专题03 基本不等式及其应用（期末专项训练，12大题型58题）高一数学上学期人教A版

专题03 基本不等式及其应用 题型1 基本不等式求积的最大值（重点） 题型7 条件等式变形求最值（难点） 题型2 基本不等式求和的最小值（重点） 题型8 基本不等式链的应用 题型3 基本不等式“1”的妙用求最值（重点） 题型9 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围（重点） 题型4二次与二次(或一次)的商式的最值 题型10 利用基本不等式证明不等式 题型5 换元法求最值（常考点）（难点） 题型11 基本不等式的实际应用（常考点） 题型6 两次应用基本不等式求最值（难点） 题型12 权方和不等式（拓展）（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 基本不等式求积的最大值（共5小题） 1．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式，可得答案. 【详解】当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以时，的最大值为， 故选：A. 2．（24-25高一上·甘肃天水·期末）已知一个直角三角形的斜边长为8，则其面积的最大值是（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】应用基本不等式求面积最大值即可. 【详解】设直角三角形两直角边分别为，则， 当且仅当时取等号，故其面积的最大值是. 故选：C 3．（22-23高一上·陕西商洛·期末）已知，且，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．5 D．10 【答案】A 【分析】根据对数函数单调性可判断两数均为正数，再由基本不等式计算可求得结果. 【详解】由可得， 所以可得，当且仅当时等号成立； 所以的最大值为1. 故选：A 4．（24-25高一上·河南郑州·期末）已知，且，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】利用基本不等式可求乘积的最大值. 【详解】由基本不等式可得，即， 当且仅当时等号成立，故的最大值为， 故答案为：. 5．（24-25高一上·吉林四平·期末）用一根长度为2的绳子围成一个扇形，当扇形面积最大时，其圆心角的弧度数为 . 【答案】 【分析】根据已知条件及基本不等式，利用弧长公式及扇形的面积公式即可求解. 【详解】设扇形的弧长为，半径为，则，， 则，当且仅当时，等号成立， 所以扇形面积， 当时，扇形面积取得最大为. 所以圆心角的弧度数为. 故答案为:. 题型二 基本不等式求和的最小值（共3小题） 6．（24-25高一下·内蒙古·期末）的最小值为（   ） A． B． C．6 D．24 【答案】B 【分析】将变形为，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为， 故选：B. 7．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】由题意有，利用均值不等式即可求解. 【详解】由，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 8．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【分析】应用基本不等式求最小值，注意取值条件即可. 【详解】由题设，当且仅当时取等号，故原式的最小值为3. 故选：C 9．（24-25高一上·山西大同·期末）函数的最小值是（   ） A．7 B．1 C．5 D． 【答案】A 【分析】先将变为，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为，所以， 所以． 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是7． 故选：A 10．（24-25高一上·河南周口·期末）若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】变形得到，由基本不等式求出最值. 【详解】， ，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 故答案为： 题型三 基本不等式“1”的妙用求最值（共10小题） 11．（24-25高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）若正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】利用等量关系和基本不等式可求答案. 【详解】由得，故， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B． 12．（24-25高一上·贵州遵义·期末）已知任意正实数x，y满足，则的最小值是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】利用“1”的妙用，根据基本不等式即可求最值. 【详解】因为，所以， 又，所以，则由基本不等式可得： ， 当且仅当，即时，等号成立. 因此，的最小值是. 故选：A. 13．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知，且，则的最小值是（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】A 【分析】利用基本不等式“1”的妙用方法计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：A 14．（24-25高一上·新疆伊犁·期末）已知，则的最小值是（   ） A． B．9 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据基本不等式求最值即可得解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：A 15．（24-25高一上·江西景德镇·期末）已知函数，若，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则为奇函数且是增函数，由可得，即，再利用基本不等式可得答案. 【详解】设 ，定义域为 ，关于原点对称， 且 ，故 为奇函数； 则 ， ，故 ； 因为为增函数，故 ，即 ， ，故与同号，显然它们都是正数 ； 当且仅当 ，即时等号成立； 故选： D. 16．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知正实数满足，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】应用“1”的代换及基本不等式求的最小值，注意取值条件. 【详解】由题设， 当且仅当时取等号，即的最小值为6. 故答案为：6 17．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，则的最小值为 . 【答案】/4.5 【分析】根据“1”的变形技巧，利用基本不等式得解. 【详解】由可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 18．（24-25高一上·上海金山·期中）已知正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】化简可得，结合基本不等式求其最小值. 【详解】因为正实数，满足， 当且仅当且时，即时取等号. 故答案为：. 19．（23-24高一上·天津·期末）若实数，，且满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】将式子变形，利用常数代换，结合基本不等式即可求得最小值. 【详解】因为，所以， 又实数，，所以 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：. 20．（23-24高一上·天津·期末）函数（，且）的图象恒过定点，若点在函数的图象上，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由指数函数的性质，确定定点坐标，再代入三角函数，可得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】函数（且）横过定点， 由题意可知，，即，， 则， 当时，即，得，时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 题型四 二次与二次(或一次)的商式的最值（共3小题） 21．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 22．（25-26高一上·江西·月考）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 23．（23-24高一下·重庆沙坪坝·月考）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【详解】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 题型五 换元法求最值（共8小题） 24．（23-24高二下·浙江丽水·期末）已知，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，，再根据结合基本不等式求解即可. 【详解】设，，则， 因为，故，则. 故， ， 当且仅当，即，结合可得， ， 即，，，时取等号. 故答案为： 25．（25-26高一上·重庆·期中）已知正实数 满足 ，则的最小值是 . 【答案】 【分析】先对已知条件变形因式分解，令，解出然后换元化简利用基本不等式求其最值. 【详解】对已知变形有因式分解得，设，则，因为都是正实数， 所以，联立方程组，解得，因为所以，故， 所以 ，当且仅当，时取最小值. 故答案为: 26．（2025·浙江·一模）已知实数满足，则的取值范围是 .. 【答案】 【分析】由题干中的等量关系化简所求代数式，根据参数的取值范围，可得答案. 【详解】，则， 又，得， 设，由函数在上单调递减，在上单调递增， 则，由原式为，则所求范围为. 故答案为：. 27．（25-26高一上·上海·期中）已知对任意实数，二次函数恒成立，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先由二次函数恒成立得到，再令，将所求分式变成关于的分式，然后利用基本不等式可求. 【详解】因为对任意实数，二次函数恒成立， 则，且， 令，则， 当且仅当时取等号. 故答案为：3． 28．（25-26高一上·重庆·期中）已知正实数、满足：，则的最大值为 ，若实数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】对于第一空，利用基本不等式，再利用换元法令，再解一元二次不等式即可得解；对于第二空，先将整理为，再利用换元法令，将整理为，再利用基本不等式求得该式的最小值为，再运用配凑法与基本不等式求得的最小值即可得解. 【详解】对于第一空：，当且仅当时等号成立. 令，则可化为， 解得，则，，当且仅当时等号成立，故的最大值为； 对于第二空：可整理为， 令，则. ， 当且仅当，即时，即时，等号成立， 即最小值为，即. 又因为， 当且仅当，即时，等号成立. 综上，当且仅当时，取到最小值 故答案为：①；②. 29．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知实数，则的最大值是 ，的最小值是 ． 【答案】 4 【分析】空一：化简，再利用“1”的代换结合基本不等式求解即可； 空二：令，换元可得，再令，可得，结合二次函数的性质求解即可. 【详解】由，则， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值是； 由， 令，则， 所以 ， 令，则， 所以时，取得最小值4. 故答案为：；4. 30．（25-26高一上·安徽六安·期中）已知，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用条件将变形为，令（），则原式可化为，利用对勾函数在上的单调性求出最小值，即可得解. 【详解】①． 由得，则②， 将②代入①可得③． 令，则. 因为（当且仅当时等号成立），所以. 所以③可化为， 由对勾函数的性质可知函数在上单调递增， 所以函数在时取到最小值， 所以 所以的最大值为． 故答案为： 31．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】消去后借助换元法可用表示，再对分类讨论后利用基本不等式计算即可得解. 【详解】由，则，即， 则， 由，，故，即， 令，则， 有， 当时，； 当时，， 当且仅当，即，时，等号成立； 综上可得，的最大值为. 故答案为：. 题型六 两次应用基本不等式求最值（共2小题） 32．（25-26高一上·江苏扬州·期中）若正实数x，y，z满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】由条件可得，可以得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由条件可得， 所以，所以，所以， 所以，所以， 当且仅当，且，即，，等号成立. 故选：B. 33．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知正数a，b满足，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由，，平方得到，代入目标式化简变形通过两次运用基本不等式计算即可求出最小值． 【详解】解：由，得， 因为，， 所以 ， 当且仅当，即时取“等号”， 所以当，，时，的最小值为 故答案为： 题型七 条件等式变形求最值（共7小题） 34．（25-26高一上·广东深圳·期中）若正数满足，则ab的最小值为（　　） A．9 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】由得到，直接利用基本不等式求解即可. 【详解】，，，， ，，，， 当且仅当时取等号，即，解得， 的最小值为9. 故选：A. 35．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知，，且，则的最小值是（    ） A． B．5 C． D．7 【答案】D 【分析】先根据已知条件得出的关系，代入后变形构造基本不等式，最后利用基本不等式求和的最小值． 【详解】，，且， ，， ， 当且仅当，即等号成立， 的最小值为7． 故选：D． 36．（25-26高一上·河北邯郸·期中）已知，且，则的最小值与最大值之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用基本不等式得求的范围，注意端点值的取值条件，即可得. 【详解】由，有，有，得， 当时，， 当时，， 所以的最小值为，最大值为2， 所以的最小值与最大值之和为. 故选：D 37．（25-26高三上·安徽·月考）已知实数a，b，c满足，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】灵活应用基本不等式即可求解. 【详解】由基本不等式可得 ： ， 当且仅当 时等号成立，可取 ， 所以 的最大值为 2 ． 故选：B. 38．（25-26高一上·辽宁·月考）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】根据已知等式，将目标式化为，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】由题知， 所以 ， 当且仅当，即时，取等号. 故选：B 39．（25-26高一上·河南郑州·月考）已知，b为正实数，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由条件可得，据此利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， ，b为正实数，所以，， ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 题型八 基本不等式链的应用（共2小题） 40．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式，先比较与，然后比较与，再比较与，由此确定出正确选项. 【详解】因为，所以，， ，当且仅当时，等号成立， 则. 故选：A. 41．（多选）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据作差法结合条件可判断AB，利用基本不等式可判断CD. 【详解】，且， 所以，即，故A错误，B正确； 所以，即，故C错误，D正确. 故选：BD. 题型九 利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围（共4小题） 42．（25-26高一上·天津南开·期中）已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】同分后借助立方和公式因式分解，再利用基本不等式计算即可得. 【详解】，，恒成立， 而 ， 当且仅当时，等号成立，则，故的最大值为. 故选：C. 43．（25-26高一上·山东·期中）已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得，则，再根据恒成立问题转化为最值即可． 【详解】即， （当且仅当时取等号）， 又不等式恒成立， 所以． 故选：C． 44．（25-26高一上·天津·期中），，且满足，若恒成立，则的取值范围为 【答案】 【分析】利用基本不等式中“1”的代换求得，进而，解不等式即可. 【详解】， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以. 又恒成立，所以， 即，解得， 所以k的取值范围为. 故答案为： 45．（25-26高一上·湖南长沙·期中）设，，且，若恒成立，则实数的最大值为 . 【答案】27 【分析】利用基本不等式和“1”的妙用求解即可. 【详解】，即， 且， 当且仅当时，等号成立，所以. 故实数的最大值为27. 故答案为：27 46．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用乘“1”的方法，根据基本不等式求得，则，求解即可. 【详解】因为 ， 当且仅当，即当且仅当时，等号成立， 所以， 因为不等式对任意恒成立， 可得，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 47．（25-26高一上·贵州遵义·期中）关于x的不等式，对满足的任意正实数都成立，则实数x的最大值为 ． 【答案】9 【分析】应用基本不等式“1”的代换求的最小值，根据已知不等式恒成立有，求解即可得. 【详解】由题设， 当且仅当时取等号，故， 所以，故实数x的最大值为9. 故答案为：9 题型十 利用基本不等式证明不等式（共4小题） 48．（25-26高一上·湖北随州·月考）已知且求证： (1)，； (2)； (3). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）从中解出和，分别代入得解； （2）将都乘以正数，得到，两边同加，得到，代入，得到，同理得到，从而得解； （3）先将两边平方整理后得到，再使用基本不等式得解. 【详解】（1），， ，， ，， ，； （2）， ， ， ， ， . 同理，，则有， ， ， ， 综上； （3）， ， ， ， ， . 49．（25-26高一上·青海海南·期中）（1）已知都是正数，求证：； （2）若，且，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 ；（2） ． 【分析】（1）三次应用基本不等式结合不等式性质证明即可； （2）应用基本不等式，再结合换元法求解一元二次不等式计算即可. 【详解】（1）因为都是正数，所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 所以， 当且仅当时，等号成立， 故，得证； （2）因为，所以（当且仅当时等号成立）， 因为，移项，得， 所以， 设，则，解得（舍去）或， 因为，所以， 故的取值范围为． 50．（25-26高一上·江西赣州·月考）已知，且.求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用，对进行变形，再根据基本不等式求证即可； （2）先求的展开式，再利用进行变形，并根据基本不等式求得的取值范围，从而证得. 【详解】（1），且， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以得证. （2），且， . 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以，即，当且仅当时，等号成立. 所以得证. 51．（25-26高一上·海南海口·月考）(1)已知均为正实数，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）将，，三式相加再转化即可证明； （2）由利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为均为正实数， 所以（当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， （当且仅当时等号成立）， 以上三式相加，得（当且仅当时等号成立）， 所以（当且仅当时等号成立）， 即（当且仅当时等号成立）． （2）因为, 则， 因为，，由得 当且仅当时等号成立. 所以. 题型十一 基本不等式的实际应用（共5小题） 52．（25-26高一上·重庆沙坪坝·期中）某大学生小王响应国家号召决定返乡创业，振兴乡村.现有两个不同项目A，B可以考虑投资，经过市场调查统计，当投资额为万元时，A，B两个项目所获得的收益分别为万元和万元，其中，，现小王准备将10万元全部投入到这两个项目中． (1)如果小王在A，B项目中分别投入6万元和4万元，求他能获得的收益； (2)请制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出该最大收益． 【答案】(1)万元 (2)万元 【分析】（1）结合题目中的收益函数，代入计算即可求解. （2）设小王投入B项目万元，则投入项目万元，然后根据的范围，利用基本不等式求解最大值即可. 【详解】（1）小王在A，B项目中分别投入6万元和4万元， 所以A，B两个项目所获得的收益分别为万元，万元， 所以他能获得的收益为万元. （2）设小王投入B项目万元，则投入项目万元，. 那么总收益为 万元， 当且仅当时，即时，等号成立， 故小王投入B项目万元，投入项目万元时，获得最大总收益，总收益的最大值为万元. 53．（25-26高一上·江苏淮安·期中）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设菜园的长为米，宽为米. (1)若菜园面积为49平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ (2)若使用的篱笆总长为40米，当，为多少时，有最小值？并求出最小值. 【答案】(1)为，为时，所用篱笆总长最小，最小值为 (2)当时有最小值，最小值是 【分析】（1）由题意可知，再根据基本不等式即可得解； （2）由题意可知，再根据基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意得，所用篱笆总长为. 因为， 当且仅当时，即，时等号成立， 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为； （2）由题意得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，有最小值，最小值是. 答（1）菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小，最小值为， （2）当时，有最小值，最小值是. 54．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. (1)试用表示的长，并求的取值范围； (2)求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 【答案】(1)； (2)，且时元. 【分析】（1）设，根据十字形地域的面积得出的关系式，即可求解； （2）由（1）可求得，从而可求出各个图形的面积，将花坛、地坪、草坪的各个区域造价相加，求得总造价，再利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】（1）设，由两个相同的矩形和构成的面积为， 得，解得，由，得， 所以. （2）由（1）知，则， 矩形的面积为，正方形为， 所以 ，由及，得， 所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值118000元. 题型十二 权方和不等式（拓展）（共4小题） 55．（24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 【答案】B 【分析】根据权方和不等式的定义，将函数变形为：，再根据权方和不等式求出最小值即可. 【详解】因为， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据权方和不等式定义将函数解析式变形，从而利用权方和不等式求最值. 56．（23-24高一上·陕西西安·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设m，n，x，y均为大于零的实数，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．18 【答案】D 【分析】利用权方和不等式求解. 【详解】， 当且仅当，即时取得等号， 所以函数的最小值为18， 故选:D. 57．（23-24高一上·辽宁沈阳·月考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值 ． 【答案】 【分析】由，再利用权方和不等式即可得解. 【详解】由，得， 由权方和不等式可得， 当且仅当，即时取等号， 所以函数的最小值为. 故答案为：. 58．（24-25高一上·河北·期中）若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是5. 【答案】(1)证明见解析； (2)60； (3)解法不正确，理由见解析. 【分析】（1）将证明转化为证明，可以通过利用基本不等式来证明； （2）将变形成，利用权方和不等式结合已知条件，即可求解； （3）利用.权方和不等式求最值，需注意等号成立的条件是否能满足. 【详解】（1）证明： ，当且仅当时，等号成立. 因为，所以. （2） ， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为.. （3）这种解法不正确. 原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立. 由，消去得，因为，所以本方程无实数解， 所以，的最大值不是5. $高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03基本不等式及其应用 题型归纳·内容导航 题型1基本不等式求积的最大值（重点） 题型7条件等式变形求最值（难点） 题型2基本不等式求和的最小值（重点） 题型8基本不等式链的应用 题型9利用基本不等式在恒成立问题中求参数 题型3基本不等式“1”的妙用求最值（重点） 的范围（重点） 题型4二次与二次（或一次）的商式的最值 题型10利用基本不等式证明不等式 题型5换元法求最值（常考点）（难点） 题型11基本不等式的实际应用（常考点） 题型6两次应用基本不等式求最值（难点） 题型12权方和不等式（拓展）（重点） 题型通关•靶向提分 题型一基本不等式求积的最大值（共5小题） 1.24-25高-上云南昭通期未)已知0<x<写，则函数y=x0-3刘的最大值为《) c.3 D. 2.(24-25高一上·甘肃天水期末)己知一个直角三角形的斜边长为8，则其面积的最大值是() A.12 B.14 C.16 D.18 3.(22-23高一上陕西商洛·期末)己知a>1,b>1,且ab=25,则loga·logb的最大值为() A.1 B.2 C.5 D.10 4.(24-25高一上河南郑州·期末)已知a>0,b>0,且3a+7b=10,则ab的最大值为 5.（24-25高一上·吉林四平期末)用一根长度为2的绳子围成一个扇形，当扇形面积最大时，其圆心角的 弧度数为 题型二基本不等式求和的最小值（共3小题） 6.(24-25高一下内蒙古期末)+6的最小值为（) A.6 B.26 C.6 D.24 1/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.(24-25高一下.广东汕头期末)己知x>1,x+ 2的最小值为（） x- A.3 B.4 C.22+1 D.5 8.(24-25高一上内蒙古乌兰察布期末)已知x>0,则x-3+?的最小值是() A.4 B.5 C.3 D.2 9.（24-25高一上山西大同期末)函数f(x)= 4 +x(x>3)的最小值是() x-3 A.7 B.1 C.5 D.-1 10.(24-25高一上河南周口期末)若x>2,则3-x- 一2的最大值为」 题型三基本不等式“1”的妙用求最值（共10小题） 4.1 11.(24-25高一上内蒙古呼伦贝尔.期末)若正数a,b满足a+2b=2,则-+二的最小值为() a b A.5 2 B.3+2√2 C.6 D.3 +V2 2 12.(24-25高一上贵州遵义期末)已知任意正实数，y满足+4=1，则x+号的最小值是() x y A.3+2W2 B.4W2 C.5 D.3+√2 13.(24-25高一上浙江杭州期末)已知a>0,b>0且a+b=1,则 16a+9b 的最小值是() ab A.49 B.50 C.51 D.52 14.(24-25高一上新疆伊犁期末)已知x>0,y>0,x+2y=2,则+2的最小值是（) x y B.9 C.4 D.5 15.（24-25高一上江西景德镇.期末)已知函数f(x=2024-2024r+2,若(a+1)(b+1)>0,且 a-+fb)=4,则2+，1的最小值为() a+1b+1 A.1-22 C.1-3 D.1+22 3 8.1+5 2 2 3 16.(24-25高一上浙江杭州期末)已知正实数a,b满足上+3-2，则3a+6的最小值为 a b 17.(24-25高一上-潮北武汉期末)已知x>0,y>0,x+y=1,则4 +二的最小值为 x+l v 18.（24-25高一上上海金山期中)已知正实数a,b满足2a+6=1,则6@+2的最小值为一 a2+ab 2/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 19.(23-24高一上·天津期末)若实数a>1,b>2,且满足2a+b-5=0,则 1+1的最小值为 a-1b-2 20.（23-24高一上·天津.期末)函数y=a2-x(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在函数 y=2 msinx+n的图象上，m>0,n>0,则1+4的最小值为】 m n 题型四二次与二次（或一次）的商式的最值（共3小题） 21.（24-25高一上广东江门期末)若x>0,则2-3x+1的最小值是 22.(25-26高一上江西月考)已知r<-1,则-x+14的最大值是() x+1 A.-11 B.-8 C.5 D.8 23.(23-24高一下重庆沙坪坝月考)已知正数x,y满足x+2y=1,则+y的最小值为() xy 1 1 A. ”2√2 B.2√2 c. 2V2+1 D.2W2+1 题型五换元法求最值（共8小题） 24.(23-24高二下·浙江丽水.期末)己知x>y>0, 3+2=1,则2x+y的最小值为 x+y x-y 25.(25-26高一上.重庆.期中)已知正实数a,b满足5a2+4ab=1+b2,则12a2+8ab-b2的最小值是 26.2025渐江一)已知实数ab.c满是a+b+c=G++c,则的取值泡围是 27.(25-26高一上·上海·期中)己知对任意实数x,二次函数f(x)=ax2+bx+c≥0恒成立，且a<b,则 a+b+C的最小值为—一 b-a 28.(25-26高一上.重庆期中)己知正实数a、b满足：a+2b+ab=6,则ab的最大值为，若实数 c>0,则ac 2+bc+16的最小值为一 2b'c a+2'b+1 c+1 29.(25-26高一上江苏扬州期中)已知实数0<4<2，则2，上的最大值是 a-2 a a2+8a+16 的最小值是 (1+2aj(3-aj 30.(25-26高一上安徽六安期中)已知a.5>0,+6=1,则1十的最大值为 9a2+1b2+1 3/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 31.（2526高一上湖北武汉：期中)已知x>0,y>0,+-1,则，4号的最大值为 x y 2x-12x 题型六两次应用基本不等式求最值（共2小题） 32.(25-26高一上江苏扬州期中)若正实数x,满足2x2+y+=4,则+的最小值为() A.2 B.22 C.2W5 D.3 33.(25-26高二上陕西西安期中)已知正数a,b满足a+b=1,ceR,则， 8a+ 1 +4c2的最 e2+b'abc2+ab 小值为 题型土条件等式变形求最值（共7小题） 34.(25-26高一上广东深圳期中)若正数a,b满足2ab=a+b+12,则ab的最小值为() A.9 B.4 C.3 D.2 35.（25-26高一上辽宁沈阳期中)已知x>1,y>1,且xy-x=y+1,则x+2y的最小值是() A.2V2+3 B.5 C.4W2 D.7 36.(25-26高一上河北邯郸期中)已知x,y∈R,且x2+y2+x+y=4,则x+y的最小值与最大值之和为 () A.-5 B.-4 C.-3 D.-2 37.（25-26高三上安徽·月考)已知实数a,b,c满足5a2+b2+c2=4,则a(2b+c)的最大值为() A.1 B.2 C.4 D.8 38.(25-26高一上辽宁-月考)已知正实数a,6满足2a+b=3,则40+1++26+2的最小值为(） 2ab+1 A.6 B.5 C.4 D.3 39.(25-26高一上河南郑州月考)已知a≥-1，b为正实数，且a+b)(a+2b)+2a+3b=3,则3a+4b的 最小值为一 题型八基本不等式链的应用（共2小题） 40.(24-25高一上四川遂宁.期中)已知a>0,b>0,则+b, 2，Vab, a2+6,2ab中最大的是（） a+b a2+b2 A. B.ab C.atb D. 2ab 2 2 a+b 4/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 41.(多选)若a>0,b>0,且a≠b,则() A.a+b a2+b3 B. a+b a2+b2 >2 2 2 C.vab>atb D.√ab< a+b 2 2 题型九，利用基本不等式在恒成立问题中求参数的范围（共4小题） 42.(25-26高-上天津南开期中)已知r>0,y>0,若不等式上+之x+y)恒成立，则a的最大值 x y 为(). A B.② C.1 D.2 43.(25-26高一上.山东期中)已知a,b为正实数，且3a2-2ab+4=0,若不等式b-4≥m恒成立，则 实数m的取值范围是() A.（-0,2 B.-0,4] C.（-0,2V2 D.-0,4V2 4,(25-26高一上天津期中)x>0,y>0,且满足+2=2，若2x+y≥42-1恒成立，则k的取值范围 x y 为 45.(25-26高一上湖南长沙.期中)设a>0,b>0,且3a+4b=1,若ab1≤3a+b恒成立，则实数t的最大 值为 2526高一上苏附京期D已知不等式子-”>m-5m对任意0恒成立，则实数m的取 范围为 47.(25-26高一上贵州遵义期中)关于x的不等式x2-8x≤”+4m,对满足m+n=1的任意正实数m,n都 mn 成立，则实数x的最大值为· 题型土利用基本不等式证明不等式（共4小题） 48.(25-26高一上湖北随州月考)已知0<a<b,且a+b=1,求证： 1.1<b<1: 1)0<a<2'2 (2)a<a2+b2<b: 1 3)ab<4 5/8 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 49.(25-26高一上.青海海南期中)(1)已知x,y,z都是正数，求证：（x+y)(y+z)(z+x≥8xyz; (2)若a,b>0,且ab=a+b+3,求ab的取值范围. 50.（25-26高一上江西赣州月考)已知a、b、c>0,且a2+b2+c2=1.求证： (11-a2)1-b2)1-c2）≥8a2b'c2, (2)a+b+c≤V5 51.(25-26高一上海南海口·月考)(1)已知a,b,c均为正实数，求证： 2b+3c-a+a+3c-2b+a+2h-3c≥3： 2b 3c (2)已知a>0,b>0,a+b=1,求证： ++89 题型土一基本不等式的实际应用（共5小题） 52.(25-26高一上·重庆沙坪坝期中)某大学生小王响应国家号召决定返乡创业，振兴乡村.现有两个不同 项目A,B可以考虑投资，经过市场调查统计，当投资额为x(x≥O)万元时，A,B两个项目所获得的收益分 别为万元和g国万元，其中-受8小=，现小准条将0万元全部银入到这两个度目中. (1)如果小王在A,B项目中分别投入6万元和4万元，求他能获得的收益： (2)请制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出该最大收益。 53.(25-26高一上江苏淮安期中)如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园.设 菜园的长为x米，宽为y米。 (1)若菜园面积为49平方米，则x,y为何值时，所用篱笆总长最小？最小值为多少？ 2若使用的篱笆总长为40米，当飞y为多少时，2红+卫有最小值？并求出最小值 54.(25-26高一上江苏宿迁期中)如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是 由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为2O0m?(四个阴影部分加中间小正方形)的十字形地域.计 划在正方形MWPQ上建一座花坛，造价为4200元/m2;在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地 坪，造价为210元/m；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/m2.设总造价为s(单 6/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 位：元)，AD长为x(单位：m). H E (1)试用x表示D2的长，并求x的取值范围； (2)求S关于x的函数关系式，当x为何值时，S最小？并求出这个最小值. 题型土二权方和不等式（拓展）（共4小题） 55.(24-25高一下·辽宁葫芦岛·月考)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有 很广泛的应用，其表述如下：设a,b,x,y>0,则：+≥a+b,当且仅当？-时等号成立根据 x y x+y x y 1 方和不等式，函数x3x+3+160<x<的最小值为 x1-3x A.39 B.52 C.49 D.36 56.(23-24高一上陕西西安.期中)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很 广泛的应用。其表述如下：设m,,,y均为大于零的实数，则：+”：m+川，当且仅当型-”时等 x y x+y x y 号成立，根据权方和不等式，函数x=2+,20<x< x1-4x 4的最小值为() A.4 B.8 C.16 D.18 57.（23-24高一上辽宁沈阳·月考)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很 广泛的应用，其表述如下：设a,xy>0,则+之a+,当且仅当号-时等号成立根据权方和不 x y x+y x y 等式，函数f=2+,90<x<)的最小值 1 x'1-2x( 2 58.(24-25高一上河北期中)若a,>0,b,>0(i=1,2,…,n),m>0,则不等式 +a2++ 4a”≥a+a++a, b(6+b++b,)" 当且仅当头=g。g时，等号成立这个不等式叫做权方 bb b. 和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中 7/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 一个重要的不等式. 但若a>0.6>0i=l,2,证明二维形式的权方和不等式：g+≥a+a by b2 b+b2 (2)已知x,>0(i=1,2,…,5),x+2x2+3x3+4x4+5x=30,，求x+2x+3x+4x+5x的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数x,y满足x2+y2-3x+2=0,求x+2y的最大值， 3x-2 +2-+2+2y2 解权方和不等式胸2可问5。 所以(x+2y的最大值是5. 3x-2 8/8