专题02 一线三等角构造全等模型、手拉手模型-旋转型全等（几何模型讲义）（广东专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“一线三等角构造全等模型、手拉手模型-旋转型全等”专题，覆盖中考几何全等高频考点，基于ASA、AAS、SAS等全等判定定理，构建“模型定义-分类特征-构造步骤-真题应用”的知识体系，通过考点梳理、模型提炼、真题解析和分层训练，帮助学生突破几何构造难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于模型分类精细化与构造方法具象化，如将一线三等角按角类型分为直角（K型）、锐角、钝角，手拉手模型按等腰三角形类型细分，结合作垂线补全结构、旋转使腰重合等操作，培养学生几何直观与推理意识。通过赵爽弦图等真题实例讲解，提升模型识别与全等构造能力，教师可按模型类型分阶段教学，把控复习节奏，助力学生高效备战中考。

专题02一线三等角构造全等模型、手拉手模型-旋转型全等 一线三等角（K 型）与手拉手（旋转型）是初中几何全等高频模型，核心均为构造边 / 角相等匹配全等判定。一线三等角以同一直线三个等角为特征，借等角的余角 / 补角相等推角相等，作垂线或延长线段补全结构；手拉手是共顶点等腰三角形（顶角、腰相等），绕顶点旋转使两腰重合构造全等，对应边夹角等于原顶角。解题关键是识别模型特征，按固定思路补全条件。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1一线三等角构造全等模型 5 模型2手拉手模型-旋转型全等模型 9 16 一线三等角构造全等模型与手拉手模型（旋转型全等），是初中几何中依托图形特征与变换规律构造全等的核心模型，均源于全等三角形判定定理（ASA、AAS、SAS等），是解决角度、线段关系难题的高频工具。一线三等角模型以“同一直线上存在三个相等的角”为核心特征，常见于等腰三角形、矩形、坐标系等背景题，通过角的和差推导得出两组对应角相等，再结合公共边或题目给出的相等线段，快速满足全等判定条件，核心作用是转化分散的线段与角度，搭建解题桥梁；手拉手模型的关键结构是“共顶点、双等腰、顶角相等”，由两个顶角相等的等腰三角形共顶点旋转形成，旋转过程中对应边、对应角始终保持相等，本质是利用旋转变换的全等不变性，多用于证明线段相等、线段夹角等于顶角（或其补角），帮助快速识别图形间的旋转关联，高效构造全等。二者均通过精准捕捉图形结构共性，简化辅助线添加思路，大幅降低复杂几何题的解题难度。 （2025·广东中山·一模）综合与实线 如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周酶算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． (1)【观察想知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是 ； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点N，求． 2．（二模）由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．    (1)【问题发现】 如图1所示，两个等腰直角三角形和中，，，，连接、，两线交于点P，和的数量关系是 　 　；和的位置关系是 　 　； (2)【类比探究】 如图2所示，点P是线段上的动点，分别以、为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段、于点M、N． ①求的度数； ②连接交于点H，直接写出的值； (3)【拓展延伸】 如图3所示，已知点C为线段上一点，，和为同侧的两个等边三角形，连接交于N，连接交于M，连接，直接写出线段的最大值． 一线三等角构造全等模型 核心结论：一条直线上存在三个相等的角（顶点共线），可通过补全线段或作垂线构造全等三角形，核心是利用 “角角边（AAS）” 或 “角边角（ASA）” 证明全等。 一、模型核心定义 “一线三等角” 指三个角相等且它们的顶点在同一条直线上（“一线” 即顶点共线的直线，“三等角” 为∠A=∠B=∠C）。当满足 “两角相等 + 一组对应边相等” 时，可快速构造出全等三角形，是几何证明和求线段长度的常用模型。 二、构造全等的关键条件 有一条固定直线（记为 l），三个角的顶点 P、Q、R 依次在直线 l 上。 三个角相等：∠APQ=∠PQR=∠QRB=α（α 为锐角、直角或钝角）。 存在一组对应边相等（如 AP=QR、PQ=RB 等，或可通过已知条件推导得出）。 三、常见模型分类（按角的类型） 1. 直角型（最常用，又称 “K 型全等”） 核心特征：三个角均为 90°，即∠1=∠2=∠3=90°，点P在线段AB上。 构造方式：点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3，且AP=BD(或AC=BP或CP=PD)。 点P在线段AB的延长线上,∠1=∠2=∠3，且AP=BD(或AC=BP或CP=PD) 结论：△APC≌△BDP（AAS）。 2. 锐角型 核心特征：三个角为锐角（∠1<90°），顶点共线，角的两边分别相交形成两条线段。 构造方式：在角的两边上截取等长线段，或作角的另一边的平行线，使第三个等角的两边与前两个角的边相交。 全等依据：∠1=∠2=∠3，一组对应边相等，夹角的补角相等，从而满足 AAS 全等。 3. 钝角型 核心特征：三个角为钝角（α>90°），顶点共线，角的两边反向延长后相交。 构造方式：延长钝角的两边，使三个角的边形成封闭图形，利用 “钝角的补角相等” 找到相等的角。 全等依据：钝角相等→补角相等，结合一组对应边相等，满足 ASA 全等。 四、构造全等的实操步骤 识别 “一线”：确定三个角的顶点所在的共线直线（可是已知直线，也可通过延长线段得到）。 确认 “三等角”：验证三个角是否相等（已知条件或通过角度计算推导）。 补全 “对应边”：若缺少对应边相等的条件，可通过截取、作垂线、平行线等方式构造等长线段。 证明全等：利用等角关系推导第三个相等的角，结合构造的等长线段，用 AAS 或 ASA 证明全等。 应用结论：通过全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）求解未知线段或角度。 手拉手模型-旋转型全等模型 核心结论：手拉手模型是基于旋转全等的几何模型，核心是 “共顶点、等线段、旋转角相等”，通过旋转使两组等线段重合，构造全等三角形（SAS 判定）。 一、模型核心三要素 共顶点：两个等腰三角形（或含等线段的图形）有公共顶点（记为点 O）。 等线段：公共顶点出发的两组线段分别相等，即 OA=OB，OC=OD。 等旋转角：两组等线段的夹角相等（∠AOB=∠COD，即旋转角相等）。 二、模型构造与全等证明 构造逻辑 以公共顶点 O 为旋转中心，将其中一个三角形（如△COD）绕点 O 旋转，使等线段 OC 与 OA（或 OD 与 OB）重合，最终△COD 与△AOB 全等。 全等判定（固定 SAS） 边：OA=OB（已知等线段），OC=OD（已知等线段）。 角：∠AOC=∠BOD（∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，旋转角相等推导）。 结论：△AOC≌△BOD（SAS）。 三、模型分类（按公共顶点夹角类型） 1. 顶角相等的等腰三角形（最常用） 特征：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD（顶角相等）。 典型结论：全等后对应边 AC=BD，对应角∠OAC=∠OBD，且 AC 与 BD 的夹角等于顶角（或其补角）。 2. 等边三角形手拉手 特征：△OAB 和△OCD 均为等边三角形，公共顶点 O，等边三角形三边相等、三角均为 60°。 特殊结论：除全等外，AC=BD，且 AC 与 BD 的夹角为 60°，可进一步构造等边三角形或特殊角。 3. 等腰直角三角形手拉手 特征：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°。 特殊结论：AC=BD 且 AC⊥BD，两条对应边垂直且相等，是几何证明中 “垂直 + 相等” 的常用模型。 模型1.一线三等角构造全等模型 例1通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，．过点B作于点C．过点D作于点E．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题： 【模型应用】（2）如图2，且．且．请按图中所标注的数据（于点P，于点G，与点H．，，）．计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 【拓展延伸】（4）如图4，在平面直角坐标系中．点A的坐标为．点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形?如果存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 例2通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题：                        图1 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．                    图3 例3【模型呈现】 “数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．“一线三等角”模型是几何世界中常见的模型之一，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形． (1)【模型理解】如图1，已知，点C在线段DE上，，若，则与的数量关系为 ，，与的数量关系为 ； (2)【拓展延伸】在中，，分别以、为腰，在左侧作等腰直角三角形，在右侧作等腰直角三角形，其中，， ① 如图2，连接，当交线段的延长线于点M时，求证：； ② 如图3，连接，当交线段于点M，且时，求的长． 例4通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 如图，已知，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，且于，于．若，，则______． （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、之间具有怎样的数量关系？请证明这个数量关系． 例5（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 例6通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图、图），即一线三等角模型和K字模型． 【问题发现】 （1）如图，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图，若改变直线的位置，其余条件与前面相同，请直接写出，，之间的数量关系______； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为____________． （4）如图，正方形中，，，求的面积． 模型2.手拉手模型-旋转型全等模型 例1综合与探究 (1)如图1，在和中，，将绕点A顺时针旋转，连接；当点E落在边上且D、E、C三点共线时，在这个“手拉手”模型中，和全等的三角形是 ； (2)求的度数； (3)如图2，在和中，，将绕点A逆时针旋转，连接；当点B、D、E在同一条直线上时，请判断线段与的数量和位置关系，并说明理由． 例2研究性学习：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：如果两个等腰三角形的顶点重合，且顶角相等，则称此图形为“手拉手全等模型”． (1)【模型感知】如图1，与都是等腰三角形，其中，求证； (2)【知识迁移】如图2，在中，，，E、F为边上的点且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论． (3)【方法推广】如图3，在中，，，，点P为内一点，连接、、，求的最小值． 例3（25-26·广东佛山）我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题．正方形和正方形如图1放置，连接和，． (1)请探究与之间的数量关系并证明； (2)如图2，连接． ①请探究与之间的数量关系并证明； ②若，，求的长； (3)如图3，当四边形和均为矩形，且时，若，，，直接写出k的值． 例4“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)模型探究：如图1，和中，，连接、．这里与有一个公共的顶点，且将其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将这样的图形称为“手拉手模型”．请你说明与全等的理由． (2)模型应用①：如图2，中，，为平面内一点，且，求的度数．聪明的小亮同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题，小亮先在线段上找到一点，使得．请你根据小亮的思路，求出的度数（要有必要的说理过程）． (3)模型应用②：如图3，在四边形中，，试探究线段、、的数量关系，并说明理由． 1．（2025·广东云浮·一模）【模型建立】 如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点． 【模型探索】 （1）如图2，求证：是等腰直角三角形． （2）如图3，是直线上的两动点，连接．若，求的长的最小值． 【模型应用】 （3）如图4，经过点的直线与轴交于点，为线段上的一点，作射线．若，求直线的函数解析式．     2.（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 3．某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． (1)如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； (2)如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请判断，，之间数量关系，并说明理由； (3)如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，求的面积． 4．（2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 5．（25-26八年级上·山西太原·开学考试）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想 如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为______，位置关系为______； (2)类比探究 如图2，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角．，点D，E，C在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由； (3)解决问题 运用（1）（2）中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点D，C的距离，已测得，，，米，米，的长为______米． 6.在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1、两个等腰三角形和中， 连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中， 连接，，两线交于点 ，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知， 以、为边分别向外作等边和等边，连接，，两线交于点 ，请直接写出线段 和的数量关系及的度数． 7.（2024·二模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． ①如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 8.在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下操作： (1)如图，已知，均为等腰直角三角形，，，，点A在边上，且不与点E、D重合，连接，则与的数量关系为　　　　，位置关系为　　　　． (2)将绕点C旋转到如图所示位置，点B在线段上，连，求证：． (3)在绕点C旋转过程中，当A、E、B三点在同一条直线上时，若，，求的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02一线三等角构造全等模型、手拉手模型-旋转型全等 一线三等角（K 型）与手拉手（旋转型）是初中几何全等高频模型，核心均为构造边 / 角相等匹配全等判定。一线三等角以同一直线三个等角为特征，借等角的余角 / 补角相等推角相等，作垂线或延长线段补全结构；手拉手是共顶点等腰三角形（顶角、腰相等），绕顶点旋转使两腰重合构造全等，对应边夹角等于原顶角。解题关键是识别模型特征，按固定思路补全条件。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1一线三等角构造全等模型 5 模型2手拉手模型-旋转型全等模型 9 16 一线三等角构造全等模型与手拉手模型（旋转型全等），是初中几何中依托图形特征与变换规律构造全等的核心模型，均源于全等三角形判定定理（ASA、AAS、SAS等），是解决角度、线段关系难题的高频工具。一线三等角模型以“同一直线上存在三个相等的角”为核心特征，常见于等腰三角形、矩形、坐标系等背景题，通过角的和差推导得出两组对应角相等，再结合公共边或题目给出的相等线段，快速满足全等判定条件，核心作用是转化分散的线段与角度，搭建解题桥梁；手拉手模型的关键结构是“共顶点、双等腰、顶角相等”，由两个顶角相等的等腰三角形共顶点旋转形成，旋转过程中对应边、对应角始终保持相等，本质是利用旋转变换的全等不变性，多用于证明线段相等、线段夹角等于顶角（或其补角），帮助快速识别图形间的旋转关联，高效构造全等。二者均通过精准捕捉图形结构共性，简化辅助线添加思路，大幅降低复杂几何题的解题难度。 （2025·广东中山·一模）综合与实线 如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周酶算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． (1)【观察想知】如图2，通过观察，线段与的数量关系是 ； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点N，求． 【答案】(1) (2)10 (3) 【详解】（1）解：∵线段绕点B逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵线段绕点B逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ，， ， ， ∴， ∴， ，即，解得：， ， ． （3）解：如图，过N作于点M，即， ∴，， ∴，， ∴， ， ∴，解得：， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ． 故答案为：． 2．（二模）由两个顶角相等且有公共顶角顶点的特殊多边形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”．    (1)【问题发现】 如图1所示，两个等腰直角三角形和中，，，，连接、，两线交于点P，和的数量关系是 　 　；和的位置关系是 　 　； (2)【类比探究】 如图2所示，点P是线段上的动点，分别以、为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段、于点M、N． ①求的度数； ②连接交于点H，直接写出的值； (3)【拓展延伸】 如图3所示，已知点C为线段上一点，，和为同侧的两个等边三角形，连接交于N，连接交于M，连接，直接写出线段的最大值． 【答案】(1)， (2)①；② (3) 【详解】（1）∵， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）①连接、、，AC    ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵和为等边三角形， ∴，，． ∴， 即． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设为x，则有， ∴， ∴， ∴， ∴当时，NC有最大值是， 即点C在的中点时，线段最大，最大值是． 一线三等角构造全等模型 核心结论：一条直线上存在三个相等的角（顶点共线），可通过补全线段或作垂线构造全等三角形，核心是利用 “角角边（AAS）” 或 “角边角（ASA）” 证明全等。 一、模型核心定义 “一线三等角” 指三个角相等且它们的顶点在同一条直线上（“一线” 即顶点共线的直线，“三等角” 为∠A=∠B=∠C）。当满足 “两角相等 + 一组对应边相等” 时，可快速构造出全等三角形，是几何证明和求线段长度的常用模型。 二、构造全等的关键条件 有一条固定直线（记为 l），三个角的顶点 P、Q、R 依次在直线 l 上。 三个角相等：∠APQ=∠PQR=∠QRB=α（α 为锐角、直角或钝角）。 存在一组对应边相等（如 AP=QR、PQ=RB 等，或可通过已知条件推导得出）。 三、常见模型分类（按角的类型） 1. 直角型（最常用，又称 “K 型全等”） 核心特征：三个角均为 90°，即∠1=∠2=∠3=90°，点P在线段AB上。 构造方式：点P在线段AB上，∠1=∠2=∠3，且AP=BD(或AC=BP或CP=PD)。 点P在线段AB的延长线上,∠1=∠2=∠3，且AP=BD(或AC=BP或CP=PD) 结论：△APC≌△BDP（AAS）。 2. 锐角型 核心特征：三个角为锐角（∠1<90°），顶点共线，角的两边分别相交形成两条线段。 构造方式：在角的两边上截取等长线段，或作角的另一边的平行线，使第三个等角的两边与前两个角的边相交。 全等依据：∠1=∠2=∠3，一组对应边相等，夹角的补角相等，从而满足 AAS 全等。 3. 钝角型 核心特征：三个角为钝角（α>90°），顶点共线，角的两边反向延长后相交。 构造方式：延长钝角的两边，使三个角的边形成封闭图形，利用 “钝角的补角相等” 找到相等的角。 全等依据：钝角相等→补角相等，结合一组对应边相等，满足 ASA 全等。 四、构造全等的实操步骤 识别 “一线”：确定三个角的顶点所在的共线直线（可是已知直线，也可通过延长线段得到）。 确认 “三等角”：验证三个角是否相等（已知条件或通过角度计算推导）。 补全 “对应边”：若缺少对应边相等的条件，可通过截取、作垂线、平行线等方式构造等长线段。 证明全等：利用等角关系推导第三个相等的角，结合构造的等长线段，用 AAS 或 ASA 证明全等。 应用结论：通过全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）求解未知线段或角度。 手拉手模型-旋转型全等模型 核心结论：手拉手模型是基于旋转全等的几何模型，核心是 “共顶点、等线段、旋转角相等”，通过旋转使两组等线段重合，构造全等三角形（SAS 判定）。 一、模型核心三要素 共顶点：两个等腰三角形（或含等线段的图形）有公共顶点（记为点 O）。 等线段：公共顶点出发的两组线段分别相等，即 OA=OB，OC=OD。 等旋转角：两组等线段的夹角相等（∠AOB=∠COD，即旋转角相等）。 二、模型构造与全等证明 构造逻辑 以公共顶点 O 为旋转中心，将其中一个三角形（如△COD）绕点 O 旋转，使等线段 OC 与 OA（或 OD 与 OB）重合，最终△COD 与△AOB 全等。 全等判定（固定 SAS） 边：OA=OB（已知等线段），OC=OD（已知等线段）。 角：∠AOC=∠BOD（∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，旋转角相等推导）。 结论：△AOC≌△BOD（SAS）。 三、模型分类（按公共顶点夹角类型） 1. 顶角相等的等腰三角形（最常用） 特征：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD（顶角相等）。 典型结论：全等后对应边 AC=BD，对应角∠OAC=∠OBD，且 AC 与 BD 的夹角等于顶角（或其补角）。 2. 等边三角形手拉手 特征：△OAB 和△OCD 均为等边三角形，公共顶点 O，等边三角形三边相等、三角均为 60°。 特殊结论：除全等外，AC=BD，且 AC 与 BD 的夹角为 60°，可进一步构造等边三角形或特殊角。 3. 等腰直角三角形手拉手 特征：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=90°。 特殊结论：AC=BD 且 AC⊥BD，两条对应边垂直且相等，是几何证明中 “垂直 + 相等” 的常用模型。 模型1.一线三等角构造全等模型 例1通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，．过点B作于点C．过点D作于点E．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题： 【模型应用】（2）如图2，且．且．请按图中所标注的数据（于点P，于点G，与点H．，，）．计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 【拓展延伸】（4）如图4，在平面直角坐标系中．点A的坐标为．点B的坐标为，第一象限内是否存在一点P，使为等腰直角三角形?如果存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）50（3）见解析（4） 【详解】解：（1）证明：∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 在和中， ∵， ∴； ∴，． （2）∵， 由（1）得：， ∴， ∴ ， 故答案为：50； （3）证明：根据题意知，，且于点F，与直线交于点G，如图，作于M，于N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴点G是的中点． （4）第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，理由如下： 分三种情况： ①当时，， 如图，分别过点B、点P作y轴的垂线交过点A作y轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴点P的横坐标为：，纵坐标为：， ∴； ②当时，， 如图，分别过点A、点P作x轴的垂线交过点B作x轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴， ∵、， ∴， ∴点P的横坐标为：，纵坐标为：， ∴； ③当时，， 如图⑤，分别过点A、点B作x轴的垂线交过点P作x轴的平行线于点E、点F， 同（1）得：， ∴， 设， ∵、， ∴， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，第一象限内存在一点P，使为等腰直角三角形，点P的坐标为或或． 例2通过对下图数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】（1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．求证：，． 我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； 请运用图1的模型解决下列问题：                        图1 【模型应用】（2）如图2，且，且，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为______． 【深入探究】（3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点．                    图3 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【详解】解：（1），，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）由“K字”模型可知，， ， ， 图中实线所围成的图形的面积 梯形的面积 ； 故答案为：． （3）作于点，于点， 由“K字”模型可知，， ， 同理，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即点是的中点． 例3【模型呈现】 “数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”．“一线三等角”模型是几何世界中常见的模型之一，只要细心观察，你就可以从中找到全等三角形． (1)【模型理解】如图1，已知，点C在线段DE上，，若，则与的数量关系为 ，，与的数量关系为 ； (2)【拓展延伸】在中，，分别以、为腰，在左侧作等腰直角三角形，在右侧作等腰直角三角形，其中，， ① 如图2，连接，当交线段的延长线于点M时，求证：； ② 如图3，连接，当交线段于点M，且时，求的长． 【答案】(1)； (2)①证明见解析  ② 【详解】（1）解：， ， 又， ， ， 由． 故答案为：；． （2）解：①作交直线于E，则， ， ， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． ②作交直线于E，则， 由①得，，， ，，， ， ， 设，则， ，， ， 解得：， ． 例4通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 如图，已知，，过点作于点，过点作的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （1）如图1，在中，，，直线经过点，且于，于．若，，则______． （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、之间具有怎样的数量关系？请证明这个数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【详解】（1）解：，证明如下； ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴， 故答案为：． （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）． 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴． 例5（1）【问题初探】 某兴趣学习小组的同学通过赵爽弦图由外到内的三个正方形中找出了全等三角形的模型图，如图1和图2所示的“一线三等角”型． 已知，，，请在图1和图2中选择一个模型证明． （2）【内化迁移】 在中，，，点D为射线上一动点（点D不与点B重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，． ①如图3，当点D在线段上时，过点E作于F，求的长度； ②如图4，连接，交直线于点M，点D在运动过程中，若，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）①；②或18 【详解】（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， （2）①∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ②过点E作交的延长线于点F，如图； 由①得， ∴； ∴， ∴， ∴； 设； 当点M在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点M在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，， ； ∵，， ∴， 解得：， ∴， 当点D在线段上的情况不存在． 综上，或18． 例6通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图、图），即一线三等角模型和K字模型． 【问题发现】 （1）如图，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图，若改变直线的位置，其余条件与前面相同，请直接写出，，之间的数量关系______； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为____________． （4）如图，正方形中，，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）的面积为． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即； （2）解：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， 故答案为：； （3）解：由（2）知：，， 设，则， ∴， 解得：， ∴，， ∴的面积为， 故答案为：； （4）解：如图，过作，交延长线于点， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的面积为． 模型2.手拉手模型-旋转型全等模型 例1综合与探究 (1)如图1，在和中，，将绕点A顺时针旋转，连接；当点E落在边上且D、E、C三点共线时，在这个“手拉手”模型中，和全等的三角形是 ； (2)求的度数； (3)如图2，在和中，，将绕点A逆时针旋转，连接；当点B、D、E在同一条直线上时，请判断线段与的数量和位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 且． 理由见解析 【详解】（1）解：在和中： ， ∴， 故答案为． （2）解：， ∴， ∵， ∴． （3）解： 且． 理由如下： ， ． ． 在和中， ， ， ， ， ， 即， ， ． 例2研究性学习：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：如果两个等腰三角形的顶点重合，且顶角相等，则称此图形为“手拉手全等模型”． (1)【模型感知】如图1，与都是等腰三角形，其中，求证； (2)【知识迁移】如图2，在中，，，E、F为边上的点且，请判断，，的数量关系，并证明你的结论． (3)【方法推广】如图3，在中，，，，点P为内一点，连接、、，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析过程 (3)7 【详解】（1）证明：∵与都是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图2，把绕点A逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）解：如图，在内部任取一点P，连接，，， 将绕点B顺时针旋转得到， 由旋转的性质得：，， ∴由勾股定理得， ， 当A，P，，四点共线时，取到最小值，最小值为长， 如图，过点A作垂线交延长线于点D， ∴， ∴， ， ， ，， 又， ， ，即的最小值为 ． 例3（25-26·广东佛山）我们常把在同一顶点处存在对应相等线段的图形称为“手拉手”模型，用该模型解决问题时重点在“构建”模型、证明相似以及用相似来解决问题．正方形和正方形如图1放置，连接和，． (1)请探究与之间的数量关系并证明； (2)如图2，连接． ①请探究与之间的数量关系并证明； ②若，，求的长； (3)如图3，当四边形和均为矩形，且时，若，，，直接写出k的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①，理由见解析；② (3) 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形，为正方形 ，， ， 在与中 ， ； （2）解：①，理由如下： 连接 ∵四边形是正方形， ∴， ∴在中， 同理，在中， 四边形为正方形， ， ， ，即； ②， 在中，； （3）解：如图，连接， ∵四边形和均为矩形， ∴，，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴ ∵，， ∴， ∴， 同理， ∴， ， ， ∵， ∴， ， 在中，， 解得或（舍） 例4“数学区别于其它学科最主要的特征是抽象与推理”，几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本几何模型，用类比等方法，进行再探究、推理，以解决新的问题． (1)模型探究：如图1，和中，，连接、．这里与有一个公共的顶点，且将其中的一个三角形通过旋转可以和另一个三角形重合，我们将这样的图形称为“手拉手模型”．请你说明与全等的理由． (2)模型应用①：如图2，中，，为平面内一点，且，求的度数．聪明的小亮同学，想到可以通过辅助线构造“手拉手模型”来解决这个问题，小亮先在线段上找到一点，使得．请你根据小亮的思路，求出的度数（要有必要的说理过程）． (3)模型应用②：如图3，在四边形中，，试探究线段、、的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)理由见解析 (2)，说理过程见解析 (3)，理由见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又∵，， ∴； （2）解：∵、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：猜想：线段和之间的数量关系为：，理由如下 ∵， ∴将绕着点逆时针旋转得到，连接，如图， 则，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 1．（2025·广东云浮·一模）【模型建立】 如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点． 【模型探索】 （1）如图2，求证：是等腰直角三角形． （2）如图3，是直线上的两动点，连接．若，求的长的最小值． 【模型应用】 （3）如图4，经过点的直线与轴交于点，为线段上的一点，作射线．若，求直线的函数解析式．     【答案】（1）见解析；（2）的长的最小值为8；（3） 【详解】（1）证明：对于， 当时，，当时，， 即点、的坐标分别为：、， ， 为直角， 是等腰直角三角形； （2）解：如图，当时，最小， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 即的长的最小值为8； （3）解：如图，过点作于点，过点作轴交于点，交过点和轴的平行线于点， ， 为等腰直角三角形，， 同（2）中原理可得，， ， 四边形为矩形， ， 当时，， ，即， 设， ，， 根据，， 可得， 解得：，即点， 设直线的解析式为 把代入可得， 解得， 所以直线的解析式为． 2.（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现（1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验（2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展（3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用（4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析；（4）当时 【详解】（一）解：， ， 故答案为： （二）解：四边形的周长为，， ， ， 的周长为，， ， ， ， 故答案为：； （三）解：；理由如下， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （四）解：在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为． 在矩形中，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， 为等腰三角形， ， 设，则， ， ， ，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴，， 设，， ， ， ， 即， ，对称轴为直线， 当时，， 即当时，． 3．某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． (1)如图2，已知，中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； (2)如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请判断，，之间数量关系，并说明理由； (3)如图4，四边形中，，面积为18且的长为9，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【详解】（1）证明：由题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （2）解：，证明如下： 由题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． （3）解：如图，过点B作交的延长线于点E，过点A作于点F， 由（1）可得， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵面积为18且的长为9， ∴，即，解得：， ∴， ∵的长为9， ∴， ∴． 4．（2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴． ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·山西太原·开学考试）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)观察猜想 如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角和等腰直角，，连接，，则与的数量关系为______，位置关系为______； (2)类比探究 如图2，在中，分别以，为边作等腰直角和等腰直角．，点D，E，C在同一直线上，为中边上的高，猜想，，之间的数量关系并说明理由； (3)解决问题 运用（1）（2）中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点D，C的距离，已测得，，，米，米，的长为______米． 【答案】(1)；； (2)，理由见解析； (3)米． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 设与交于点，与交于点， ∵， ∴， ∴； 故答案为：，； （2），理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵ ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，作，使，连接，则为等腰直角三角形， 同（）同理可证：， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（米）， 在中，米， ∴（米）， ∴米． 6.在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： (1)如图1、两个等腰三角形和中， 连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是手拉手模型，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中， 连接，，两线交于点 ，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知， 以、为边分别向外作等边和等边，连接，，两线交于点 ，请直接写出线段 和的数量关系及的度数． 【答案】(1)， (2)且，理由见解析 (3)， 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴和全等的三角形是，此时和的数量关系是． 故答案为：，； （2）且； 理由如下：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 综上所述：且． （3）和都为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； ，， ∴ ， ∴． 7.（2024·二模）当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”，通常用“旋转的观点”看待图形的几何变换，使得两个分散的角变换成为一个三角形，相当于构造出两个三角形全等． 【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、边上的点，且，求出图中线段，，之间的数量关系． ①如图1，从条件出发：将绕着点逆时针旋转到位置，根据“旋转的性质”分析与之间的关系，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系，可证得结论． 【类比分析】 （2）如图2，在四边形中，，，，且，，，求的长． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，与互补，点、分别在射线、上，且．当，，时，求出的周长． 【答案】（1），理由见解答；（2）；（3） 【详解】（1），理由如下： ∵在四边形中，，， ∴绕点旋转得到， ∴， ∴，，，，，三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）在上取点，使得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴． （3）在上取点，使得， ∵与互补， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 8.在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下操作： (1)如图，已知，均为等腰直角三角形，，，，点A在边上，且不与点E、D重合，连接，则与的数量关系为　　　　，位置关系为　　　　． (2)将绕点C旋转到如图所示位置，点B在线段上，连，求证：． (3)在绕点C旋转过程中，当A、E、B三点在同一条直线上时，若，，求的长． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)的长为8或2 【详解】（1）解：连接，    ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：，； （2）证明：连接， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：如图：当点E在延长线上时，过点C作于F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图：当点E在延长线上时，过点C作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，的长为8或2． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $