4.4 直角三角形-【一战成名新中考】2026中考数学·纯练版总复习·一轮章节分层练

一战成名目 多解法。 解法二（构造相似）：如解图②，过点B作BF⊥BC交CA 的延长线于点F,通过解直角三角形可求出BC;过点D作 DG∥BC交AB于点G,则△CED∽△GBD,利用相似的性 质可求出CE. F ! G以 D D 图② 图③ 第13题解图 解法三（思路）：如解图③，过点D分别作DF⊥BC于点 参考答案与 F,DQ⊥BD交BE于点Q,由CD=2,DF:CF=4:1,得CF= 2,DF=8 证∠EDC=∠EBD= √1 =F0,进而有cQ=6 7 难 45=∠C0D,得△CD0∽△CED,得SD-C CE CD ,进而可求出CE 题解 14.(1)解：△ABC是等边三角形，.∠ACB=60°， D是AB的中点，.CD平分∠ACB, ∠DCB=∠ACD=号∠ACB=300 .CE⊥BC,∴.∠BCE=90°，.∠DCE=60°； (2)证明：由平移可知：CD∥EF ∴.∠EAC=∠ACD=30°， 30 又.·∠ECA=∠BCE-∠ACB=30° ·.∠EAC=∠ECA,AE=CE,∠AEC=120°， 又AB=CB,.BE垂直平分AC, 2∠AEC=60, .∠GEC 由(1)知∠GCE=60°， .∴.∠EGC=60°，∴.∠GEC=∠GCE=∠EGC, ·△CEG是等边三角形 15.解：(1)△BDE是等腰三角形.理由如下： BD平分∠ABC,.∠ABD=∠DBC, .DE∥BC,.∠EDB=∠DBC, .∠EDB=∠EBD,∴.EB=ED,∴△BDE是等腰三角形： (2)①B: ②解法一：·四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB∥CD,AB=CD,AD∥BC,AD=BC .∠AEB=∠EBC,∠BAF=∠AFD, BE平分∠ABC,.∠ABE=∠EBC, .∠ABE=∠AEB,.AB=AE, .AF⊥BE,∴.∠BAF=∠DAF, 30 一轮章节分 .∠DAF=∠AFD,DF=AD=BC, AB=3,BC=5...CF=DF-CD=BC-AB=5-3=2. 多解法。 解法二：如解图，连接BF,EF ·四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD,AD∥BC, AD=BC, .∠AEB=∠EBC,∠EDF= ∠FCB,∠ABF+∠CFB=180°， 第15题解图 :BE平分∠ABC,.∠ABE=∠EBC, ∴.∠ABE=∠AEB,.AB=AE, AF⊥BE,.AF垂直平分BE,.BF=EF, 又AF=AF,.△ABF≌△AEF,∴.∠ABF=∠AEF .∠DEF+∠AEF=180°， ∴.∠DEF+∠ABF=180P,.∠DEF=∠CFB .△DEF≌△CFB,.DE=CF, ED=AD-AE=BC-AB=5-3=2...CF=2. 解法三：如解图，设AG与BE交于点H, AB∥DF,·.∠BAG=∠DFA, .BE平分∠ABC,.∠ABH=∠GBH .∠AHB=∠BHG=90°，BH=BH,.∴.△ABH△GBH, ·.∠BAH=∠BGH,AB=BG=3, BC=5,∴.CG=2, .·∠BGH=∠CGF,.∠CFG=∠CGF,.CF=GC=2. 第四节 直角三角形 1.C2.①② 3.解：△ABC是等腰直角三角形. 证明：DE∥BC,∠C=∠AED, .·∠EDF=∠C,.∠AED=∠EDF, .DF∥AC,.∠BDF=∠A, ∠A=45°，.∠BDF=45°， DF平分∠BDE,.∠BDE=2∠BDF=90, .DE∥BC,.∠B=90°， .∠C=∠A=45°，AB=BC,.△ABC是等腰直角三角形. 4.(1)70:(2)3: ,【解析】如解图，记BD交AC于点O,连接AD, CD,由作图可知，AD=AB,CD=CB,.AC垂直平分BD,即 AC⊥BD,OB=OD,.∠ABC=90°，AB=1,BC=2,.∴.AC= VAB+BC=√T+2=5,:Sam=2AC·0B=2AB· BC,OB=AB·BC25 AC 3.BD=206=45 5 第4题解图 层练·数学 5.6【解析】点D,E分别是边AB,BC的中点，.DE是 △AC的中位线DE=了4C=子×4=2.在△BPC 中，E是斜边BC的中点，BC=8,FE=2BC=2×8= 4,.DF=DE+FE=2+4=6. 6.3或77.(1)45,2；(2)28.3 9.(√2I-4)【解析】在R1△ABC中，∠ABC=90°，AC= 5m,BC=3m,则由勾股定理可得AB=√52-32=4(m);在 Rt△A'BC'中，∠A'BC'=90°，A'C=5m,BC=3-1= 2(m),则由勾股定理可得A'B=√52-2=√/21(m),∴.梯 子顶端向上移动（√2T-4)m 10.C【解析】·Rt△DAH≌Rt△ABE,.DH=AE=4,AH= BE=3,∴.EH=AE-AH=4-3=1,:四边形EFGH是正方 形，.∠DHE=90°，.DE=√D+EF=√4+下=V7. 变式【解析)解法-：如解图①，过A作AC BP交FE的延长线于点G,·∠GAE=∠PBE,∠AGE= ，AGAE1 ∠BPE=45,△AGB∽△BPE,BPB石，设AG= 1,则BP=k,∠NMP=45°，.∠AMG=45°，.AM=AG= 1,.MD AN BP=k,..MN=k-1,.S AD2 MD2+ AM2=2+1,S2=MN2=(k-1)2,∴ S1k+1 S2(k-1)2 B 变式题解图① 多解法。 解法二：如解图②，过B作BG⊥BP交FE的延长线于点 G,连接AG,则△GBP是等腰直角三角形，易证△GBA≌ △PBC,.∠AGB=∠CPB=90°，：△GBP是等腰直角三 角形，∠BCP=45°，∠AGP=45,易得△匹_AC_4 S△BEG BG BE ,设AG=1,则BG=k,AM=1,MD=AN=,M应 1,S,=AD2=MD2+AM2=k2+1,S2=MW2=(k-1)2, S1k2+1 S2(k-1)7 G 变式题解图② 一轮章节分 一战成名目 1LB【解析】如解图，过点C作CH⊥AB于点H,AC= BC=2,∠ACB=90°，CH⊥AB,AB=2√2，AH=BH=CH= 2AB CD=AB=2,DH JCD-CIF= 6,.BD=√6-√2. H B D 第11题解图 12.2或1+2【解析】以点D,M,N为顶点的三角形是直角 三角形时，分两种情况：①如解图①，当∠MWD=90°，即 MN⊥AD时，四边形ABCD是矩形，.∠A=90°，.MN∥ AB,M为对角线BD的中点，.AW=DW,:AN=1, AD=2AN=2:②如解图②，当∠NMD=90°，即MW⊥BD 时，连接BN,.·M为对角线BD的中点，.BM=DM,.MW 垂直平分线段BD,.BN=DW,∠A=90°，AB=AN= 1,.BN=√2AB=√2，AD=AN+DN=1+√2.综上所述， AD的长为2或1+2 参考答案与 图① 图② 难 第12题解图 13.1+√7【解析】解法一：如解图①，过点A作AM⊥BC于点 解 M.设BE=x,则CD=3x..∠BAC=90°，AB=AC= 3BC=6,AM=BM=7 BC=3..CE=6+*,EM=3+ x,ED 2AE,.'.ED2 4AE2,..CD2+CE2 =4 (AM+ EM2),.（3x)2+(6+x)2=4[32+(3+x)2],整理得x2-2x- 6=0,解得x=1+√7（负值已舍去），.BE=1+√7 31 第13题解图① 第13题解图② 多解法。 解法二：如解图②，过E作EQ上CA交CA延长线于点 Q,过点B作BF⊥EQ于点F,则△CEQ和△BEF均为等 腰直角三角形，设BF=x,则EF=x,AQ=x,BE=√2x, CD=32x,∠BAC=90°，AB=AC=32,BC=6,QF= 32,.CE=6+√2x,EQ=32+x.ED=2AE,.ED2= 44E2,.CD2+CE2=4(AQ2+EQ2),.(32x)2+(6+ √2x)2=4[x2+(32+x)2],整理得x2-√2x-3=0,解得x= 2+√4（负值已舍去）…BE=瓦x=1+7 14.(1)解：勾股定理的逆定理；【解法提示】.CD=30cm, DE=50cm,CE=40cm,.CD2+CE2=302+402=502= 层练·数学 31 一战成名司 DE2,.∠DCE=90°，故“办法一”依据的一个数学定理是 勾股定理的逆定理 (2)证明：由作图方法可知，QR=QC,QS=QC, .∴.∠QCR=∠QRC,∠QCS=∠QSC, ∠QCR+∠QCS+∠QRC+∠QSC=180°， .∴.2（∠QCR+∠QCS)=180°， .∠QCR+∠QCS=90°，即∠RCS=90°； (3)解：①如解图，直线PC即为所求； 第14题解图 ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂 直平分线上（答案不唯一）. 第五节全等三角形 1.(1)80°；(2)7：(3)62.B3.AD=CE(答案不唯一) 4.证明：.·∠CBE=∠CDF, 考 ∴.180°-∠CBE=180°-∠CDF, .∠ABC=∠ADC 案与 ∠ABC=∠ADC. 在△ABC和△ADC中 ∠ACB=∠ACD. AC=AC. 题解 .△ABC≌△ADC(AAS),.AB=AD. 5.证明：.·DE∥AB, .∠D=∠ABC BD=AB. 在△BDE和△ABC中， ∠D=∠ABC DE=BC, .△BDE≌△ABC(SAS), 32 .BE=AC. 6.证明：.：四边形ABCD是菱形，.AB=BC .AE=CF,..AB-AE=BC-CF,BE=BF, (AB=CB. 在△ABF和△CBE中， ∠B=∠B BF=BE .△ABF≌△CBE(SAS),AF=CE. 7.证明：△ABC为等边三角形， .∠B=∠C=60°，.∠BDE+∠DEB=120 :△DEF为等边三角形，.DE=EF,∠DEF=60, ·.∠DEB+∠CEF=120°，.∠BDE=∠CEF I∠BDE=∠CEF, 在△DEB和△EFC中 ∠B=∠C, DE=EF. ∴.△DEB≌△EFC(AAS),∴.DB=EC 8.证明：(1).AC,BD相交于点E,∠ACB=∠ADB,点F在 ED上， .∠ACB=∠ADF, .∠BAF=∠EAD, 32 一轮章节分 ∴.∠BAF-∠CAF=∠EAD-∠CAF, ·.∠BAC=∠FAD I∠BAC=∠FAD, 在△ABC和△AFD中，{AC=AD, I∠ACB=∠ADF, .△ABC≌△AFD(ASA); (2)由(1)得△ABC≌△AFD, .AB=AF. ·BE=FE」 .AC⊥BF,即AC⊥BD. 9.(1,4)或(1，-2)或(3，-2) 10.C【解析】如解图，连接AD,∠BAC=90°，AB=AC=6,D 为边BC的中点，.AD=BD=CD,∠BAD=∠C=45°， SA=2×6×6=I8,在△ADE和△CDF中， (AD=CD. ∠EAD=∠C,.△ADE≌△CDF(SAS),.SAAE= AE=CF. S△CDF,.S四边形AEw=S△Ac= =9, 2 第10题解图 11.2√61 思维构建。 遏“三角形一边中线”，倍长中线构全等 【解析】如解图，延长AD到点E,使AD=DE,连接 CE,AD是BC边上的中线，.BD=CD,在△ABD和 (AD=ED. △ECD中， ∠ADB=∠EDC,.△ABD≌△ECD BD=CD. (SAS),..CE=AB=5,.AD ED =6,..AE 2AD 12,52+12=132,.CE+AE2=AC2,.∠E=90°，.CD= √CE2+DE=√5+6=√6，.BC=26I. 0 D D A E 第11题解图 第12题解图 12.A【解析】如解图，过点C作CE⊥OA于点E,设OA的延 长线与地面交于点F.由题意可知OB=OC=2m,BD= 1.6m,DF=1.3m,.0D=√OB2-BD=1.2(m),.0F= 0D+DF=1.2+1.3=2.5(m),∠ODB=∠OEC= 90°，.∠OBD+∠BOD=90°，.∠BOC=90°，∴.∠BOD+ 层练·数学一战成名目 第四节 直角三角形 A基础过关练 命题点①直角三角形的判定 1.[2024陕西]如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E是DC的中点，连接AE,则图中 的直角三角形有 ( A.2个 B.3个 ■ C.4个 BD E D.5个 第1题图 2.在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,下列条件：①∠A=∠C-∠B:②(a+b)(a-b)= c2;③a=32,b=42,c=52;其中可以判定△ABC是直角三角形的是 (填序号) 3.[2024自贡改编]如图，在△ABC中，D,E分别在AB,AC上，且DE∥BC,∠EDF=∠C.∠A=45°，DF 平分∠BDE,请判断△ABC的形状，并证明， 第3题图 第四 命题点②直角三角形的基本性质 三角 4.在Rt△ABC中，∠ABC=90° (1)若∠A=20°，则∠C= o; (2)[2024青海]如图①，D是AC的中点，连接BD,∠BDC=60°，AC=6,则BC的长是 (3)[2025成都]如图②，AB=1,BC=2.以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以 BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D,连接BD,则BD的长为 图① 图② 第4题图 第5题图 5.[2025扬州]如图，在△ABC中，点D,E分别是边AB,BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且 ∠BFC=90°.若AC=4,BC=8,则DF的长是 6.易错[2024攀枝花改编]一个直角三角形两边长分别为1和2√2，则其第三边的长为 一轮章节分层练·数学 77 一战成名目 命题点③含30°或45°角的直角三角形 7.[北师八下P34第9题改编]如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线。 (1)∠BAD= ,BC= AC; (2)若AB=2,则AD的长为 墙面 梯子 地面 C'C 第7题图 第8题图 第9题图 8.[2025南充]如图，∠AOB=90°，在射线OB上取一点C,以点O为圆心，OC长为半径画弧；再以点 C为圆心，OC长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点D,连接并延长CD交射线OA于点 E.设0C=1,则0E的长是 B能力提升练● 9.真实情境)[人教八下P25例2改编]如图，电工师傅把5m长的梯子AC靠在墙上，使梯脚C离墙角 B的水平距离为3，准备在墙上安装电灯.当他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙角 移动1m,即移动到C'处，则梯子顶端向上移动了 m. 10.[2024浙江]如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形（△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和中 间一个小正方形EFGH组成，连接DE.若AE=4,BE=3,则DE= 章 A.5 B.26 C.√17 D.4 D 三角 H B 第10题图 变式题图 第11题图 第13题图 变式多解法[2024武汉]如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦 图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD.直线 MP交正方形ABCD的两边于点E,F,记正方形ABCD的面积为S1,正方形MWPQ的面积为S2 若BB=MB(6>1),则用含6的式子表示的值是 11.[2024安徽]如图，在Rt△ABC中，AC=BC=2,点D在AB的延长线上，CD=AB,则BD=() A.√10-√2 B.6-√2 C.22-2 D.22-√6 12.易错[2023河南]矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN=AB=1.当以 点D,M,N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 13.多解法[2023苏州]如图，∠BAC=90°，AB=AC=3√2，过点C作CD⊥BC,延长CB到E,使BE= 3CD,连接AE,ED.若ED=2AB,则BB= ·(结果保留根号) 78 一轮章节分层练·数学 一战成名目 ●C素养强化练● 14.阅读与思考 如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务. ×年×月×日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他 已经在木板上画出一条裁割线AB,现根据木板的情况，要过AB上的一点C,作出AB的垂线， 用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？ 办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD=30cm,然后分别以D,C为 圆心，以50cm与40cm为半径画圆孤，两孤相交于点E,作直线CE,则∠DCE必为90°. 50 cm 40 cm D 30 cm 图① 图② 第14题图 办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M,N两点，然后把木棒斜 放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将，点N对应的位置标记为，点Q,保持点N 不动，将木棒绕，点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将，点M对应的位置标记为点R.然后 将RQ延长，在延长线上截取线段QS=MN,得到点S,作直线SC,则∠RCS=90°. 第四 章 我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺 也能作出垂线呢？… 任务： 三角 (1)填空：“办法一”依据的一个数学定理是 (2)根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS=90°； (3)①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）： ②开放性试题)说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）. 第14题图③ 一轮章节分层练·数学 79