专题10二次函数综合问题（7大高频考点）（期末真题汇编37题）九年级数学上学期北师大版

专题10二次函数综合问题（7大高频考点） 7大高频考点概览 考点一、二次函数与线段、周长问题 考点二、二次函数与面积问题 考点三、二次函数与角度问题 考点四、二次函数与特殊三角形问题 考点五、二次函数与特殊四边形问题 考点六、二次函数与相似问题 考点七、纯二次函数问题 考点一、二次函数与线段、周长问题 1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，已知抛物线过点，，，顶点为． (1)该抛物线的解析式是________； (2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值． (3)设点，当的值最小时，求的值． 2．（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的右边），与轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在第一象限内该抛物线上的一点，过点作，垂足为点，连接．求线段的最大值． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的图象与轴交于点． (1)求点的坐标． (2)当此抛物线的顶点恰好落在轴的负半轴时，求此抛物线所对应的二次函数的表达式； (3)已知三个顶点的坐标分别为、、，若，设抛物线（为常数）与的较短的直角边的交点为．过点作轴的平行线，与抛物线的另一个交点为，过点作轴的平行线，与抛物线的另一个交点为．若，请直接写出的值． 4．（25-26九年级上·湖北·期末）已知抛物线与x轴交于点和点B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接． ①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的坐标； ②直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，求四边形的周长． 5．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)将此抛物线在轴下方的图像沿轴向上翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像，若将直线向上平移个单位长度，使得平移后的直线与图像有两个公共点，请直接写出的取值范围． (3)如图②点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，直接写出的最大值及此时点的坐标； 考点二、二次函数与面积问题 6．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点D为直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点D作y轴的平行线，交于点P，小明认为当点D为抛物线顶点时，此时最大，试判断小明的说法是否正确，并说明理由． (3)求三角形面积的最大值． 7．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线表达式； (2)求A，B两点的坐标； (3)如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形的最大面积；若不存在，请说明理由； 8．（24-25九年级上·重庆·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和点C的坐标； (2)连接，点P是直线上方抛物线上的一动点，若有，求出点P的横坐标； (3)若将抛物线沿直线方向平移一定距离得到新抛物线L，且抛物线L满足当时，有最大值为0，直接写出抛物线L的对称轴． 9．（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 10．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，（点在点左侧），交轴于点，连接，且，点在第二象限的抛物线上，设点的横坐标为． (1)如图①，求此抛物线的解析式； (2)如图②，过点的直线交轴于点，连接，，若的面积为，请用含的代数式表示； 考点三、二次函数与角度问题 11．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，抛物线与x轴分别交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线的图象过B，C两点，． (1)求抛物线解析式； (2)点P为直线上方抛物线上一点，点D为直线上一动点，连接，，，当面积最大时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（21-22九年级上·浙江湖州·期末）如图1，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点M是抛物线的顶点，点P为y轴右侧抛物线上的一个动点，连接． (1)求该抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)如图2，连接和，若点P到x轴的距离为d，的面积为2d，求点P的坐标； (3)如图3，当点P为第四象限抛物线上的一个点，连接和，作于点Q，当中存在某个内角等于度数的2倍时，请直接写出满足条件的点P的坐标． 13．（24-25九年级上·全国·期末）如图，抛物线经过两点，与y轴交于点B，P为抛物线上的动点，连接，与相交于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)若P为第一象限抛物线上的动点，设的面积为，的面积为，当时，若k有最大值，求最大值时k的值及点P的坐标； (3)是否存在点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 14．（25-26九年级上·湖北·期末）已知抛物线过点和点，与y轴交于点A． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，，点D在线段上（与点A，B不重合），点F是的中点，连接，过点D作交于点E，连接，当面积是面积的3倍时，求点D的坐标； (3)如图2，点P是抛物线上对称轴右侧的点，是x轴正半轴上的动点，若线段上存在点G（与点O，B不重合），使得，求m的取值范围． 考点四、二次函数与特殊三角形问题 15．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求线段的长； (2)当时，求的取值范围； (3)如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值． 16．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于，，三点，点P是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)是否存在点P，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标． 17．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A，D两点．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标； (2)请求出四边形的面积的最大值； (3)点Q是直线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 18．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线与轴的交点分别为和，与轴交于点，连接、，点是线段上，不与点、重合的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点，其对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在点的运动过程中，能否使线段？若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点五、二次函数与特殊四边形问题 19．（22-23九年级上·全国·期末）如图，抛物线与x轴交于和两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点作于点，当线段的长最大时点坐标为多少？ (3)如图，点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，直接写出以点、、、组成的四边形为平行四边形时点的坐标． 20．（23-24九年级上·江西宜春·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，，，连接和． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，点D的坐标为 ． (3)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接和．求面积的最大值及此时点E的坐标； (4)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点为y轴上的动点，点P是第一象限抛物线上的动点，分别将点B、P绕点M旋转得到、，顺次连接得到四边形． (1)若点，求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； (2)在（1）条件下，当时，求四边形面积S的最大值，并求此时点P的坐标； (3)当点P与抛物线的顶点重合时，探究满足什么条件时，存在点M，使得四边形为菱形？请说明理由． 22．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 23．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点（点在点的左侧）． (1)求该抛物线的解析式及，两点的坐标； (2)如图2，将位于直线上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接交于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，请求出线段的最大值． 24．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 考点六、二次函数与相似问题 25．（23-24九年级上·全国·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为上方抛物线上的动点，过点P作，垂足为点D，连接，当与相似时，求点P的坐标． 26．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，抛物线与轴交于点与轴交于点，且过点．点是该抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点在直线下方时，求面积的最大值； (3)如图2，当点在轴右侧时，直线与线段相交于点，当与相似时，直接写出点的坐标． 27．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点．点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，直线与线段相交于点，当与相似时，求点的坐标． 28．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图 1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，是否存在以P，Q，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图 2，连接，交于点E，交y轴于点F，令，求k的最大值． 29．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已点B的坐标是，． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点Q，求的最大值及此时P点的坐标； (3)点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点D的坐标． 30．（22-23九年级下·湖南常德·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，． (1)求抛物线解析式； (2)是线段上一动点，过点作轴于点，交于点，交抛物线于点，连接． ①点在线段上运动时，若是直角三角形，点的坐标为________；（直接写出） ②点在线段上运动时，连结交于点，当的值最大时，请你求出点的坐标和的最大值． 考点七、纯二次函数问题 31．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）已知抛物线 (1)抛物线的对称轴为直线，且经过点 ①求抛物线的函数表达式． ②若点，都在此抛物线上，求m的值． (2)若点落在此抛物线上，求证：． 32．（22-23九年级上·北京东城·期末）已知二次函数． (1)求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴． (2)已知点都在该二次函数图象上， ①请判断与的大小关系： （用“”“”“”填空）； ②若，，，四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围． 33．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数（，，是常数，且）． (1)若，函数图象过点． ①用含的代数式表达； ②求证：不论为何值，该函数图象与轴一定有两个交点． (2)若，点和在抛物线上，对称轴为直线，，求的取值范围． 34．（24-25九年级上·山东德州·期末）设二次函数（，是常数）． (1)判断该二次函数图象与轴的交点的个数，说明理由； (2)若该二次函数图象的对称轴是直线，求这个函数图象与轴交点的坐标； (3)若，在这个函数的图象上，且．这个二次函数图象与轴的一个交点的横坐标，求的取值范围． 35．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数（其中为常数）． (1)若该函数图像经过点和，求的值； (2)若，判断二次函数的图像与轴公共点的个数，并说明理由； (3)若点都在二次函数的图像上，试比较的大小． 36．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象与直线经过轴上的同一点． (1)求二次函数的表达式． (2)判断二次函数图象的顶点是否在直线上，并说明理由． (3)若，请直接写出的取值范围． 37．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，设函数，，其中． (1)若函数的图象过点，函数的图象过点，求的值． (2)若，判断函数与轴的交点个数，说明理由． (3)若函数和函数与轴的交点均相同，求，的值． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10二次函数综合问题（7大高频考点） 7大高频考点概览 考点一、二次函数与线段、周长问题 考点二、二次函数与面积问题 考点三、二次函数与角度问题 考点四、二次函数与特殊三角形问题 考点五、二次函数与特殊四边形问题 考点六、二次函数与相似问题 考点七、纯二次函数问题 考点一、二次函数与线段、周长问题 1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，已知抛物线过点，，，顶点为． (1)该抛物线的解析式是________； (2)若点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值． (3)设点，当的值最小时，求的值． 【答案】(1)； (2)当 时， 有最大值为 ； (3)． 【分析】（1）利用抛物线经过的三个点的坐标，代入抛物线的一般式，通过解方程组求出抛物线的解析式． （2）先求出直线 的解析式，然后设出抛物线上动点 的坐标，用 点坐标表示出 的面积，再根据二次函数的性质求出面积的最大值． （3）利用对称点的性质，找到点 关于直线 的对称点 ，连接 ，与直线 的交点即为使得 最小的点 ，进而求出 的值． 【详解】（1）解：将 ，， 代入 得： 将 代入前两个方程得： 化简得： 用 减去 得： 将 代入 得： ∴抛物线解析式为 （2）解：设直线 的解析式为 ，将 ， 代入得： 解得 ∴直线 的解析式为 设 ，过 作 轴交 于 则 ∴ ∵ ∴当 时， 有最大值为 ； （3）解：抛物线 ，顶点 点 关于直线 的对称点 ， 设直线 的解析式为 ，将 ， 代入得： 解得 ∴直线 的解析式为 当 时， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，包括求抛物线解析式、求三角形面积最大值以及利用对称求最短路径，熟练掌握二次函数的性质、一次函数的解析式求解以及对称点的性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·广西梧州·期末）如图，抛物线与轴相交于点，（点在点的右边），与轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在第一象限内该抛物线上的一点，过点作，垂足为点，连接．求线段的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线和坐标轴的交点求出坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求解，即可解题； （2）过点作轴，交于点，证明，得到等式，设，则，，将其代入等式整理得到，再结合二次函数最值情况求解，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于点，（点在点的右边）， 当时，解得， ， 抛物线与轴相交于点， 当时，解得， ， 设直线的解析式为， 将代入中， 有，解得， 直线的解析式为； （2）解：过点作轴，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， ， ， 整理得， ， 则当时，线段有最大值为． 【点睛】本题考查了抛物线和坐标轴的交点坐标，待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，二次函数最值，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 3．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的图象与轴交于点． (1)求点的坐标． (2)当此抛物线的顶点恰好落在轴的负半轴时，求此抛物线所对应的二次函数的表达式； (3)已知三个顶点的坐标分别为、、，若，设抛物线（为常数）与的较短的直角边的交点为．过点作轴的平行线，与抛物线的另一个交点为，过点作轴的平行线，与抛物线的另一个交点为．若，请直接写出的值． 【答案】(1)点的坐标为； (2)； (3)或． 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数的图象及性质，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的应用等，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识，运用分类讨论思想是解题的关键． （）令，得，即可求点的坐标； （）有抛物线的顶点恰好落在轴的负半轴，可得，再根据，可得的值，从而求出函数的解析式； （）由、、，得，，，由，可判断，即点在边上，再得出抛物线与线段相交时的的范围，结合，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：令时，， ∴点的坐标为； （2）解：∵抛物线的顶点恰好落在轴的负半轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵、、， ∴，，，，， ∴，为斜边， ∵， ∴， ∴点在上， ∵，， ∴， 解得：，， ∴， ∴， 由点在上，则令， ∴， 整理得， ∴， 解得：或， 由， 解得，， ∴， ∵， ∴， ∴或， 当时，如图， ∴，整理得：， 解得：（舍去）或， 当时，如图， ∴，整理得：， 解得：或（舍去）， 综上可得：或． 4．（25-26九年级上·湖北·期末）已知抛物线与x轴交于点和点B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点（不与点A，B，C重合），作轴，垂足为D，连接． ①如图1，若点P在第三象限，且，求点P的坐标； ②直线交直线于点E，当点E关于直线的对称点落在y轴上时，求四边形的周长． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式，从而求得a，c，进而求得结果； （2）①设直线交x轴于E，可推出为等腰直角三角形，进而求得点E坐标，从而求出的解析式，将其与抛物线的解析式联立，化为一元二次方程，从而求得结果；②作轴于F，可推出四边形是菱形，从而得出，分点P在第三象限和在第二象限，分别表示出和，从而列出方程，进一步求得结果． 【详解】（1）解：∵抛物线过点和， ∴， 解得， ∴； （2）解：①延长交x轴于点E，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为：， 联立得， 解得（舍去）， 当时，， ∴； ②当时，， ∴， 设直线解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线解析式为， ∵， ∴， 设点，四边形的周长记作l， 则， 过点E作轴于F， ∵点E与关于对称， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴为菱形， 如图2，当点P在第三象限时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去），， ∴， ∴， 如图3，当点P在第二象限时， 同理，， ∴， ∵， ∴， 解得（舍去），， ∴， ∴， 综上所述：四边形的周长为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，熟练掌握待定系数法求二次函数与一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形和菱形的判定和性质，轴对称性质，分类讨论，作辅助线，是解决问题的关键． 5．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)将此抛物线在轴下方的图像沿轴向上翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像，若将直线向上平移个单位长度，使得平移后的直线与图像有两个公共点，请直接写出的取值范围． (3)如图②点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，直接写出的最大值及此时点的坐标； 【答案】(1) (2)或 (3)最大值， 【分析】本题考查了二次函数与几何图形的综合问题，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，抛物线与x轴的交点、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，求二次函数的最值，勾股定理，利用割补法表示出的面积时解题的关键． （1）待定系数法求出抛物线的解析式为； （2）先求得，得出当直线的解析式，平移后的解析式为：过点A时，直线与新函数的图象恰有三个公共点，将代入，可求出的值；当直线与抛物线相切时，直线与新函数的图象恰有三个公共点，结合图象，求出的取值范围，进而可得答案． （3）连接，再设点，再根据表示，然后根据抛物线的对称性得 ，即可得出二次函数，再配方讨论最值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，且对称轴是， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2） 当时，，当时，， 解得， ∴， 设直线为 ∴ 解得： ∴ ∵将直线向上平移个单位长度， ∴ 将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的解析式为． 当直线过点时，， 解得，； 当直线过点时，直线与新函数的图象恰有三个公共点， 将代入， 得， 解得． 当直线与抛物线只有一个交点时，直线与新函数的图象恰有三个公共点， 即方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴， 解得． ∴平移后的直线与图像有两个公共点时，的取值范围为或． （3）解：∵， ∴， 根据勾股定理，得． 连接，设点， 由，得 ， ． ∵点P与D关于直线对称， ， ， ∴当时，取得最大值，此时点． 考点二、二次函数与面积问题 6．（24-25九年级上·甘肃武威·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点D为直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点D作y轴的平行线，交于点P，小明认为当点D为抛物线顶点时，此时最大，试判断小明的说法是否正确，并说明理由． (3)求三角形面积的最大值． 【答案】(1) (2)不正确，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了用待定系数法求函数表达式，二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，设，则，则，由此即可求出答案； （3）根据求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与x轴交于，两点， ∴抛物线解析式可设为， 即， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：小明的说法不正确． 理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，，则， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴当，最大， 而抛物线的顶点坐标为， ∴小明的说法不正确． （3）解：由（2）知， ∴ ， ∴当，最大，最大值为． 7．（24-25九年级上·湖南娄底·期末）如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线表达式； (2)求A，B两点的坐标； (3)如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使四边形的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形的最大面积；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)点的坐标为，点的坐标为 (3)存在点，使得四边形的面积最大，最大值是32 【分析】本题考查的是一道综合题，考查的是二次函数与一次函数的综合问题，能够熟练掌握一次函数与二次函数的相关问题是解题的关键． （1）根据对称轴公式可以求出a，从而可得抛物线解析式， （2）解出抛物线解析式是的两个根，即可得到A，B的坐标； （3）根据解析式可求出C点坐标，然后设直线的解析式为，从而可求该解析式方程，假设存在点，使四边形的面积最大，设点的坐标为，然后过点作轴，交直线于点，从而可求答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：当时，， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为； （3）解：当时，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将,代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 假设存在点，使四边形的面积最大， 设点的坐标为， 如图所示，过点作轴，交直线于点， 则点的坐标为， 则， ∴ ； ∴当时，四边形的面积最大，最大值是； ∵， ∴存在点，使得四边形的面积最大． 8．（24-25九年级上·重庆·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和点C的坐标； (2)连接，点P是直线上方抛物线上的一动点，若有，求出点P的横坐标； (3)若将抛物线沿直线方向平移一定距离得到新抛物线L，且抛物线L满足当时，有最大值为0，直接写出抛物线L的对称轴． 【答案】(1)抛物线的表达式为，点C的坐标为 (2)点P的横坐标为或 (3)抛物线L的对称轴为直线 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、图形平移的性质、面积的计算等，正确求出抛物线解析式是解答本题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）设抛物线沿方向向右平移m个单位，则向上平移个单位，则平移后的抛物线为，原抛物线在时，取得最大值，故当时，平移后的抛物线也在时取得最大值，进而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴将点A、B的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故抛物线的表达式为， 令，则， 故点C的坐标为； （2）解：过点P作y轴的平行线交于点H， 设直线的表达式为， 把，代入上式得， 解得， 故直线的表达式为， 设点P的坐标为，则点H的坐标为， 则， 解得， 故点P的横坐标为或； （3）解：， 设直线的表达式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的表达式为， ∵， 故设抛物线沿方向向右平移m个单位，则向上平移个单位， 则平移后的抛物线为， 原抛物线在时，取得最大值， ∴当时，平移后的抛物线必定也在时取得最大值， 即， 解得（舍去负值）， 故抛物线L的对称轴为直线． 9．（24-25九年级上·广西梧州·期末）如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定，二次函数的性质等知识点，正确用坐标差表示线段的长是解题的关键． （1）将点代入关系式求得a、b的值即可解答； （2）如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D，设点P的横坐标为m，则，求出，再根据二次函数的最值即可； （3）分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质以及二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴相交于两点， 则，解得：， ∴抛物线的关系式为． （2）解：∵抛物线与y轴相交于点C，即当时，， ∴点． 设直线的关系为， 将点B，点C的坐标分别代入得： ，解得：， ∴． 如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D， 设点P的横坐标为m，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，的最大值为． （3）解： 如图2，当时，轴， ∴点C与点M关于对称轴直线对称， ∴点． 如图3，当，过点M作轴，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则点， ∴，解得：（不合题意，舍去），， ∴点． 综上所述，点M的坐标为或． 10．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，（点在点左侧），交轴于点，连接，且，点在第二象限的抛物线上，设点的横坐标为． (1)如图①，求此抛物线的解析式； (2)如图②，过点的直线交轴于点，连接，，若的面积为，请用含的代数式表示； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式求解、一次函数的解析式求解以及三角形面积的计算，熟练掌握二次函数与一次函数的性质以及三角形面积的转化方法是解题的关键． （1）先求出抛物线与轴交点的坐标，再根据三角函数，求出点的坐标，最后将点坐标代入抛物线解析式求出的值，从而得到抛物线解析式． （2）先求出直线中的值，确定直线的解析式，再求出点的坐标，然后通过作辅助线，将的面积转化为几个图形面积的和或差，最后用含的代数式表示出． 【详解】（1）解：抛物线交轴于点，令，则， ，即． ，， ， ， ． 点在抛物线上， 把，代入得， ， ， ， ． 抛物线的解析式为． （2）解：直线过点， ， ， 直线的解析式为． 令，则， ． 如图，过点作轴于点，交于点． 点的横坐标为，且在抛物线上， ， 点在直线上，横坐标为， ． ． ，且， ． ， 令中，则， 解得或， ， ． 考点三、二次函数与角度问题 11．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，抛物线与x轴分别交于点A，点B（A在B的左侧），与y轴交于点C，直线的图象过B，C两点，． (1)求抛物线解析式； (2)点P为直线上方抛物线上一点，点D为直线上一动点，连接，，，当面积最大时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移后过点C，在新抛物线上是否存在一点Q，使，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y (2)，的最小值为3 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可； （2）作轴于E，交于F，先直线的解析式为，设，，则，利用二次函数的性质可求得，作轴，作于G，作于H，利用平行线的性质和锐角三角函数可得到，进而由可求解； （3）作轴于W，先根据题意和图象的平移规则得到平移后的抛物线解析式为，设，证明，利用相似三角形的对应边成比例列方程求得x值，进而可求得Q的坐标． 【详解】（1）解：（1）当时，，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：y； （2）解：如图1，作轴于E，交于F， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴，设，则 ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， ∴， 作轴，作于G，作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， 则的最小值为3； （3）解：如图2，作轴于W， 由题意，抛物线向右平移4个单位，向上平移2个单位后， 则平移后的抛物线解析式为， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去），，（舍去）， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数图象的平移，二次函数与图形面积，线段和的最小值问题，角度问题，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用等知识，作出合适的辅助线是解本题的关键． 12．（21-22九年级上·浙江湖州·期末）如图1，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点M是抛物线的顶点，点P为y轴右侧抛物线上的一个动点，连接． (1)求该抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)如图2，连接和，若点P到x轴的距离为d，的面积为2d，求点P的坐标； (3)如图3，当点P为第四象限抛物线上的一个点，连接和，作于点Q，当中存在某个内角等于度数的2倍时，请直接写出满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)或； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解与顶点坐标计算、三角形面积公式的坐标应用、含绝对值方程的分类讨论、相似三角形的判定与性质以及角度倍数关系的几何转化；解题的关键是熟练运用待定系数法求函数解析式，结合坐标表示线段长度与图形面积，通过构造辅助线转化角度关系，利用相似三角形建立线段比例，再结合分类讨论思想求解符合条件的点坐标． （1）将抛物线与x轴交点A、B的坐标代入解析式，列方程组求b、c的值，再通过配方或顶点公式求顶点M的坐标； （2）先求抛物线与y轴交点C的坐标，设P点坐标（利用抛物线解析式表示纵坐标），根据P到x轴的距离d确定d的表达式，再用坐标法计算的面积，结合面积等于列方程，求解并筛选y轴右侧的点P； （3）构造辅助点N使，利用三线合一得，计算、；由证；分和两类，结合与的相似比，分别表示出P点坐标，代入抛物线解析式求解，舍去不合题意的解，得到最终P点坐标． 【详解】（1）解：将A、B代入，得      两式相减：→，代入得 ∴抛物线解析式为，配方得， ∴顶点M （2）解：由（1）得C，设P，则 面积 由，代入得 ∵，分两种情况： ①： →→舍去）， ②： →→舍去）， ∴P或 （3）解：在 上取一点 N，使 ， 因，则（三线合一）． 过点A作于点F，过点Q作轴交y轴于点D，作于点E． ， ∴． ∵， ∴， ． ∵点Q在直线：上， ∴可设，则． 由知，则，又， ∴，又， ∴，则 下面分两种情况讨论： 情况一：若，则． ∴，则， 设，由勾股定理易得， 则 ∴， 则点P横坐标， 点P纵坐标， ∴，代入，得， 整理得，解得或（不合题意，舍去）， ； 情况二：若，同理可得． ，由勾股定理得， ， ， ，代入，得， 整理得，解得或（不合题意，舍去）， ． 综上，或． 13．（24-25九年级上·全国·期末）如图，抛物线经过两点，与y轴交于点B，P为抛物线上的动点，连接，与相交于点Q． (1)求抛物线的解析式； (2)若P为第一象限抛物线上的动点，设的面积为，的面积为，当时，若k有最大值，求最大值时k的值及点P的坐标； (3)是否存在点P，使，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、相似三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． （1）将代入得到方程组求得b、c的值即可解答； （2）先求得直线的解析式为，设，过P作轴交于D，则，即；如图：过C作轴交延长线于F，则F的横坐标为，易得；再证明，则；如图：过A作，根据三角形的面积公式以及高相等可得，进而得到，再根据二次函数的性质求得当时，k有最大值，进而确定点P的坐标即可； （3）分两种情况：①如图1：当点P在上方时，在x轴正半轴上取点，连接，过点A作交抛物线于另一点P，先证明可得，再由，得出，可推出，运用待定系数法可求得直线的解析式为，进而得出直线的解析式为，再与抛物线解析式联立即可求得点P的坐标；②如图2：当点P在下方时，在y轴上取点，连接交抛物线于点P，可证，进而推出，利用待定系数法可得直线AK的解析式为，再与抛物线解析式联立即可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，过P作轴交于D，则， ∴， 如图：过C作轴交延长线于F，则F的横坐标为， ∴点F的纵坐标为：，即， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 如图：过A作 ∵与有相同的高， ∴， ∴， ∴当时，k有最大值， ∵， ∴． （3）解：存在点P，使．理由如下： ①如图1：当点P在上方时，在x轴正半轴上取点，连接，过点A作交抛物线于另一点P， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∴，解得：（不符合题意，舍去）， ∴； ②如图2：当点P在下方时，在y轴上取点，连接交抛物线于点P，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 由，解得：（舍去），， ∴． 综上所述，点P的坐标为或． 14．（25-26九年级上·湖北·期末）已知抛物线过点和点，与y轴交于点A． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，，点D在线段上（与点A，B不重合），点F是的中点，连接，过点D作交于点E，连接，当面积是面积的3倍时，求点D的坐标； (3)如图2，点P是抛物线上对称轴右侧的点，是x轴正半轴上的动点，若线段上存在点G（与点O，B不重合），使得，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）待定系数法求得直线的解析式为，设，过点作交的延长线于点，则，则的坐标为，得出是等腰直角三角形，设，则，证明，相似三角形的性质得出，则，可得，当面积是面积的3倍时，即，即，在中，，解方程即可求解； （3）根据三角形外角的性质，结合已知条件得出，证明，则，设交轴于点，过点作轴于点，求得直线的解析式为，联立，得出，勾股定理求得的长，根据相似三角形的性质得出关于的二次函数关系式，进而根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴，则， ∵， ∴轴，， ∵点是的中点，则， ∴， 设直线的解析式为， ∵点和点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， 如图所示，过点作交的延长线于点，则，则的坐标为， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 又， ∴是等腰直角三角形， ∴的面积为， ∵的面积为， 当面积是面积的3倍时， 即， 即， 在中，， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； （3）解：∵， 又， ∴， ∴， ∴， 设交轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴， 整理得：， ∵在线段上（与点不重合）， ∴， ∴， ∴当时，取得的最大值为，且， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，面积问题，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 考点四、二次函数与特殊三角形问题 15．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求线段的长； (2)当时，求的取值范围； (3)如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，试证明：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（）根据对称性求出点的坐标，即可求出的长； （）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出函数的最大值及最小值即可求解； （）分别过作直线的垂线，垂足为，可证，得到，，即得，又可得，即得到，可得，即可求证； 本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，对称轴为直线， ∴, ∴， 即线段的长为； （2）解：由题意得，， 解得， ∴抛物线， ∵， ∴当时，取最大值，， 又∵当时，， ∴当时，的取值范围为； （3）证明：如图，分别过作直线的垂线，垂足为， 则， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即为定值． 16．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于，，三点，点P是直线下方抛物线上一动点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)是否存在点P，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 (3)点坐标为 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识． （1）由、、三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由题意可知点在线段的垂直平分线上，则可求得点纵坐标，代入抛物线解析式可求得点坐标； （3）过作轴，交轴于点，交直线于点，用点坐标可表示出的长，则可表示出的面积，利用二次函数的性质可求得面积的最大时点的坐标． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为，把，，三点坐标代入可得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在，理由如下： 作的垂直平分线，交于点，交下方抛物线于点，如图1， ，此时点即为满足条件的点， ∵， ， 点纵坐标为， 代入抛物线解析式可得，解得（小于0，舍去）或， ∴存在满足条件的点，其坐标为； （3）解：由题意可设， 过作轴于点，交直线于点，如图2， 设直线解析式为，则有： ，解得：， ∴直线解析式为， ， ， ， ∴当时，最大值为8，此时， ∴点坐标为． 17．（24-25九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A，D两点．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接． (1)求抛物线的解析式和点D的坐标； (2)请求出四边形的面积的最大值； (3)点Q是直线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及抛物线与坐标轴的交点坐标，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数解析式，二次函数与面积的问题，二次函数与特殊三角形问题等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；再联立即可求出点D的坐标； （2）根据面积一定，知需令得的面积最大即可，过点P作轴的垂线交于点K，设点，则，求出，由，列出关于p的关系式，利用二次函数的性质即可求解； （3）利用（1）中二次函数解析式求出点C的坐标，设，分和两种情况，利用两点间距离公式建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：抛物线（）与x轴交于，两点， 则， 解得， 抛物线的解析式为：； 联立，则， 解得或， 当时，， ； （2）为定值，且， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 过点P作轴的垂线交于点K， 设点，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时， 四边形的面积的最大值为； （3）解：抛物线的解析式为：， 令，则， ， 设， ，，， 是以为腰的等腰三角形， 当时，即， ， 解得：或（舍去）； ； 当时，即， ， 解得：或， 或； 综上，是以为腰的等腰三角形时，点Q的坐标为或或． 18．（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图，抛物线与轴的交点分别为和，与轴交于点，连接、，点是线段上，不与点、重合的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点，其对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在点的运动过程中，能否使线段？若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)能， ； (3)点的坐标为：或或或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、线段长度的表示方法等，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2），而直线和x轴的夹角为，则，即可求解； （3）当时，列出等式，即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：能，理由： 由抛物线的表达式知，点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：，直线和轴的夹角为， 设点，则点， 则， ∵直线和轴的夹角为，， 则， 解得：， 即点的坐标为：； （3）解：存在，理由： 设点，而点， 则，，， 当时， 则， 解得：； 当或时， 同理可得或， 解得：（舍去）或6或或， 即点的坐标为：或或或． 考点五、二次函数与特殊四边形问题 19．（22-23九年级上·全国·期末）如图，抛物线与x轴交于和两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点作于点，当线段的长最大时点坐标为多少？ (3)如图，点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，直接写出以点、、、组成的四边形为平行四边形时点的坐标． 【答案】(1)该抛物线的函数表达式为； (2)当线段的长最大时，点坐标为； (3)点的坐标为，，． 【分析】（1）把和代入，可得和，从而可得该抛物线的函数表达式； （2）由抛物线解析式可得点坐标，从而可得直线的解析式，设，作轴，交于点，可用表示点的坐标，从而可得，由平行线的性质，结合等腰直角三角形的判定和性质，可得，当线段的长最大时，的长取得最大值，由的表达式可知当时，最大，把代入抛物线的解析式计算，即可得点坐标； （3）按照以，，作为对角线，进行分类讨论，由平行四边形的性质，结合中点坐标，可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵和在抛物线上， ∴， ∴， ∴该抛物线的函数表达式为． （2）解：在中，当时，， ∵抛物线与轴交于点， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则 解得， ∴直线的解析式为， ∵于点， ∴， 设，，作轴，交于点，则，， ∴，， ∴， ∴， ∴当线段的长最大时，的长取得最大值， ∵，， ∴当时，的长最大，此时，，， ∴当线段的长最大时，点坐标为． （3）解：抛物线的对称轴为直线，即， 设，， 若满足题意的平行四边形以，为对角线，则，互相平分， ∵，，，， ∴ 解得， ∴， ∴点的坐标为， 若满足题意的平行四边形以，为对角线，则，互相平分， ∵，，，， ∴ 解得， ∴， ∴点的坐标为， 若满足题意的平行四边形以，为对角线，则，互相平分， ∵，，，， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为，，． 【点睛】本题考查求二次函数的解析式，求一次函数的解析式，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最大值，平行四边形的性质． 20．（23-24九年级上·江西宜春·期末）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，，，连接和． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，点D的坐标为 ． (3)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接和．求面积的最大值及此时点E的坐标； (4)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点E坐标为时，面积最大，最大值为 (4)点N坐标为，，， 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、一元二次方程，一次函数的图象和性质、轴对称图形的性质、菱形的判定及性质，能采用数形结合的方法和分类讨论的思想分析问题是解题的关键． （1）根据点和点的坐标，采用待定系数法即可求得答案． （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，直线与对称轴的交点即为所求． （3）设过点与直线平行的直线的解析式为，根据题意可知，当直线的图象与抛物线的图象只有一个交点时，点到直线的距离最大，此时的面积最大，求得点的坐标，进而可求得的面积． （4）分两种情况讨论：①当点位于原点上方时，根据，，即可求得点的坐标；当点位于点下方时，先求得直线的解析式，根据，可求得点的横坐标，进而求得点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵抛物线过点A，C， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为． （2）∵当时，， 解得，， ∴， 则抛物线对称轴为直线 ∵点D在直线上，点A、B关于直线对称 ∴， ∴当点B、D、C在同一直线上时，最小， 设直线解析式为，将代入，得 ∴， 解得 ∴直线 ∴ ∴ 故答案为． （3）过点E作轴于点G，交直线与点F 设，则 ∴ ∴ ， ∴当时，面积最大 ∴ ∴点E坐标为时，面积最大，最大值为． （4）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形． ∵， ， ∴， ①为菱形的边长，如图， 则， ∴，，． ②若为菱形的对角线，如图，则， 设，则 ，， ∴， ∵ ∴ 解得： ∴ 综上所述，点N坐标为，，，． 21．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点为y轴上的动点，点P是第一象限抛物线上的动点，分别将点B、P绕点M旋转得到、，顺次连接得到四边形． (1)若点，求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； (2)在（1）条件下，当时，求四边形面积S的最大值，并求此时点P的坐标； (3)当点P与抛物线的顶点重合时，探究满足什么条件时，存在点M，使得四边形为菱形？请说明理由． 【答案】(1)； (2)四边形面积S的最大值为，此时点P的坐标为； (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质，切线的性质，两点间距离计算公式，求二次函数解析式等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再把解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）由旋转的性质得到，且三点共线，三点共线，则可证明四边形是平行四边形，得到；求出，进而得到直线的解析式为；过点P作轴，交于D，设，则，则，可求出，据此利用二次函数的性质求解即可； （3）可求出对称轴为直线，则，进而可得，则可求出抛物线的顶点坐标为；取中点H，则，由菱形的性质得到，则点M在以H为圆心，的长为半径的圆上运动，故当与y轴有交点时，存在M使得四边形为菱形，求出当与y轴相切时，a的值即可得到答案． 【详解】（1）解：把，，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：如图所示，连接， ∵分别将点B、P绕点M旋转得到、， ∴，且三点共线，三点共线， ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴； ∵点B绕点M旋转得到， ∴点M为点B，点的中点， ∵， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作轴，交于D， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为， 此时， ∴四边形面积S的最大值为，此时点P的坐标为； （3）解：，理由如下： ∵抛物线与x轴相交于，两点， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， 把代入中得：， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； 如图所示，取中点H，则， ∵四边形为菱形， ∴， 由（2）可得三点共线，三点共线， ∴； ∴点M在以H为圆心，的长为半径的圆上运动， ∴当与y轴有交点时，存在M使得四边形为菱形， 当与y轴相切时，此时轴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴当时，与y轴有交点，即此时存在M使得四边形为菱形． 22．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)点坐标为或． 【分析】（1）利用二次函数的顶点式运算求解即可； （2）求出直线的解析式，过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，分别表达出，，的坐标，再利用三角形面积公式列式运算即可； （3）设点关于直线的对称点为，利用折叠和等腰三角形的性质求得．设，求得，，，从而得出，求得n的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：∵拋物线的顶点的坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 由（1）知抛物线的解析式为， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，代入和可得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴与交于点， ∴把代入可得：， ∴， ∴， 过点作轴交对称轴于点，过点作轴交直线于点，如图所示： 设点G的坐标为，则，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：由（2）知，，又， ∴， 设点关于直线的对称点为，如图所示， 则，， ∵， ∴， ∴， 即是等腰直角三角形， ∴， 由抛物线的对称性可知，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵是以B、E、M、N为顶点的矩形的对角线， ∴， 设， ∵，，， ∴， ∴或， 当时，， ∴， 当时，， ∴， 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数的图形性质，二次函数点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，三角形面积，等腰三角形的判定及性质，矩形的性质等知识点，熟悉掌握各知识点是解题的关键． 23．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点（点在点的左侧）． (1)求该抛物线的解析式及，两点的坐标； (2)如图2，将位于直线上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接交于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，请求出线段的最大值． 【答案】(1)，， (2)①；② 【分析】（1）先根据二次函数的对称轴可得，再将点代入二次函数的解析式可得，由此可得二次函数的解析式；然后与直线联立求解可得点的坐标； （2）①设直线分别交轴，轴于点，，交轴于点，过点作轴于点，先得出，再根据菱形的性质可得，，从而可得点的坐标，然后证出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得点的坐标，利用待定系数法可得直线的解析式，最后与抛物线的解析式联立求解即可得； ②设直线交轴于点，过点作轴，交于点，设点的坐标为，则点的坐标为，，再证出是等腰直角三角形，且，然后根据轴对称的性质可得，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 将点代入抛物线得：， ∴该抛物线的解析式． 联立，解得或， ∵抛物线与直线交于，两点（点在点的左侧）， ∴，． （2）解：①如图，设直线分别交轴，轴于点，，交轴于点，过点作轴于点， 对于直线， 当时，，即， 当时，，解得，即， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∵四边形是菱形， ∴，， 由（1）已得：，， ∴，即， ∵轴， ∴， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∵点是上方的抛物线上的一动点，且，， ∴点的横坐标大于，且小于4， ∴点的坐标为． ②如图，设直线交轴于点，过点作轴，交于点， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， 由（1）可知，， ∵轴， ∴， ，关于直线对称， ∴，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值． 【点睛】本题考查了二次函数的应用、菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 24．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为此时 (3)存在点或或或 【分析】（1）把和代入求解即可; （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解; （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点在轴的下方；当为矩形一边时，且点在轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为，把，点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线下方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ∴即面积的最大值为 ； （3）由题意可得：， 的对称轴为. ∵，， ∴， 如图3.1：当为矩形一边时，且点在轴的下方，过作轴于点， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点； 如图3.2：当为矩形一边时，且点在轴的上方，的对称轴为与轴交于点， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点； 如图3.3：当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或. 综上，存在点或或或，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形． 考点六、二次函数与相似问题 25．（23-24九年级上·全国·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为上方抛物线上的动点，过点P作，垂足为点D，连接，当与相似时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）当与相似时，则或，故分类讨论即可. 【详解】（1）解：∵抛物线 与轴交于点，， ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵点，， ∴， 在抛物线中，当时，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 当与相似时，则或， ①若，则 ∴ ∵ ∴点 的纵坐标为2， ∴点为上方抛物线上的动点， ∴， 解得：（ 不合题意，舍去），， ∴此时点的坐标为； ②若，则， ∴ 过点作的垂线，交的延长线于点，过点作轴于点，如图： ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，轴 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为过点，， ∴ ∴直线的解析式为：； 令， 解得：（不合题意，舍去），， 把代入得：， ∴此时点的坐标为， 综上所述，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，掌握待定系数法求函数的解析式、一线三直角模型及相似三角形的判定与性质等知识点是解题的关键． 26．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，抛物线与轴交于点与轴交于点，且过点．点是该抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点在直线下方时，求面积的最大值； (3)如图2，当点在轴右侧时，直线与线段相交于点，当与相似时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等． （1）根据已知得抛物线对称轴为，设抛物线解析式为，将点分别代入，得二元一次方程组，解方程组即可； （2）设直线与轴交于点(如图所示)，点坐标为，设直线解析式为，利用待定系数法求得直线解析式为，则，再由，根据二次函数的性质求最值即可； （3）分、，两种情况分别求解，通过角的关系，利用锐角三角函数确定直线的解析式，进而求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点， 抛物线对称轴为， 可设抛物线解析式为， 将点分别代入，得， 解得， 抛物线解析式为； （2）解：设直线与轴交于点(如图所示)，点坐标为， 设直线解析式为，将点的坐标代入， 得， 解得， ∴直线解析式为， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为； （3）解：点的坐标为或， 过点作交于点，抛物线与轴交于点， ， ， ，，， ， 故与相似时，分为两种情况： ①当时， ， ， 则． 解得， ， 设，, ， ， ， 设点，直线的解析式为， 把代入，得， 解得， 直线的解析式为， 令， 解得(舍去)， 故点； ②当时，， 同理可得直线的解析式为， 令， 解得(舍去)， 故点． 综上所述，当与相似时，点的坐标为或． 27．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点．点是抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，直线与线段相交于点，当与相似时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点， ∴， 把代入，得：，解得：， ∴； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得：，解得：， ∴， 同理可得：直线的解析式为； ∵， ∴当时，则：， ∴， ∴直线得解析式为， 联立，解得：或， ∴或； 当时，则：， ∴， ∴， 设，则：， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴直线的解析式为， 联立立，解得：或； ∴或； 综上：点的坐标为：或或或． 28．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图 1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，是否存在以P，Q，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图 2，连接，交于点E，交y轴于点F，令，求k的最大值． 【答案】(1) (2)存在，P的坐标为 (3)的最大值为 【分析】本题主要考查了函数的解析式的求法、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将点和点代入求得a、b的值即可解答； （2）以点P、Q、N为顶点的三角形与相似，则为等腰直角三角形，，故当和为直角时，点Q和点A重合，不符合题意；当为直角时，则，即，解方程即可求解； （3）先求得直线的表达式为易得，再根据计算，然后根据二次函数的性质求最值即可。 【详解】（1）解：将点和点代入可得： ，解得：， 故抛物线的表达式为． （2）解：∵抛物线的表达式为， ∴当时，，即 ∴，即为等腰直角三角形， ∵以点P、Q、N为顶点的三角形与相似， ∴为等腰直角三角形， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为， ∵抛物线解析式为， ∴该抛物线的对称轴为：， 当时，，即点， ∵， 故当和为直角时，点P和点A重合，不符合题意； 当为直角时，则， 当时，解得：或（舍去）， ∴点． （3）解：如图：连接，设点， 设直线的表达式为， 则有，解得：， ∴直线的表达式为， ∴， ∴， ∴， ． ∴的最大值为． 29．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，O是坐标原点，已点B的坐标是，． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点Q，求的最大值及此时P点的坐标； (3)点D是y轴上一动点，若以D、C、B为顶点的三角形与相似，求出符合条件的点D的坐标． 【答案】(1)直线； (2)最大值为，此时点P的坐标为：； (3)或． 【分析】（1）由抛物线解析式可求得点C的坐标，从而由可求得点A的坐标，再用待定系数法即可求得抛物线的解析式，从而求得抛物线的对称轴； （2）过点Q作轴于点H，易得为等腰直角三角形，则，因而有；求出直线的解析式为，设点P的坐标为，求得，则得关于m的二次函数，利用二次函数的知识即可求解； （3）设点D的坐标为，由题意得，，；分两种情况讨论：①当时，②当时；利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点C， 令，得， ∴点C的坐标为， ∴， ∵， ∴， 即点A的坐标为， ∵点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式是，即； ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：过点Q作轴于点H，如图1所示： ∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为， ∵轴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴ ， ∴当时，有最大值，且最大值为， ∴的最大值为，此时点P的坐标为： （3）解：如图2， 设点D的坐标为， ∵， ∴为的锐角三角形，所以也是锐角三角形， ∴点D在点C的上方， ∴， ∴， ∵，，， ①当时， ∴，即， 解得：， 即点， ②当时， ∴，即， 解得：， 即点， 综上所述：符合条件的点D的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，注意分类讨论，灵活运用这些知识是解题的关键． 30．（22-23九年级下·湖南常德·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，． (1)求抛物线解析式； (2)是线段上一动点，过点作轴于点，交于点，交抛物线于点，连接． ①点在线段上运动时，若是直角三角形，点的坐标为________；（直接写出） ②点在线段上运动时，连结交于点，当的值最大时，请你求出点的坐标和的最大值． 【答案】(1) (2)①或；②的最大值为， 【分析】（1）将点A代入直线，求得n，因而可求得点B，利用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）①根据题意，若是直角三角形，则或，分别画出示意图，讨论即可；②过点Q作于点H，直线的解析式为，求出，得到，证明，推出，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点， ∴得， 则直线， 当时，，点， 又∵，抛物线经过A，B， ∴解得， 则抛物线； （2）解：①根据题意，若是直角三角形，则或， 如图，当时， ∵，轴，交于点，交抛物线于点， ∴将代入直线，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， 解得：或（此时，三点重合，舍去）， 则， ∴； 如图，当时， 同理得到，即， 解得：或（此时，三点重合，舍去）， 则， ∴； 综上，是直角三角形时，点的坐标为或； ②如图，过点Q作于点H， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 考点七、纯二次函数问题 31．（24-25九年级上·浙江衢州·期末）已知抛物线 (1)抛物线的对称轴为直线，且经过点 ①求抛物线的函数表达式． ②若点，都在此抛物线上，求m的值． (2)若点落在此抛物线上，求证：． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）①利用待定系数法求解即可； ②利用抛物线的对称性求得c的值，然后把A的坐标代入解析式即可求得m的值； （2）点代入解析式，然后通过化简计算得出b关于a的表达式，进而证明． 【详解】（1）解：①抛物线的对称轴为直线，且经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； ②∵点，都在此抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵点落在此抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 32．（22-23九年级上·北京东城·期末）已知二次函数． (1)求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴． (2)已知点都在该二次函数图象上， ①请判断与的大小关系： （用“”“”“”填空）； ②若，，，四个函数值中有且只有一个小于零，求a的取值范围． 【答案】(1)抛物线与y轴交点的坐标为 ．对称轴 (2)①；② 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，掌握二次函数图象与性质是解题的关键． （1），可得抛物线与y轴交点的坐标，再根据抛物线对称轴公式解答，即可求解； （2）①根据题意可得点关于直线对称，即可求解；②根据题意可得点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，然后分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴抛物线与y轴交点的坐标为 ． 对称轴． （2）解：① ∵函数图象的对称轴为直线， ∴点关于直线对称， ∴， 故答案为：； ②∵函数图象的对称轴为直线，， ∴点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧． 当时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， ∴，不合题意． 当时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，则， ，，，四个函数值可以满足， ∴， 即当时，，当时，． 解得 ． 33．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数（，，是常数，且）． (1)若，函数图象过点． ①用含的代数式表达； ②求证：不论为何值，该函数图象与轴一定有两个交点． (2)若，点和在抛物线上，对称轴为直线，，求的取值范围． 【答案】(1)①；②见详解； (2) 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． (1) ①将代入，得，即可得； ②令，可得，即一元二次方程有两个不相等的实数根，进而可得结论． (2)由题意可得，求出h的取值范围即可． 【详解】（1）解∶①， ， 将代入， 得， ； ②证明∶令， ， ， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 不论b为何值，该函数图象与轴一定有两个交点； （2）解∶，点和在抛物线上， 对称轴为直线，， ， 解得， 的取值范围为． 34．（24-25九年级上·山东德州·期末）设二次函数（，是常数）． (1)判断该二次函数图象与轴的交点的个数，说明理由； (2)若该二次函数图象的对称轴是直线，求这个函数图象与轴交点的坐标； (3)若，在这个函数的图象上，且．这个二次函数图象与轴的一个交点的横坐标，求的取值范围． 【答案】(1)二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个，见解析 (2)， (3)或且 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数的图像和性质等知识． （1）根据函数的交点与一元二次方程的关系，利用一元二次方程根的判别式求解即可． （2）由对称轴得出，代入函数解析式即可求出次函数为，然后求出当时，必的值即可得到函数图象与x轴交点的坐标； （3）由已知可知二次函数与x轴交点为、，根据一元二次方程根与系数的关系可得，结合．得，在分类讨论，即可得出结论． 【详解】（1）解：设  ∴， ∵ ∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根． ∴二次函数图象与轴的交点的个数有两个或一个． （2）解：∵二次函数图象的对称轴是直线， ∴， ∴， ∴二次函数为， 令，则， 解得，， ∴这个函数图象与轴交点的坐标为， （3）解：∵，在这个函数的图象上，且． ∴，即， 当时，，得二次函数与轴交点为、， ∴ 当时，由，得，即，即． 当时，由，得，即，即． ∴或且． 35．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数（其中为常数）． (1)若该函数图像经过点和，求的值； (2)若，判断二次函数的图像与轴公共点的个数，并说明理由； (3)若点都在二次函数的图像上，试比较的大小． 【答案】(1) (2)只有一个公共点，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点问题以及二次函数的图像和性质等知识． （1）利用待定系数法求解即可． （2）根据根的判别式判断即可． （3）法一：把两点分别代入二次函数得出和，然后做差即可比较． 法二：利用二次函数的图像和性质比较即可． 【详解】（1）解：将和代入， 得， 解得． （2）解：， ， 图像与轴只有一个公共点． （3）解：法一： 由题意知 法二：对称轴为， 与关于对称轴对称， ∴当时，随着的增大而增大， ． ∴． 36．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象与直线经过轴上的同一点． (1)求二次函数的表达式． (2)判断二次函数图象的顶点是否在直线上，并说明理由． (3)若，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)在，理由见详解 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，一次函数与二次函数的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出二次函数的图象与直线交于点，再代入，进行计算，即可作答． （2）先求出二次函数的顶点坐标，再把代入，得，即可作答． （3）结合二次函数的图象与直线相交于和，且二次函数的开口向上，即可作答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与直线经过轴上的同一点． ∴令，则， 解得， 即把代入， 得， 解得； ∴； （2）解：在，理由如下： ∵二次函数， ∴令，则， ∴ ∴对称轴是直线， 把代入， 顶点坐标为， 把代入， 得， ∴二次函数图象的顶点在直线上， （3）解：由（2）得二次函数的图象与直线相交于和，且二次函数的开口向上， ∴当时，则． 37．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，设函数，，其中． (1)若函数的图象过点，函数的图象过点，求的值． (2)若，判断函数与轴的交点个数，说明理由． (3)若函数和函数与轴的交点均相同，求，的值． 【答案】(1)5 (2)函数与轴没有交点，理由见解析 (3)， 【分析】（1）将和分别代入和，得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可； （2）根据判别式结合求解即可； （3）首先求出函数与x轴的交点坐标为和，然后根据题意得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵函数的图象过点，函数的图象过点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ∴函数与轴没有交点； （3）解：∵ ∴当时， 解得或 ∴函数与x轴的交点坐标为和 ∵ ∴， ∴，或，（舍去）． 【点睛】此题考查了二次函数和x轴的交点问题，二次函数的性质，二次函数和一元二次方程，掌握二次函数的性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $