专题03 全等三角形之倍长中线模型、截长补短模型与半角模型（几何模型讲义）（广东专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦全等三角形三大核心模型（倍长中线、截长补短、半角模型），覆盖中考线段关系（相等、和差、倍分）与角度问题高频考点。资料以“模型来源-真题提炼-方法归纳-分层训练”架构知识体系，通过“考点梳理-模型拆解-真题精讲-变式练习”四环节教学流程，帮助学生系统突破辅助线构造难点。 亮点在于“模型-真题-素养”三维融合设计，如半角模型通过旋转整合分散条件（培养推理意识），倍长中线利用SAS构造全等（发展抽象能力），配套2024-2025年中考真题及分层练习（基础/提升/挑战）。特设“5分钟模型识别”限时训练，助力学生快速构建解题思维，教师可据此精准把控复习节奏，提升备考效率。

专题03 全等三角形之倍长中线模型、截长补短模型与半角模型 倍长中线、截长补短、半角模型是初中几何全等核心模型，均以构造条件匹配全等判定。倍长中线模型延长中线至两倍，连接端点用 SAS 构造全等，实现线段转移；截长补短模型针对线段和差，截长或补短构造全等，集中分散条件；半角模型需旋转含半角的三角形，拼接线段转化为全等 + 等腰、勾股求解。解题关键是按模型特征精准作辅助线，补全缺漏的边、角条件。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1全等三角形之倍长中线模型 5 模型2全等三角形之截长补短模型 9 模型3全等三角形之半角模型 9 16 这三种均是初中几何中通过构造辅助线创造全等条件的经典模型，核心源于全等三角形判定定理，专为解决线段关系（相等、和差、倍分）与角度问题设计。倍长中线模型聚焦含 “中线” 的题型，通过延长中线至等长，借助 SAS 判定构造全等三角形，实现线段的转移与倍分转化；截长补短模型针对 “线段和差” 证明题，通过 “截长”（在长线段截取短线段）或 “补短”（延长短线段至等长），将分散线段集中，转化为全等三角形对应边相等的问题；半角模型以 “一个角含其一半邻角” 为特征，通过旋转图形将分散的角与线段整合，构造全等三角形，破解线段和差、角度倍数关系难题。三者均通过精准构造辅助线，填补解题条件缺口，是突破几何难题的核心工具 1.（2025·广东深圳·三模）【综合与实践】 【问题背景】阅读以下材料，并按要求解决问题： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，与正方形两个边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可以利用旋转得出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的与边分别交于两点，若（为常数）．易证：，则可以得到，之间的数量关系是：． 证明：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得三点共线，，可证明，故，进而得到． 【方法转化】如果把背景中的正方形换成特殊顶角的等腰三角形，同学们可以利用上述问题背景得到多个结论． 【问题解决】在半角模型中可以利用旋转的方法解决问题． （1）如图3，在等腰中，以为顶点的，、与边分别交于、E两点，将绕点逆时针旋转，如图4，得到，易证，则可以得到之间的数量关系． ①若，则可得___________ ②若，，，则a，b，c之间的数量关系是：___________ （2）如图5，在等边中，以为顶点的，、与边分别交于、两点．若，则之间的数量关系是：___________ （3）如图6，在等腰中，顶角，以为顶点的，与边分别交于、两点，则可以得到之间的数量关系． ①若，则可得___________ ②若，，，则a，b，c之间的数量关系是：___________ 【实践应用】 （4）在第（3）问第①小问基础上，把绕点逆时针旋转得，如图7，如果线段与边交于点G，则线段___________ 2.（2024·广东·中考真题）【知识技能】 （1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到．当点E的对应点与点A重合时，求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：． 【拓展探索】 （3）如图3，在中，，点D在上，．过点D作，垂足为E，，．在四边形内是否存在点G，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 全等三角形之倍长中线模型 核心结论：倍长中线模型是通过 “延长中线至等长” 构造全等三角形，核心是利用 SAS 证明全等，将分散的边 / 角集中，解决线段相等、和差或位置关系（平行）问题。 一、模型核心定义 “中线” 指三角形一边的中点与对角顶点的连线（记为 AD，D 为 BC 中点则 BD=DC）。“倍长” 即延长中线 AD 至点 E，使 DE=AD，连接 BE（或 CE），此时△ADC≌△EDB（SAS），实现边和角的转移。 二、模型核心三要素 存在三角形（如△ABC）及其中线（AD 是 BC 边上的中线，D 为 BC 中点）。 需转移的线段 / 角：图形中存在分散的线段（如 AB、AC）或角（如∠BAD、∠CAD），无法直接关联。 构造操作：延长中线至等长（DE=AD），利用中点性质（BD=DC）和对顶角相等构造全等。 三、构造全等的关键逻辑 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 四、典型应用场景 1. 证明线段相等 特征：需证两条分散线段相等（如 AB=CF），其中一条线段与中线相关。 构造技巧：倍长中线 AD 至 E，得△ADC≌△EDB（AC=BE），再证明 BE=CF 即可。 2. 证明线段和差关系 特征：需证 “AB+AC>BC” 类和差，或 “某线段 = 另两条线段之和”。 构造技巧：倍长中线后，利用全等转移线段，结合三角形三边关系推导。 3. 证明线段平行 特征：需证两条线段平行（如 AC∥BF），且存在中线作为桥梁。 构造技巧：倍长中线得全等，利用对应角相等（∠CAD=∠BED），推出内错角相等，证明平行。 4. 求中线取值范围 特征：已知三角形两边长（如 AB=3，AC=5），求中线 AD 的范围。 构造技巧：倍长 AD 至 E，得 BE=AC=5，在△ABE 中，AB-BE<AE<AB+BE，即 2<2AD<8，推出 1<AD<4。 全等三角形之截长补短模型 核心结论：截长补短模型是解决 “线段和差关系”（如 a+b=c）的核心全等模型，通过 “截取长线段” 或 “延长短线段” 构造相等线段，再利用 SAS/AAS/ASA 证明全等，将分散的线段集中转化。 一、模型核心定义 当题目需证明 “一条线段等于另外两条线段之和（或差）” 时，通过两种核心操作构造全等： 截长：在长线段上截取一段等于其中一条短线段，证明剩余部分等于另一条短线段。 补短：延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条短线段，证明总长等于长线段。 核心本质是 “构造相等线段 + 全等转移”，将和差关系转化为线段相等关系。 二、模型适用条件 待证结论为线段和差（如 AB=CD+EF、MN=PQ-RS）。 图形中存在一组或两组潜在的相等角（如角平分线、等腰三角形底角、对顶角等）。 有公共顶点或公共边，为全等提供 “共边” 或 “共角” 基础。 三、核心构造方法（截长 + 补短） 1. 截长法 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 2. 补短法、 延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′ ∴AB＋BD＝AC。 全等三角形之半角模型 核心结论：半角模型是 “大角内含一个等于其一半的小角（共顶点）+ 邻边相等”，通过旋转构造全等三角形，核心是将半角转化为整角，用 SAS 证明全等，最终推导线段和差或角度关系。 模型核心三要素 共顶点：大角与小角共用一个顶点（记为点 A）。 半角关系：小角的度数是大角的一半，即∠BAC=α，∠DAE=α/2（∠DAE 在∠BAC 内部）。 邻边相等：从公共顶点出发的两组邻边相等，即 AB=AC（为旋转提供等线段基础）。 过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。 常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。 解题技巧： 在图1中，△AEB由△AND旋转所得，可得△AEM≌△AMN， ∴BM+DN=MN[来源:学科网ZXXK] ∠AMB=∠AMN AB=AH △CMN的周长等于正方形周长的一半 在图2中将△ABC旋转至△BEF，易得△BED≌△BCD同理得到边角之间的关系； 总之：半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 模型1.全等三角形之倍长中线模型 例1数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题．      (1)【问题初探】如图1：在中，，，为边上的中线，则的取值范围为__________． (2)【类比分析】如图2：在中，，，是的中线，于点C，且．求的长度． (3)【拓展延伸】如图3：在中，于点F，在右侧作于点A，且，在左侧作于点A，且，连接DE，延长交于点O．求证：点O为中点． 例2【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一、在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【小试牛刀】 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接．可以判定，请写出证明过程． （2）利用（1）中的结论，写出中线的取值范围是___________（请直接写出答案）． 【实践应用】 （3）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，求的长． 例3【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．如图1，在中，CM为的中线，若，求的取值范围． 倍长中线法：如图2，延长至点D，使得，连结，可证明，由全等得到 ，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围为 ； 【实践应用】为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时测得旗杆高度，教学楼高度， 则的长为 m； 【拓展探究】如图4，C为线段上一点，，分别以为斜边向上作等腰和等腰，M为中点， 连结． ① 判断的形状，并证明； ② 若将图4中的等腰绕点C转至图5的位置(A，C，B不在同一条直线上)，连结，M为中点，且D，E在同侧，连结．若 ，，则与的面积之差为 ． 例4中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 如图，在中，D是边上的中点． (1)如图1，E是边上任意一点，过点C作，交的延长线于点F．.求证：． (2)如图2，连接，若，，求的长的取值范围． (3)如图3，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． (4)若将（3）中的“，”更改为“平分，”，试探究线段与的数量关系，并说明理由． 模型2.全等三角形之截长补短模型 例1截长补短法是初中数学几何题中的一种常用方法，也是把几何题化难为易的一种思想，常常用来探究三条线段之间的数量关系． 【探索发现】如图，在中，点为上的一点，连接，作的平分线交于点，若点为的中点，求证：； 解题思路：抓住平行四边形对边平行的性质，结合中点，只需延长交的延长线于点，通过全等将线段转移到的位置，实现补短的目的，再证明与相等，即可解决问题．请按此思路完成证明． 【类比迁移】如图，在正方形中，点为上的一点，连接，作的平分线交于点，求证：； 【综合应用】如图，在菱形中，，延长至点，使，连接，点为上一点，连接，作的平分线交于点，连接，若，，求的面积． 例2综合与探究 [问题情境] （1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且． 求证： 小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质， 所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出， 小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程． [实践探究] （2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于． ①求证：； ②求证：． 例3（2025·吉林长春·二模）【问题提出】在正方形中，点E、F分别在边、上，且，连结.求证：. 【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上鹤取，连结，通过证明三角形全等，进而得证. 下面是小亮的部分证明过程： 证明：在的延长线上截取，连结. 四边形是正方形， . 又， . . 证明过程缺失 . 请补全缺失的证明过程. 【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系. 【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且.若，则线段的长为_______. 【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连结.若，则的值为_______. 模型3.全等三角形之半角模型 例1【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题． 【初步探究】如图 1 ，在正方形中，点 E，F 分别在边上，连接．若，将绕点A 顺时针旋转 ．点 D 与点B 重合，得到 易证：． （1）根据以上信息，填空：① ° ； ②线段之间满足的数量关系为 ； 【迁移探究】（2）如图 2 ，在正方形 中，若点 E 在射线上，点 F 在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论； 【拓展探索】（3）如图 3 ，已知正方形的边长为，连接分别交于点 M 、N ，若点 M 恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 例2问题背景：在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法．如图①，在四边形ABCD中，，，，点E，F分别是BC，CD上的点，且，连接EF，探究线段BE，EF，DF之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是将绕点A逆时针旋转120°至的位置，使得AB与AD重合，然后证明，从而得出结论：____________； (2)拓展延伸：如图②，在正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且，连接EF，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：在（2）的条件下，若，，求正方形ABCD的边长． 1．中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．如图，中，若，求边上的中线的取值范围．同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①由已知和作图能得到，其依据是 （用字母表示）； ②由三角形的三边关系可以求得的取值范围是 （直接填空）． 2．【问题提出】如图①，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使得，连接，经过推理可知…… （1）由已知和作图得到的理由是（    ） A．边边边        B．边角边        C．角边角        D．斜边直角边 （2）的取值范围为______． 【方法总结】解题时若条件中出现“中点”或“中线”，则可以考虑将中线加倍来构造全等三角形，从而将分散的已知条件转换到同一个三角形中，我们称这种添加辅助线的方法为“倍长中线法”． 【应用】（3）如图②，在中，点D为边的中点，点E在边上，与相交于点F，．求证：． 【拓展】（4）如图，在中，，平分，点E为边的中点，过点E作，交于点F，交的延长线于点G，若，，则的面积为______．    3．中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是 ． (2)如图2，中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，，则的长为 ． 4.在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法． (1)如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． (2)如图，，，，，为中点，求证：． 【方法呈现】 如图：在中，若，，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围为_________________，这种方法我们称为倍长中线法； 【问题背景】 在中，，垂足为M，，点D是线段上一动点． （1）如图1，点C是延长线上一点，，连接，若，求的长； 【构建联系】 （2）如图2，在（1）的条件下，点E是外一点，，连接并延长交于点F，且点F是线段的中点，求证：． 5.（广东深圳·一模）问题：如图1，中，AB是直径，，点D是劣弧BC上任一点（不与点B、C重合），求证：为定值． 思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明．按思路完成下列证明过程． 证明：在AD上截取点E，使，连接CE． 运用：如图2，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，与y轴相交于B、C两点，且，连接AB、． (1)OB的长为___________． (2)如图3，过A、B两点作与y轴的负半轴交于点M，与的延长线交于点N，连接AM、MN，当的大小变化时，问的值是否变化，为什么?如果不变，请求出的值． 6.（2025·广东韶关·一模）【知识技能】 （1）如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系． 梳理解答思路并完成填空． A．旋转法：把绕点逆时针旋转90°至，可使与重合，则，，可得，即，，三点共线． 易证______，故，，之间的数量关系为________． B．截长补短法：延长至点，使得，由，，即，可以得到． 【数学理解】 （2）如图2，在中，，，点，均在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探索】 （3）如图3，正方形的边长为，，连接，分别交，于点，．若恰好为线段上靠近点的三等分点，求线段的长． 7．（25-26·广东珠海）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略． 【方法初探】如图1，在中，于点，若，求证：．解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，在上截取，连接，从而证明出结论．请你写出证明过程． 【方法应用】如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：； 【实际应用】如图4，在中，，，当为的补角的角平分线时，线段，，之间的数量关系为______． 8.（2025·吉林长春·二模）【问题提出】在正方形中，点分别在边上，且，连结．求证：． 【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上截取， ，通过证明三角形全等，进而得证． 下面是小亮的部分证明过程： 证明：在的延长线上截取，连接． 四边形是正方形， ． 又， ． ． 证明过程缺失 ． 请补全缺失的证明过程． 【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系． 【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且．若，则线段的长为___________． 【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在的外接圆上，且点与点在的两侧，连接、、．若，则的值为________． 9．（24-25·广东惠州·）综合探究 【问题背景】在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法．如图①，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【探究发现】 （1）小明同学的方法是将绕点逆时针旋转至的位置，使得与重合，然后证明，从而得出、、之间的数量关系：____________； 【拓展延伸】 （2）如图②，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； 【尝试应用】 （3）在（2）的条件下，若，，求正方形的边长． 10．（2025·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 11．（2024·广东广州·二模）如图1是初中平面几何中非常经典的“半角模型”，即在正方形中，E，F分别是，上的点，，， 分别交对角线于P，Q两点． 我们很容易得到下面三个结论： 结论1： 结论2： 结论3：A，B，E，Q四个点在同一个圆上，A，P，F，D四个点在同一个圆上（本题若用到以上三个结论，可不用证明） 有题目如下： (1)如图1，条件不变．求证： ①； ②． (2)如图2，在矩形中，E，F分别是，上的点，，且．请写出，，三者之间满足的数量关系，并加以证明． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 全等三角形之倍长中线模型、截长补短模型与半角模型 倍长中线、截长补短、半角模型是初中几何全等核心模型，均以构造条件匹配全等判定。倍长中线模型延长中线至两倍，连接端点用 SAS 构造全等，实现线段转移；截长补短模型针对线段和差，截长或补短构造全等，集中分散条件；半角模型需旋转含半角的三角形，拼接线段转化为全等 + 等腰、勾股求解。解题关键是按模型特征精准作辅助线，补全缺漏的边、角条件。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1全等三角形之倍长中线模型 5 模型2全等三角形之截长补短模型 9 模型3全等三角形之半角模型 9 16 这三种均是初中几何中通过构造辅助线创造全等条件的经典模型，核心源于全等三角形判定定理，专为解决线段关系（相等、和差、倍分）与角度问题设计。倍长中线模型聚焦含 “中线” 的题型，通过延长中线至等长，借助 SAS 判定构造全等三角形，实现线段的转移与倍分转化；截长补短模型针对 “线段和差” 证明题，通过 “截长”（在长线段截取短线段）或 “补短”（延长短线段至等长），将分散线段集中，转化为全等三角形对应边相等的问题；半角模型以 “一个角含其一半邻角” 为特征，通过旋转图形将分散的角与线段整合，构造全等三角形，破解线段和差、角度倍数关系难题。三者均通过精准构造辅助线，填补解题条件缺口，是突破几何难题的核心工具 1.（2025·广东深圳·三模）【综合与实践】 【问题背景】阅读以下材料，并按要求解决问题： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，与正方形两个边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可以利用旋转得出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的与边分别交于两点，若（为常数）．易证：，则可以得到，之间的数量关系是：． 证明：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得三点共线，，可证明，故，进而得到． 【方法转化】如果把背景中的正方形换成特殊顶角的等腰三角形，同学们可以利用上述问题背景得到多个结论． 【问题解决】在半角模型中可以利用旋转的方法解决问题． （1）如图3，在等腰中，以为顶点的，、与边分别交于、E两点，将绕点逆时针旋转，如图4，得到，易证，则可以得到之间的数量关系． ①若，则可得___________ ②若，，，则a，b，c之间的数量关系是：___________ （2）如图5，在等边中，以为顶点的，、与边分别交于、两点．若，则之间的数量关系是：___________ （3）如图6，在等腰中，顶角，以为顶点的，与边分别交于、两点，则可以得到之间的数量关系． ①若，则可得___________ ②若，，，则a，b，c之间的数量关系是：___________ 【实践应用】 （4）在第（3）问第①小问基础上，把绕点逆时针旋转得，如图7，如果线段与边交于点G，则线段___________ 【答案】（1）①5；②；（2）；（3）①；②；（4） 【详解】（1）①∵将绕点逆时针旋转，得到，等腰， ∴，,, ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：5； ②同①可知， 故答案为：； （2）将绕点逆时针旋，如图，得到，连接，作交延长线于G， ∴，， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴，， 由勾股定理可得 ∴ 整理得 故答案为：； （3）①将绕点逆时针旋转，如图，得到，连接，作交于G， ∴，， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴，， ∴ 由勾股定理可得 ∴ 故答案为：； ②同①可得，，，， ∵ ∴ 整理得 故答案为：； （4）如图，作交于M，交于N，交于H， 由（3）可知，， 由题意可知， ∴，， ∴， 解得 【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 2.（2024·广东·中考真题）【知识技能】 （1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到．当点E的对应点与点A重合时，求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：． 【拓展探索】 （3）如图3，在中，，点D在上，．过点D作，垂足为E，，．在四边形内是否存在点G，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，证明见解析 【详解】证明：（1）是的中位线， 且． 又绕点D按逆时针方向旋转得到 ． （2）由题意可知：，，． 作，则且， 又， ． 根据外角定理 ， ， ． 又，是的中位线， ， ， ， ， ， ． （3）存在点使得． ∵， ∴， ∴在中，， 过点C作于点M， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点M是的中点， ∴是的垂直平分线， 过点D作，交于点P，连接，， ∴， ∴根据三线合一得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 过点P作于点N，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点N是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴ 即， ∴， ∴当点G与点P重合时，满足． 全等三角形之倍长中线模型 核心结论：倍长中线模型是通过 “延长中线至等长” 构造全等三角形，核心是利用 SAS 证明全等，将分散的边 / 角集中，解决线段相等、和差或位置关系（平行）问题。 一、模型核心定义 “中线” 指三角形一边的中点与对角顶点的连线（记为 AD，D 为 BC 中点则 BD=DC）。“倍长” 即延长中线 AD 至点 E，使 DE=AD，连接 BE（或 CE），此时△ADC≌△EDB（SAS），实现边和角的转移。 二、模型核心三要素 存在三角形（如△ABC）及其中线（AD 是 BC 边上的中线，D 为 BC 中点）。 需转移的线段 / 角：图形中存在分散的线段（如 AB、AC）或角（如∠BAD、∠CAD），无法直接关联。 构造操作：延长中线至等长（DE=AD），利用中点性质（BD=DC）和对顶角相等构造全等。 三、构造全等的关键逻辑 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 四、典型应用场景 1. 证明线段相等 特征：需证两条分散线段相等（如 AB=CF），其中一条线段与中线相关。 构造技巧：倍长中线 AD 至 E，得△ADC≌△EDB（AC=BE），再证明 BE=CF 即可。 2. 证明线段和差关系 特征：需证 “AB+AC>BC” 类和差，或 “某线段 = 另两条线段之和”。 构造技巧：倍长中线后，利用全等转移线段，结合三角形三边关系推导。 3. 证明线段平行 特征：需证两条线段平行（如 AC∥BF），且存在中线作为桥梁。 构造技巧：倍长中线得全等，利用对应角相等（∠CAD=∠BED），推出内错角相等，证明平行。 4. 求中线取值范围 特征：已知三角形两边长（如 AB=3，AC=5），求中线 AD 的范围。 构造技巧：倍长 AD 至 E，得 BE=AC=5，在△ABE 中，AB-BE<AE<AB+BE，即 2<2AD<8，推出 1<AD<4。 全等三角形之截长补短模型 核心结论：截长补短模型是解决 “线段和差关系”（如 a+b=c）的核心全等模型，通过 “截取长线段” 或 “延长短线段” 构造相等线段，再利用 SAS/AAS/ASA 证明全等，将分散的线段集中转化。 一、模型核心定义 当题目需证明 “一条线段等于另外两条线段之和（或差）” 时，通过两种核心操作构造全等： 截长：在长线段上截取一段等于其中一条短线段，证明剩余部分等于另一条短线段。 补短：延长其中一条短线段，使延长部分等于另一条短线段，证明总长等于长线段。 核心本质是 “构造相等线段 + 全等转移”，将和差关系转化为线段相等关系。 二、模型适用条件 待证结论为线段和差（如 AB=CD+EF、MN=PQ-RS）。 图形中存在一组或两组潜在的相等角（如角平分线、等腰三角形底角、对顶角等）。 有公共顶点或公共边，为全等提供 “共边” 或 “共角” 基础。 三、核心构造方法（截长 + 补短） 1. 截长法 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 2. 补短法、 延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′ ∴AB＋BD＝AC。 全等三角形之半角模型 核心结论：半角模型是 “大角内含一个等于其一半的小角（共顶点）+ 邻边相等”，通过旋转构造全等三角形，核心是将半角转化为整角，用 SAS 证明全等，最终推导线段和差或角度关系。 模型核心三要素 共顶点：大角与小角共用一个顶点（记为点 A）。 半角关系：小角的度数是大角的一半，即∠BAC=α，∠DAE=α/2（∠DAE 在∠BAC 内部）。 邻边相等：从公共顶点出发的两组邻边相等，即 AB=AC（为旋转提供等线段基础）。 过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。 常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。 解题技巧： 在图1中，△AEB由△AND旋转所得，可得△AEM≌△AMN， ∴BM+DN=MN[来源:学科网ZXXK] ∠AMB=∠AMN AB=AH △CMN的周长等于正方形周长的一半 在图2中将△ABC旋转至△BEF，易得△BED≌△BCD同理得到边角之间的关系； 总之：半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 模型1.全等三角形之倍长中线模型 例1数学兴趣小组在探讨全等三角形相关问题的解决方法时发现：当条件中出现“中线”或“中点”时，可考虑倍长中线或作一条边的平行线来解决问题．      (1)【问题初探】如图1：在中，，，为边上的中线，则的取值范围为__________． (2)【类比分析】如图2：在中，，，是的中线，于点C，且．求的长度． (3)【拓展延伸】如图3：在中，于点F，在右侧作于点A，且，在左侧作于点A，且，连接DE，延长交于点O．求证：点O为中点． 【答案】(1) (2)18 (3)证明见解析 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接， ∵为边上的中线， ， ， ， ， 中， ∴， ， ； （2）解：延长到点F，使，连接，如图4， ∵为边上的中线， ， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴E、C、F三点共线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）证明：过点E作交延长线于M，如图4， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ∵，， ∴， ∴， ∴O为中点． 例2【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一、在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【小试牛刀】 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接．可以判定，请写出证明过程． （2）利用（1）中的结论，写出中线的取值范围是___________（请直接写出答案）． 【实践应用】 （3）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【详解】（1）证明：如图，延长到点，使， 是的中点， ， ， ； （2）解：∵， ， 在中，， ， ； （2）如图，延长交于点， ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴． 例3【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．如图1，在中，CM为的中线，若，求的取值范围． 倍长中线法：如图2，延长至点D，使得，连结，可证明，由全等得到 ，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围为 ； 【实践应用】为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时测得旗杆高度，教学楼高度， 则的长为 m； 【拓展探究】如图4，C为线段上一点，，分别以为斜边向上作等腰和等腰，M为中点， 连结． ① 判断的形状，并证明； ② 若将图4中的等腰绕点C转至图5的位置(A，C，B不在同一条直线上)，连结，M为中点，且D，E在同侧，连结．若 ，，则与的面积之差为 ． 【答案】阅读理解：；实践应用：；拓展探究：①为等腰直角三角形，见解析；② 【详解】解：阅读理解： ∵CM为的中线，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 实践应用：如图，延长交于点F， ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴，是的垂直平分线， ∴． 拓展探究：①延长，使得，连接，如图 ∵等腰和等腰 ∴ ， ∴， ∵点是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形． ②延长，使得，连接，如图 ∵等腰和等腰， ∴ ， ∴ ， ∵点是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ． ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点F作于点N，过点E作于点H，有 ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∴， 即， ， ， ， ∴， 即． ∴ ． 例4中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 如图，在中，D是边上的中点． (1)如图1，E是边上任意一点，过点C作，交的延长线于点F．.求证：． (2)如图2，连接，若，，求的长的取值范围． (3)如图3，是的中线，点E在的延长线上，，，求证：平分． (4)若将（3）中的“，”更改为“平分，”，试探究线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4)，理由见解析 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵D是边上的中点． ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，延长至点E，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又， ∴在中，由三边关系可得： ，即， ∵， ∴ 故． （3）证明：如图，延长至点F，使，连接． 同法（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 即平分； （4），理由如下： 如图，延长至点F，使，连接． ∴ 同法（1）得：， ∴， ∵， ∴ ∵平分， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴ 模型2.全等三角形之截长补短模型 例1截长补短法是初中数学几何题中的一种常用方法，也是把几何题化难为易的一种思想，常常用来探究三条线段之间的数量关系． 【探索发现】如图，在中，点为上的一点，连接，作的平分线交于点，若点为的中点，求证：； 解题思路：抓住平行四边形对边平行的性质，结合中点，只需延长交的延长线于点，通过全等将线段转移到的位置，实现补短的目的，再证明与相等，即可解决问题．请按此思路完成证明． 【类比迁移】如图，在正方形中，点为上的一点，连接，作的平分线交于点，求证：； 【综合应用】如图，在菱形中，，延长至点，使，连接，点为上一点，连接，作的平分线交于点，连接，若，，求的面积． 【答案】探索发现：详见解析； 类比迁移：详见解析； 综合应用：． 【详解】探索发现：证明∶如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 类比迁移：证明：如图，延长至点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综合应用：解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 延长至点，使，连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴， 设， ∴，， 过点作于点， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴，（舍）， ∴，，，，， ∴， 在中，， 过点作于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 例2综合与探究 [问题情境] （1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且． 求证： 小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质， 所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出， 小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程． [实践探究] （2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于． ①求证：； ②求证：． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析． 【详解】（1）证明∶小明∶过点作的延长线于点， ∵平分，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ， ∴； 小丽∶延长至，使，连接， ∵， ∴， ∵平分 ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）①∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过作交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ， ， ∵，，， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴． 例3（2025·吉林长春·二模）【问题提出】在正方形中，点E、F分别在边、上，且，连结.求证：. 【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上鹤取，连结，通过证明三角形全等，进而得证. 下面是小亮的部分证明过程： 证明：在的延长线上截取，连结. 四边形是正方形， . 又， . . 证明过程缺失 . 请补全缺失的证明过程. 【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系. 【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且.若，则线段的长为_______. 【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在上，且点与点在的两侧，连结.若，则的值为_______. 【答案】[问题探究]见解析；[问题解决]9；[问题拓展] 【详解】解：[问题探究]证明：在的延长线上截取，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． [问题解决]过点M作于点H，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由 [问题探究]知：， ∵， ∴． 故答案为：9； 问题拓展：解：延长至点E，使，连接，如图， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 模型3.全等三角形之半角模型 例1【阅读理解】半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题． 【初步探究】如图 1 ，在正方形中，点 E，F 分别在边上，连接．若，将绕点A 顺时针旋转 ．点 D 与点B 重合，得到 易证：． （1）根据以上信息，填空：① ° ； ②线段之间满足的数量关系为 ； 【迁移探究】（2）如图 2 ，在正方形 中，若点 E 在射线上，点 F 在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论； 【拓展探索】（3）如图 3 ，已知正方形的边长为，连接分别交于点 M 、N ，若点 M 恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 【答案】（1）45； （2），理由见解析 （3）2.5 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴． 将绕点A旋转，点D与点B重合，得到， 则， ∴点G，B，E共线． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：45；； （2），理由如下： 如图，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （3）将绕点A顺时针旋转得到，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 由旋转，得， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则． 在中，， ∴， 解得， ∴． 例2问题背景：在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法．如图①，在四边形ABCD中，，，，点E，F分别是BC，CD上的点，且，连接EF，探究线段BE，EF，DF之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是将绕点A逆时针旋转120°至的位置，使得AB与AD重合，然后证明，从而得出结论：____________； (2)拓展延伸：如图②，在正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且，连接EF，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：在（2）的条件下，若，，求正方形ABCD的边长． 【答案】(1)EF=BE+DF (2)成立，证明过程见解析 (3)6 【详解】（1）解：∵绕点A逆时针旋转120°至的位置，使得AB与AD重合， ∴∠EAG=∠BAD=120°， ∵∠BAE=∠BAD-∠EAD=120°-∠EAD，∠DAG=∠EAG-∠EAD=120°-∠EAD， ∴∠BAE=∠DAG， 且AE=AG， ∴△BAE≌△DAG(AAS)， ∴∠EBA=∠GDA=90°，GD=BE， ∴∠GDA+∠ADF=90°+90°=180°， ∴G、D、F三点共线， 又由已知：∠EAF=60°， ∴∠GAF=∠EAG-∠EAF=120°-60°=60°， 在和中：， ∴， ∴． （2）解：(1)中的结论依然成立，即：，理由如下： 将△ADF绕点A顺时针旋转90°，D点落在B点处，F点落在G点处，连接GB，如上图， ∵∠EAF=45°， ∴∠DAF+∠BAE=45°， ∵旋转90°，即∠FAG=90°， ∴∠BAG+∠BAE=90°-∠DAF=90°-45°=45°， ∴∠DAF=∠BAG, 在△GAB和△FAD中：， ∴△GAB≌△FAD(SAS)， ∴∠ABG=∠ADF=90°，BG=DF， ∴∠ABG+∠ABE=90°+90°=180°， ∴G、B、E三点共线， 又已知∠EAF=45°， ∴∠GAE=90°-∠EAF=90°-45°=45°， ∴∠GAE=∠EAF， 在△GAE和△FAE中：， ∴△GAE≌△FAE(SAS)， ∴EF=GE=GB+BE=DF+BE． （3）解：设正方形边长为x，则EC=BC-BE=x-3，FC=CD-DF=x-2， 由(2)中结论可知：EF=BE+DF=3+2=5， 在Rt△EFC中，由勾股定理有：EC²+CF²=EF²，代入数据： ∴(x-3)²+(x-2)²=25， 解出：x1=6，x2=-1(负值舍去) ∴正方形的边长为6． 1．中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．如图，中，若，求边上的中线的取值范围．同学们经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请你根据同学们的方法解答下面的问题： ①由已知和作图能得到，其依据是 （用字母表示）； ②由三角形的三边关系可以求得的取值范围是 （直接填空）． 【答案】 / 【详解】解：①是中线， ， 在和中， ， ． 故答案为：； ②∵， ， ， ，即， ， ， ， 故答案为：． 2．【问题提出】如图①，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点E，使得，连接，经过推理可知…… （1）由已知和作图得到的理由是（    ） A．边边边        B．边角边        C．角边角        D．斜边直角边 （2）的取值范围为______． 【方法总结】解题时若条件中出现“中点”或“中线”，则可以考虑将中线加倍来构造全等三角形，从而将分散的已知条件转换到同一个三角形中，我们称这种添加辅助线的方法为“倍长中线法”． 【应用】（3）如图②，在中，点D为边的中点，点E在边上，与相交于点F，．求证：． 【拓展】（4）如图，在中，，平分，点E为边的中点，过点E作，交于点F，交的延长线于点G，若，，则的面积为______．    【答案】（1）B；（2）；（3）见解析；（4）9 【详解】（1）在和中， ， ∴， ∴由已知和作图得到的理由是边角边， 故选：B； （2）∵ ∴ ∴在中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的取值范围为， 故答案为：； （3）如图所示，延长到点G使，连接    ∵，， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （4）如图所示，延长到点H，使，连接    ∵，， ∴ ∴， ∵ ∴， ∵平分 ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴的面积为． 3．中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．嘉淇在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点H，使，连接．可以判定，从而得到．这样就能把线段，，集中在中，利用三角形三边的关系，可得中线的取值范围是 ． (2)如图2，中，，为角平分线，E为边的中点，过点E作的平行线，交于点F，交的延长线于点P． ①判断和的数量关系，并说明理由； ②若，，，则的长为 ． 【答案】(1) (2)①．理由见解析；②2 【详解】（1）解：在和中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 故答案为：； （2）①．理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接． ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 由①得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 4.在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法． (1)如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． (2)如图，，，，，为中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（ 【详解】（1）解： 是中线， ． 在和中， ， ． （2）解：延长到，使，连接． 为中点， ． 在和中， ， ． ，． ， ． ，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． ． ， ． 【方法呈现】 如图：在中，若，，点D为边的中点，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接，可证，从而把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围为_________________，这种方法我们称为倍长中线法； 【问题背景】 在中，，垂足为M，，点D是线段上一动点． （1）如图1，点C是延长线上一点，，连接，若，求的长； 【构建联系】 （2）如图2，在（1）的条件下，点E是外一点，，连接并延长交于点F，且点F是线段的中点，求证：． 【答案】方法呈现：；问题背景（1）17；构建联系：（2）见解析 【详解】解：方法呈现：如图，延长到点，使，连接， 是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：； 问题背景：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 构造联系：（2）延长，截取，连接，如图所示： ∵点F为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 根据解析（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴． 5.（广东深圳·一模）问题：如图1，中，AB是直径，，点D是劣弧BC上任一点（不与点B、C重合），求证：为定值． 思路：和差倍半问题，可采用截长补短法，先证明．按思路完成下列证明过程． 证明：在AD上截取点E，使，连接CE． 运用：如图2，在平面直角坐标系中，与轴相切于点，与y轴相交于B、C两点，且，连接AB、． (1)OB的长为___________． (2)如图3，过A、B两点作与y轴的负半轴交于点M，与的延长线交于点N，连接AM、MN，当的大小变化时，问的值是否变化，为什么?如果不变，请求出的值． 【答案】(1)1 (2)不变，理由见解析 【问题详解】证明：如图1，在AD上截AE=BD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴∠ACE=∠BCD，CE=CD， ∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ECD=90°， ∴△ECD是等腰直角三角形， ∴CD=ED， ∵ED=AD-AE=AD-BD， ∴=，即为定值； 【详解】（1）解：如图2，连接O1A，过O1作O1H⊥BC于点H， ∴CH=BH=4，O1H=3，O1A⊥x轴， ∴O1B==5， ∴O1A=O1B=5， ∴HO=5， ∴OB=HO-HB=5-4=1， 故答案为：1； （2）解：BM-BN的值不变， 如图2， 由（1）得，O1A⊥OA， ∵OB⊥AO， ∴O1A∥OB， ∴∠O1BA=∠OBA， ∵O1A=O1B， ∴∠O1BA=∠O1AB， ∴∠ABO1=∠ABO， 如图3，在MB上取一点G，使MG=BN，连接AN，AG， ∵∠ABO1=∠ABO，∠ABO1=∠AMN， ∴∠ABO=∠AMN， ∵∠ABO=∠ANM， ∴∠AMN=∠ANM， ∴AM=AN， 在△AMG和△ANB中， ， ∴△AMG≌△ANB（SAS）， ∴AG=AB， ∵AO⊥BG， ∴BG=2BO=2， ∴BM-BN=BM-MG=BG=2，即BM-BN的值不变． （2025·广东韶关·一模）【知识技能】 6.（1）如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系． 梳理解答思路并完成填空． A．旋转法：把绕点逆时针旋转90°至，可使与重合，则，，可得，即，，三点共线． 易证______，故，，之间的数量关系为________． B．截长补短法：延长至点，使得，由，，即，可以得到． 【数学理解】 （2）如图2，在中，，，点，均在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探索】 （3）如图3，正方形的边长为，，连接，分别交，于点，．若恰好为线段上靠近点的三等分点，求线段的长． 【答案】（1）；  （2）；理由见解析 （3） 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；； （2）． 理由：如图1，把绕点顺时针旋转得到，连接， ，，，，． ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 在中，， ； （3）正方形的边长为， ， ． 如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接． 由（2），可得． 设， ，， ， 根据勾股定理可得， 解得， ． 7．（25-26·广东珠海）截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略． 【方法初探】如图1，在中，于点，若，求证：．解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，在上截取，连接，从而证明出结论．请你写出证明过程． 【方法应用】如图3，点为等边外一点，连接，，，其中交于点，且，求证：； 【实际应用】如图4，在中，，，当为的补角的角平分线时，线段，，之间的数量关系为______． 【答案】【方法初探】见解析；【方法应用】见解析；【实际应用】 【详解】解： 【方法初探】证明过程如下， ， ． 在和中， ， ，． ， ， ， ． ， ， 即． 【方法应用】证明：如图， 在上取一点，使得， 又， 是等边三角形， ，． 是等边三角形， ，， ， 即． 在和中， ， ， ， 即． 【实际应用】解：， 理由：如图， 在的延长线上取一点，，连接， 为的补角的角平分线， 即平分， ． 在和中， ， ，． ，， ， ． ， ， ， ． 又， ． 8.（2025·吉林长春·二模）【问题提出】在正方形中，点分别在边上，且，连结．求证：． 【问题探究】如图①，小亮采用“截长补短”的方法，在的延长线上截取， ，通过证明三角形全等，进而得证． 下面是小亮的部分证明过程： 证明：在的延长线上截取，连接． 四边形是正方形， ． 又， ． ． 证明过程缺失 ． 请补全缺失的证明过程． 【方法总结】常用“截长补短”的方法证明线段间的数量关系． 【问题解决】如图②，在【问题探究】的基础上，连结，点在上，过点作，垂足为点，交延长线于点且．若，则线段的长为___________． 【问题拓展】如图③，是的外接圆，，点在的外接圆上，且点与点在的两侧，连接、、．若，则的值为________． 【答案】【问题探究】见解析；【问题解决】9；【问题拓展】 【详解】问题探究：证明：在的延长线上截取，连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 问题解决：解：过点M作于点H，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由【问题探究】知：， ∵， ∴． 故答案为：9； 问题拓展：解：延长至点E，使，连接，如图， ∵四边形为圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（24-25·广东惠州·）综合探究 【问题背景】在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法．如图①，在四边形中，，，，，分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系． 【探究发现】 （1）小明同学的方法是将绕点逆时针旋转至的位置，使得与重合，然后证明，从而得出、、之间的数量关系：____________； 【拓展延伸】 （2）如图②，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； 【尝试应用】 （3）在（2）的条件下，若，，求正方形的边长． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，证明见解析；（3）6 【详解】解：（1）如图①，将绕点逆时针旋转至的位置，使得与重合， ∴， ∵， ∴， ∴点在一条直线上， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． （2）（1）中的结论仍然成立,证明如下： ∵四边形是正方形， ∴， 如图②，将绕点顺时针旋转至的位置，使得与重合， ∴， ∴， ∴点在一条直线上， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴． （3）设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， 由（2）已证：， ∴， 在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以正方形的边长为6． 【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 10．（2025·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， E在上， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：．理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ． 11．（2024·广东广州·二模）如图1是初中平面几何中非常经典的“半角模型”，即在正方形中，E，F分别是，上的点，，， 分别交对角线于P，Q两点． 我们很容易得到下面三个结论： 结论1： 结论2： 结论3：A，B，E，Q四个点在同一个圆上，A，P，F，D四个点在同一个圆上（本题若用到以上三个结论，可不用证明） 有题目如下： (1)如图1，条件不变．求证： ①； ②． (2)如图2，在矩形中，E，F分别是，上的点，，且．请写出，，三者之间满足的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)；理由见解析 【详解】（1）证明：①连接，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴， ∵A，B，E，Q四个点在同一个圆上， ∵， ∴为直径， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵A，P，F，D四个点在同一个圆上，， ∴为直径， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②延长，过点A作，交的延长线于点G，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：方法一： ．理由如下： 延长，交于点M，延长，交于点K，过点B作，取，连接，过点G作于点H，延长，过点G作于点N，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，根据勾股定理得： ， ∴ ， 即． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $