专题03 不等式及其应用、基本不等式（期末复习讲义，12大重难题型+3阶分层过关）高一数学上学期人教A版

专题03 不等式及其应用、基本不等式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 3.1 不等式的基本性质（对称性、传递性、可加/乘性） 能依据性质进行简单的数值比较和不等式推导。 基础题，乘负变号是必考点。 3.2 基本不等式的形式与推导 能准确写出基本不等式，理解其几何意义。 理解性考点，是应用的基础。 3.3 “一正二定三相等”的运用条件 能准确判断给定问题是否满足基本不等式的使用条件。 高频易错点，是解题的第一步，常被忽略。 3.4 直接利用基本不等式求最值 能对符合“积定”或“和定”条件的表达式直接应用公式求最值。 最基础的考查方式。 3.5 “配凑法”应用基本不等式 能通过拆项、添项、凑系数等技巧，将表达式转化为可用基本不等式的形式。 期末解答题核心考法，是能力的区分点。 3.6 换元法（化繁为简） 当表达式复杂时，能通过代换简化问题，转化为基本不等式模型。 重要技巧，常用于含根式条件最值问题。 3.7 “1”的代换法（条件等式） 当已知条件能巧妙地运用或变形“1”，可将目标式乘以“1”进行计算。 高频题型，技巧性强，是高分的关键。 3.8 分式型最值问题 能处理形如(二次式) / (一次式)”或 (一次式) / (二次式)”的函数，通过分离常数、换元或基本不等式求最值。 常见中档题，分离常数是常用技巧。 3.9 二次使用基本不等式（连续放缩） 能判断在什么情况下需要两次或多次使用基本不等式，并保证每次放缩的等号能同时成立。 难度最高的题型之一，常用于证明或求复杂式子的最值，对逻辑严谨性要求高。 3.10 恒成立问题中求参数范围（综合应用） 对于恒成立的问题，能将其转化为求目标式的最小值或最大值，从而确定参数a的范围。 期末压轴题常见模式，综合性强，易错点在于混淆“≥最大值”与“≤最小值”的逻辑关系。 3.11 基本不等式在实际问题（如面积、成本最优化）中的应用 能根据实际问题建立函数模型，并利用基本不等式求解最值。 命题趋势偏向应用，考查数学建模能力 知识点01 等式的性质 性质1 如果，那么_____； 性质2 如果，，那么____； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么____； 知识点02 比较两个实数大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有： ； ； 另外，若，则有；；. 知识点03 不等式的性质 性质 别名 性质内容 1 对称性 ＜ 2 传递性 ＞ 3 可加性 ＞ 推论1：； 推论2： 4 可乘性 ＞ ； 推论3：； 推论4： ＞ （，）； 推论5： 5 取倒数 ＜ 知识点04 基本不等式 如果，那么（当且仅当 时取“=”）. 说明： ①对于非负数，我们把称为的 算术平均数 ，称为的 几何平均数 . ②我们把不等式称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数. ③“当且仅当时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当 时，有；另一方面当 时，有. ④ 结构特点：和式与积式的关系. 知识点05 利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值 ； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值． 知识点06 几个重要不等式 （1）（a，）（当且仅当时取等号）. 变形式： （a，）（当且仅当时取等号）. （2）基本不等式： （，）（当且仅当时取等号）. 变形式：（，），（a，）（当且仅当时等号成立）. （3）（a，b，）（当且仅当时取等号）. （4）若，则，（当且仅当时取等号）. 知识点07 基本不等式链 拓展. m>n时， 知识点08 权方和不等式的二维形式 若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀) 知识点09 糖水不等式定理 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 知识点10 糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: 题型一 由已知条件判断所给不等式是否正确 解｜题｜技｜巧 （1） 直接法：依据不等式基本性质（对称性、传递性、可加性、可乘性等 ），结合已知条件直接推导判断。 （2）特殊值法：选取满足已知条件的特殊数值代入不等式，验证是否成立。 （3）作差（商）法：对不等式两边作差（商），结合已知条件判断差（商）的正负，进而确定不等式是否成立（作商法需注意正负），部分复杂式子判断可用此思路延伸。 【典例1】（24-25高一上·湖南永州·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的基本性质可判断ABC选项，利用作差法可判断D选项. 【详解】因为，， 对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，在不等式的两边同时除以得，C错； 对于D选项，，故，D对. 故选：D. 【典例2】（24-25高一上·山西·期末）（多选）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】举反例可说明选项A、C错误；不等式等价变形，利用不等式的性质可得选项B正确；利用作差法可得选项D正确. 【详解】对于A，当时满足，但不成立，故A不正确； 对于B，等价于， ∵，∴，故，故B正确； 对于C，当时满足，但，故C不正确； 对于D， ，故D正确. 故选：BD. 【变式1】（24-25高一上·福建莆田·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐项判断可得答案. 【详解】A.当时，，选项A错误. B.若，满足，但，选项B错误. C.由得，由得，故，选项C正确. D. 若，则，选项D错误. 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·安徽安庆·期末）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用赋值法取可排除；利用不等式的性质可判断. 【详解】对于：取，则，，故错误； 对于：因为，所以 ，故正确； 对于：因为，所以， 所以  故正确. 故选：BD. 题型二 由不等式关系，求解不等式范围 解｜题｜技｜巧 （1）直接运算：依据不等式基本性质，对已知不等式变形求解即可． （2）线性组合：若求多个式子线性组合的范围，先将目标式表示为已知范围式子的线性组合，再利用不等式性质，分别求各组合部分范围后“同向可加”即可. 【典例1】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解． 【详解】因为，又，，所以的取值范围是． 故选：C． 【典例2】（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意得，进而求得即可求解. 【详解】因为，所以，即， 所以，则， 所以. 故选：D. 【变式1】（24-25高一上·湖南郴州·期末）已知实数满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式性质得到，得到答案. 【详解】，又， 故，即. 故选：D 【变式2】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】因为，，则，可得， 由不等式的基本性质可得. 故选：A. 【变式3】（25-26高一上·湖南·期中）（多选）已知，，则（   ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项求解判断. 【详解】对于A，由，得，而，因此，A正确； 对于B，由，得，而，则，B错误； 对于C，由，，得，C正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：ACD 题型三 作差法比较式子大小关系 【典例1】）若，，则 （用“”、 “”或“”填空）． 【答案】 【分析】用作差法比较大小即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 【典例2】已知，且，则 .（填中最恰当的一个） 【答案】 【分析】利用作差法，比较大小， 即可得答案. 【详解】由，则， ， 故， 故答案为： 【变式1】已知，，设，，则与的大小关系为 ． 【答案】 【详解】．因为，，所以，，，所以，所以． 【变式2】 （用不等号“”或“”填空） 【答案】 【分析】应用作差法比较大小即可. 【详解】， 所以. 故答案为： 题型四 糖水不等式及其应用 【典例1】已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意建立不等关系即可. 【详解】由题意可知糖水原浓度为，加糖之后的浓度为， 则有. 故选：C 【变式1】克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件及不等式的性质逐项判断即得. 【详解】对于A，由得，，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，由题得，故C错误； 对于D，由糖水不等式得，所以，故D错误. 故选：A. 【变式2】如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由作差法证明； （2）由糖水不等式变形证明． 【详解】（1）， 因为，所以， 所以，即． （2）因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 又， 所以 所以原不等式成立． 题型五 直接用基本不等式求和或积的最值 解｜题｜技｜巧 （1）定条件：确认“一正（各项为正）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到，即存在实数使等号成立）” . （2）选公式：和定求积最大，用；积定求和最小，用. （3）代计算：代入定值，结合等号成立条件（验证是否满足“三相等” ），算出最值. 【典例1】（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知实数，则的最小值是（    ） A． B． C．6 D．5 【答案】B 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即， 所以的最小值是. 故选：B. 【典例2】（24-25高一上·陕西汉中·期末）若，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】D 【分析】根据基本不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，当且仅当时取等号，解得. 故选：D. 【变式1】（24-25高一上·重庆·期末）已知都是正实数，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由基本不等式即可求解； 【详解】， 可得：，当且仅当时，取等号， 所以的最大值为， 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】原式可变为，利用基本不等式求解. 【详解】由， 当且仅当时取等号，可得.可得的最小值为4， 故选：A. 【变式3】（24-25高一上·广东东莞·期末）（多选）若a，，且，则下列说法中正确的是（    ） A．的最大值为6 B．的最小值为6 C．ab的最大值为9 D．ab的最小值为9 【答案】BD 【分析】正数a，b满足，可得，解出即可得出ab的最小值，正数a，b满足，可得，解出即可得出的最小值. 【详解】正数a，b满足， ，即 ， 解得 ，即ab ，当且仅当时取等号， ，即ab的最小值为9， 正数a，b满足， ，即 ， 解得 ，当且仅当时取等号， ，即的最小值为 故选：BD. 题型六 巧用“1”或常数关系及拼凑法求最值（含权方和不等式的应用） 解｜题｜技｜巧 （1）找“1”或常数：观察条件，将已知等式变形出“1”或常数，用于构造可基本不等式形式。 （2）乘“1”拼凑：用变形出的“1”或常数，将目标式与含“1”或常数的式子相乘展开，凑出能用基本不等式求解的式子。 （3）验证等号：展开后用基本不等式求最值，同时验证等号成立条件，确保最值有效。 【典例1】（24-25高一上·福建厦门·期末）若，，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式“1”的用法计算即可求解. 【详解】由题意知，， ， 当且仅当即时，等号成立， 所以. 故选：A 【典例2】（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知函数，若，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则为奇函数且是增函数，由可得，即，再利用基本不等式可得答案. 【详解】设 ，定义域为 ，关于原点对称， 且 ，故 为奇函数； 则 ， ，故 ； 因为为增函数，故 ，即 ， ，故与同号，显然它们都是正数 ； 当且仅当 ，即时等号成立； 故选： D. 【变式1】（24-25高一上·山西·期末）已知实数，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用“1”的代换结合基本不等式可求的最小值. 【详解】由题意得，， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为6. 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，则的最小值为 . 【答案】/4.5 【分析】根据“1”的变形技巧，利用基本不等式得解. 【详解】由可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 【变式3】（24-25高一上·四川眉山·期末）（多选）已知，，且，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】利用基本不等式即可判断选项ACD；对于选项B有，所以，将式子化为一元二次函数即可求得最值. 【详解】对于选项A：，故A正确. 对于选项B：因为，所以， 所以， 又因为，，故，解得：，故当时，式子取最小值2.故B错误. 对于选项C：，当且仅当，即时等号成立，又，，所以等号取不到，故选项C错误. 对于选项D：，故选项D正确. 故选：AD 题型七 二次与二次（一次）的商式求最值 【典例1】已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 【典例2】设，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对变形后，利用基本不等式求解. 【详解】，则， ， 当且仅当时，等号成立，则. 故选：D. 【变式1】（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 【变式2】若，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值即可得解. 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 题型八 换元法求最值 【典例1】已知，求的最大值. 【答案】 【详解】 设，则， 因此 因，当且仅当，即时取等号， 所以. 故的最大值为. 【典例2】已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正数，，满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 【变式1】已知正实数满足且，则的最小值为 【答案】 【详解】设，则， 当且仅当且，即，时等号成立. 故答案为： 【变式2】已知，，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】令，， 则，，，，，所以， 所以 ， 当且仅当，，即，时等号成立． 故答案为： 【变式3】若对恒有，则的取值范围是 【答案】 【分析】问题化为恒成立，讨论的符号确定代数式的范围，即可得参数范围. 【详解】由， 令，则， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 综上，， 所以对恒有，只需，即. 故答案为： 题型九 两次应用基本不等式求最值 【典例1】对任意的正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】任意的正实数，满足， 由于为正实数，故由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为. 故答案为： 【点睛】利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等 【变式1】已知实数，满足，则的最小值为 . 【答案】8 【详解】因为，所以， ∴ 当且仅当，即时等号成立 所以的最小值为8. 故答案为：8. 【变式2】已知正数a，b满足，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由，，平方得到，代入目标式化简变形通过两次运用基本不等式计算即可求出最小值． 【详解】解：由，得， 因为，， 所以 ， 当且仅当，即时取“等号”， 所以当，，时，的最小值为 故答案为： 题型十 条件等式变形求最值 【典例1】（多选）已知两个实数、满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】利用重要不等式逐项判断即可. 【详解】因为两个实数、满足， 由重要不等式可得，故， 当且仅当时，即当或时，等号成立，B对； 另一方面，可得， 当且仅当时，即当或时，等号成立，A对； 对于CD选项，由题意可得， 由重要不等式可得，可得， 当且仅当时，即当或时，等号成立，D对； 因为，故， 所以，即， 当且仅当时，即当或时，等号成立， 又，C对. 故选：ABCD. 【典例2】（24-25高一上·重庆·期末）（多选）已知且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先化简式子得到，应用基本不等式的乘“1”法可判断BD，A直接应用基本不等式即可判断，C转化为二次函数即可判断. 【详解】根据题意: ， ， ，又，， ， 对A，，则， 当且仅当且，即时等号成立，A正确； 对B，， 当且仅当且，即时等号成立，B错误； 对C，由，又， 故，所以，当且仅当时等号成立，C正确； 对D，， 当且仅当且，即时等号成立，D正确. 故选：ACD. 【变式1】（多选）已知，则下列正确的是（　　） A． B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】将已知式化成，再根据各选项的待求式，利用基本不等式，通过消元变形即可逐一求出最值判断选项. 【详解】依题意，由，可得 对于A，由，故A正确； 对于B，由，结合A项， 因，当且仅当时等号成立， 由可得， 即当时，的最小值为，故B错误； 对于C，由A项， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 对于D，因，则， 由C项已得当时，取得最小值， 故此时取得最小值为，故D正确． 故选：ACD 【变式2】已知且，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 /0.4 【分析】直接利用基本不等式可得，即可求得的最大值，将化为，再利用基本基本不等式，即可求得的最小值. 【详解】由,可得， 当且仅当，即时取到等号, 即的最大值为； ，可得， 当且仅当，即或时取到等号， 即的最小值为； 故答案为：； 题型十一 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 【典例1】（24-25高一上·山东聊城·期末）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用恒成立等价条件转化，再利用不等式即可求得结果 【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号， 故. 故选：A 【典例2】已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式1】已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式恒成立，等价于的最小值大于，所以先利用基本不等式求出的最小值，然后解关于的不等式即可. 【详解】因为， ，且， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8， 不等式恒成立，等价于的最小值大于， 所以，解得， 故选：B 【变式2】已知，且，若恒成立，则实数的范围是 ． 【答案】 【分析】依题意可得，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】因为，且，若恒成立， 则， 又 ， 当且仅当，即，时，等号成立， ，即实数的取值范围是． 故答案为：． 【变式3】已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】恒成立问题先转化为的最值问题，由条件等式利用常数的代换将式子转化为，再利用基本不等式求出最值，最后求解关于的不等式可得. 【详解】已知，则， 因为， 当且仅当时等号成立，由， 解得． 故的最小值为4． 因为恒成立， 所以，即， 解得，即． 故选：D 题型十二 基本不等式的应用 【典例1】如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值. 【详解】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 【典例2】“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是 个∕时． 【答案】60 【分析】列出全程生产成本的表达式并结合基本不等式即可求解． 【详解】生产速度为x（个∕时）（），生产时间为小时， 则全程生产成本， ，当时，即等号成立， 综上，当该公司全程生产成本最低时，生产速度为60个/时． 故答案为：60． 【典例3】如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【答案】(1)为，为时，所用篱笆总长最小，最小值为 (2)当时有最小值，最小值是 【分析】（1）由题意可知，再根据基本不等式即可得解； （2）由题意可知，再根据基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 答（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为， （2）当时，有最小值，最小值是. 【变式1】据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】根据已知条件列出利润函数，利用换元法化简函数表达式，再利用基本不等式求出利润的最小值． 【详解】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ，当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故选：B． 【变式2】某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则的最小值是 万元． 【答案】 【分析】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因为不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元， 则，又由题可得. 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 【变式3】2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸 IP 展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界.某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形区域，十字形的面积为.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元.设长为，总造价为元，求： (1)设长为，用表示，并求出的取值范围； (2)如何设计可使总造价最低，并求出最低造价. 【答案】(1)， (2)当的长为m时，总造价最低，为59000元 【分析】（1）根据题中条件，结合十字形区域面积为，可得，整理可得解析式，根据，，可求得x的范围，即可得答案. （2）分别求出各个区域的面积及造价，可得总造价的表达式，结合基本不等式，即可求得答案. 【详解】（1）因为十字形区域面积为， 所以，解得， 因为，所以，因为，所以， 所以，. （2）四个矩形地砖面积，造价； 四个三角形草坪面积； 造价； 正方形花坛面积，造价； 总造价， 化简得， 因为， 当且仅当（在范围中）时取等号，此时元． 综上，当的长为时，总造价最低，为59000元． 【变式4】某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 【答案】(1)， (2)当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）设矩形花园的长为，因为矩形花园的总面积为， 所以，可得，又，则， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得， 可得，即关于的关系式为. （2）由（1）知，，， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·广东惠州·期末）若，则有（    ） A．最小值3 B．最小值6 C．最大值6 D．最大值3 【答案】B 【分析】由基本不等式求解． 【详解】因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立.所以，当时，则有最小值6， 故选：B. 2．（24-25高一上·福建厦门·期末）若，，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式“1”的用法计算即可求解. 【详解】由题意知，， ， 当且仅当即时，等号成立， 所以. 故选：A 3．（24-25高一上·四川成都·期末）已知一个直角三角形的斜边长为8，则其面积的最大值是（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】根据勾股定理以及直角三角形的面积公式，利用重要不等式，可得答案. 【详解】设直角三角形的两条直角边分别为，则， 直角三角形的面积为，当且仅当时取等号. 故选：C. 4．（24-25高一上·北京密云·期末）设，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A和D，利用作差法排除；对于B，利用不等式性质推理排除；对于C，利用基本不等式可推理得到. 【详解】对于A，由，因，故得，即A错误； 对于B，由两边同除以，可得 ，故B错误； 对于C，因，则，当且仅当时取等号，因，故得，即C正确； 对于D，由，因，故得，故D错误. 故选：C. 5．（24-25高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（   ） A．25 B．6 C．10 D．5 【答案】D 【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求其最小值. 【详解】由题意得， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为5． 故选：D 6．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为2元，为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（    ） A．12件 B．24件 C．36件 D．40件 【答案】D 【分析】平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为，则，利用基本不等式，即可求得和此时的值. 【详解】设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为， 则， 当且仅当时，等号成立， 即当每批应生产产品40件时，平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，为40元. 故选：D. 7．（24-25高一上·广东清远·期末）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．16 B．18 C．22 D．26 【答案】C 【分析】变形得到，，由基本不等式求出最小值. 【详解】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，此时的最小值为22． 故选：C 8．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知都为正数，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基本不等式进行求解即可. 【详解】都为正数，， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立， 故答案为： 二、多选题 9．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）下列选项为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】对A，举反例说明；对B，利用作差比较法和不等式性质求解判断；对C，根据不等式性质判断；对D，根据不等式性质判断. 【详解】对于A，取，满足，但，故A错误； 对于B，若，则，所以， 即，又，故，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，又，则，故D正确. 故选：BCD. 10．（24-25高一下·湖南娄底·期末）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用作差法可判断AD选项，利用基本不等式可判断BC选项. 【详解】对于A选项，对任意的、，，即， 当且仅当时，等号成立，A对； 对于B选项，当，时，由A选项可知， 则，故， 当且仅当时，等号成立， 故，B对； 对于C选项，当时，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，C错； 对于D选项，因为，，则， 故，D对. 故选：ABD. 期末重难突破练（测试时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·北京·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】D 【分析】由基本不等式求最小值． 【详解】因为 所以，当且仅当即时等号成立， 故选：D． 2．（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数，若，，且，则的最小值是（   ） A． B．1 C． D．4 【答案】B 【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为， 又，所以为奇函数， 又，所以，所以， 又函数在单调递减，所以，所以，， 所以 ，当且仅当，即，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 3．（24-25高一上·重庆黔江·期末）已知实数，若，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】将变形后，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】由题意知实数，， 故 ， 当且仅当时等号成立， 故的最大值为4， 故选：B 4．（24-25高一上·山东淄博·期末）已知 ，若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】B 【分析】先将不等式 恒成立，转化为，求出最小值，解不等式即可得到答案. 【详解】不等式恒成立，等价于， 又，故恒成立， 所以， 又，故， 即，解得 或 故选：B 5．（24-25高一上·辽宁大连·期末）已知正实数，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，令，则问题转化为求的最小值，利用基本不等式计算可得. 【详解】因为， 令，则， 又，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即的最小值为，当且仅当时取等号， 所以的取值范围是. 故选：C 二、多选题 6．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知x，y，z为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，由，得，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，得 ，当且仅当，即时陬等号，C正确； 对于D，由，得，则 ， 当且仅当，即取等号，而，因此，D正确. 故选：BCD 7．（24-25高一上·广东广州·期末）已知是函数的图象上两个不同的点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断ABC；举例判断D即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，故A正确，B错误， 因为，即， 根据函数是增函数，所以，故C正确； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 故选：AC 8．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知正数满足，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】对于A，根据条件，利用基本不等式，得到，即可求解；对于B，根据条件，利用基本不等式，得到，即可求解；对于C，根据条件得到，再结合选项A中结果及反比例函数的性质，即可求解；对于D，利用基本不等式及指数的运算性质，得到，再结合条件，利用基本不等式的性质得到，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，且，所以，当且仅当时取等号， 令，得到，解得或（舍），所以，故选项A错误， 对于选项B，，且，所以，当且仅当时取等号， 所以，解得或（舍），所以选项B正确， 对于选项C，因为，由选项A知， 所以，得到，故选项C正确， 对于选项D，因为，当且仅当取等号， 由，且，得到， 所以，又， 则，当且仅当,时，取等号， 又，所以，又，所以选项D错误， 故选：BC. 【点晴】方法点晴：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 三、填空题 9．（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可得到，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为，，且，则， 所以 ， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 10．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的对称中心是，若正数满足，则的最小值是 ． 【答案】10 【分析】根据题意分析的对称中心可得的值，即可得，又由，结合基本不等式的性质分析可得结果. 【详解】根据题意, 则有，所以， 故的对称中心为，可得； 又正数满足，即可得； 所以 ； 当且仅当时，即时，等号成立 此时的最小值是10. 故答案为：10. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数解析式求得对称中心，得出，再由基本不等式的推广计算可得结果. 四、解答题 11．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知、均为正实数，. (1)若，求的最小值： (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，由已知等式变形得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）当时，由已知等式变形得出，再利用基本不等式的最小值. 【详解】（1）当时，，则. 因为、均为正实数， 所以， 当且仅当时，即当，时取等号， 所以的最小值为. （2）当时，，可得，则， 所以，因为，，所以，进而得， 所以，. 所以， 当且仅当时，即当，时取等号， 所以的最小值为. 12．（24-25高一上·浙江丽水·期末）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. (1)当时，求的值； (2)设的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可证，即可得到，再由勾股定理计算可得； （2）首先证明，得到，在利用勾股定理得到，从而得到，再由面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】（1）如图，由矩形的周长为，，可知，. ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即，解得. （2）如图，由矩形的周长为，可知，， ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即， 解得， 所以. 所以的面积为 . 由基本不等式与不等式的性质，得， 当且仅当时，即当时，的面积最大， 面积的最大值为. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 2．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 3．（2022·上海·高考真题）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误. 【详解】因为，则，故，A对B错； ，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错. 故选：A. 二、多选题 4．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 三、填空题 5．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 6．（2022·上海·高考真题），，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】分析可得，利用不等式的基本性质可求得的最小值. 【详解】设，则，解得， 所以，， 因此，的最小值是. 故答案为：. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 不等式及其应用、基本不等式（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 3.1 不等式的基本性质（对称性、传递性、可加/乘性） 能依据性质进行简单的数值比较和不等式推导。 基础题，乘负变号是必考点。 3.2 基本不等式的形式与推导 能准确写出基本不等式，理解其几何意义。 理解性考点，是应用的基础。 3.3 “一正二定三相等”的运用条件 能准确判断给定问题是否满足基本不等式的使用条件。 高频易错点，是解题的第一步，常被忽略。 3.4 直接利用基本不等式求最值 能对符合“积定”或“和定”条件的表达式直接应用公式求最值。 最基础的考查方式。 3.5 “配凑法”应用基本不等式 能通过拆项、添项、凑系数等技巧，将表达式转化为可用基本不等式的形式。 期末解答题核心考法，是能力的区分点。 3.6 换元法（化繁为简） 当表达式复杂时，能通过代换简化问题，转化为基本不等式模型。 重要技巧，常用于含根式条件最值问题。 3.7 “1”的代换法（条件等式） 当已知条件能巧妙地运用或变形“1”，可将目标式乘以“1”进行计算。 高频题型，技巧性强，是高分的关键。 3.8 分式型最值问题 能处理形如(二次式) / (一次式)”或 (一次式) / (二次式)”的函数，通过分离常数、换元或基本不等式求最值。 常见中档题，分离常数是常用技巧。 3.9 二次使用基本不等式（连续放缩） 能判断在什么情况下需要两次或多次使用基本不等式，并保证每次放缩的等号能同时成立。 难度最高的题型之一，常用于证明或求复杂式子的最值，对逻辑严谨性要求高。 3.10 恒成立问题中求参数范围（综合应用） 对于恒成立的问题，能将其转化为求目标式的最小值或最大值，从而确定参数a的范围。 期末压轴题常见模式，综合性强，易错点在于混淆“≥最大值”与“≤最小值”的逻辑关系。 3.11 基本不等式在实际问题（如面积、成本最优化）中的应用 能根据实际问题建立函数模型，并利用基本不等式求解最值。 命题趋势偏向应用，考查数学建模能力 知识点01 等式的性质 性质1 如果，那么； 性质2 如果，，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么； 知识点02 比较两个实数大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有： ； ； 另外，若，则有；；. 知识点03 不等式的性质 性质 别名 性质内容 1 对称性 2 传递性 3 可加性 推论1：； 推论2： 4 可乘性 ； 推论3：； 推论4：（，）； 推论5： 5 取倒数 知识点04 基本不等式 如果，那么（当且仅当时取“=”）. 说明： ①对于非负数，我们把称为的，称为的. ②我们把不等式称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数. ③“当且仅当时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当时，有；另一方面当时，有. ④ 结构特点：和式与积式的关系. 知识点05 利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值． 知识点06 几个重要不等式 （1）（a，）（当且仅当时取等号）. 变形式：（a，）（当且仅当时取等号）. （2）基本不等式：（，）（当且仅当时取等号）. 变形式：（，），（a，）（当且仅当时等号成立）. （3）（a，b，）（当且仅当时取等号）. （4）若，则，（当且仅当时取等号）. 知识点07 基本不等式链 拓展. m>n时， 知识点08 权方和不等式的二维形式 若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀) 知识点09 糖水不等式定理 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 知识点10 糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: 题型一 由已知条件判断所给不等式是否正确 解｜题｜技｜巧 （1） 直接法：依据不等式基本性质（对称性、传递性、可加性、可乘性等 ），结合已知条件直接推导判断。 （2）特殊值法：选取满足已知条件的特殊数值代入不等式，验证是否成立。 （3）作差（商）法：对不等式两边作差（商），结合已知条件判断差（商）的正负，进而确定不等式是否成立（作商法需注意正负），部分复杂式子判断可用此思路延伸。 【典例1】（24-25高一上·湖南永州·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·山西·期末）（多选）已知，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·福建莆田·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2】（24-25高一上·安徽安庆·期末）（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型二 由不等式关系，求解不等式范围 解｜题｜技｜巧 （1）直接运算：依据不等式基本性质，对已知不等式变形求解即可． （2）线性组合：若求多个式子线性组合的范围，先将目标式表示为已知范围式子的线性组合，再利用不等式性质，分别求各组合部分范围后“同向可加”即可. 【典例1】（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·湖南郴州·期末）已知实数满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·湖南·期中）（多选）已知，，则（   ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 题型三 作差法比较式子大小关系 【典例1】）若，，则 （用“”、 “”或“”填空）． 【典例2】已知，且，则 .（填中最恰当的一个） 【变式1】已知，，设，，则与的大小关系为 ． 【变式2】 （用不等号“”或“”填空） 题型四 糖水不等式及其应用 【典例1】已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】克糖水中含有克糖，糖的质量与糖水的质量比为，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加克糖（假设全部溶解），生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为，这个不等式趣称为糖水不等式．根据糖水不等式，下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明糖水不等式； (2)已知a，b，c是三角形的三边，求证：． 题型五 直接用基本不等式求和或积的最值 解｜题｜技｜巧 （1）定条件：确认“一正（各项为正）、二定（和或积为定值）、三相等（等号能取到，即存在实数使等号成立）” . （2）选公式：和定求积最大，用；积定求和最小，用. （3）代计算：代入定值，结合等号成立条件（验证是否满足“三相等” ），算出最值. 【典例1】（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知实数，则的最小值是（    ） A． B． C．6 D．5 【典例2】（24-25高一上·陕西汉中·期末）若，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【变式1】（24-25高一上·重庆·期末）已知都是正实数，若，则的最大值为 . 【变式3】（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3】（24-25高一上·广东东莞·期末）（多选）若a，，且，则下列说法中正确的是（    ） A．的最大值为6 B．的最小值为6 C．ab的最大值为9 D．ab的最小值为9 题型六 巧用“1”或常数关系及拼凑法求最值（含权方和不等式的应用） 解｜题｜技｜巧 （1）找“1”或常数：观察条件，将已知等式变形出“1”或常数，用于构造可基本不等式形式。 （2）乘“1”拼凑：用变形出的“1”或常数，将目标式与含“1”或常数的式子相乘展开，凑出能用基本不等式求解的式子。 （3）验证等号：展开后用基本不等式求最值，同时验证等号成立条件，确保最值有效。 【典例1】（24-25高一上·福建厦门·期末）若，，，则（   ）． A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知函数，若，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·山西·期末）已知实数，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，则的最小值为 . 【变式3】（24-25高一上·四川眉山·期末）（多选）已知，，且，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 题型七 二次与二次（一次）的商式求最值 【典例1】已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【典例2】设，则 （    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【变式2】若，则的最小值为 . 题型八 换元法求最值 【典例1】已知，求的最大值. 【典例2】已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知正实数满足且，则的最小值为 【变式2】已知，，，则的最大值为 ． 【变式3】若对恒有，则的取值范围是 题型九 两次应用基本不等式求最值 【典例1】对任意的正实数，满足，则的最小值为 . 【变式1】已知实数，满足，则的最小值为 . 【变式2】已知正数a，b满足，，则的最小值为 . 题型十 条件等式变形求最值 【典例1】（多选）已知两个实数、满足，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·重庆·期末）（多选）已知且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）已知，则下列正确的是（　　） A． B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值为 【变式2】已知且，则的最大值为 ，最小值为 ． 题型十一 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围 【典例1】（24-25高一上·山东聊城·期末）已知，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，且，若恒成立，则实数的范围是 ． 【变式3】已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型十二 基本不等式的应用 【典例1】如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【典例2】“谷子”经济发展越来越快，某公司要生产1000个玩偶，已知该公司每小时生产玩偶数量固定，且每小时的生产成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与生产速度x（个∕时）的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元，为使全程生产成本最低，该公司的生产速度是 个∕时． 【典例3】如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【变式1】据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式2】某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层的厚度（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，则的最小值是 万元． 【变式3】2025年上海奇迹花园国际艺术花展于9月20日正式启幕，本次花展首次实现沉浸 IP 展、花卉景观、跨界艺术、光影夜花园四展合一，为市民游客打造一个可游、可赏、可感的秋季治愈系童话世界.某公园受此启发打算设计一个八边形活动区域，该区域的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形区域，十字形的面积为.计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺地砖，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元.设长为，总造价为元，求： (1)设长为，用表示，并求出的取值范围； (2)如何设计可使总造价最低，并求出最低造价. 【变式4】某学校为了更好地美化校园，计划修建一个如图所示的总面积为的花园．图中阴影部分是宽度为的小路，中间三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（图中区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为．    (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？最大面积为多少？ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·广东惠州·期末）若，则有（    ） A．最小值3 B．最小值6 C．最大值6 D．最大值3 2．（24-25高一上·福建厦门·期末）若，，，则（   ）． A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川成都·期末）已知一个直角三角形的斜边长为8，则其面积的最大值是（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 4．（24-25高一上·北京密云·期末）设，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（   ） A．25 B．6 C．10 D．5 6．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为2元，为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（    ） A．12件 B．24件 C．36件 D．40件 7．（24-25高一上·广东清远·期末）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．16 B．18 C．22 D．26 8．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知都为正数，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）下列选项为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 10．（24-25高一下·湖南娄底·期末）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 期末重难突破练（测试时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·北京·期末）已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D．8 2．（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数，若，，且，则的最小值是（   ） A． B．1 C． D．4 3．（24-25高一上·重庆黔江·期末）已知实数，若，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．8 4．（24-25高一上·山东淄博·期末）已知 ，若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（    ） A． B． 或 C． D． 或 5．（24-25高一上·辽宁大连·期末）已知正实数，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知x，y，z为正实数，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（24-25高一上·广东广州·期末）已知是函数的图象上两个不同的点，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知正数满足，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题 9．（25-26高一上·湖南·期末）已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . 10．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的对称中心是，若正数满足，则的最小值是 ． 四、解答题 11．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知、均为正实数，. (1)若，求的最小值： (2)若，求的最小值. 12．（24-25高一上·浙江丽水·期末）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. (1)当时，求的值； (2)设的面积为，求的最大值. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022·上海·高考真题）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 6．（2022·上海·高考真题），，则的最小值是 . 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $