专题01 实数全章10大题型（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题01 实数 题型1 算术平方根的概念与性质 题型2 平方根的概念与性质（常考题） 题型3 立方根的概念与性质 题型4 无理数 题型5 无理数的大小估算与整（小）数部分（重点） 题型6 近似数与精确度 题型7 实数的分类与性质 题型8 实数与数轴 题型9 实数的大小比较（常考题） 题型10 程序设计与实数运算（重点） 题型11 科学记数法（常考题） 题型1 算术平方根的概念与性质 1.下列结论正确的是（    ） A．1的平方根是1 B．0的平方根是0 C．的平方根是 D．的平方根是 【答案】B 【知识点】求一个数的平方根、平方根概念理解、求一个数的算术平方根 【分析】根据平方根的概念判断即可；D根据算术平方根与平方根的概念判断即可． 【详解】解：A、1的平方根是，故A错误； B、0的平方根是0，故B正确； C、没有平方根，故C错误； D、的平方根是，故D错误． 故选：B． 【点睛】此题考查的是算术平方根与平方根，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x叫做a的平方根，其中正的平方根称为算术平方根． 2.下列说法正确的是（   ） A． B．0的平方根是0 C． D．的平方根是2 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念.算术平方根是非负的，平方根有两个值（0除外）. 选项A混淆了平方根与算术平方根；选项C算术平方根结果应为正；选项D忽略了负平方根；选项B正确. 【详解】解：∵ 算术平方根表示非负值，平方根有正负两个值（时）或0（时）. 对于A：表示算术平方根，应为8，而非，所以此项错误； 对于B：0的平方根是0，正确，所以此项正确； 对于C：，而非，所以此项错误； 对于D：，4的平方根是，选项说“是2”不完整，所以此项错误. 故选：B. 3.两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义，较小的数等于的平方，则较大的数是较小数加，再求算术平方根即可． 【详解】解：设较小的正整数为， 的算术平方根是， 则， 较大的正整数为：， 较大的数的算术平方根为：． 故选A． 4.若，求的平方根． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根、利用算术平方根的非负性解题、绝对值非负性 【分析】本题考查了代数式求值、绝对值和算术平方根的非负性．根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出x、y的值，再代入可得，即可求解． 【详解】解：由题意得： 解得：，      ∴， 即的平方根是． 5.已知，m、n是有理数，且，则的算术平方根是 ． 【答案】0 【知识点】乘方的应用、求一个数的算术平方根、利用算术平方根的非负性解题 【分析】本题主要考查了非负数的性质，求一个数的算术平方根，根据几个非负数的和为0，那么这几个数的值都为0得到，则，再求出的值即可根据算术平方根的定义求出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵0的算术平方根是0， ∴的算术平方根是0， 故答案为：0． 6.， ，则 ． 【答案】2.381 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】利用算术平方根的意义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：2.381． 【点睛】此题考查了算术平方根，对所求式子进行恰当的变形是解题的关键． 7.的整数部分是 ．小数部分是 ． 【答案】 3 【知识点】估计算术平方根的取值范围、求算术平方根的整数部分和小数部分 【分析】根据算术平方根的整数部分和小数部分求解的方法直接进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为； 故答案为3，． 【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握求一个算术平方根的整数部分和小数部分是解题的关键． 8.已知 那么 ． 【答案】 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、求一个数的算术平方根 【分析】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的性质是解题关键．直接利用算术平方根的性质化简得出答案． 【详解】解：， ， ， ∴， ； 故答案为： 9.观察下列各式：，用你发现的规律直接写出下面式子的值＝ ． 【答案】406 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题 【分析】观察各式，找出规律，即可求解． 【详解】解：∵， ∴===406， 故答案为：406． 【点睛】本题主要考查算术平方根，找出各式的变换规律是关键． 10.公园里有一块面积为10平方米的正方形绿化地，现在这块地上划出一个扇形区域举办花展，并在扇形的周边围上低矮的篱笆，如图所示，正方形为绿化地，扇形为所划区域，，求需要多长的篱笆．（，结果精确到十分位） 【答案】需要米的篱笆 【知识点】算术平方根的实际应用、扇形的周长和面积 【分析】本题考查了算术平方根的应用、求扇形的周长，由算术平方根的定义得出，结合得出，求出扇形的周长，即可得出答案． 【详解】解：公园里有一块面积为10平方米的正方形绿化地， （米）， ，， （米）， 扇形为所划区域， （米），扇形的周长（米）， 需要的篱笆长度（米）， 需要米的篱笆． 题型2 平方根的概念与性质 1.下列说法正确的是（  ） A．平方根是 B．的平方根是 C．平方根等于它本身的数是1和0 D．一定是正数 【答案】D 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解 【分析】A、根据平方根的概念即可得到答案； B、的平方根其实是9的平方根； C、平方根等于它本身的数与算术平方根是它本身的数要分清楚； D、先判断出，再利用算术平方根的性质直接得到答案． 【详解】A、是负数，负数没有平方根，不符合题意； B、，9的平方根是，不符合题意； C、平方根等于它本身的数是0，1的平方根是，不符合题意； D、，正数的算术平方根大于0，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了平方根及算术平方根的定义及性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 2.若一个数的平方等于5，则这个数等于 ． 【答案】 【知识点】平方根概念理解 【分析】根据平方根的定义即可求解. 【详解】若一个数的平方等于5，则这个数等于：． 故答案为． 【点睛】此题主要考查平方根的定义，解题的关键是熟知平方根的性质. 3.64的平方根是 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根的概念，需注意正数有两个平方根． 根据平方根的定义，一个数的平方根是另一个数，其平方等于原数． 【详解】解：∵，， ∴64的平方根是， 故答案为：． 4.的平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查求一个数的平方根的运算，根据平方根的意义计算即可． 【详解】解：， 即的平方根是， 故答案为： 5.已知某数的平方根是3a－1和a+5，那么这个数是 ． 【答案】16 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数 【分析】根据一个数的两个平方根互为相反数列出方程，解之求得a的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意知3a−1＋a＋5＝0， 解得：a＝−1， 则这个数为（3a−1）2＝（−4）2＝16； 故答案为：16． 【点睛】本题考查了平方根．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 6.对于实数a，我们规定用{}表示不小于的最小整数，称{}为a的根整数，如{}＝4． （1）计算：{}＝ ． （2）现对a进行连续求根整数，直到结果是2为止，例如对12进行连续求根整数，第一次{}＝4，再进行第二次求根整数{}＝2，表示对12连续求根整数2次可得结果为2，请问对100进行连续求根整数， 次后结果为2． （3）若{}＝2，写出满足题意的m的整数值 ． 【答案】 3 3 2或3或4 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数 【分析】（1）根据题目中根整数的定义求解即可． （2）根据题目中根整数的定义对100进行连续求根整数，并进行计次即可． （3）根据题目中根指数的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴． （2）， ， ， 所以对100进行连续求根整数，3次后结果为2． （3）∵， ∴． ∴． ∴． ∴m的整数值为2或3或4． 故答案为：3；3；2或3或4． 【点睛】本题考查求一个数的算术平方根，根据一个数的平方根求这个数，熟练掌握这些知识点是解题关键． 7.解方程： 【答案】或 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题考查了利用平方根的定义解方程，掌握平方根的定义是解题的关键． 根据平方根的定义得到，再解一元一次方程即可． 【详解】解： ， 解得：或． 8.若和是同一个数的平方根，求这个数． 【答案】或． 【知识点】平方根的应用 【分析】由于一个正数的两个平方根应该互为相反数，由此即可列方程解出，然后可求得这个数． 【详解】解：当时， 解得：， ， 则这个数为． 当时，解得， 故， 则这个数为 综上所述，这个数为：或． 【点睛】本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 9.一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a＋2 (1)求a和x的值； (2)求3x＋2a的平方根． 【答案】(1)a＝﹣1，x＝9 (2)±5 【知识点】相反数的应用、平方根概念理解、求一个数的平方根、平方根的应用 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求出a的值，再将a的值代入2a﹣1即可求出x的值； （2）将（1）中的结果代入求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴2a﹣1+（﹣a+2）＝0， 解得a＝﹣1， ∴x＝（2a﹣1）2＝（﹣3）2＝9． （2）解：∵3x+2a＝3×9﹣2＝25， 又∵25的平方根为±5， ∴3x+2a的平方根为±5． 【点睛】本题考查了平方根的知识，解题的关键是掌握一个正数的两个平方根互为相反数． 题型3 立方根的概念与性质 1.如果  ，那么 ． 【答案】 【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】本题考查了立方根，把原式变为，即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴为奇数， ∴， ∴， 故答案为：． 2.已知是正的平方根，是的立方根，求的立方根的值． 【答案】1 【知识点】加减消元法、求一个数的立方根、立方根概念理解、平方根概念理解 【分析】根据算术平方根和立方根的表示列出方程组，求出x，y的值，从而得到A，B，再求的立方根． 【详解】解：由题意可得： ，，     解得：， ∴，， ∴， ∴的立方根的值为1． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，解题的关键是根据相应的表示方法得到关于x，y的方程组． 3.已知16的平方根是，，那么 ． 【答案】或/或 【知识点】求一个数的平方根、求一个数的立方根 【分析】本题考查平方根，立方根．如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根，由此即可计算． 【详解】解：的平方根是， ， ， ， 当，时， ； 当，时， ． 故答案为：或． 4.若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根 【分析】本题考查了利用立方根的定义解方程，先将系数化为1，再利用立方根的定义解方程即可，熟练掌握立方根的定义是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 5.已知≈1.558，≈﹣15.58，则y＝ ． 【答案】﹣3780 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】由题意依据当被开方数的小数点每移动3位，则开方的结果小数点向相同方向移动一位，因为15.58是1.558的小数点向右移动了1位，由此求出y． 【详解】解：∵≈1.558，≈﹣15.58， ∴y＝﹣3780． 故答案为：﹣3780． 【点睛】本题主要考查立方根中小数点的移动数位与被开方数之间的关系．注意掌握开立方时，被开方数的小数点每移动3位，则开方的结果小数点移动一位． 6.解方程：，则 ． 【答案】 【知识点】已知一个数的立方根，求这个数 【分析】先整理，然后再求的立方根，进而可得的值． 【详解】解：， ， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了立方根，关键是掌握立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 7.已知一个正方体的棱长是，要再做一个正方体，使它的体积是原正方体的体积的倍，求新做的正方体的棱长． 【答案】新正方体的棱长为 【知识点】立方根的实际应用 【分析】根据正方体体积的计算方法，求一个数的立方根的方法即可求解． 【详解】解：正方体的棱长是， ∴该正方体的体积为， ∵新做的正方体的体积是原正方体的体积的倍， ∴新正方体的体积为， ∴设新正方体的棱长为， ∴， ∴，即， ∴新正方体的棱长为． 【点睛】本题主要考查求一个数的立方根，掌握正方体的体积的计算方法，求一个数的立方根的运算方法是解题的关键． 8.把一个长为，宽为，高为的长方体铁块锻造成一个正方体铁块，求锻造后正方体铁块的棱长． 【答案】 【知识点】立方根的实际应用 【分析】首先根据长方体的体积公式求出铁块的总体积，然后根据正方体的体积公式求出正方体铁块的棱长． 【详解】解：设正方体铁块的棱长为a， 根据题意，长方体铁块的体积为， 前后体积不变，故有， 解得． 答：锻造后正方体铁块的棱长为 ． 【点睛】本题主要考查了利用立方根的定义解决实际问题，解决本题的关键是理解熔化前后总体积不变，需注意立方体的棱长应是体积的三次方根． 题型4 无理数 1.下列实数中，无理数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数是无限不循环小数． 选项A、B、D均为有理数，C中是无理数． 【详解】解：0是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是整数，属于有理数； 故选：C． 2.下列各数：、、、、、，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】求一个数的立方根、求一个数的算术平方根、无理数 【分析】本题主要考查了无理数．熟练掌握无理数的定义：无限不循环小数，是解题的关键．根据无理数的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵ 是无理数，∴ 是无理数； ∵   是无理数，∴ 是无理数； ∵ 是分数，∴   是有理数； ∵ 是无理数，∴ 是无理数； ∵ ，∴ 是有理数； ∵ ，∴ 是有理数； ∴ 无理数有 3 个， 故选：B． 题型5 无理数的大小估算与整（小）数部分 1.比较大小（用、、、中的一个符号）： 2． 【答案】 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算 【分析】本题考查了实数大小的比较，解题的关键是掌握实数的大小的比较方法．通过比较平方数的大小关系推断平方根的大小． 【详解】解：因为，且， 所以，即 ； 故答案为． 2.如果，那么整数 ． 【答案】3 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． 根据算术平方根的定义，比较与相邻的完全平方数，确定其取值范围，从而得到答案． 【详解】∵ ，，且 ， ∴ ． 又∵a为正整数， ∴． 故答案为3． 3.已知，是的小数部分，比较大小: (填“>”、“<”或“=”) 【答案】 【知识点】实数的大小比较、无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了无理数的小数部分表示，无理数的大小比较，解题的关键是掌握无理数大小的比较． 表示出无理数的小数部分，利用倒数法和平方法比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴的小数部分为， ，的倒数为7， ， ， ∵， ∴，则， 即， 又∵， ∴ ∴， 故答案为：． 4.已知是的小数部分，是不大于的最大整数，那么与的和是 ． 【答案】 【知识点】求算术平方根的整数部分和小数部分、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题主要考查了无理数的估算，正确估算出各无理数的整数部分成为解题的关键． 先确定 的整数部分，得到小数部分 ，再求不大于 的最大整数 ，最后计算 ． 【详解】解：， 的整数部分为， ． 又 ， 不大于 的最大整数为 ， 即 ． ． 故答案为：． 5.已知某正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根等于本身，且，的整数部分为，求的算术平方根． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根和立方根的意义． 根据正数的两个平方根互为相反数，列方程求出 ；根据立方根等于本身的数且大于 0，求出 ；估算 的整数部分得到 ；代入求值后求算术平方根即可． 【详解】解：∵某正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， ∴， ∵的立方根等于本身，且， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即 ， ∵的整数部分为 ， ∴， ∴ 18的算术平方根为． 题型6 近似数与精确度 1. 按照四舍五入精确到得到的近似数是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查了近似数．把千分位上数字6进行四舍五入即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2. 2023年我国人口总数为十四亿两千五百七十二万两千九百九十二人，横线上省略“万”后面的尾数约为 万人． 【答案】 【知识点】求一个数的近似数 【分析】本题考查近似数． 先写出横线上的数，对千位进行四舍五入，改写成“万”作单位的数即可． 【详解】解：十四亿两千五百七十二万两千九百九十二写作：1425722992， 万， ∴省略“万”后面的尾数约为万人． 故答案为：． 3.下列各式中，精确度相同的是（   ） A．300万与3百万 B．与万 C．与3450 D．与 【答案】B 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题主要考查了近似数的精确度概念，熟记概念是解题的关键．近似数的精确度由其最后一位有效数字所在的数位决定，有效数字就是从数的左边第一个不为零的数起，后面的所有数字都是这个数的有效数字． 【详解】解：A．300万精确到万位，3百万精确到百万位，300万与3百万精确度不同，故A不符合题意； B．精确到百位，万精确到百位，与万精确度相同，故B符合题意； C．精确到十位，3450精确到个位，与3450精确度不同，故C不符合题意； D．精确到千分位，精确到百分位，与精确度不同，故D不符合题意． 故选：B． 4.近似数精确到 位． 【答案】千 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题考查了科学记数法和有效数字，注意精确到哪一位，即对下一位的数字进行四舍五入．根据近似数的精确度求解即可． 【详解】解：近似数精确到千位． 故答案为：千． 5.圆周率，其定义为：圆形的周长与直径之比，在实际应用中，通常都用表示进行运算．数字是精确到 位． 【答案】百分 【知识点】求近似数的精确度 【分析】本题主要考查近似数和有效数字，解题的关键是掌握近似数的概念．判断最后一个数字所在数位即可． 【详解】解：数字3.14精确到百分位， 故答案为：百分． 题型7 实数的分类与性质 1.下列说法正确的是（   ） A．实数可分为有理数和无理数 B．的平方根是 C．数轴上的点与有理数一一对应 D．无理数与无理数的和一定是无理数 【答案】A 【知识点】有理数的定义、求一个数的平方根、实数与数轴、实数的分类 【分析】本题考查实数的分类、平方根、数轴表示以及无理数的性质，掌握基本概念是解题关键． 根据实数的分类、平方根的定义、数轴的性质以及无理数的性质进行判断． 【详解】解：A、实数包括有理数和无理数，这是实数的标准分类，故A正确，符合题意； B、，2的平方根是，不是，故B错误，不符合题意； C、数轴上的点与实数一一对应，而不是仅与有理数对应，故C错误，不符合题意； D、无理数与无理数的和不一定是无理数，例如为有理数，故D错误，不符合题意． 故选：A． 2.下列说法错误的是（   ） A．实数可分为正实数和负实数两类 B．正实数包括正有理数和正无理数 C．实数在数轴上都有唯一对应的点 D．数轴上任一点都有唯一对应的实数 【答案】A 【知识点】实数与数轴、实数的分类 【分析】本题考查了实数的分类和实数与数轴的对应关系，解题的关键是掌握实数的有关基础知识． 根据实数的分类，实数与数轴的对应关系对选项逐个判断即可． 【详解】解：A，实数包括正实数、负实数和零，零既不是正实数也不是负实数，选项错误，符合题意； B，正实数包括正有理数和正无理数，选项正确，不符合题意； C：实数与数轴上的点一一对应，每个实数都有唯一对应的点，选项正确，不符合题意；； D：数轴上的每个点都有唯一对应的实数，选项正确，不符合题意； 故选：A． 3.下列说法中正确的有（    ） ①，，都是无理数；        ②无理数包括正无理数、负无理数和零； ③实数分为正实数和负实数两类；        ④绝对值最小的实数是0； ⑤一个数的平方根等于它本身，这个数是0或1；⑥有理数与数轴上的点一一对应． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】求一个数的平方根、无理数、实数与数轴、实数的分类 【分析】本题主要考查了实数的分类，无理数的定义，求一个数的算术平方根和平方根，实数与数轴的关系，根据可判断①；根据0是有理数可判断②；根据0是实数可判断③；根据绝对值的非负性可判断④；根据平方根的定义可判断⑤；根据实数与数轴上的点一一对应可判断⑥． 【详解】解：①是有理数，原说法错误； ②无理数包括正无理数、负无理数，不包括零，原说法错误； ③实数分为正实数、负实数和0三类，原说法错误； ④绝对值最小的实数是0，原说法正确； ⑤一个数的平方根等于它本身，这个数是0，原说法错误； ⑥实数与数轴上的点一一对应，原说法错误； ∴说法正确的只有1个， 故选：A． 4.小明从小区楼出发，实数的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值、实数的性质 【分析】本题考查了实数的绝对值，掌握“一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0”是解题的关键． 根据一个负数的绝对值是它的相反数即可得出答案． 【详解】解：实数的绝对值是， 故选：A． 5.下列各数中为负数的是（　　） A． B．0 C．2 D． 【答案】D 【知识点】正负数的定义、实数的性质 【分析】本题考查负数的识别．小于0的数即为负数，据此即可求得答案． 【详解】解：和2均大于0，是正数，0既不是正数也不是负数，，是负数， 故选：D ． 6.已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 【答案】 【知识点】相反数的定义、倒数、实数的性质、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了相反数、倒数、绝对值的性质，求解代数式的值，正确掌握相关定义是解题关键． 根据相反数、倒数、绝对值的性质分别得出，然后代入计算即可解答． 【详解】解：∵实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为， ∴， ∴， ∴． 题型8 实数与数轴 1.如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与数轴 【分析】本题考查了无理数，理解其定义是解题的关键． 根据无理数的定义解题即可． 【详解】解：由图可知，这个无理数在和之间， A：，故该选项不合题意； B：，故该选项符合题意； C：，故该选项不合题意； D：，故该选项不合题意． 故选：B ． 2.下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②数轴上的点与有理数一一对应；③无理数都是无限小数；④带根号的数都是无理数．⑤如果两个实数的和为无理数，则这两个实数必有一个无理数其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】无理数、实数的分类、实数与数轴 【分析】本题考查实数的分类和性质，掌握实数的基本概念是解题关键． 实数包括有理数和无理数；数轴上的点与实数一一对应，并非仅与有理数对应；带根号的数不一定都是无理数；两个实数的和为无理数时，至少有一个是无理数，据此判断即可． 【详解】解：∵实数分为有理数和无理数， ∴如果不是有理数，则一定是无理数，①正确； ∵数轴上的点与实数一一对应，但有理数不能覆盖所有点， ∴②错误； ∵无理数是无限不循环小数， ∴都是无限小数，③正确； ∵带根号的数可能是有理数（如）， ∴④错误； ∵两个有理数的和是有理数， ∴如果和为无理数，则至少有一个是无理数，⑤正确． ∴错误的有②和④，共2个． 故选B． 3.如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点所表示的数为 . 【答案】/ 【知识点】算术平方根的实际应用、实数与数轴 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的求解，解题的关键是掌握实数与数轴的关系以及求解算术平方根． 先求出面积为3的正方形的边长，根据点表示的数以及点、点的位置，求解即可． 【详解】解：设面积为3的正方形的边长为，则， 由算术平方根的性质可得，， 由题意可得，， 由点在数轴上表示的数为1，点在点的左边， 则点所表示的数为， 故答案为：． 题型9 实数的大小比较 1.比较大小： ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握两个负数比较大小，绝对值大的反而小是关键．根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小即可判断． 【详解】解：，且， ． 故答案为：． 2.将下列各数、、用“”连接： ． 【答案】 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数的大小比较．根据实数的大小比较法则解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为： 3.用的篱笆在空地上围一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成圆形；另一种是围成长方形（正方形是特殊的长方形）．请问选用哪一种方案围成的场地面积较大？最大面积是多少？（结果保留） 【答案】选用圆形方案围成的场地面积较大，最大面积是． 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，若围成正方形场地，则边长为，面积为；若围成圆形场地，则圆的半径为，面积为，然后比较大小即可解决问题． 【详解】解：当围成正方形场地时：面积， 当围成圆形场地时：面积， ∵， ∴围成圆的面积较大，最大面积是． 题型10 程序设计与实数运算 1.如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（    ） 　 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、程序设计与实数运算 【分析】本题考查了求一个数立方根和算术平方根，无理数的定义，正确理解流程图是解题的关键． 将输入，按照流程图计算，直至求出是无理数，输出即可． 【详解】解：当，则，是有理数； 则当，则，是有理数； 则当，则，是无理数，直接输出， ∴当输入为时，输出的值是， 故选：B． 2.一个数值转换器，流程如图，当输入x的值为64时，输出的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】本题考查的是算术平方根和立方根的概念和性质；注意有理数和无理数的区别，把64代入转换器，根据要求计算，得到输出的数值即可． 【详解】解：∵，是有理数，不是无理数， ∴继续转换，求立方根， ∵，是有理数，不是无理数， ∴继续转换，求算术平方根， ∵2的算术平方根是，是无理数， ∴输出， 故选：C． 3.如图是一个数值转换器（），其工作原理如图所示． 若输出的值是，则负整数的值为 ． 【答案】或 【知识点】程序设计与实数运算 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算，根据流程图且运用分类讨论思想，进行分析，列式计算，求解即可． 【详解】解：∵输出的值是， ∴， ∴或， 解得或， ∵为负整数， ∴， 或， 则或， 解得或 ∵， ∴， 故答案为：或． 题型11 科学记数法 1.拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．若一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤粮食，这些粮食可供9万人吃一年，“32400000”这个数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的形式为，其中，为整数．据此将原数32400000转换为科学记数法，即可作答 【详解】解：依题意，， 故选：C． 2.计算，结果用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查科学记数法，将两个数统一为相同指数后相减，再调整结果至科学记数法标准形式即可． 【详解】解：， 原式 ， 故选：C． 3.为满足高速通信需求，我国某企业成功开发出一款基站芯片，其处理一个基本数据单元仅需纳秒，已知一纳秒等于秒，则该芯片一秒可以处理 个基本数据单元．（用科学记数法表示） 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查了科学记数法．根据芯片处理一个基本数据单元的时间，计算一秒内处理的数量，需用总时间除以每个单元的时间，并将结果用科学记数法表示，即可作答． 【详解】解：∵处理一个基本数据单元的时间为纳秒，已知一纳秒等于秒， 因此处理一个单元的时间为秒， 设一秒内处理的基本数据单元个数为n， 则． 故答案为：． 4.用科学记数法表示的数为，原数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数． 把的小数点向右移动位，即可得出答案． 【详解】解：，原数是． 故选：B． 5.若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”有 个． 【答案】7 【知识点】将用科学记数法表示的数变回原数 【分析】本题考查了科学记数法，将科学记数法表示的数还原为原数，然后数出其中“0”的个数． 【详解】解：因为科学记数法表示为，所以原数为．其中“0”有7个． 故答案为：7． 6.个某球形病毒首尾直线相连总长度约为9纳米，单个该病毒直径用科学记数法表示为（    ） A．纳米 B．纳米 C．纳米 D．纳米 【答案】D 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此求解即可． 【详解】解：由题意得：单个该病毒直径为：纳米， 故选：D． 7.在全球范围内，我国北斗卫星导航系统的授时精度优于，用科学记数法表示0.00000002为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，掌握形式为，其中是关键． 用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 8.用科学记数法表示： ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 绝对值小于1的正数利用科学记数法表示一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故答案为：． 9.“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知某种梅花的花粉直径是，这个用科学记数法表示的数据还原为小数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题考查科学记数法还原为小数的方法，科学记数法表示为时，当为负数，需将的小数点向左移动位，不足时补零，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：将还原为小数是， 故选：A． 10.的小数点与左起第一个非零数字之间有 个0． 【答案】5 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数、还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，将科学记数法表示的较小的数还原，即可得出答案． 【详解】解：， ∴的小数点与左起第一个非零数字之间有5个0． 故答案为：5． 2 / 39 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 实数 题型1 算术平方根的概念与性质 题型2 平方根的概念与性质（常考题） 题型3 立方根的概念与性质 题型4 无理数 题型5 无理数的大小估算与整（小）数部分（重点） 题型6 近似数与精确度 题型7 实数的分类与性质 题型8 实数与数轴 题型9 实数的大小比较（常考题） 题型10 程序设计与实数运算（重点） 题型11 科学记数法（常考题） 题型1 算术平方根的概念与性质 1.下列结论正确的是（    ） A．1的平方根是1 B．0的平方根是0 C．的平方根是 D．的平方根是 2.下列说法正确的是（   ） A． B．0的平方根是0 C． D．的平方根是2 3.两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 4.若，求的平方根． 5.已知，m、n是有理数，且，则的算术平方根是 ． 6.， ，则 ． 7.的整数部分是 ．小数部分是 ． 8.已知 那么 ． 9.观察下列各式：，用你发现的规律直接写出下面式子的值＝ ． 10.公园里有一块面积为10平方米的正方形绿化地，现在这块地上划出一个扇形区域举办花展，并在扇形的周边围上低矮的篱笆，如图所示，正方形为绿化地，扇形为所划区域，，求需要多长的篱笆．（，结果精确到十分位） 题型2 平方根的概念与性质 1.下列说法正确的是（  ） A．平方根是 B．的平方根是 C．平方根等于它本身的数是1和0 D．一定是正数 2.若一个数的平方等于5，则这个数等于 ． 3.64的平方根是 4.的平方根是 ． 5.已知某数的平方根是3a－1和a+5，那么这个数是 ． 6.对于实数a，我们规定用{}表示不小于的最小整数，称{}为a的根整数，如{}＝4． （1）计算：{}＝ ． （2）现对a进行连续求根整数，直到结果是2为止，例如对12进行连续求根整数，第一次{}＝4，再进行第二次求根整数{}＝2，表示对12连续求根整数2次可得结果为2，请问对100进行连续求根整数， 次后结果为2． （3）若{}＝2，写出满足题意的m的整数值 ． 7.解方程： 8.若和是同一个数的平方根，求这个数． 9.一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a＋2 (1)求a和x的值； (2)求3x＋2a的平方根． 题型3 立方根的概念与性质 1.如果  ，那么 ． 2.已知是正的平方根，是的立方根，求的立方根的值． 3.已知16的平方根是，，那么 ． 4.若，则的值为 ． 5.已知≈1.558，≈﹣15.58，则y＝ ． 6.解方程：，则 ． 7.已知一个正方体的棱长是，要再做一个正方体，使它的体积是原正方体的体积的倍，求新做的正方体的棱长． 8.把一个长为，宽为，高为的长方体铁块锻造成一个正方体铁块，求锻造后正方体铁块的棱长． 题型4 无理数 1.下列实数中，无理数是（   ） A．0 B． C． D． 2.下列各数：、、、、、，其中无理数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型5 无理数的大小估算与整（小）数部分 1.比较大小（用、、、中的一个符号）： 2． 2.如果，那么整数 ． 3.已知，是的小数部分，比较大小: (填“>”、“<”或“=”) 4.已知是的小数部分，是不大于的最大整数，那么与的和是 ． 5.已知某正数的两个不同的平方根分别是和，的立方根等于本身，且，的整数部分为，求的算术平方根． 题型6 近似数与精确度 1. 按照四舍五入精确到得到的近似数是 ． 2. 2023年我国人口总数为十四亿两千五百七十二万两千九百九十二人，横线上省略“万”后面的尾数约为 万人． 3.下列各式中，精确度相同的是（   ） A．300万与3百万 B．与万 C．与3450 D．与 4.近似数精确到 位． 5.圆周率，其定义为：圆形的周长与直径之比，在实际应用中，通常都用表示进行运算．数字是精确到 位． 题型7 实数的分类与性质 1.下列说法正确的是（   ） A．实数可分为有理数和无理数 B．的平方根是 C．数轴上的点与有理数一一对应 D．无理数与无理数的和一定是无理数 2.下列说法错误的是（   ） A．实数可分为正实数和负实数两类 B．正实数包括正有理数和正无理数 C．实数在数轴上都有唯一对应的点 D．数轴上任一点都有唯一对应的实数 3.下列说法中正确的有（    ） ①，，都是无理数；        ②无理数包括正无理数、负无理数和零； ③实数分为正实数和负实数两类；        ④绝对值最小的实数是0； ⑤一个数的平方根等于它本身，这个数是0或1；⑥有理数与数轴上的点一一对应． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.小明从小区楼出发，实数的绝对值是（    ） A．2 B． C． D． 5.下列各数中为负数的是（　　） A． B．0 C．2 D． 6.已知实数、互为倒数，实数、互为相反数，实数的绝对值为，求的值． 题型8 实数与数轴 1.如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（   ） A． B． C． D． 2.下列说法：①在实数范围内，一个数如果不是有理数，则一定是无理数；②数轴上的点与有理数一一对应；③无理数都是无限小数；④带根号的数都是无理数．⑤如果两个实数的和为无理数，则这两个实数必有一个无理数其中错误的共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如图，面积为3的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点所表示的数为 . 题型9 实数的大小比较 1.比较大小： ．（填“”、“”或“”） 2.将下列各数、、用“”连接： ． 3.用的篱笆在空地上围一个绿化场地，现有两种方案：一种是围成圆形；另一种是围成长方形（正方形是特殊的长方形）．请问选用哪一种方案围成的场地面积较大？最大面积是多少？（结果保留） 题型10 程序设计与实数运算 1.如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（    ） 　 A． B． C． D． 2.一个数值转换器，流程如图，当输入x的值为64时，输出的值是（   ） A．2 B． C． D． 3.如图是一个数值转换器（），其工作原理如图所示． 若输出的值是，则负整数的值为 ． 题型11 科学记数法 1.拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．若一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤粮食，这些粮食可供9万人吃一年，“32400000”这个数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2.计算，结果用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3.为满足高速通信需求，我国某企业成功开发出一款基站芯片，其处理一个基本数据单元仅需纳秒，已知一纳秒等于秒，则该芯片一秒可以处理 个基本数据单元．（用科学记数法表示） 4.用科学记数法表示的数为，原数是（    ） A． B． C． D． 5.若一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”有 个． 6.个某球形病毒首尾直线相连总长度约为9纳米，单个该病毒直径用科学记数法表示为（    ） A．纳米 B．纳米 C．纳米 D．纳米 7.在全球范围内，我国北斗卫星导航系统的授时精度优于，用科学记数法表示0.00000002为 ． 8.用科学记数法表示： ． 9.“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知某种梅花的花粉直径是，这个用科学记数法表示的数据还原为小数是（　　） A． B． C． D． 10.的小数点与左起第一个非零数字之间有 个0． 2 / 39 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $