专题04 相似模型之“A”模型、“X”字模型（“8”字模型）与“AX”字模型（“A8”字模型）（几何模型讲义）（广东专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学讲义聚焦中考相似三角形核心考点，系统梳理"A""X""AX"模型的判定与应用，通过"模型来源-考点提炼-真题训练"流程，结合分类解析与方法指导，助力学生突破图形识别与比例计算难点。 亮点在于"模型识别三步法"教学策略，结合2025年广东中考真题实例，通过公共角/对顶角定位、平行关系推导等培养几何直观与推理意识。分层设计例题与练习题，教师可精准把控复习节奏，有效提升学生快速解题能力与应考效率。

专题04 相似模型之“A”模型、“X"字模型（“8"字模型）与“AX”字模型（“A8”字模型） “A” 模型、“X”（“8” 字）模型及 “AX”（“A8”）字模型是初中几何相似核心模型，均以 AA 相似为判定核心。“A” 模型共公共角且底边平行，由平行线得同位角内错角相等；“X” 模型对顶相交且对应边平行，对顶角与内错角相等；“AX” 模型是两者复合，同一图形含公共角、对顶角与一组平行线，兼具两类结构特征。解题关键是快速识别角相等条件，锁定相似后套用对应边比例建等式。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1相似模型之“A”模型 5 模型2相似模型之“X"字模型 9 模型3相似模型之“AX"字模型 9 16 相似模型中的“A”模型、“X”字模型（“8”字模型）与“AX”字模型（“A8”字模型），均源于平面几何相似三角形的解题实践归纳，是对高频出现的固定图形结构的形象化命名，无单一独创文献，而是教学与解题经验的共识性总结，核心依托相似三角形的AA、SAS、SSS等判定定理，聚焦“角度相等→三角形相似”的核心逻辑，因图形直观、辨识度高，方便师生交流与快速解题而被广泛沿用。其中，“A”模型以共享公共角、另一组对应边平行（或延长线相交）为特征，形似字母“A”，最早见于“三角形平行线分线段成比例”基础题型；“X”字（“8”字）模型由两条对应边反向延长线相交形成交叉结构，兼具“X”与“8”的外形，常见于四边形对角线相交、线段延长线相交场景，通过对顶角与内错角/同位角相等实现相似判定；“AX”（“A8”）字模型则是基础模型的进阶延伸，整合了“A”模型的共角/平行结构与“X”模型的交叉特征，专为解决多三角形嵌套、多组相似关联的复杂题型而生，是复合图形解题中的重要工具。 1.（2025·广东·中考真题）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·广东深圳·中考真题）如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（   ） A． B． C． D． 3.（2025·广东广州·中考真题）如图，在中，点，分别在，上，，若，则 ． 相似模型之“A”模型 核心结论：一组平行线截三角形两边（或两边延长线），形成 “顶点共线、底边平行” 的 “A” 形结构，两三角形相似（AA 判定），对应边成比例、对应角相等。 一、模型核心定义 “A” 模型因图形形状酷似字母 “A” 得名，核心是 “一个公共角 + 一组平行线”，或 “两个角分别相等”，最终构成两个相似三角形。关键特征：两个三角形共用一个顶点（记为 A），另外两个顶点分别在同一条直线上，且它们的底边（非公共边）互相平行。 二、模型核心三要素 公共顶点：两个三角形共用一个顶点 A（角的顶点重合）。 底边平行：两三角形的非公共边（底边）平行，即 DE∥BC（D 在 AB 上，E 在 AC 上）。 角的关系：公共角∠A=∠A，平行推导的同位角 / 内错角相等（∠ADE=∠B，∠AED=∠C）。 三、常见模型分类（按位置关系） ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 图1　 　图2 　 图3 图4 ①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝。 证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴＝＝。 ③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC； 结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。 证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC， 同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴＝＝。 ④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。 证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC， 同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。 相似模型之“X"字模型 核心结论：两条直线相交形成 “X” 形结构，若一组对边平行，則构成两个相似三角形（AA 判定），对应边成比例、对应角相等。 一、模型核心定义 “X” 字模型因图形形状酷似字母 “X” 得名，核心是 “对顶角相等 + 一组对边平行”，或 “两组角分别相等”，最终形成两个相似三角形。关键特征：两个三角形的顶点两两相对，通过两条相交直线连接，且不重合的两组对边互相平行。 二、模型核心三要素 对顶角相等：两条直线相交于点 O，形成对顶角∠AOB=∠COD（公共交点 O 处的对顶角）。 对边平行：两组不重合的对边平行，即 AB∥CD（A、B 为一个三角形的顶点，C、D 为另一个三角形的顶点）。 角的关系：平行推导的内错角 / 同位角相等（∠A=∠C，∠B=∠D），结合对顶角相等满足相似条件。 三、常见模型分类 ①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 图1 图2 图3 图4 ①“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴＝＝。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝。 证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴＝＝。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论：。 证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO， 同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。 ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。 证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO； ∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。 相似模型之“AX"字模型 核心结论：“AX” 字模型是 “A” 模型与 “X” 模型的融合版，核心是 “共顶点 + 对边平行 + 相交结构”，通过 “公共角或对顶角 + 平行推导的等角” 满足 AA 相似判定，对应边成比例、面积比为相似比的平方，是解决复杂图形相似问题的常用模型。 一、模型核心定义 “AX” 字模型因图形同时具备 “A” 形的 “共顶点” 和 “X” 形的 “相交线” 特征得名，关键结构： 存在一个公共顶点（记为 A），同时有两条直线相交形成对顶角（记为交点 O）。 一组对边平行（如 DE∥BC），连接公共顶点与交点的线段将图形分为 “小 A 形” 和 “X 形” 两部分，最终整体构成相似三角形。 核心本质是 “平行带来等角，共顶点或对顶角提供另一组等角”，快速建立相似关系。 二、模型核心三要素 共顶点 + 相交线：一个公共顶点 A，两条直线（如 AD、AE）与另一条直线（如 BC）相交，或两条直线相交于 O，同时连接公共顶点 A 形成结构。 对边平行：关键的平行关系（如 DE∥BC），是推导等角的核心依据。 等角条件：公共角∠A=∠A（对应 A 模型），或对顶角∠AOB=∠COD（对应 X 模型），结合平行推导的同位角 / 内错角相等（∠ADE=∠B、∠OAB=∠OCD）。 3、 常见模型分类 ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC； 结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。 证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝。 ∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。 ∴。 ②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC； 结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。 证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。 ∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。 两式相加得到：，即，故。 ③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。 证明:同②中的证法，易证：，， ∴，即AF=AG，故。 模型1.相似模型之“A”模型 例1如图，在矩形中，与相交于点．过作，垂足为，则的值为（　　）    A． B． C．1 D． 例2在中，、在、边上，，，，，满足关系式，则下列关系中错误的是（    ） A． B． C． D． 例3如图，AB是半圆O的直径，按以下步骤作图： （1）分别以A，B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于点P，连接OP与半圆交于点C； （2）分别以A，C为圆心，大于AC长为半径作弧，两弧交于点Q，连接OQ与半圆交于点D； （3）连接AD，BD，BC，BD与OC交于点 E．根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①BD平分∠ABC；②BC∥OD；③CE＝OE；④AD2＝OD•CE；所有正确结论的序号是（　　）          A．①② B．①④ C．②③ D．①②④ 例4如图，是斜边上的中线，，点是中点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为 ． 模型2.相似模型之“X"字模型 例1（2025·广东中山·模拟预测）如图，在中，，以为直径的与交于点D，连接． (1)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点E．（不写作法，保留作图痕迹），连接交于F点，并证明：； (2)若的半径等于4，且与相切于A点，求劣弧的长度和阴影部分的面积（结果保留π）． 例2（2025·广东中山·二模）在平面直角坐标系中，一次函数：的图象与轴交于点，与反比例函数：的图象交于，两点（点在点的右侧），过的中点作线段的垂线交轴于点，交轴于点，连接，，． (1)如图1，当，点的坐标为时，求反比例函数的表达式和B点坐标； (2)如图2，当，连接，时，求m的值； (3)当时，若，求b的值． 例3（2025·广东东莞·一模）如图，在中，以点O为圆心作与直线相切，点E是上一个动点，连接交于点F，则的最大值是 ． 例4（2025·广东东莞·一模）如图，在中，，点E为此三角形的重心，连接并延长交于点D，过点E作于点F，则的长为（   ） A． B． C． D．2 例5（2025·广东茂名·模拟预测）【知识技能】 （1）如图1所示，点E为正方形对角线上一点，射线，分别交两边，于点F，G，求证：． 【数学理解】 （2）如图2所示，点E为矩形对角线上一点，射线，分别交两边，于点F，G，连接．若，，则线段与的数量关系为_____；连接 ，，则，的位置关系为_____．请证明你的结论． 【拓展探究】 （3）如图3所示，点A的坐标为，点B的坐标为，点M与点B关于y轴对称，点P为第一、三象限内一点，直线交x轴于点C，直线交y轴于点D，且，求的最小值． 模型3.相似模型之“AX"字模型 例1（2025·广东肇庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与y轴交于点A，与x轴的一个交点为B，点是抛物线上的一点． (1)求m的值； (2)轴于点D，与交于点E，求的值； (3)在（2）的条件下，在x轴上找一点P，使，求点P的坐标． 1．如图，在中，是边的中点，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前弧于点；④连接并延长，交于点． 下列结论不能由上述操作结果得出的是（   ） A． B． C． D． 2．四边形中，点在边上，的延长线交的延长线于点，下列式子中能判断的式子是（    ） A． B． C． D． 3．如图，中，点、分别在、上，下列比例式中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 4．在中，，分别为，上一点，，交于点．    (1)设的面积为，的面积为，且． ①如图①，连接．若，求证：； ②如图②，若，，求的值． (2)如图③，若，，，，直接写出的值． 5．如图，与的AB，AC边分别相切于点D、C，与BC边交于点E，CE是的直径． (1)求证：． (2)若，求BE的长． 6.如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，交AC的延长线于点E，连接DE交BC于点G，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接OD． （1）求证：OD∥AE． （2）若tan∠ODE＝，AE＝8，求CG的长．    7．如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且，． (1)求证：； (2)若，求的值． 8.在中，点D、E、F分别在、、上，且，，，求证：．    9.（2025·广东深圳·模拟预测）翻折问题是初中数学中重要的几何变换之一，是欧氏几何重要的工具，蕴含着深刻的数学思想，是理解对称，全等图形的重要基础．以下某数学兴趣班在数学活动课中研究四边形的翻折问题． 【探究活动一】（1）如图，小明先将矩形对折，使与重合，折痕为，再把这个矩形展平，连接，点E为上一点，然后沿直线折叠，使得点C的对应点F落在上．若，，则的值为 ； 探究过程 探究方法 第一小组 第一小组同学通过延长交于点G，推导出，并利用，求出． 第二小组 第二小组同学通过连接，在与中，利用勾股定理解方程，求出． 请你选择以上两种方法中的一种，通过推导演算求出． 【探究活动二】（2）如图，小李将矩形改为正方形对折，使与重合，折痕为，把这个正方形展平，连接，点E为上一点，然后沿直线折叠，使得点C的对应点落在上．请求出的值为 ． 【探究活动三】（3）中，，，，将沿某直线翻折，使得点A与的中点重合，折痕与直线交于点E，若，请求出m的值． 10．（2025·广东韶关·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线是常数交于、两点，点在轴上，点在轴上．设抛物线与轴的另一个交点为点． (1)求该抛物线的解析式； (2)是抛物线上一动点不与点、重合， ①如图，若点在直线上方，连接交于点，求的最大值； ②如图，若点在轴的上方，连接，以为边作正方形，随着点的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点或恰好落在轴上，直接写出对应的点的坐标． 11.（2025·广东深圳·三模）中，，是斜边的中点，将沿折叠，得，与交于点，若，则的值为 ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04相似模型之“A”模型、“X"字模型(“8"字模型)与“AX”字模型(“A8” 字模型) “A”模型、“X”(“8”字)模型及“AX”(“A8”)字模型是初中几何相似核心模型，均以AA 相似为判定核心。“A”模型共公共角且底边平行，由平行线得同位角内错角相等；“X”模型对顶相交 且对应边平行，对顶角与内错角相等；“X”模型是两者复合，同一图形含公共角、对顶角与一组平行线， 兼具两类结构特征。解题关键是快速识别角相等条件，锁定相似后套用对应边比例建等式。 目录导航 例题讲模型 模型来源。 真题现模型 提炼模型… 模型运用… .5 模型1相似模型之“A”模型 模型2相似模型之“X”字模型 模型3相似模型之“AX”字模型 …9 习题练模型 16 例题讲模型 模型来源 相似模型中的“A”模型、“X”字模型(“8”字模型)与“AX”字模型(“A8”字模型)，均源于平 面几何相似三角形的解题实践归纳，是对高频出现的固定图形结构的形象化命名，无单一独创文献，而是 教学与解题经验的共识性总结，核心依托相似三角形的AA、SAS、SSS等判定定理，聚焦“角度相等→三角 形相似”的核心逻辑，因图形直观、辨识度高，方便师生交流与快速解题而被广泛沿用。其中，“A”模型 以共享公共角、另一组对应边平行（或延长线相交）为特征，形似字母“A”,最早见于“三角形平行线分 线段成比例”基础题型；“X”字(“8”字)模型由两条对应边反向延长线相交形成交叉结构，兼具“X” 1/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 与“8”的外形，常见于四边形对角线相交、线段延长线相交场景，通过对顶角与内错角/同位角相等实现 相似判定；“AX”(“A8”)字模型则是基础模型的进阶延伸，整合了“A”模型的共角/平行结构与“X” 模型的交叉特征，专为解决多三角形嵌套、多组相似关联的复杂题型而生，是复合图形解题中的重要工具。 真题现模型 1.(2025广东.中考真题)如图，在矩形ABCD中，E,F是BC边上的三等分点，连接DE,AF相交于点 G,连接CG.若AB=8,BC=l2,则tan∠GCF的值是() G E A.10 0. C.3v10 D. 10 10 2-3 【答案】B 【详解】解：：矩形ABCD,E,F是BC边上的三等分点，AB=8,BC=I2, :AD=BC=12,CD=BC=8,AD /BC,BE=EF=FC=4,EC=8, △AGD∽△FGE, EGEF 4 1 DG AD 123' EG 1 ED4' 过点G作GH⊥BC,则GH∥CD, D G B EHF .△GHE∽△DCE, EH GH EG 1 EC CD DE4' .EH=IEC=1x8=2,GH=ICD=1x8=2, 4 4 4 4 .CH=CE-EH=8-2=6, 2/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .tan∠GCF= GH 2 1 CH6=3 故选：B。 2.(2025广东深圳中考真题)如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为 折痕，则EF CG的值为() A. 4 B. c.2 2 D. 【答案】D 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、折叠问题 【详解】解：：正方形ABCD沿EF折叠， AG=GO,EF∥BD, ∴△AEF∽△ABD, EF_AG_1 BD A0 2 .EF-IBD.CG-3AC. 4 :正方形ABCD, .:AC=BD, EF 2 CG 3 AC 3 故选：D. 3.(2025广东广州：中考真题)如图，在4BC中，点D,E分别在AB,4C上，DE∥8C,若DE=, BC=3 则g S.ABC 3/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】 9 【详解】解：：DE∥BC .△ADE∽△ABC, 故答案为： 91 提炼棋型 相似模型之“A”模型 核心结论：一组平行线截三角形两边（或两边延长线），形成“顶点共线、底边平行”的“A”形结构， 两三角形相似(AA判定)，对应边成比例、对应角相等。 一、模型核心定义 “A”模型因图形形状酷似字母“A”得名，核心是“一个公共角+一组平行线”，或“两个角 分别相等”，最终构成两个相似三角形。关键特征：两个三角形共用一个顶点（记为A),另外两个顶点 分别在同一条直线上，且它们的底边（非公共边）互相平行。 二、模型核心三要素 公共顶点：两个三角形共用一个顶点A（角的顶点重合)。 底边平行：两三角形的非公共边（底边）平行，即DE∥BC(D在AB上，E在AC上)。 角的关系：公共角∠A=∠A,平行推导的同位角/内错角相等（∠ADE=∠B,∠AED=∠C)。 三、常见模型分类（按位置关系） ①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型 4/48 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E ) B B D 图1 图2 图3 图4 ①A”字模型条件：如图I,DE∥BC:结论：△ADE∽△ABC曰ADAB=AEAC=DEBC。 证明：，DE∥BC,∴.∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,∴.△ADE∽△ABC,ADAB=AEAC=DEBC。 ②反“A”字模型条件：如图2，∠AED=∠B;结论：△ADE∽△ACB曰ADAC=AEAB=DEBC。 证明：，∠AED=∠B,∴.∠A=∠A,(公共角).△ADE∽△ACB,.ADAC=AEAB=DEBC。 ③同向双“A”字模型条件：如图3，EF∥BC; 结论：△AEFn△ABC,△AEG∽△ABD,△4GF∽△4DC台EG_FG=AG BD CD AD 证明：，EF∥BC,.∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,∴.△AEF∽△ABC, 同理可证：△AEG∽△ABD,△AGF∽△ADC,.ADAB=AEAC=DEBC。 ④内接矩形模型条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边 上，且AM LBC;结论：△ADG∽△ABC,△ADN∽△ABM,△AGN∽△ACM=DG-4N.4N BC AB AM 证明：.DEFG是矩形，DG∥EF,∴.∠ADG=∠ABC,∠AGD=∠ACB,∴.△ADG∽△ABC, 同理可证：△ADNW∽△ABM,△AGN∽△ACM,∴.DG-AW-AN。 BC=AB AM 相似模型之“X"字模型 核心结论：两条直线相交形成“X”形结构，若一组对边平行，則构成两个相似三角形(AA判定)，对 应边成比例、对应角相等。 一、模型核心定义 “X”字模型因图形形状酷似字母“X”得名，核心是“对顶角相等+一组对边平行”，或“两 组角分别相等”，最终形成两个相似三角形。关键特征：两个三角形的顶点两两相对，通过两条相交直线 连接，且不重合的两组对边互相平行。 二、模型核心三要素 对顶角相等：两条直线相交于点O,形成对顶角∠AOB=∠COD(公共交点0处的对顶角)。 对边平行：两组不重合的对边平行，即AB∥CD(A、B为一个三角形的顶点，C、D为另一个三角形的顶点)。 5/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 角的关系：平行推导的内错角/同位角相等（∠A=∠C,∠B=∠D),结合对顶角相等满足相似条件。 三、常见模型分类 ①8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型 A 图1 图2 图3 图4 ①8”字模型 条件：如图1，AB∥CD;结论：△AOB∽△COD白ABCD=OAOC=OBOD。 证明：，AB∥CD,∴.∠A=∠C,∠B=∠D,∴.△AOBn△COD,∴.ABCD=OAOC=OBOD。 ②反“8”字模型 条件：如图2，∠A=∠D;结论：△AOB∽△DOC台ABCD=OAOD=OBOC。 证明：，∠A=∠D,∴.∠AOB=∠DOC,(对顶角)∴.△AOB∽△DOC,ABCD=OAOD=OBOC。 ③平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD;结论：AE=BE-AB DF CE CD 证明：.AB∥CD,∴.∠A=∠D,∠AEO=∠DFO,∴.△AEO∽△DFO, 同理可证：△BEO∽△CFO,△ABO∽△DCO,.AE_BE=AB DF CF CD ④斜双“8”字模型 条件：如图4，∠1=∠2；结论：△AOD∽△BOC,△AOB∽△DOC台∠3=∠4。 证明：，∠1=∠2，∠AOD=∠BOC(对顶角)，∴.△AOD∽△BOC,.AOBO=DO:CO,即AO:DO=BO:CO; .∠AOB=∠DOC(对顶角)，∴.△AOB∽△DOC,∴.∠3=∠4。 相似模型之“AX”字模型 核心结论：“AX”字模型是“A”模型与“X”模型的融合版，核心是“共顶点+对边平行+相交 结构”，通过“公共角或对顶角+平行推导的等角”满足AA相似判定，对应边成比例、面积比为相似 比的平方，是解决复杂图形相似问题的常用模型。 一、模型核心定义 “AX”字模型因图形同时具备“A”形的“共顶点”和“X”形的“相交线”特征得名，关键 6/48 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 结构： 存在一个公共项点（记为A),同时有两条直线相交形成对顶角（记为交点0）。 组对边平行（如DE∥BC),连接公共顶点与交点的线段将图形分为“小A形”和“X形”两部分， 最终整体构成相似三角形。 核心本质是“平行带来等角，共顶点或对顶角提供另一组等角”，快速建立相似关系。 二、模型核心三要素 共顶点+相交线：一个公共顶点A,两条直线（如AD、AE)与另一条直线（如BC)相交，或两条直线相 交于O,同时连接公共顶点A形成结构。 对边平行：关键的平行关系（如DE∥BC),是推导等角的核心依据。 等角条件：公共角∠A=∠A(对应A模型)，或对顶角∠AOB=∠COD(对应X模型)，结合平行推导的同 位角/内错角相等（∠ADE=∠B、∠OAB=∠OCD)。 三、常见模型分类 ①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型) ③四“A”+“8”模型 图1 图2 图3 ①一“A”+“8”模型条件：如图1，DE∥BC: 结论：△ADE∽△ABC,△DEF∽△CBF,台AD=AE=DE-DF-FE AB AC BC FC BF 证明：，DE∥BC,∴.∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,∴.△ADE∽△ABC,.ADAB=AEAC=DEBC。 ·DE∥BC,∴.∠FDE=∠FCB,∠DEF=∠CBF,∴△DEF∽△CBF,.DE=DF_FE BC-FC-BF AD AE_DE DF FE AB AC BC FC BF ②两“A”+“8”模型条件：如图2，DE∥AF∥BC; 结论：△DAF∽△DBC,△CAF∽△CBD,台L=1+L AF BC DE 7/48 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 证明：'AF∥BC,∴∠DAF=∠B,∠DFA=∠DCB,∴△DAF∽△DBC,.DF=AF DC BC :DE∥AF,∴∠CAF=∠E,∠CFA=∠CDE,∴△CAF∽△CED,.CF=AF CD DE 两式相加得到：DF+CF=45+5,即1=F+4F,故↓=L+J DC DC BC DE BC DE AF BC DE ③四A+“8”模型3条件：如图3，DE∥GF∥BC;结论：AF=AG,1+⊥=L=⊥=2 BC DE AF AG GF 证明：同②中的证法，易证：1+1=1,11.1 BC DE AF BC DE AG ⊥=⊥，即AFAG,故1+1=1=2。 AF AG BC+DE=GF-GF 2 模型运用 模型1.相似模型之“A”模型 例1如图，在矩形ABCD中，AD=2AB,4C与BD相交于点O.过0作OE⊥CD,垂足为E,则OE的值 CD 为( C A B.3 C.1 D.5 2 【答案】C 【详解】解：：四边形ABCD是矩形， ÷∠4DC=90,CD=4B.0C=0A=号4C, :OE⊥CD, .∠0EC=∠ADC=90°， .OE∥AD, △CEO△CDA, :骆-9瓷则0=06， AD=2AB=2CD, 8/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :OE CD, OE =1, CD 故选：C. 例2在ABC中，D、E在AB、AC边上，AD=k,BD=n,AE=I,CE=m,满足关系式km=lm,则 下列关系中错误的是() D E B A.DE∥BC B.k+11 n+mm C. D. k2+12-2kl cos A_m k+n 1+m n2-2mncos A+m2 n 【答案】D 【详解】解：：AD=k,BD=n,AE=I,CE=m,满足关系式km=ln, 1 n m 设kal,n=am, k+lal+ll(a+l)1 n+mam+mma+1）m k al _al k+nal+amal+m)1+m:即AL、AE AB=AC' 选项B、C正确， ∠DAE=∠BAC, △DAE∽△BAC, ∠ADE=∠ABC, .DE∥BC, 选项A正确， 选项D无法证明， 故选：D. 例3如图，AB是半圆O的直径，按以下步骤作图： (1)分别以A,B为圆心，大于AO长为半径作弧，两弧交于点P,连接OP与半圆交于点C; 9/48 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)分别以A,C为圆心，大于)AC长为半径作弧，两弧交于点Q,连接OQ与半圆交于点D; (3)连接AD,BD,BC,BD与OC交于点E.根据以上作图过程及所作图形，下列结论：①BD平分∠ABC; ②BCOD;③CE=OE;④AD2=ODCE;所有正确结论的序号是() D E 0 B A.①② B.①④ c.②③ D.①②④ 【答案】D 【详解】解：由作图可知，OP垂直平分线段AB,OQ平分∠AOC,连接CD, AD=CD .∠ABD=∠CBD, 即BD平分∠ABC,故①正确； OP⊥AB, ∴∠AOC=∠BOC=90°， ∠AOD=}∠AOC=45, .OB=OC, .∠0BC=45°， .∠AOD=∠OBC=45°， ∴.ODBC,故②正确； 由ODII BC, :0D=0E<1 BC EC OE<EC,故③错误； .∠DCE=∠DCO,∠CDE=∠COD=45°， .△DCE-△OCD, CD CE OC CD 10/48