列说法：①；②；③；④若，则．其中正确的有（    ） A.①②③④ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 16.如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于，下面说法正确的是（      ）①的面积的面积；②；③；④． A.①②③④ B.①②③ C.②④ D.①③ 17.（25-26·内蒙古月考）如图，在中，，，点是的中点，点是边上的动点，连接，过点作交于点，连接，下列结论：①； ②；③；④的最小值是；⑤四边形的面积是定值．其中正确的个数有（    ） A.个 B.个 C.个 D.个 18.（25-26·江苏期中）如图，中，，的角平分线，相交于点，延长至，使，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.①③④ 19.（25-26·河南月考）如图，中，平分，平分，与相交于点，、、都是的外角平分线，设，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的是（    ） A.①②③④ B.①②③ C.②③④ D.③④ 20.（25-26·广东期中）如图，在中，和的平分线相交于点交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③；④若，则．其中正确的结论是（    ） A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 二、填空题汇编 21.（25-26·北京月考）如图所示，图中共有______个三角形，用符号表示为___________，其中以为边的三角形是_________，以为一个内角的三角形是_________． 22.（25-26·河南月考）中，如果是的倍，且比大，那么是_________三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 23.（25-26·广东期中）一个等腰三角形的一边长为，周长为，则底边长为__________． 24.（25-26·天津期中）在中，，，则的中线取值范围是________． 25.（25-26·四川月考）已知三角形的三边长为，，，则化简的结果为_____________． 26.（25-26·黑龙江期中）如图，在中，是边上的中线，，与交于点，若的面积等于．设的面积为，的面积为，则___________． 27.（24-25·重庆开学）如图，中，，于，，点在上移动，则的最小值是____________． 28.（25-26·江苏月考）如图，在中，和的平分线交于点，过作，分别交于点，交于点，若，，则线段的长为________________. 29.（25-26·山西期中）如图，是等边的边上的中线，，则的度数为__________． 30.（25-26·四川期中）如图，在中，，点在上，且，点在的延长线上，且，则的大小为_____． 31.（25-26·山东月考）如图，在中，，，的高与中线相交于点，则以下结论正确的是____________．（填序号） ①；②；③；④． 32.（25-26·吉林期中）如图，在中，，点分别在边上，点是线段的中点，，．给出下面四个结论： ①； ②； ③若平分，则； ④若，则是等边三角形． 上述结论中，正确结论的序号有_________． 33.（25-26·广东期中）如图，在三角形中，点，是边上两点，点在边 上，将三角形沿折叠得三角形，交于点，将三角形沿折叠恰好得到三角形，且．下列四个结论：①；②；③；④若，则． 其中正确的结论是____________（填写序号）． 34.（25-26·河南月考）如图，已知、的角平分线、相交于点，，，垂足分别为、．现有四个结论： ①平分；②；③；④． 其中结论正确的为_______．（填写结论的编号） 35.（25-26·江苏月考）如图，中，，的角平分线相交于点，延长至，使，连接交于点，则下列结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有__________． 三、解答题汇编 36.（25-26·云南月考）如图，的顶点都在方格纸的格点上，其中每个格子的边长为个单位长度． （1）画出中边上的中线； （2）画出中边上的高； （3）的面积为_______个平方单位． 37.（25-26·陕西期中）在中，，，．若的长度是奇数，求的周长． 38.（25-26·江西期中）如图，在中，，，是高，是角平分线，求与的度数． 39.（25-26·青海月考）如图，已知，分别是的边上的高和中线，若 ，，． （1）求的长度； （2）求的面积； （3）求和的周长之差． 40.（25-26·陕西期中）如图，在中，，点在的延长线上，连接，平分交于点，过点作，垂足为点，与相交于点． （1）判断的形状，并说明理由 （2）求证：． 41.（25-26·上海期中）如图，已知：在中，，平分（为外一点），． （1）求证：是等腰三角形； （2）如果，求证：． 42.（25-26·河南期中）如图，在中，点和点分别在和边上，且，连接并延长交的延长线于点，，取的中点，连接并延长交于点． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 43.（25-26·辽宁期中）如图．于于，延长交的延长线于点，连接． （1）试判断，，的数量关系．并说明理由； （2）若，求的度数． 44.（25-26·福建期中）已知是等边三角形中边上一点（不与点重合，且满足），点关于直线的对称点为点．连接，延长交直线于点 （1）如图，若，直接写出的度数； （2）如图，若，，求的长； （3）如图，连接，当点在运动过程中，请探究线段之间的数量关系，并证明． 45.（25-26·黑龙江期中）【问题提出】 （1）如图①，在中，，点为外一点，点为延长线上一点，点为线段上一点，于点，于点，且．则线段，，之间满足的数量关系是_________； （2）如图②，已知等边三角形及外一点，连接，，．若，试判断，，之间满足的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，在中，，点为外一点，且，，求的度数． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $