第十三章 三角形 章末强化试题 2026--2027学年人教版八年级数学上册

第十三章 三角形 章末强化试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册 一、单选题 1．下列长度的三条线段，能构成三角形的是（     ） A．2，3，5 B．3，3，6 C．3，4，8 D．3，4，5 2．如图，的值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，从顶点引出三条线段、、，其中：是边上的高，是角平分线，是边上的中线．下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（     ） A．三角形三条高线的交点一定在三角形的内部 B．三角形的外角等于两个内角之和 C．在中，， 则为钝角三角形 D．三角形三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心 6．如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并伸长，此时，减小了，则的外角的变化情况为（   ） A．增大 B．减小 C．增大 D．减小 7．如图，在中，是中线，点是中点，F在上，且．若的面积是1，则的面积为（     ） A． B．3 C．4 D．5 8．将一把直尺按如图所示的方式叠放在一块三角形纸片上，直尺的两个顶点，分别落在，边上，并与交于点和，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长可能为（     ） A．2 B．3 C．9 D．12 10．如图，，于点，点，，分别是，，上的点，连接，，．若平分，平分，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 11．若三角形的三边长分别是2，4，x，写出一个x可以取的整数值_____．（写出一个即可） 12．在中，若，则________． 13．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是_______． 14．如图，是的中线，，是的三等分点，连接，，，．如果的面积是24，那么图中阴影部分的面积和为_______． 15．在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为__________． 16．如图，是的角平分线，是的高，，，点为边上一点，当为直角三角形时，的度数为__________________． 三、解答题 17．已知a，b，c是的三边长，且a，b，c都是整数． (1)若，，且c是奇数，试判断的形状； (2)化简：． 18．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若平分，，，求的度数． 19．如图，是的角平分线，点E在上，交于点F，． (1)若，求的度数； (2)若，，求的度数． 20．如图，在中，是边上的动点，过点作交于，交的延长线于点． (1)若，，则 ， ； (2)在点运动的过程中，探究是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 21．在中，，是边上的高，是的平分线． (1)如图①，若，，求的度数； (2)如图②，若是的延长线上一点，于点，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． 22．如图，与交于点， (1)求证：； (2)如图，，，平分，，求证：； (3)如图，，平分，平分，与交于点，，，与交于点，试探究与的数量关系，并证明你的结论． 23．阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如，一个三角形三个内角的度数分别是，，，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3倍． (1)如图1，已知，在射线上取一点，作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与点，重合）．若，则_____“梦想三角形”，_____“梦想三角形”（均填“是”或“不是”）； (2)如图2，点在的边上，连接，平分交于点，作交于点，．若是“梦想三角形”，求的度数； (3)如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为_______． 24．数学探究 在中，已知． (1)如图1，，的平分线相交于点． ①当时，________；（直接写出结果） ②的度数为________；（用含的代数式表示） (2)如图2，，的平分线相交于点，作外角，的角平分线交于点．求的度数．（用含的代数式表示） (3)如图3，点，分别为，延长线上的一点，点，分别在内部和外部，且满足，，，．分别求，的度数．（用含、的代数式表示） 25．综合实践： 定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心． 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处悬吊起来，发现纸板处于水平状态． 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ (1)如图②，是的中线，则与的面积关系为：_______（填>、<或=）； (2)如图③，点是的重心，猜想与的面积之间的关系，并说明理由； (3)如图③，点是的重心，三条中线、、分别交、、于点、、，求的值； (4)如图④，点是的重心，且，若，，求四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D D D D C A B A 1．D 根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，判断各选项能否构成三角形即可． 解：A选项：最长边为5，，不满足三边关系，不能构成三角形，A选项错误； B选项：最长边为6，，不满足三边关系，不能构成三角形； C选项：最长边为8，，不满足三边关系，不能构成三角形； D选项：最长边为5，，满足三边关系，能构成三角形． 2．C 根据三角形内角和定理求解即可． 解：∵， ∴． 3．D 解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、不是边上的高，故此选项不符合题意； C、是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项符合题意． 4．D 根据三角形的中线，角平分线，高的定义，结合图形逐项分析判断，即可求解． 解：∵是边上的中线． ∴，故A正确， ∵是的角平分线， ∴，故B正确， ∵是边上的高， ∴，故C正确， 没有条件判断，故D错误， 故选：D． 5．D 根据钝角三角形三条高线交点在三角形外部，直角三角形三条高线交点在三角形的直角顶点上，可判断A，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可判断B，根据三角形内角和为，可判断C错误，根据三角形中线的性质可知，三角形三条中线一定交于一点，这个点称为三角形的重心，可判断D． A∵钝角三角形三条高线交点在三角形外部，直角三角形三条高线交点在三角形的直角顶点上， ∴不是所有三角形高线交点都在三角形内部，故A错误． B.∵三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和， ∴选项缺少限制条件，故B错误． C.∵三角形内角和为，， ∴最大角为， ∴是直角三角形，不是钝角三角形，故C错误． D.根据三角形中线的性质可知，三角形三条中线一定交于一点，这个点称为三角形的重心，故D正确． 6．D 计算出起吊物体前后的度数，可知减少了，已知减少了，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和可知减少了. 解：起吊物体前： ，为的平分线， ， ， 物体被吊起后： ，， ， 减少了， 又减小了， 减少了． 7．C 先求出，再求出，然后求出，由此即可得． 解：∵的面积是1，且， ∴， ∴， ∵点是中点， ∴， ∵在中，是中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的面积为． 8．A 根据题意得出，，再由平角得出，利用三角形内角和定理得出，再由平行线的性质得出，即可求解 解：根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 9．B 先根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合新定义分情况讨论，筛选出符合条件的结果，对照选项得到答案． 解：设三角形第三条边的长为， 根据三角形三边关系，得， ， 根据“倍长三角形”定义分情况讨论： ①若，则，不满足，舍去； ②若，则，满足，符合条件； ③若，则，满足，符合条件； ④若，则，不满足，舍去； 综上所述，符合条件的第三边长为或，对照选项，只有符合． 10．A 根据平行线的性质和角平分线定义，结合三角形内角和定理和垂线定义可以判断①②；根据，，得出，再根据三角形内角和定理，可以判断③；先根据，求出，再根据角平分线定义求出，然后根据平行线的性质求出，即可判断④． 解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ，故②正确； ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点F作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴，故④错误； 综上，正确的有①②③． 11．3（答案不唯一，3，4，5都正确） 根据三角形三边关系求出x的取值范围，再在范围内找出符合要求的整数值即可． 根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得， 化简得， 可取的整数值为3，4，5（答案不唯一）． 12． 本题利用三角形内角和定理，根据三个角的比例关系设未知数，求解出各角度数后计算角度差即可． 解：由题意设，则， 根据三角形内角和定理，得 解得 因此， 则． 13． 根据当时，的值最小，利用面积法求解即可． 解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． ∴线段的最小值是． 14．16 根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，以及等高三角形的面积比等于底边比的性质，分别求出各部分阴影三角形的面积，最后求和即可． 解：是的中线，的面积是24 ， ， 是的三等分点 ， ， ，， ∴图中阴影部分的面积和为． 15．3 根据，结合三角形面积公式可得，进而得到，据此可得答案． 解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 16．或 分和两种情况，分别根据角平分线、三角形高线、以及三角形的内角和定理求解即可． 解：是的角平分线，， ， 当时，， ； 当时，， ，， ， 综上，的度数为或． 17．(1)等腰三角形 (2) (1) 根据三角形三边关系确定的取值范围为，结合为奇数得，从而，判定为等腰三角形． (2) 利用三角形两边之和大于第三边判定三个绝对值内的代数式均为负数，去绝对值后合并同类项化简得． （1）解：∵a，b，c是的三边长 且，， ∴，即， ∵c是奇数， ∴， ∴ ∴是等腰三角形； （2）解：∵a，b，c是的三边长 ∴，，， ∴， ∴原式 ． 18．(1) (2) （1）根据三角形中线的定义可得，再根据三角形的面积公式解答即可； （2）根据三角形外角的性质可得，再结合角平分线的定义可得，根据是的高，可得，从而得到，再由角平分线的定义可得，即可解答． （1）解：是的中线，， ， 的面积为20，是的高， ， ． （2）解：，且，． ， 是的角平分线， ， ， 是的高， ， ， ． 平分， ， ． 19．(1)； (2)． （1）先根据角平分线的定义得，再根据直角三角形两锐角互余求解； （2）根据角平分线的定义和直角三角形两锐角互余求出，再根据三角形外角的性质求解即可． （1）解：是的平分线， ． ，则． 在中，， ； （2）解：∵是的平分线， ． ∵， ∴， ， ． 20．(1)， (2)是定值，定值为 （1）根据三角形的外角的性质求得，进而根据三角形内角和定理求得； （2）根据三角形的外角的性质可得；根据得出．即可得出． （1）解：，， ； ， ， ， （2）是定值，定值为． 是的外角， ； ， ， ， ， ． ， 即是定值，定值为． 21．(1) (2)，理由如下： ∵是边上的高， ∴， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即． （1）由可得，利用三角形内角和定理可得，从而得到，由角平分线的定义可得，最后使用三角形的内角和定理计算出； （2）仿照（1）的解法可得出，容易判断，则，因此． （1）解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． （2）略 22．(1)∵，， 又， ∴； (2)设，设与交于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； (3)，理由如下： 设，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， 由（1）的结论得，即， ∴， 在中，， ∵，， 由四边形内角和定理知， ∴， ∴， ∴． （1）根据三角形内角和定理结合对顶角相等即可证明； （2）设，设与交于点，求得，，根据平行线的性质结合三角形内角和定理求得，据此计算即可证明； （3）设，，利用（1）的结论得到，在中，求得，利用四边形内角和定理求得，据此计算即可得到． （1）略 （2）略 （3）略 23．(1)是，是 (2)的度数为或 (3)或 （1）根据三角形内角和为分别求解出与中每个角度，判断是否存在“某个内角的度数是另一个内角度数的3倍”即可； （2）先由平行线的性质以及角平分线的性质得到，再由平角的性质可得，根据三角形内角和为以及“梦想三角形”的定义列式求解即可； （3）先设出其余两个内角为，再由三角形内角和为以及“梦想三角形”的定义列式求解即可． （1）解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴是“梦想三角形”； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是“梦想三角形”； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是“梦想三角形”， 当，即，解得， 此时中，，满足条件； 当，即，解得， 此时中，，满足条件； 综上，的度数为或； （3）解：如果一个“梦想三角形”有一个角为， 设该“梦想三角形”的另外两个内角为， 则有， 当时，解得， 此时，故最小内角的度数为； 当时，解得，不满足题意； 当时，则有，解得， 此时，故最小内角的度数为； 综上，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为或． 24．(1)①；② (2) (3)； （1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行解答即可； （2）根据外角的性质、角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行解答即可； （3）根据外角的性质和三角形的内角和定理，进行解答即可． （1）解：①平分，平分， ，， ， 当时，； ②由①可知，． （2）解：，，    ．     点是的外角，的角平分线的交点， ，， ，     ． （3）解：， ．     ，， ，     ．     由（2）可知，． ，， ，     ． 25．(1) (2)，理由如下：     点是的重心， ， 和同高，设高为， ， 同理得， ∴， ， ∴； (3) (4) 本题考查三角形中线的性质以及三角形面积的计算： （1）根据的中线得到，由于高相同，利用三角形面积公式可得出结论； （2）根据题干中关于重心的定义得，由于和同高，和同高，得出，去掉公共三角形，即可得到与的面积相等； （3）根据题干中关于重心的定义得，利用三角形面积公式得，去掉公共部分，得，利用三角形等底同高得，，即可得出结论； （4）连接交于点，先求出，通过各三角形底边之间的关系，得到、，进而求出四边形的面积． （1）解：是三角形的中线， ， 和的底边分别是和，它们共用同一个顶点， 它们的高相等，设为， ． （2）解：，理由略． （3）解：点是的重心， ， 和同高，设高为， ， ， ∴， 同理：等底同高，等底同高， ，， ∴， ∴． （4）解：如图，连接交于点， 是的重心， 由（3）可得出，，，， 设，， ∴， 同理得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 同高， 设它们的高为， ，，且， ， 、和同高，设高为， ，，， ， ， ， ， ， 同理可得，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $