专题18 三角函数常考公式及应用全归纳（压轴题14大类型专项训练）高一数学人教A版2019必修第一册

专题18 三角函数常考公式及应用全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、终边相等的角 1 类型二、扇形的弧长、面积公式 2 类型三、三角函数的概念 3 类型四、“知一求二” 4 类型五、弦切齐次化求值 5 类型六、sinα·cosα、sinα±cosα应用 5 类型七、诱导公式求值 6 类型八、诱导公式化简 7 类型九、两角和差公式 8 类型十、二倍角公式 8 类型十一、降幂公式 9 类型十二、辅助角公式 9 类型十三、给值求值问题 10 类型十四、给值求角问题 12 压轴专练 13 类型一、终边相等的角 终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，它们彼此相差，即. 1．（25-26高一上·吉林四平·月考）在与角终边相同的角中，最大的负角是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江西景德镇·期中）角的终边与的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河南·月考）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ） A． B． C． D． 类型二、扇形的弧长、面积公式 1、弧长与扇形面积公式的两种表示 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 【注】扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角． 2、弧长公式与扇形面积公式的注意事项 （1）在应用公式时，要注意的单位是“弧度”； （2）在弧度制下的扇形面积公式，与三角形面积公式的形式相似，可类比记忆． 1．（25-26高一上·全国·月考）如图，为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ．    2．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知一扇形的圆心角为2，周长为8，则该扇形的面积为 3．已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 4．（24-25高一上·河北石家庄·期末）近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设. (1)求扇形OMN的面积； (2)若，求矩形ABCD的面积； (3)若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 类型三、三角函数的概念 1、用角的终边上点的坐标表示三角函数 如图，设若是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点到原点的距离为，则，，． 【注意】三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上点的位置无关． 2、已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值． 方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解． 1．（24-25高一下·北京·期中）已知角的终边与单位圆交于点P，则= . 2．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知角的终边上有一点，则实数 ． 3．（24-25高一上·吉林四平·月考）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，为角终边上一点，若，则 ． 4．设角终边上一点，则的值为 ． 5．（24-25高一上·河南洛阳·月考）若角的终边在直线上，则的值为 . 类型四、“知一求二” 1.利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化． 2.由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用”平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论. 1．已知，则 ， ． 2．已知，且在第一象限，则 ． 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）（1）已知，并且是第二象限角，求和的值． （2）已知，求和的值． 类型五、弦切齐次化求值 已知角α的正切值,求由sinα和cosα构成的代数式的值,构成的代数式通常是分式齐次式或整式齐次式. (1)形如 的分式,可将分子、分母同时除以cosα;形如 的分式,可将分子、分母同时除以cos2α,将正、余弦转化为正切求值. (2)形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α(a,b,c不全为0)的齐次式,可以将分母看作是1=sin2α+cos2α,转化为的分式求值. 注意:涉及常数时,如sin2α+k,则将k转化为ksin2α+kcos2α后转化为(2)的形式,但涉及(k,t为常数),则需转化为(1)求解. 1．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，则 . 2．（24-25高一下·上海·月考）已知，则 . 3．（24-25高一上·上海·课后作业）若，则 . 4．（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知，则 . 5．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知，则 . 类型六、sinα·cosα、sinα±cosα应用 已知sin α±cos α,sin αcos α求值问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解,涉及的三角恒等式有: (1)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α; (2)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α; (3)(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2; (4)(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin αcos α. 上述三角恒等式告诉我们,若已知sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α中的任何一个,则另两个式子的值均可求出. 1．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期中）已知，则 ． 2．（24-25高一下·贵州·月考）已知，则 ． 3．（24-25高一下·四川南充·期中）若，则 . 4．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知，则 类型七、诱导公式求值 利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤 也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”． 1．（25-26高一上·全国·课后作业）求值： ． 2．（23-24高一·上海·课堂例题）利用诱导公式求值： (1)； (2)； (3)． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 类型八、诱导公式化简 明确三角函数式化简的原则和方向 (1)切化弦，统一名． (2)用诱导公式，统一角． (3)用因式分解将式子变形，化为最简． 也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了”． 1．（24-25高一下·广东·期中）已知，且在第三象限. (1)求和的值； (2)求的值. 2．（24-25高一下·甘肃甘南·期中）化简：． 3．（23-24高一下·上海普陀·期中）（1） 化简：． （2） 已知，求的值． 4．化简： 类型九、两角和差公式 公式的变形：． 1．（23-24高一下·四川绵阳·月考）（多选题）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏南通·月考）（多选题）若，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）（多选题）下列选项中，与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·山东临沂·期末）（多选题）已知，为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 类型十、二倍角公式 （1）二倍角的正弦（）：． （2）二倍角的余弦（）：． （3）二倍角的正切（）：． 1．（24-25高一下·广东江门·月考）计算 2．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知，则的值为 . 3．已知，，则 ． 4．（24-25高一下·四川绵阳·月考）已知，则 . 5．（24-25高一下·江苏南京·期中）函数的值域为 ． 6．（24-25高一下·陕西渭南·期中）已知，则 . 7．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，若，则 ． 类型十一、降幂公式 降幂公式：；；；． 1．（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．函数的最小正周期为 . 4．已知，则 . 5．设，当时，，则 . 类型十二、辅助角公式 常见辅助角结论 （1）； （2）； （3）； （4）． 1．（23-24高一下·四川成都·期中）函数的最大值为 ． 2．（23-24高一下·上海·月考）函数的最小正周期是 ． 3．（23-24高一下·上海·期中）设为常数，若函数的最大值为5，则 . 4．（23-24高一上·上海·期末）若存在，使成立，则实数k的取值范围是 . 5．（23-24高一下·江苏南通·月考）已知函数，则的最小值为 . 6．（23-24高一下·上海金山·期末）已知函数在时取得最大值，则 . 7．（24-25高一下·上海杨浦·月考）已知则 . 8．（24-25高一下·江苏苏州·月考） . 类型十三、给值求值问题 “给值求值”问题一般策略 （1）关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． （2）常见的配角技巧： ①；； ②； ③； ④； ⑤． 1．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则（） A． B． C． D． 5．若，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高三上·山西大同·期末）（多选题）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江西·期末）已知锐角满足，则 . 8．已知，则 . 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，那么的值为 . 10．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知，，，则 ． 类型十四、给值求角问题 三角函数给值求角问题一般策略 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角． 遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可； 若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 1．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知 (1)求的值； (2)求的值. 2．（24-25高一下·四川成都·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 3．（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知． (1)求的值； (2)求的大小． 4．（24-25高一下·江苏徐州·月考）（1）已知均为钝角，且，求的值． （2）已知，且，求的值． 5．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知锐角满足． (1)求的值； (2)求的值． 1．（24-25高一上·黑龙江·期末）已知角的终边在直线上，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 2．（24-25高一下·山东潍坊·期末）（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河北保定·期末）在某中学2025年“创意之光”文创设计大赛中，一名学生设计了一把“紫堡文创”扇子．其扇面可以近似的理解为扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇面的近似面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．若，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·广东江门·月考）（多选题）下列结论正确的是（   ） A．若，则一定是第一或第二象限角 B．若是第一象限角，则是第一或第三象限角 C．240°化成弧度是 D．终边在直线上的角的取值集合可表示为 7．（24-25高一下·广东汕头·期末）（多选题）已知角都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·甘肃白银·期末）（多选题）已知，，则（    ） A． B． C．是锐角 D． 9．（24-25高一下·宁夏固原·期末）（多选题）下列等式成立的有（   ） A． B． C． D． 10．（多选题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·四川广元·期末）（多选题）下列式子正确的是（   ） A． B． C．时， D． 12．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）（多选题）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若是锐角，则 D．若是钝角，则 13．（24-25高一下·江苏连云港·月考）（多选题）已知，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 14．已知为第二象限角，若，则 ． 15．（23-24高一下·上海·月考）若，则 . 16．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知，则 . 17．（24-25高一上·安徽淮南·月考）若是角终边上一点，则的值为 . 18．（24-25高一下·辽宁·期中）已知角的终边经过点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转得到角的终边，则的值为 . 19．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考）已知，则 ， ． 20．（24-25高一上·甘肃·期末）已知，则 . 21．（24-25高一下·山西吕梁·月考）已知扇形的周长为4，当扇形面积最大时，圆心角 ． 22．（24-25高一上·云南玉溪·月考）已知，则 . . 23．（24-25高一下·山东东营·期末）已知，且，则 . 24．（24-25高一下·上海·月考）已知，则 . 25．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，则 ．（数字作答） 26．（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知，则 . 27．（24-25高一下·上海闵行·月考）若，则 . 28．函数的最小正周期为 . 29．（23-24高一下·陕西榆林·期末）已知，则 . 30．（25-26高一上·浙江杭州·月考）已知，则的值为 ． 31．（24-25高一下·江苏常州·期中）已知 则 32．（24-25高一下·江苏淮安·月考）已知为第四象限角且． (1)求的值； (2)求的值． 33．（23-24高一下·江苏苏州·月考）已知，且． (1)求的值： (2)求的值． 34．（23-24高一下·上海·月考）已知，其中．求： (1)的值； (2)求角的值 35．（23-24高一上·重庆·期末）已知，其中． (1)求的值； (2)若，求的值． 36．（23-24高一上·福建三明·月考）已知，，，. (1)求； (2)求角. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 三角函数常考公式及应用全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、终边相等的角 1 类型二、扇形的弧长、面积公式 3 类型三、三角函数的概念 7 类型四、“知一求二” 9 类型五、弦切齐次化求值 10 类型六、sinα·cosα、sinα±cosα应用 12 类型七、诱导公式求值 14 类型八、诱导公式化简 16 类型九、两角和差公式 18 类型十、二倍角公式 20 类型十一、降幂公式 23 类型十二、辅助角公式 24 类型十三、给值求值问题 27 类型十四、给值求角问题 33 压轴专练 37 类型一、终边相等的角 终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，它们彼此相差，即. 1．（25-26高一上·吉林四平·月考）在与角终边相同的角中，最大的负角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出与角终边相同的角的集合，列不等式求结论. 【详解】与角终边相同的角的集合为， 令，可得，又， 所以，且， 所以与角终边相同的角中，最大的负角是， 故选：B. 2．（24-25高一下·江西景德镇·期中）角的终边与的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求与大小为的角的终边关于轴对称的一个角，再结合终边相同的角的集合求即可. 【详解】因为大小为的角的终边与大小为的角的终边关于轴对称， 所以. 故选：D. 3．（23-24高一下·河南·月考）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别写出阴影部分终边在第二象限和第四象限角的集合，然后并起来即可. 【详解】由图，阴影部分终边在第二象限角的集合为， 阴影部分终边在第四象限角的集合为， 故终边在阴影部分的角的集合为， 故选：B. 类型二、扇形的弧长、面积公式 1、弧长与扇形面积公式的两种表示 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 【注】扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角． 2、弧长公式与扇形面积公式的注意事项 （1）在应用公式时，要注意的单位是“弧度”； （2）在弧度制下的扇形面积公式，与三角形面积公式的形式相似，可类比记忆． 1．（25-26高一上·全国·月考）如图，为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是 ．    【答案】 【分析】运用扇环的定义，两个同心扇形（圆心相同）的面积差利用扇形面积公式求解两个扇形的面积差. 【详解】由题意知， 因为， 由扇形面积公式得: 所以． 故答案为：. 2．（24-25高一下·河南南阳·期末）已知一扇形的圆心角为2，周长为8，则该扇形的面积为 【答案】4 【分析】借助扇形周长公式与面积公式计算即可得. 【详解】设该扇形的半径为，圆心角为，母线为， 则， 依题意，得， 所以该扇形的面积为. 故答案为：4. 3．已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积 （3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求法可得； 【详解】（1）． （2）设弓形面积为．由题知． ． （3）由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 4．（24-25高一上·河北石家庄·期末）近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设. (1)求扇形OMN的面积； (2)若，求矩形ABCD的面积； (3)若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】(1)平方米. (2)平方米. (3)，最大值为. 【分析】（1）由扇形面积公式可得； （2）根据，求得和的长度，即可求得矩形的面积； （3）利用直角三角形利用半径与分别表示出，进而可得矩形面积表达式，利用辅助角公式将化简变形，结合角的范围求最大值可得. 【详解】（1）由题意，，扇形半径即米， 则扇形OMN的面积为平方米. （2）因为，在中，，， 在中，，则， 所以. 则矩形ABCD的面积. 所以当时，矩形ABCD的面积平方米. （3）在中，，， 在中，，则， 所以. 则矩形ABCD的面积 ， 所以，其中. 由于， 则当时，即时，. 所以当时，取得最大值，最大值为. 类型三、三角函数的概念 1、用角的终边上点的坐标表示三角函数 如图，设若是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点到原点的距离为，则，，． 【注意】三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上点的位置无关． 2、已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值． 方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解． 1．（24-25高一下·北京·期中）已知角的终边与单位圆交于点P，则= . 【答案】 【分析】本题可先根据三角函数的定义求出,再根据同角三角函数关系式化简计算. 【详解】已知点在单位圆上，单位圆的半径，根据三角函数的定义，. 所以. 故答案为：. 2．（24-25高一下·上海普陀·期中）已知角的终边上有一点，则实数 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正切函数的定义求出. 【详解】由点在角的终边上，得， 所以. 故答案为： 3．（24-25高一上·吉林四平·月考）已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，为角终边上一点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【详解】由三角函数的定义可知， ，所以，解得， 故答案为：． 4．设角终边上一点，则的值为 ． 【答案】或 【分析】根据任意角三角函数定义计算即可. 【详解】当时，； 当时，． 故答案为：或. 5．（24-25高一上·河南洛阳·月考）若角的终边在直线上，则的值为 . 【答案】 【分析】在直线方程任取一点，利用三角函数的定义即可得解. 【详解】因为角的终边在直线上，取直线上任一点， 当时，，则； 当时，，则； 综上，的值为. 故答案为：. 类型四、“知一求二” 1.利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化． 2.由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用”平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论. 1．已知，则 ， ． 【答案】 或 或 【分析】利用三角函数的基本关系求值. 【详解】因为，所以角为第三或第四象限角. 若为第三象限角，则，所以， ； 若为第四象限角，则，所以， . 故答案为：或；或. 2．已知，且在第一象限，则 ． 【答案】/ 【分析】根据三角函数的基本关系求解即可． 【详解】因为，所以，又，可得，因为在第一象限，，所以． 故答案为：． 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）（1）已知，并且是第二象限角，求和的值． （2）已知，求和的值． 【答案】（1），；（2）答案见解析 【分析】（1）利用同角三角函数关系结合角的象限求解即可； （2）利用同角三角函数关系，按照角的象限分类讨论求解即可. 【详解】（1），又因为是第二象限角， 所以，． （2）， 因为，所以是第二或第三象限角， 当是第二象限角时，； 当是第三象限角时，． 类型五、弦切齐次化求值 已知角α的正切值,求由sinα和cosα构成的代数式的值,构成的代数式通常是分式齐次式或整式齐次式. (1)形如 的分式,可将分子、分母同时除以cosα;形如 的分式,可将分子、分母同时除以cos2α,将正、余弦转化为正切求值. (2)形如asin2α+bsin αcos α+ccos2α(a,b,c不全为0)的齐次式,可以将分母看作是1=sin2α+cos2α,转化为的分式求值. 注意:涉及常数时,如sin2α+k,则将k转化为ksin2α+kcos2α后转化为(2)的形式,但涉及(k,t为常数),则需转化为(1)求解. 1．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】利用弦化切可求三角函数式的值. 【详解】. 故答案为：. 2．（24-25高一下·上海·月考）已知，则 . 【答案】/0.4 【分析】根据给定条件，利用齐次式法计算得解. 【详解】由，得. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·课后作业）若，则 . 【答案】/ 【分析】利用对表达式化简为并代入，即可得到结果， 【详解】. 故答案为：. 4．（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知，则 . 【答案】/ 【分析】利用平方关系及正余弦齐次式法求得目标值. 【详解】由，得. 故答案为： 5．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知，则 . 【答案】/ 【分析】根据得到的值，然后根据和构造齐次式计算. 【详解】， 原式 . 故答案为：. 类型六、sinα·cosα、sinα±cosα应用 已知sin α±cos α,sin αcos α求值问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解,涉及的三角恒等式有: (1)(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α; (2)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α; (3)(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2; (4)(sin α-cos α)2=(sin α+cos α)2-4sin αcos α. 上述三角恒等式告诉我们,若已知sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α中的任何一个,则另两个式子的值均可求出. 1．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，平方后，利用三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由， 平方可得， 所以. 故答案为：. 2．（24-25高一下·贵州·月考）已知，则 ． 【答案】 【分析】应用关系求目标函数值. 【详解】由，则，故， 由，得， 所以，可得. 故答案为： 3．（24-25高一下·四川南充·期中）若，则 . 【答案】 【分析】由进而可得. 【详解】， 因，故，即， 故， 故答案为： 4．（24-25高一下·江西南昌·月考）已知，则 【答案】 【分析】，然后将条件两边平方即可得出答案. 【详解】， ， 所以，所以， 故答案为：. 类型七、诱导公式求值 利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤 也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了”． 1．（25-26高一上·全国·课后作业）求值： ． 【答案】 【分析】结合特殊角的函数值利用诱导公式化简求值即可. 【详解】原式 ． 故答案为： 2．（23-24高一·上海·课堂例题）利用诱导公式求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】综合利用诱导公式，将它们转化成锐角三角函数进行求解. 【详解】（1） （2） （3） 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 类型八、诱导公式化简 明确三角函数式化简的原则和方向 (1)切化弦，统一名． (2)用诱导公式，统一角． (3)用因式分解将式子变形，化为最简． 也就是：“统一名，统一角，同角名少为终了”． 1．（24-25高一下·广东·期中）已知，且在第三象限. (1)求和的值； (2)求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用同角三角函数关系求解即可. （2）利用诱导公式，结合三角函数正余弦齐次式求值即可. 【详解】（1）已知，且在第三象限，所以， （2） . 2．（24-25高一下·甘肃甘南·期中）化简：． 【答案】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的关系化简即可. 【详解】 3．（23-24高一下·上海普陀·期中）（1） 化简：． （2） 已知，求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据诱导公式及同角三角函数的商数关系即可化简； （2）由同角三角函数的平方关系及商数关系得出，再根据两角差的正切公式即可求解． 【详解】（1） ． （2） ， ， 则． 4．化简： 【答案】. 【分析】结合弦切互化，根据诱导公式化简即可. 【详解】. 类型九、两角和差公式 公式的变形：． 1．（23-24高一下·四川绵阳·月考）（多选题）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由正弦二倍角公式可得A正确，利用余弦二倍角公式可得B错误，再由两角差的正弦公式计算可得C正确，根据两角和的正切公式整理可得D正确. 【详解】对于A，易知，即A正确； 对于B，显然，可得B错误； 对于C，易知，所以C正确； 对于D，易知， 整理可得，即，即D正确. 故选：ACD 2．（24-25高一下·江苏南通·月考）（多选题）若，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据两角和差的正余弦公式，结合已知条件，依次判断即可. 【详解】对于A，，则，，不一定为0，故选项A错误； 对于B，，则，，故选项B正确； 对于C，，故选项C正确； 对于D，，故选项D错误. 故选：BC. 3．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）（多选题）下列选项中，与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用诱导公式、二倍角公式与和、差角公式化简计算再逐一判断即得. 【详解】因. 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因，则有， 故，故C正确； 对于D， ，故D错误. 故选：ABC. 4．（24-25高一下·山东临沂·期末）（多选题）已知，为锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用三角函数的两角和差公式和同角三角函数的基本关系逐项计算即可. 【详解】对于A，，故， 则，故故A错误； 对于B，故B正确； 对于C， ，故， 因为，为锐角，所以，故， 故 所以故C正确； 对于D，由B知，，故 所以 故，故D正确. 故选：BCD 类型十、二倍角公式 （1）二倍角的正弦（）：． （2）二倍角的余弦（）：． （3）二倍角的正切（）：． 1．（24-25高一下·广东江门·月考）计算 【答案】/0.25 【分析】逆用二倍角的正弦公式，配凑系数计算即得. 【详解】由. 故答案为：. 2．（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知，则的值为 . 【答案】/ 【分析】对题设条件平方并结合倍角公式即可计算求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 3．已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】利用已知条件求出，从而求出，最后利用二倍角的正切公式求出． 【详解】，， ， ， ． 故答案为：． 4．（24-25高一下·四川绵阳·月考）已知，则 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式计算得解. 【详解】由，得，解得， 所以. 故答案为： 5．（24-25高一下·江苏南京·期中）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由二倍角公式化简，运用换元法利用二次函数的单调性可得. 【详解】， 设，则，， 则在上单调递减，， 故函数的值域为， 故答案为： 6．（24-25高一下·陕西渭南·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】利用二倍角的余弦公式列式求解. 【详解】由，得，则，由，得， 所以. 故答案为： 7．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知，若，则 ． 【答案】 【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，求出，再结合的范围，确定的值. 【详解】因为， 解得或， 又，则，又，所以，则， 所以，所以. 故答案为：. 类型十一、降幂公式 降幂公式：；；；． 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式和二倍角公式求解即可. 【详解】由题意得，. 故选：B 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用降幂公式，化简求值. 【详解】，解得：. 故选：B 3．函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】对给定函数式用二倍角的余弦公式降幂即可得解 【详解】由已知得：， 其最小正周期为. 故答案为：. 4．已知，则 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式及同角公式计算即得. 【详解】由，得，即， 两边平方得，所以. 故答案为： 5．设，当时，，则 . 【答案】 【分析】利用降幂公式化简可得，由已知可求得，再利用同角的三角函数的平方关系可求. 【详解】， 由，所以，所以， 因为，又，所以， 所以. 故答案为：. 类型十二、辅助角公式 常见辅助角结论 （1）； （2）； （3）； （4）． 1．（23-24高一下·四川成都·期中）函数的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据二倍角的正、余弦公式和辅助角公式可得，结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】， 当即即时， 取得最大值，且最大值为. 故答案为： 2．（23-24高一下·上海·月考）函数的最小正周期是 ． 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简所求函数，结合三角函数的周期性即可得解. 【详解】因为， 所以的最小正周期为. 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海·期中）设为常数，若函数的最大值为5，则 . 【答案】 【分析】首先把函数的关系式变换成正弦型函数，进—步利用函数的最值求出的值. 【详解】因为，其中， 所以，解得. 故答案为：. 4．（23-24高一上·上海·期末）若存在，使成立，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】转化为求三角函数值域问题，结合辅助角公式和三角函数相关知识求解即可. 【详解】若存在，使成立， 即，其中， 由于值域为，则，则. 故答案为： 5．（23-24高一下·江苏南通·月考）已知函数，则的最小值为 . 【答案】 【分析】将函数解析式利用和角公式展开，运用降幂公式和辅助角公式将其化成正弦型函数，再结合正弦函数的图象即可求得. 【详解】由 ， 因，故， 当且仅当时，即时，. 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海金山·期末）已知函数在时取得最大值，则 . 【答案】 【分析】先利用辅助角公式求出所满足的关系，求出，再利用和角公式求解. 【详解】根据辅助角公式，可得，其中. 由函数在时取得最大值，可得，所以， 根据诱导公式，可得. 根据和角公式，可得. 故答案为： 7．（24-25高一下·上海杨浦·月考）已知则 . 【答案】/ 【分析】先利用辅助角公式化简原函数，再结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】由辅助角公式得 ， 令， 则由同角三角函数的基本关系得. 故答案为：. 8．（24-25高一下·江苏苏州·月考） . 【答案】 【分析】利用切化弦，再利用两角和正弦公式即可求解. 【详解】 故答案为：. 类型十三、给值求值问题 “给值求值”问题一般策略 （1）关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． （2）常见的配角技巧： ①；； ②； ③； ④； ⑤． 1．（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知，都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角三角函数关系得到，，凑角法得到答案. 【详解】因为，，所以，所以，， 所以 . 故选：C 2．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由及，得，再将正切变成正弦和余弦，化简并结合同角三角函数的基本关系可求解出，再利用二倍角关系求解即可. 【详解】由及，得. 又由，得，得， 所以，而， 故选：B. 3．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以为整体，可得，根据展开计算得到答案. 【详解】因为，则， 且，可得， 所以. 故选：A. 4．已知，，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用降幂公式及角的变换，结合两角和与差的余弦公式化简即可求解. 【详解】已知, 则 故选:. 5．若，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用“平方关系”可得，，注意符号看象限，再根据变形结合两角和差公式即可得出． 【详解】因为，则，且， 可得，且； 又因为，则， 且，可得； 所以 ． 故选：D. 6．（23-24高三上·山西大同·期末）（多选题）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角和（差）的正弦余弦公式逐一判断即可. 【详解】由题意可得， 所以，故A错误； ， 因为， 所以，所以，故B正确； 因为，所以， 所以 ，故C错误： 即， 因为，所以， 故，所以，故D正确. 故选：BD 7．（24-25高一下·江西·期末）已知锐角满足，则 . 【答案】 【分析】由结合诱导公式即可计算求解. 【详解】因为锐角满足， 所以. 故答案为： 8．已知，则 . 【答案】/ 【分析】利用诱导公式和余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】因为，所以 由 ， 故答案为： 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，那么的值为 . 【答案】 【分析】由两角差的正切公式可得. 【详解】， . 故答案为：. 10．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知，，，则 ． 【答案】 【分析】根据同角三角关系求，，根据角的关系，结合两角和差公式运算求解. 【详解】因为，则，， 且，， 可得，， 又因为， 则 ， 所以. 故答案为：. 类型十四、给值求角问题 三角函数给值求角问题一般策略 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角． 遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数； （2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可； 若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 1．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据同角的三角函数关系可求出，利用二倍角公式即可求得答案； （2）利用二倍角正切公式以及两角和的正切公式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，故， 故； （2）由于，且，则， 结合，可得， 结合（1）可得， 而， 故， 由于，故. 2．（24-25高一下·四川成都·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角公式及差角的正弦公式求解. （2）利用同角公式及差角的正弦公式求出即可. 【详解】（1）由，得， 所以. （2）由，得，由， 得，则 ， 所以. 3．（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知． (1)求的值； (2)求的大小． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求出、，从而求出、，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）首先求出，再由及两角和的正弦公式计算可得. 【详解】（1）因为，所以，解得（负值舍去）； 所以， 所以． （2）因为，所以， 又因为，所以， 所以 ， 又因为，所以． 4．（24-25高一下·江苏徐州·月考）（1）已知均为钝角，且，求的值． （2）已知，且，求的值． 【答案】（1）;（2） 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后计算出的取值范围，利用和差角公式的余弦公式求出的值，即可得出. （2）利用同角三角函数的基本关系求出的值，然后根据，利用和差角公式的余弦公式求出的值，即可得出. 【详解】（1）由题意可知，所以， 所以， 所以， 所以， （2）由得，， 所以， ， ， 所以 5．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知锐角满足． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意求出，利用两角差的正弦公式即可求得； （2）由（1）解出，由均为锐角以及的取值情况，解出的取值范围，即可求得的值. 【详解】（1）因为，，所以， 因为，，所以， 则，又，所以，则， 所以. （2）由（1）得， 因为，，，所以， 由（1）知，所以， 则，所以. 1．（24-25高一上·黑龙江·期末）已知角的终边在直线上，则的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，即可利用弦切互化求解. 【详解】由的终边在直线上可得， 故 故选：A 2．（24-25高一下·山东潍坊·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用倍角公式和特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】因为， 故选：D. 3．（24-25高一下·河北保定·期末）在某中学2025年“创意之光”文创设计大赛中，一名学生设计了一把“紫堡文创”扇子．其扇面可以近似的理解为扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇面的近似面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据扇形的面积公式进行求解即可. 【详解】因为，，， 所以扇面的近似面积为， 故选：C 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知，进而根据计算即可. 【详解】由，得， 因为， 所以， 所以 . 故选：D 5．若，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用“平方关系”可得，，注意符号看象限，再根据变形结合两角和差公式即可得出． 【详解】因为，则，且， 可得，且； 又因为，则， 且，可得； 所以 ． 故选：D. 6．（25-26高一上·广东江门·月考）（多选题）下列结论正确的是（   ） A．若，则一定是第一或第二象限角 B．若是第一象限角，则是第一或第三象限角 C．240°化成弧度是 D．终边在直线上的角的取值集合可表示为 【答案】BC 【分析】根据三角函数值符号、象限角概念、角度与弧度转化及终边相同角的表示逐一判断. 【详解】对于A，当时，，但是轴线角不是象限角，故A错误； 对于B，第一象限角满足，则， 当为偶数时在第一象限，为奇数时在第三象限，故B正确； 对于C，由角度转弧度公式得，故C正确； 对于D，终边在直线上的角应表示为，而表述错误，故D错误. 故选：BC 7．（24-25高一下·广东汕头·期末）（多选题）已知角都是锐角，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，，，，再结合降幂公式、诱导公式、两角差的正切公式求解判断各选项即可. 【详解】由角都是锐角，所以， 由题意得，，解得，，故B正确； 则，所以，故D正确； 而，则，故A错误； 而， 所以，故C错误. 故选：BD. 8．（24-25高一下·甘肃白银·期末）（多选题）已知，，则（    ） A． B． C．是锐角 D． 【答案】ACD 【分析】根据同角三角函数的平方关系判断A的真假；利用二倍角的余弦公式求的值，判断B的真假，根据的符号判断C的真假；利用两角和与差的正弦公式求判断D的真假. 【详解】因为，，所以，A正确. ，所以为锐角，所以B错误，C正确. ，D正确. 故选：ACD 9．（24-25高一下·宁夏固原·期末）（多选题）下列等式成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用二倍角的正弦、余弦公式，结合同角公式逐项分析判断. 【详解】对于A，，A成立； 对于B、D，，B不成立，D成立； 对于C，由，得，C成立. 故选：ACD. 10．（多选题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据两角和差公式计算求解判断A，B，结合同角三角函数关系判断C，应用二倍角正弦公式计算判断D. 【详解】A选项，已知，， 则，A错误； B选项，，B正确； C选项，，所以，C正确； D选项， ，D错误； 故选：BC. 11．（24-25高一下·四川广元·期末）（多选题）下列式子正确的是（   ） A． B． C．时， D． 【答案】ACD 【分析】A选项，由同角三角函数关系和二倍角公式求出，从而得到A正确；B选项，利用余弦和角公式进行计算；C选项，时，，C正确；D选项，利用正切和角公式得到，化简得到D正确. 【详解】A选项， ， 由，所以，A正确； B选项， ，B错误； C选项，时，，故，C正确； D选项，， 即， 所以，D正确. 故选：ACD 12．（25-26高一上·贵州贵阳·月考）（多选题）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若是锐角，则 D．若是钝角，则 【答案】ACD 【分析】由同角三角函数的平方关关系可判断AB，进而求得，，可判断CD. 【详解】由等式两边平方得，所以，故A正确； ，所以，所以B错误； 因为，所以，则， 解方程，解得，，所以，故C正确： 对于D选项，，则，则， 所以解方程，解得，， 所以，故D正确， 故选：ACD. 13．（24-25高一下·江苏连云港·月考）（多选题）已知，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于A，由两角和的余弦公式、商数关系即可验算；对于B，直接由两角差的余弦公式验算即可；对于C，首先得，，然后直接验算即可；对于D，由，即可得解. 【详解】对于A，因为，， 所以， 解得，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，为锐角，所以， 又因为，所以，所以， ，故C错误； 对于D，因为，为锐角，所以， 又因为，所以只能， 因为，解得，故D正确. 故选：BD. 14．已知为第二象限角，若，则 ． 【答案】/ 【分析】利用同角的正弦余弦的平方和为1，可求得，进而利用两角差的余弦公式可求值. 【详解】因为，，所以， 又为第二象限角，所以，， 所以. 故答案为：. 15．（23-24高一下·上海·月考）若，则 . 【答案】 【分析】利用辅助角公式，即可求解. 【详解】 则. 故答案为： 16．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知，则 . 【答案】/ 【分析】利用和角的正弦及二倍角公式，结合正余弦齐次式法求值. 【详解】由，得 . 故答案为： 17．（24-25高一上·安徽淮南·月考）若是角终边上一点，则的值为 . 【答案】/ 【分析】求出，对原式利用诱导公式进行变形化简可求值. 【详解】因为是角终边上一点， 则点到原点的距离是，所以， 则. 故答案为：. 18．（24-25高一下·辽宁·期中）已知角的终边经过点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转得到角的终边，则的值为 . 【答案】 【分析】根据三角函数的定义，得到，结合两角和的正切公式，即可求解. 【详解】由角的终边经过点，可得， 又由将角的终边绕原点按逆时针方向旋转得到角的终边， 则. 故答案为：. 19．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考）已知，则 ， ． 【答案】 【分析】由二倍角的余弦公式可得结果. 【详解】由题意得，． 故答案为：；. 20．（24-25高一上·甘肃·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】将所求因式的二次项部分除以，把分式的分子分母同时除以，把代入求解即可. 【详解】由易知，又因为， 所以 . 故答案为：. 21．（24-25高一下·山西吕梁·月考）已知扇形的周长为4，当扇形面积最大时，圆心角 ． 【答案】2 【分析】由扇形的面积公式，结合二次函数最值即可求解. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则周长为， 所以扇形面积， 当且仅当时取等号，此时，所以圆心角， 故答案为：2 22．（24-25高一上·云南玉溪·月考）已知，则 . . 【答案】 / 【分析】利用齐次化切法即可求得两个代数式的值. 【详解】因为，所以 故答案为：； 23．（24-25高一下·山东东营·期末）已知，且，则 . 【答案】/ 【分析】由同角三角函数基本关系式求出，再根据两角差的余弦公式即可得结果. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以， 故的值为. 故答案为： 24．（24-25高一下·上海·月考）已知，则 . 【答案】 【分析】利用切化弦，再结合平方公式求值即可. 【详解】 故答案为：. 25．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，则 ．（数字作答） 【答案】 【分析】根据两角和的正弦公式、二倍角的正切公式计算得解. 【详解】因为, 所以， 所以， 故答案为： 26．（24-25高一下·江苏盐城·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】将两边平方，即可求出，再由二倍角公式及诱导公式计算可得. 【详解】 因为， 所以，即， 所以， 所以. 故答案为： 27．（24-25高一下·上海闵行·月考）若，则 . 【答案】或 【分析】由二倍角的正弦公式结合已知条件可得出或的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】因为，所以，，则或， 当时，； 当时，. 故答案为：或. 28．函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】由余弦二倍角公式及两角和的余弦公式化简后计算周期即可得. 【详解】 ， 则其最小正周期. 故答案为：. 29．（23-24高一下·陕西榆林·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】利用两角和差公式以及辅助角公式整理可得，再利用倍角公式运算求解. 【详解】因为， 即， 所以. 故答案为：. 30．（25-26高一上·浙江杭州·月考）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】先根据与的关系列式求得或，然后再利用辅助角公式和正弦函数值域得，即可求解. 【详解】因为， 且， 所以，解得或， 又，所以. 故答案为： 31．（24-25高一下·江苏常州·期中）已知 则 【答案】/0.68 【分析】根据正切的和差角公式得，进而根据正切的二倍角公式解得或，进一步弦切互化齐次式得，即可求解. 【详解】由于，故， 因此， 所以，故， ，故或， 当时，， 当时，， 故， 故答案为： 32．（24-25高一下·江苏淮安·月考）已知为第四象限角且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用同角三角函数关系式联立方程组，解题即可；（2）运用二倍角公式求出二倍角正余弦，再用差角余弦公式计算即可. 【详解】（1）由题意得，且． 由，得 （2） ． 33．（23-24高一下·江苏苏州·月考）已知，且． (1)求的值： (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的正切公式和两角差的正切公式即可求解； （2）根据已知角的范围及三角函数值，结合同角三角函数的平方关系和商数关系求出，由二倍角的正切公式求出，再由及差角正切公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以. （2）因为，所以， 因为，所以，所以， 所以， ， 则， 因为，所以. 34．（23-24高一下·上海·月考）已知，其中．求： (1)的值； (2)求角的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得，结合两角差的正弦公式，即可求解； （2）根据题意，求得，得到，进而求得的值. 【详解】（1）解：因为且，可得， 所以 则. （2）解：由（1）知， 因为，可得， 又因为， 所以，可得，所以， 所以. 35．（23-24高一上·重庆·期末）已知，其中． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，则，根据平方关系及商数关系求出，再求出即可得解； （2）由（1）可得，再利用二倍角公式求出，进而可求得，再根据两角和的余弦公式即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以，所以， ， 所以， 所以； （2）由（1）得， 则， 因为，所以， 所以， 所以， 即，所以， ， 即， 所以. 36．（23-24高一上·福建三明·月考）已知，，，. (1)求； (2)求角. 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）两边平方得，从而求出，得到，联立求出正弦和余弦，得到正切值； （2）由题目条件得到，故，由同角三角函数关系求出，进而由求出正弦值，结合角的范围得到答案. 【详解】（1）①，两边平方得， 所以， 从而， 因为，所以， 故，，， 所以，② 联立①②解得，， 故； （2）因为，，， 所以， 由于在上单调递减， 所以， 其中， 由（1）知，， 而，与矛盾，舍去， ，满足要求， 故， 所以 ， 因为， 所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $